第九章微分方程1 (2)共32页文档
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常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
微分方程
#
例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
#
例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy
2
, C2
2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
#
可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y
(完整word版)微分方程及其应用
第九章 微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。
例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。
本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。
微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。
微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。
微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。
如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。
若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。
从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。
例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。
用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。
在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。
例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。
一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
F(u)是非线性项, g是自由项 .
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
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un
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Lx1
Ly
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n0
n0
n0
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(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
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例2. 求解非齐次偏微分方程
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
高等数学：第九章 常微分方程1-2
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
15
5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,
第9章 常微分方程初值问题数值解法
2
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
7
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
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数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
微积分9章2线性微分方程
= ce ∫
1 dx x
= ce ln x = cx
dy = 2y dx dy = 2y 【解 】 dx
(5)
⇒
dy − 2y = 0 dx
[ p( x ) = −2 ]
y = ce
− ( −2 ) dx
∫
= ce
2 dx
∫
= ce 2 x
5 16
( 6)
dy = y cos x dx dy = y cos x ⇒ dy − (cos x ) y = 0 dx dx
[ p( x ) = 1 ]
y = ce
= ce − x
( 2) y ′ = y
【解 】 y ′ = y ⇒ y ′ − y = 0
[ p( x ) = −1 ]
y = ce
− ( −1) dx
∫
∫ dx = ce x = ce
[ p( x ) = x ]
− x2
4 16
1 2
( 3) y′ + xy = 0
= ( x + 1) ( x + 1) 2 + c 2 1 = ( x + 1) 4 + c ( x + 1) 2 2
注意
求解一阶线性微分方程， (1) 求解一阶线性微分方程，直接使用通解公式即
可。不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。 不必像教材中使用常数变易法，因为计算量太大。
14 16
dx 1 + x = y2 或 dy y 这就是说， 当作未知函数， 这就是说，如果把 x 当作未知函数，那么所给出的方程是
一阶线性微分方程。 一阶线性微分方程。 【解】根据一阶线性微分方程的通解公式
第9章微分方程初值问题的数值解法-1
(x k x k 1 )
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( ) y ( x k ) h f ( , y ( ) )
记 K*f(,y()) 称为[xk , xk+1]上的平均斜率. 故
y(xk1)y(xk)hK*
当
y(i) k
y(i)(xk)
时,
有
y(xk1)yk1O (hp1). 此时①为
p 阶Taylor方法. p=1时即为Euler公式.
例2: 取步长 h = 0.1, 用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初 值问题
y y2
,
y(0) 1
0x1. 2
解: (1) 一阶Taylor法
yk1yk 0.1yk2
Taylor公式推导:
y(xk1)y(xk)hy(xk)h 2 2y(k), xkkxk1
yk1ykhf(xk,yk) k0,1,L,n1
Euler公式几何意义:
y
P2 P1 P0
Pk
也称折线法
x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有
y(xk1)y(xk)h 2[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( x k ) h 2 2 !y ( x k ) L h p p !y (p )( x k ) O ( h p 1 )
令
yk 1ykhyk h 22 !yk Lh p p !yk (p)
①
称之为Taylor级数法. 其中 y k (i)y(i)(x k),i 0 ,1 ,2 ,L,p
y(2y3)6y2y6y4
y(4) 24y3y24y5
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5
如果微分方程的解中不含任意常数, 则称为微分方程 的特解,确定通解中的任意常数的取值从而得到特解的条 件称为定解条件. 常见的定解条件有初始条件. 例1中的 y(1)=2, 例2中的 s(0)=0, s(0)=20 都是初始条件. n阶微分方程 y(n)=f(x, y, y, y…, y(n1))的初始条件为:
再设列车制动后T秒才停住, 则有: s(T)=0, 即, 0.4T+20=0, T=50(秒),
s ( 5 ) 0 0 .2 5 2 0 2 5 0 5 0( m 0 ),0
3
定义 含有未知函数及其导数的等式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.
流出.已知小孔截面积A=1(cm2). 从水力学知: 当水面高度
为h (cm)时,水从小孔流出的速率为:
h
0.6A 22g(h cm 3/s)
100
求水面高度 h与时间 t 的函数关系。
h
解: 在轴截面上取坐标系,
h+dh O
在[t, t+dt]时间段内, 水面高度有h下降到
h+dh(dh<0), 容器内水的体积减少量的微元:
二阶导数的物理意义:
d2s dt2
0.4,
(2)
且s=s(t)还应满足: s(0)=0, s(0)=20,
(2)的两边积分得: s 0 .4 t C 1, 再积分一次得: s 0 .2 t2 C 1 t C 2,
2
由s(0)=0, s(0)=20, 得: 0=C2, 0+C1=20,
故, s0.2t22t0,
h(y)
两边积 hd (分 y)y得 g(x)d： xC, 13
例1. 求微分方程 dy2xy的通解 . dx
解: 分离变量得: dy 2xdx, y
两边积 :d分 yy得 2xd,x
ln |y|x2C 1, C1是任意常数 .
|y|ex 2 C 1eC 1ex 2, yeC1ex2,
记eC1 C, 得:yCex2,C是任意常 . 数
由y(1)=2, 得: 1+C=2, C=1,
所求曲线为方程: yx31.
1
例2. 一列车在直线轨道上以 20 m/s的速度行驶, 当制动
时列车获得的加速度为0.4m/s2, 问开始制动后列车行驶
了多少时间才停车?又问列车在这段时间内行驶了多少 距离?
解: 设列车在制动后t秒时间内行驶了s=s(t)米,
定义 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数
称为微分方程的阶.
例如 , dy3x2, 是一阶微分方程, dx
d2s dt2
0.4,
是二阶微分方程,
一般地, n阶微分方程的形式是:
F (x ,y ,y ,y ..y ( .n )) , 0 .
4
定义 若把某一个函数代替微分方程中的未知函数能使
方程成为恒等式, 则称此函数为该微分方程的解.
10C的速率升温。今若电动机环境具有良好的通风条件, 使环境能保持恒温15C , 则电动机在运转过程中同时受空 气冷却, 按牛顿冷却定律, 冷却速率正比与机温与室温之差 (设比例系数为K)。 试求电动机温度T与时间t的函数关系。
解: 设时刻t的电动机的温度为T(t), 在[t, t+dt]内,电动机温度升高: 10dt, 电动机自然降温: k(T15)dt,
9.1 微分方程的基本概念 9.1.1 定义
例1. 已知一曲线通过点(1, 2), 且该曲线上任一点M(x, y) 处的切线斜率为3x2, 求此曲线方程.
解: 设所求曲线方程为: y=y(x),
y(x)应满 :d y 足 3x2,(1) dx
和y(1)2,
(1)两边积分得: y3x2dx x3C, C是任意 ,
dv= r2 dh= [1002(100h)2]dh=(200hh2)dh,
10
流出的水的体积微元: 0.622ghd,t
(2h 0 h 2 0 )d h 0 .62 2 gd h ,t
即ddh t0(2.602h02gh2h),
且 h(0)10.0
11
例7. 一电动机在不考虑冷却的情况下, 运转时将以每小时
8
例4. 求曲线 y=C1x+C2x2 所满足的微分方程.
解: 求导得: yC 1 2 C 2x , y2C2,
得:
C2
y, 2
C 1yx y,
代 入 曲 : y线 (y方 xy)x 程 yx2,得
2
化:简 2 y 2 x y 得 x 2 y 0 .
9
9.1.2 建立微分方程举例
例6.有一半径为1 (m)的半球形容器, 盛满水, 水从底部小孔
电动机温度改变量的微元为: dT=10dt k(T15)dt,
即: dT=(10 kT+15k)dt, 即d)1.5
12
9.2 一阶微分方程 一阶微:分 F(x 方 ,y,y程 )0
dy f(x, y) dx 9.2.1 可分离变量的微分方程程
dyg(x)h(y), dx 分离变 dy量 g(x ： )d,x
例 ,y 如 x 3 C 及 y x 3 1 都 d 是 y 3 x 2 的 , 解 dx
s 0 .2 t2 C 1 t C 2及 s 0 .2 t2 2t都 0 是
d2s dt2
0.4
的解,
如果微分方程的解中含有一些独立的任意常数, 任 意常数的个数与方程的阶数相同, 则称这样的解为微分 方程的通解.
7
例3. 验证 yx(e x xd x C )是方 xyy程 xx 的 e 通 . 解: yexxdxCxexxexxdxCex,
左 端 xyyx (e x x d x C ex)x (e x xd x C )
xex 右端 ,
故 ,yx (e x x d x C )是x 方 y y 程 xx 的 e , 解 yx(exxdxC),有一个任意 , 常数 yx(e x xd x C )是方 xyy程 xx 的 e 通 . 解
y(x0)=y0, y(x0)=y1, y(x0)=y2,…, y(n1)(x0)= yn1,
6
并称
y (n )f(x ,y ,y ,..y .(n , 1 )), y (x 0 )y 0 ,y (x 0 )y 1 ,..y .(n , 1 )(x 0 )y n 1 ,
为初始问题. 微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.