第二节 一阶微分方程的解法
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常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程 微分方程的初等解法 第二章 一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
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初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
高数第4章第2节——一阶微分方程
例4 求解
解
分离变量,
并两端积分 得
dy y2
cos
xdx
,
解得
1 y
sin x C1,
即 1 sin x C , y
代入 y x0 1 , 得 C 1 ,
所求特解为 1 sin x 1 . y
说明：
初值问题:
g( y) dy f ( x) dx
y
x
x0
y0
的特解也可用变上限积分确定：
例1 求微分方程
解 分离变量,并两端积分,得 e ydy e2xdx,
解得 e y 1 e2x C , (C 为任意常数) 2
方程通解为 e y 1 e2x C ,(C 为任意常数). 2
例2 求微分方程
解
当
y0
时分离变量
,
得
dy y
2 xdx ,
两端积分
,
dy y
2
xdx,
得 : ln | y | x2 C1,
例8
解
由通解公式得：
y
e
4 dx x
sin x x4
e
4 dx
x dx
C
eln x4
sin x x4
e ln
x 4 dx
C
1 x4
(
sin
xdx
C
)
1 x4
(
cos
x
C
).
故所求通解为：y
1 x4
( cos
x
C ).
例9 解
由通解公式得：
故所求通解为：y cos x (tan x C ).
是线性方程 , 可用常数变易法或公式法求解.
例10 解
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶线性微分方程及其解法2
f ( xy , x y)
2 2
x 2
2
xy
2
xy 2 f ( x, y ) x y 2 0
x2 y2 0 . x2 y2 0
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
1 1 1 y 2 x 2x2
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u ux dx u 1
2
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 dx 1 du x u
u ln|u| ln|x| ln|c
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C ex
x
3 xde
dxdx C 3x e
C
e x 3( xe x e x dx) C
k t e m
k t g e m dt
k k t t m e m g d (e m ) C C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
1 1 C 1 x2 2 xC 2 2 x x x 2
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
一阶微分方程的初等解法省公共课
这么变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
( y)
f
( x)dx
c
(2.2)
1
的某一原函数hf(
( x)的某一原函数F y)
(
x)
( y)
由(2.2)所确定的函数h( y) F (x) c就为(2.1)的通解.
第3页
定义1 形如
dy f (x)( y)
dx
dy F (x, y) dx
令u a2 x b2 y,则方程化为
f (a2 x b2 y)
du dx
dy a2 b2 dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
第20页
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线,解以上方程组得交点( , ) (0,0).
它不包含在方程(2.2)的通解中, 必须予以补上.
例1 求微分方程 dy y(1 y ) 全部解.
dx
10
解: 方程两边同除以y(1 y ),再积分
10
dy y (1
y
)
dx
c1
10
积分得:
y
ln 10 y
x c1
第6页
从上式中解出y, 再将常数记为c, 得
y
10 1 cex
,
c 0.
4
c1 ) 2
(ln
4 cx
)2
,
此外还有解y 0,这个解未包含在通解中,应补上.
第8页
例3 求微分方程
dy p(x) y dx
第二节齐次方程一阶线性微分方程
du ( u) u 可分离变量的方程 即 . dx x du dx c 两边积分, 得 ( u) u x
dy y 形如 ( ) dx x
的微分方程称为齐次方程.
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
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o
x
切线与y轴的距离为Y0 y xy,由题意可得
下页
结束
铃
y y 若x 0, 方程为 y 1 . x x y 令u , 则有y xu, y u xu x du dx 分离变量 解得 xu x 2 x 2u2 C . x 1 u2 y 将u 代回上式,得当x 0时的通解为 x y x2 y2 C .
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x y
所求特解为 e ln | y | 1
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x y
例5. 解微分方程
解: 方程变形为 d y 2 y y
分离变量
1 1 dx du dx 即 d u 2 u1 u x u u x
即
u1 C/x u
2 u x u 2u u
P ( x ) dx
P ( x ) dx , u( x ) Q( x )e dx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
记住此公式
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
y x ), 令 u y , y ux , y x x y u xu. cos u u sin u 代入原方程得 u xu u( ), u sin u cos u
dy y 形如 ( ) dx x
的微分方程称为齐次方程.
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解 ,
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o
x
切线与y轴的距离为Y0 y xy,由题意可得
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结束
铃
y y 若x 0, 方程为 y 1 . x x y 令u , 则有y xu, y u xu x du dx 分离变量 解得 xu x 2 x 2u2 C . x 1 u2 y 将u 代回上式,得当x 0时的通解为 x y x2 y2 C .
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x y
所求特解为 e ln | y | 1
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x y
例5. 解微分方程
解: 方程变形为 d y 2 y y
分离变量
1 1 dx du dx 即 d u 2 u1 u x u u x
即
u1 C/x u
2 u x u 2u u
P ( x ) dx
P ( x ) dx , u( x ) Q( x )e dx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
记住此公式
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
y x ), 令 u y , y ux , y x x y u xu. cos u u sin u 代入原方程得 u xu u( ), u sin u cos u
一阶微分方程的初等解法
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程),(y x f dxdy =与0),,(='y y x F 的求解问题1 变量可分离方程 形如)()(y x f dxdy ϕ=的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x ,的连续函数。
1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程)()(y x f dxdy ϕ=， 分离变量得dx x f y dy )()(=ϕ， 再积分，得⎰⎰=dx x f y dy )()(ϕ，这就是方程的通解。
注意：在变量分离的过程中，必须保证0)(≠y ϕ。
但如果0)(=y ϕ有根为0y y =，则不难验证0y y =也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
2）可化为可分离变量的方程)a 齐次方程)(x y g dx dy =， 令xy u =，方程可化为分离变量的方程，x u u g dx du -=)(。
)b 分式线性方程 222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=下面分三种情形来讨论：ⅰ）021==c c ，这时 yb x a y b x a dx dy 2211++= 为齐次方程。
ⅱ）02211≠b a b a 及02221≠+c c ，这时可作变换k y h x +=+=ηξ,，其中k h ,是线性代数方程⎩⎨⎧=++=++00222111c k b h a c k b h a 的唯一解，可将方程化为齐次方程 ηξηξξη2211b a b a d d ++=。
ⅲ）02211=b a b a 及02221≠+c c ，这时可设 λ==2121b b a a ，方程可化为222122)()(c y b x a c y b x a dx dy ++++=λ， 再令u y b x a =+22，则方程可进一步化为2122c u c u b a dx du +++=λ，这是一个变量可分离方程。
第六章微分方程第二节一阶微分方程
二
dx
u6
章
微 分离变量:
分
u 6 du 2dx u1
du 2u 2 dx u 6
方 程
积分得
u 5ln | u 1 | 2x C
代回原变量, 得原方程的通解:
x y 5ln | x y 1 | 2x C
y x 5ln | x y 1 | C
dx x 1
解法一 常数变易法
第 十
对应的齐次方程为 dy 2 y 0 dx x 1
二 章
分离变量得
dy 2dx
y x1
微 分
两边积分
ln | y | 2ln | x 1 | ln | C |
方
程
y C( x 1)2
由常数变易法令 y u( x)(x 1)2
sin u
x
微 分 方
两边积分
cos sin
u u
d
u
dx x
ln
|
C
|
程得
ln sinu ln x ln C , 即 sinu C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
- 11 -
第二节 一阶微分方程
2
3
y ( x 1)2
章
dx ( x 1)
微 分 方
y
e
2 dx
x1 [
(
x
3
1)2
e
2 dx x1
dx
c]
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常数变易法例题
对应齐次方程为 分离变量得 两边积分有
令y C( x)sin x.
C ( x) 2 x
cot xdx y． Ce Celn sin x C sin x
则有: y C( x)sin x C( x) cos x
C( x) x 2 C
代入原非齐次方程， 得
ln(1 x )(1 y ） ln(Cx )
2 2 2
2 2 2 (1 x )(1 y ) Cx 因此， 通解为
CR
于是， 所求特解为
(1 x )(1 y ) 10x
2 2
2
例题
例 衰变问题 : 衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比,已知 M
t 0
M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量
故所求通解为
y ( x C)sin x
2
公式法例题
P( x) cot x,
Q( x) 2 x sin x.
根据公式有:
cot xdx cot xdx ye ( 2 x sin xe dx C )
e ln sin x ( 2 x sin x e ln sin x dx C ) 1 sin x ( 2 x sin x dx C ) sin x sin x ( 2 xdx C ) sin x ( x 2 C ).
一阶线性非齐次方程解法
讨论: 设y=f(x)是解, 则
df ( x) P( x) f ( x) Q( x) dx
df ( x ) Q( x ) 变形 P ( x ) dx , f ( x) f ( x)
Q( x ) dx P ( x )dx , 积分 ln f ( x ) f ( x)
积分得 c( x ) Q( x )e 非齐方程通解 y e
P ( x )dx
dx C ,
P ( x )dx
P ( x )dx
( Q( x )e
dx C )
例
求解微分方程
y y cot x 2 x sin x.
y y cot x 0
1 dy cot xdx y
第二讲 一阶微分方程的解法
教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解 方法 难 点：一阶线性非齐次微分方程的 通解 重 点：可分离变量的微分方程、齐 次方程和一阶线 性微分方程
主视图
一阶微分方程 解法
可分离变量法 齐次微分方程 一阶线性 微分方程 伯努利方程
解题步骤
一阶齐次 微分方程
一阶非齐次 微分方程 通解
a 2 xy [ C (ln x ) ] 1. 所以， 原方程通解为 2 回主视图
通解
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x ) dx
( Q( x )e
e
P ( x )dx
dx C )
Ce
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解 所以
2 tan u
x
2
.
ln sin u 2 ln x ln c ln cx .
2
sin u cx . 把变量代回得微分方程的解为
y sin cx 2 . x
例题
例
2 2 ( y 3 x ）dy 2 xydx 0 求解微分方程 满足初始条件 y x0 1 的特解．
代入原式
du du f ( u) u u x f ( u), 即 . dx dx x
可分离变量的方程
当 f (u) u 0时, 得
du dx f ( u) u x
例题
例 求解微分方程
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x du dx
y y y 2 tan . x x
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例题
dy 2 xy 的通解. 例 求解微分方程 dx
dy 解 分离变量 2 xdx , y
两端积分得 dy y 2 xdx x du 则 u y , dy dy
x 1 3 2 2 y dx y 3x x dy 2 xy 2 y
2
y 令u , x
du 1 5u 2 y dy 2u
2u 1 1 5u 2 du y dy
1 1 2 ln(1 5u ) ln y ln C 5 5
3 y y dy 3 1 y C xe e dy C 2 2y 3 以条件 C x 2, y 1 代入， 得 2 3 dy y
因此， 所求特解为
3 y2 x y 2 2
回主视图
回主视图
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性非齐次方程.
例如 dy y x 2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
回主视图
一阶线性齐次微分方程解法
线性齐次方程
dy P ( x ) y 0. dx
例题
例 求微分方程 ( y 2 6x) y 2 y 0 满足初始条件 y
x 2
1的特解．
解 这个方程不是未知函数 y 与 y 的线性方程， 但是可以将它变形为
dx 6 x y 2 dy 2y
dx 3 y x dy y 2
dx
若将 x 视为 y 的函数， 则对于 x( y ) 及其导数 dy 而言， 方 程(11)是一个线性方程， 由通解公式(10)得
当n 0,1时，方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 经过变量代换化为线性微分方程.
即令 z y1n ,则上式化为 1 dz P( x) z Q( x) 1 n dx
从而化为一阶线性方程
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx
du 1 1 1 dx u
du 1 dx u
分离变量， 并两边积分
u 2 x C
2
微分方程的通解为
( x y) 2 2x C
回主视图
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性齐次方程.
f ( x) e
Q( x ) dx f ( x)
e
p( x )dx
, 记 c( x ) e
Q( x ) dx f ( x)
,
非齐方程通解形式 y f ( x ) c( x ) e
p( x )dx
回主视图
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
微分方程的通解为 y 5 5x 2 y 3 C 将初始条件 y x0 1 代入通解中， 得到 C 1 所求特解为
y 5x y 1
5 2 3
例
求解微分方程
dy 1 1 dx x y
例题
dy du 1 解 令 x y u, 则 y x u, dx dx
设解为
y c( x )e
P ( x )dx
C c( x )
y c( x )e P ( x )dx c( x )[ P ( x )]e P ( x )dx ,
dy P ( x ) y Q( x )得 将y和y代入原方程 dx
P ( x )dx c ( x )e Q( x ),
ln y x 2 C1
x2
y ce 为所求通解.
例题
2 2 ( 1 y ) dx xy ( 1 x )dy 0 满足初始条件 例 求微分方程 y(1) 2 的特解．
解
分离变量， 得
y 1 y x 1 dy dx dy dx 2 2 1 y2 x(1 x 2 ) 1 y x 1 x 1 1 1 2 2 两边积分 ln(1 y ) ln x ln(1 x ) ln C 2 2 2
非齐次方程特解
P ( x ) dx Q( x )e dx
dy P ( x ) y Q( x )的通解是 dx
对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.
回主视图
伯努利方程
一般地,形如 dy
dx
P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.
dy y P ( x )dx ,
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
回主视图
线性非齐次方程
dy P ( x ) y Q( x ). dx
常数变异法
可分离变量法
如果一阶微分方程能化为
g( y )dy f ( x )dx 则称为可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,两边积分得
g( y )dy f ( x )dx
M M 0 e t
解题步骤
利用微分方程解决实际问题的步骤：