斐波那契数列与帕斯卡三角形讲解
帕斯卡定理平面几何
帕斯卡定理平面几何1 什么是帕斯卡定理帕斯卡定理是拉丁语学者穆索尼根帕斯卡（Euridcles Pascal）提出的一条关于三角形的定理，而此定理又是二十世纪数学家高斯归纳定理（Gausslaw of Quadratic Reciprocity）的重要前提代替。
帕斯卡定理是平面几何中的一条基本定理，它宣称“一个由比较的三条线段组成的三角形，它的内角之和等于180度”。
这一定理表明，如果已知三角形的三个边，那么该三角形所拥有的三条边和三个内角之间会存在特定的关系。
2 证明帕斯卡定理证明帕斯卡定理最常用的是利用全等三角形和半平面有序定理来完成的。
a.使用全等三角形：假设ABC是一个三角形，K是它的内切圆， O为圆心，M,N,P分别是它的三个内角。
将K依次切割三角形与其相对边的位置，画出一条它垂直边的垂直线，以边的中点为它的一端，把其切割的三角形组合成两个全等三角形。
同理，用它垂直每一条边，可将三角形ABC切割成三个全等三角形。
根据全等三角形的性质，各自的三个内角之和为180度，即NM+NP+PM=180度。
加上ABC的三个内角之和，记作θ，则有θ＝NM＋NP＋PM＝180。
综上所述，ABC三角形的三个内角之和等于180度，即证明了帕斯卡定理。
b.使用半平面有序定理：这种方法也可用来证明帕斯卡定理，通过连接三角形的三个顶点，并将它的任意一边定义为圆心，可形成一个圆，在此圆上可画出三个半弧。
经过定义，可知，当三个半弧构成完整圆时，它们之和必等于360°，注意只有两端，即ABC三角形的三个内角之和等于180°，从而证明了帕斯卡定理。
3 应用1. 应用在求向量和通过应用帕斯卡定理，可以求出三维空间下两个向量组成的三角形的内角之和，用这个向量之和计算出两个向量的总和。
此外，还可以把帕斯卡定理应用在二维空间下的向量的情况，即可以求得另一个与两个给定矢量所构成的三角形的顶点构成的一个矢量的和。
二十讲：斐波那契数列
二十讲：斐波那契数列斐波那契数列意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》里排了一个数列：1、2、3、5、8、13……这个数列揭开了大自然隐秘世界的一角。
这个数列不是随便写的，它是有规律的，从第二个数字开始，2是1加1，是第一个数字的倍数；3是1加2，是第一个和第二个数字的合；5是2加3；8是3加5……也就是每一个数字都是它前面两个数字之和，一直往下排，由此得到的这个数列就叫斐波那契数列。
从斐波那契数列我们得到一个非常重要的数值：0.61803……这也就是我们经常讲到的黄金分割比例。
黄金分割比例是指斐波那契数列任意相邻两项的比值都会趋向于0.618，尽管每一个比值都不一样，但是它们会无限趋向0.618，越来越趋向于那个点。
我们通常认为这是一个趋于完美的点。
黄金分割比例在艺术、建筑等许多领域得到了广泛地应用。
我们发现，凡是人类认为美的事物，通常都符合这个黄金分割比例。
这几乎是一个自然规律，我们说不清楚为什么，但是大家的感觉就是如此。
人们心理上本能地认同这样一个比例关系,并且大自然当中很多事物也都符合这个规律。
这是一种当代科学无法认证的自然规律，但是它确实存在。
像这种存在于自然现象背后的自然规律对我们从事市场交易活动具有非常重要的意义。
黄金分割比例对于市场行情的研究具有什么样的意义呢？简单点讲就是当一波行情在上涨或是下跌的时候，通常情况下，假如市场行情在涨，当它涨到这一波行情最高点的0.618的价位的时候，它必定要停一停，要回头，要往回走，要反驰，它要回调。
要回调到什么价位呢？回调到的0.618的倒数那个位置，从上点往下看，也是0.618。
到了那个位置以后，它又开始往上反弹，最后到达那个最高点。
这是一个很奇怪的现象，人们在研究行情的过程中无数次发现这样的规律，虽然不是百分之一百准确，但是八九不离十，大体上符合这样一个规律。
这样的规律我们把它叫做自然法则，就是说我们发现事物现象背后存在这样一个规律，但是它不是科学定律。
pascal三角形选法 -回复
pascal三角形选法-回复什么是[pascal三角形选法]？Pascal三角形选法是一种用于组合数学中的计算方法，以法国数学家布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）的名字命名。
这个方法可以用来计算组合数，即从一个给定的集合中选取固定数量元素的方式数目。
在Pascal三角形中，每一行的数字都是通过相邻上一行的数字计算得到的。
具体计算方法为，每个数字等于上一行对应位置数字与它的左上方数字之和。
这样，Pascal三角形便呈现出一种对称的形状，每一行的数字在从左到右和从右到左的数值分布上都是对称的。
该选法可以通过直接查找Pascal三角形中的数字来计算组合数。
例如，如果要计算从一个集合中选取3个元素的组合数，可以在第4行（从0开始计数）中找到对应位置的数字，并将其作为结果。
如何应用[pascal三角形选法]？首先，要利用这个选法，我们需要构建一个Pascal三角形。
构建Pascal 三角形的方法是，将上一行的相邻两个数字相加，将其和作为下一行相应位置的数字。
开始时，我们可以将第一行的数字设置为1，并依次计算后续行的数字。
这样，我们就可以得到一个完整的Pascal三角形。
接下来，我们可以使用构建好的Pascal三角形来计算组合数。
假设我们要计算从一个集合中选取r个元素的组合数。
我们可以在Pascal三角形中的第r+1行（从0开始计数）找到对应位置的数字，这个数字就是我们要的结果。
举个例子来说明。
假设我们有一个集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，我们要从中选取3个元素的组合数。
首先，我们构建一个Pascal三角形。
第一行：1第二行：1 1第三行：1 2 1第四行：1 3 3 1由于我们要选择3个元素，所以我们需要查找Pascal三角形中的第4行。
从左往右数第3个数字是3，所以从给定集合中选取3个元素的组合数为3。
这就是Pascal三角形选法的基本思想和应用方法。
为什么要使用[pascal三角形选法]？Pascal三角形选法提供了一种简洁且高效的计算组合数的方法。
帕斯卡定理退化形式
帕斯卡定理退化形式帕斯卡定理是一个非常重要的组合数学定理，在数学和计算机领域都有广泛的应用。
它是一个关于二项式系数的递推关系，也被称为帕斯卡三角形的性质。
然而，在某些特殊情况下，帕斯卡定理会呈现一种退化形式，即定理的递推关系无法持续下去，从而带来一些有趣的数学现象。
下面将介绍帕斯卡定理的退化形式，以及其应用。
一、帕斯卡定理的基本形式首先我们来回顾一下帕斯卡定理的基本形式。
帕斯卡定理说的是，帕斯卡三角形中每个数字等于上方两个数字之和。
也就是说，第n行第k个数字等于上方第n-1行第k-1个数字加上上方第n-1行第k个数字。
这个递推关系可以用以下公式表示：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)其中，C(n, k)表示第n行第k个数字，也就是二项式系数。
二、帕斯卡定理的退化形式帕斯卡定理退化形式指的是，在特定的情况下，定理中的递推关系无法继续适用。
一种常见的情况是当k等于0或n时，定理退化成常数1。
也就是说，当k等于0或k等于n时，C(n, k)的值都等于1，而不再是通过递推关系计算得到的。
这种情况下，帕斯卡定理的常规递推公式就不再成立，因为没有上方的两个数字可以相加。
退化形式的帕斯卡定理实际上只是帕斯卡三角形的边界条件。
三、帕斯卡定理退化形式的应用帕斯卡定理退化形式在数学和计算机领域有着一些实际应用。
以下是其中两个常见的应用案例：1. 组合数的计算帕斯卡定理中的退化形式可以用来快速计算组合数。
组合数C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的方法数。
当k等于0或k等于n时，C(n, k)的值为1，这意味着选择一个元素或选择全部元素只有一种方法。
这种退化形式的应用使得组合数的计算更加简化和高效。
2. 二项式展开的边界在二项式展开中，帕斯卡定理的退化形式可以用来确定展开式的边界条件。
二项式展开是将一个二项式表达式展开成多项式的过程。
通过帕斯卡定理的退化形式，我们可以确定展开式中最高次项和最低次项的系数，从而确定展开式的范围。
帕斯卡三角之秘
帕斯卡三角之秘你听过“帕斯卡三角形”吗？一定和我以前一样没听过对不对？如果你想成为逻辑推理高手，或者你想成为游戏中永远的赢家，那今天你一定要听我给你说说“帕斯卡三角形”里所蕴含的秘诀了。
帕斯卡三角形是一个有数字组成的三角形阵型，排列规律是每行两端的数字都是1，其余的个数都是上一行相邻的两数之和。
这个数表是南宋数学家杨辉收录在他的著作里才流传下来的，因此，后人把它称为“杨辉三角形”或“贾宪三角形”。
，在西方，称为“帕斯卡三角形”。
有人会问了，这个三角形有什么用呢？下面我就举个例子让你感受一下它的神奇吧！游戏：抛硬币三枚硬币向上抛，自由落下，看上去有四种组合方式，3个面朝上，2个面朝上，一个面朝上，或0个面朝上。
那你会不会认为3个面同样或3个面不同的概率是一样，都是1/2呢？那你就和我一样输的一塌糊涂了！其实，我们看看“帕斯卡三角形”，首先，找到第三排（有数字3的那一排，最顶上那个1不算）。
第三排的数字：1 3 3 1第三排数字之和：8那么概率为：1/8 3/8 3/8 1/8也就是说硬币落下的组合方式不是4种，而是8种。
认为的3个面同样或3个面不样的概率一样也是错误的，在8种组合方式里有1种是3个面朝上的，概率为1/8，有3种2个面朝上的，概率为3/8，有3个1个正面朝上的，概率为3/8，有1种0个面朝上的，概率为1/8。
那也就是说3个面朝上只有1种，三个面朝下只有1种，合起来也只有两种，而3个面不同的情况却有六种。
你是不是不太相信呢？我也是，于是我拿了三个硬币按照游戏的方式实验并记录了：正反正正反反正反正正反正反正反反正正正反正反反反3个正面 2个正面 1个正面 3个反面概率：1/8 3/8 3/8 1/8 怎么样？你一定和我一样被征服了吧！不仅如此，帕斯卡三角形还能告诉我们仍任何数量硬币所发生的情况，因为这个三角形只有10行，但它可以无限延伸，无止尽的发展下去。
当然，它的作用可不是仅仅让我们玩游戏而已，相信它的对我们的帮助和影响也和它本身一样无止尽！。
帕斯卡定理
帕斯卡定理帕斯卡定理是概率论中的一个重要定理，它描述了二项分布中各种组合情况的概率。
帕斯卡定理是由法国数学家布莱兹·帕斯卡在17世纪初提出的，它在概率论的发展中起到了重要的推动作用。
帕斯卡定理可以用一个简单的公式来表示：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，其中C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
帕斯卡定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来计算二项式展开中各项的系数。
例如，我们可以利用帕斯卡定理来计算(1 + x)^n的展开式中，各项的系数。
这对于解决多项式函数的问题非常有用。
其次，帕斯卡定理可以用来计算二项分布的概率。
二项分布是离散型随机变量的一种常见形式，它描述了在一系列独立的重复试验中，成功的次数满足一定的概率分布。
以掷硬币为例，假设我们掷一枚硬币10次，成功的定义为出现正面的次数。
根据帕斯卡定理，我们可以计算出在这10次掷硬币中，出现0次、1次、2次……10次正面的概率。
帕斯卡定理的证明可以通过递归的方式得到。
通过推导可以发现，C(n, k)可以分解为C(n-1, k-1)和C(n-1, k)的和。
这意味着，选取k个元素的组合数可以由选取k-1个元素的组合数和选取k个元素的组合数之和得到。
帕斯卡定理的应用不限于概率论，它还可以在组合数学、数论等领域中发挥重要作用。
在组合数学中，帕斯卡定理可以用来解决排列组合问题。
例如，我们可以利用帕斯卡定理来计算从n个元素中选取k个元素的不同排列或组合方式的数量。
在数论中，帕斯卡定理可以用来解决数的性质问题。
例如，我们可以利用帕斯卡定理来计算一行帕斯卡三角形中，相邻两数的和是否为素数等问题。
总结来说，帕斯卡定理是概率论中的一个重要定理，它描述了二项分布中各种组合情况的概率。
帕斯卡定理的应用非常广泛，包括计算二项式展开系数、计算二项分布的概率、解决排列组合问题和数的性质问题等。
帕斯卡定理的证明可以通过递归的方式得到，这个证明过程也展示了数学中的一种重要思维方式。
斐波那契递推公式推导证明
斐波那契递推公式推导证明斐波那契数列，这玩意儿可有意思啦！好多同学一开始接触可能会觉得有点头疼，但其实只要咱们耐心点儿，一步一步来，就能把它整明白。
咱先来说说啥是斐波那契数列。
它就是这么一串数：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…… 瞧见没，从第三个数开始，每个数都是前两个数相加得到的。
那咱们来推导证明一下斐波那契递推公式。
假设斐波那契数列的第n 个数用 F(n) 来表示。
当 n = 0 时，F(0) = 0；当 n = 1 时，F(1) = 1。
这俩是最开始给定的，是这个数列的基础。
接下来，对于n ≥ 2 的情况，F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)。
这就是斐波那契数列的递推公式。
咱们来仔细瞅瞅这个公式是咋来的。
比如说，到了第 3 个数，按照前面的规律，是前两个数 1 和 1 相加，也就是 2。
用公式表示就是 F(3) = F(2) + F(1)，而 F(2)就是 1，F(1)也是 1，所以 F(3)就是 2，没问题吧？再往后，第 4 个数，是 2 和 1 相加得 3。
公式就是 F(4) = F(3) + F(2)，F(3)是 2，F(2)是 1，所以 F(4)就是 3。
就这么一直推下去，这个递推公式都能成立。
我记得有一次，我给学生们讲这个斐波那契数列。
有个小家伙特别较真儿，非得让我给他一遍又一遍地解释为啥会有这个递推公式。
我就耐心地陪着他，从最开始的数开始，一个一个地加给他看，直到他终于恍然大悟，那小眼神儿里透出来的兴奋劲儿，让我觉得当老师可真有成就感。
咱们再从数学的角度深入点儿说。
这个斐波那契数列在很多地方都有神奇的应用。
比如在自然界中，一些植物的花瓣数量、叶子的排列方式，都可能遵循着斐波那契数列的规律。
而且在计算机编程里，要实现斐波那契数列的计算，就得靠这个递推公式。
通过一个简单的循环，就能轻松算出数列中的每个数。
总之啊，斐波那契递推公式虽然看起来简单，但是背后的学问可大着呢！同学们只要认真琢磨，就能发现其中的乐趣和奥秘。
帕斯卡验证三角形内角和的方法
帕斯卡验证三角形内角和的方法引言：帕斯卡(Pascal)出版的著名《数学原理》第五卷中是三角形内角和的证明。
帕斯卡在书中运用了他的“Mystica figura”法，给出了一种非常漂亮的证明方法。
本文将介绍这一证明方法，并加以详细的说明和解释。
一、问题的陈述我们先来看一下这个问题的陈述：证明三角形的内角和等于 180 度。
这是初中和高中数学课程中经常学习的内容，但它的证明并不是很简单。
本文将介绍帕斯卡的证明方法。
二、帕斯卡的“Mystica figura”法帕斯卡在他的书中提到了一个神秘的几何图形，叫做“Mystica figura”，这个图形被用来证明三角形的内角和等于 180 度。
Mystica figura 由等边三角形和它的三条中线组成，如下所示：我们可以先证明三角形 ABC 和三角形 ABD 的内角和相等，因为它们有一条公共边AB。
同理可以证明三角形 ABD 和三角形 BDC 的内角和相等。
我们可以得到如下等式：∠ABC + ∠ABD = ∠ABD + ∠BDC通过两边同时减去∠ABD，我们得到：同样地，我们可以证明∠ACB = ∠CDB。
我们可以得到：由于三角形 ABC 和三角形 ABD 的内角和相等，我们可以得到：三、简单证明我们也可以通过其他的方法来证明三角形的内角和等于 180 度。
我们可以假设在三角形 ABC 中，有一条边 AB 并将其延长，使其交另一边的延长线于点 D。
然后，我们可以通过平行线的性质，得知∠ABC = ∠CDE 和∠ACB = ∠BDE。
我们可以得到：这个方法比较简单，但缺点是需要构造一条边的延长线，并且需要平行线的性质。
四、结论帕斯卡的“Mystica figura”法的证明比较优美，因为它避免了构造和平行线的性质。
但对于初中和高中学生来说，这种证明方法可能会比较复杂。
我们可以采用简单的证明方法，以帮助学生更好地理解这一问题。
需要注意的是，我们在这篇文章中证明了三角形的内角和等于 180 度。
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二、帕斯卡三角形
1.帕斯卡
• 帕斯卡(Blaise Pascal，1623－1662)是法国著名的数学 家．要不是由于宗教信仰，瘦弱的体质，以及无意单单为 数学课题而耗尽全部精力，他本来可以成为一名伟大的数 学家．帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样嗜好数 学，希望帕斯卡能在更宽阔的教育背景下发展，所以起初 劝导他不要学数学，希望能引发他在其他方面的兴趣．不 料帕斯卡在12岁，便显露出几何方面的天赋，从而使他的 数学志向在此后深受鼓舞．16岁时便写下了一篇关于圆锥 曲线的论文，这使当时的数学家们倍感惊奇．在文章中帕 斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理：一条圆锥曲线 的内接六边形的三组对边的交点共线．18岁时，帕斯卡发 明了有史以来的第一台计算机．但就在这个时候，他遭受 到病魔的侵扰．为此，他向上帝许愿，将停止自己的数学 工作．此后三年，他写下了论述帕斯卡三角形及其性质的 著作．公元1654年11月 23日夜，帕斯卡经历了一场宗教 仪式．在仪式上他被要求献身于神学，并放弃数学和科 学．此后，除一个短暂的时期外(1658－1659)，帕斯卡不 再从事数学研究．
2.帕斯卡三角形
斐波那契数列
（1）掷硬币
• 假设将一枚硬币掷4次， 可能出现16种不同的组 合方式，如上所示．其 中第一栏为全是正面(H)， 然后是3个正面、1个反 面(T)，以此类推，直到 没有正面出现为止．
• 如此所形成的数列与帕 斯卡三角形的第五行相 同．
18 17 16 15 14 13 12 车1
11^0= 1 11^1= 1 1 11^2= 1 2 1 11^3=1 3 3 1
• 11的乘方至114时，仍 满足帕斯卡三角形的 形式．115由于会进位， 所以并不能对应帕斯 卡三角形第六行的数 字1、5、10、10、5、
1(4)Biblioteka 项式(1+a)0=1 (1+a)1=1+a (1+a)2=1+2a+a2 (1+a)3=1+3a+3a2+a3 (1+a)4=1+4a+6a2+4a3+a4
4.斐波那契數列的奇特属性
• （1）随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越 逼近黄金分割的数值0.6180339887……
• （2）从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之 积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
• （3）如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项 两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、 8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项 之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项 之积的差值也交替相差某个值
0,8,16,24,32,… 8
0,13,26,39,52,… 13
三个连续的斐波那 契数列
• （4）花瓣的数目
花瓣的数目：
3 5 8 13 21
斐波那契数列
• （5）钢琴的琴键 在一个音阶中： 白色的键数为：8 黑色的键数为：5
两个连续的斐波那契数
7.斐波那契数列的应用
• （1）数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯， 对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四 小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的 长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感 惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！ 可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他 的目的！
•
55条逆时针螺旋
• 较大的向日葵： ８９条顺时针螺旋
•
１４４条逆时针螺旋
• （2）.植物分枝
8
13 斐
8波
5
那
5契
3
3數
2
2
• (3)菠萝表皮
菠萝的中心軸 ： Z 轴 垂直于Z轴的平面： XOY
度量表皮上每一个六角形
的中心与平面XOY的距离
其中三个方向是按等差数列
排列的：
公差
0,5,10,15,20,… 5
小兔子 對數
1
0
1
1
23
5
8 13 21 34 55
89
大兔子 對數
0
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144
兔子總 對數
1
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233
一年後兔子的總數為 233 對
3.斐波那契數列
• 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、 5、8、13、21、……
• （3）斐波纳契扇形线
• 斐波纳契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两 个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的 (看不见的)”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线： 38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。 这些线代表了支撑点和阻力点
的价格水平。为了能得到一个
更为精确的预报，建议和其他
• （4）斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中 所有不包含相邻正整数的子集个数。
• （5）斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1， f(3)=2……）的其他性质：
•
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
•
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
• 数列中的每一项被称为斐波那契数(Fibonnaci
Number) 以符号Fn 表示。
F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2) • 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之
和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示 有理数的一个范例。）（√5表示根号5） • 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项 公式居然是用无理数来表达的。
要正确创建斐波纳契通道必须
记住的是在当趋势线上升，基
本线限制住了通道最高点，
当趋势线向下，基本线限制
住了通道的最低点。
• （5）斐波纳契时间周期线
• 斐波纳契时间周期线是以斐波纳契的时间间隔1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34等画出的许多垂直线。假定主要的 价格变化期望在这些线附近。 运用确定的单位时间间隔长 度的两点来创建此工具。根 据斐波纳契数列，全部其他 的线是在此单位间隔的基础 上确定的。
可以用迭代得到: 斐波那契数列的某一项F(n)=(BC^(n-2))1 这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义.
6.斐波那契数列的实例
• （1）向日葵的种子
• 绿色表示按順時針排列的種子 • 紅色表示按逆時針排列的種子
植物学家发現：
某种向日葵的种子是按两组螺旋排列， 其数目往往是连续的斐波那契數 。
• 普通大小的向日葵：34条顺时针螺旋
斐波那契数列与 帕斯卡三角形
一、斐波那契数列
1.斐波那契
• “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂 纳多·斐波那契。他被人称作“比萨的列昂纳多”。 1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一 书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的 欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为 外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地 区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯
一個很有趣的數學問題:
假設每一對新生的小兔子,两个月後便會長大,且每 一个月都生一對小兔子。已知每次新生的一對兔 子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死去,且隔代的 兔子不會互相交配。
若現有一對小兔子,問一年後共有兔子多小對呢?
month
1 2 3 4 5
月數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
结束语
• 一些表面上毫无相关的数学内容，实质上 有着深刻的联系 ，斐波那契数列和帕斯卡 三角形就是一个典型的例子 。所以，重在 发现事物之间那千丝万缕的联系。
•
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log
n）的程序。
•
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
•
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
•
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
•
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)
•
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
•
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
•
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
•
6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
斐波纳契工具一起使用。
• （4）斐波纳契通道
• 斐波纳契通道利用几条趋势平行线建立。要创建这个工具， 通道宽度是取自每个单位宽度。平行线价格数值处于斐波 纳契数列相同的值。以0.618 开始为通道宽度，然后是 1.000，1.618，2.618，4.236来画平行线。当第五根线画 好后，与相应的趋势线相反方向的正确的线就画出了。
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将 斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。