河北省唐山市迁安市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

2019—2020学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共42分．1—10小题，每小题3分；11—16小题，每小题2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比i =BAC ∠是（ ）A. 60︒B. 55︒C. 45︒D. 30° 【答案】D【解析】【分析】根据坡比的定义得到tan BAC ∠的值即可求解.【详解】如图，tan BAC ∠=3BC AC ==∴BAC ∠=30°故选D.【点睛】此题主要考查坡比的定义，解题的关键是熟知正切的定义.2.若一组数据2，3，x ，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为（） A. 2 B. 3 C. 5.5D. 7 【答案】C【解析】【分析】根据众数的定义可得x 的值，再依据中位数的定义即可得答案．【详解】∵数据2，3，x，5，6，7的众数为7，∴x＝7，则这组数据为2，3，5，6，7，7∴中位数为5.5，故选：C．【点睛】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．3.如图小明在作业纸上画出①、②两组三角形，每组各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于图①、②中的两个三角形而言；下列说法正确的是（）① ②A. 都相似B. 都不相似C. 只有①相似D. 只有②相似【答案】A【解析】【分析】图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知条件，即可证得OA OCOD OB=，又由对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．【详解】如图（1）∵∠A＝35°，∠B＝75°，∴∠C＝180°−∠A−∠B＝70°，∵∠E＝75°，∠F＝70°，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；如图（2）∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，∴OA OC OD OB=，∵∠AOC＝∠DOB，∴△AOC ∽△DOB ．故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意有两角对应相等的三角形相似与对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似的定理的应用．4.一元二次方程2660x x --=配方后化为( )A. 2(3)15x -=B. 2(3)3x -=C. 2(3)15x +=D. 2(3)3x += 【答案】A【解析】【分析】先把常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可.【详解】2660x x --=移项得：266x x -=，方程两边同加上9，得：26915x x -+=，即：2(3)15x -=，故选A.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键.5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB 和BC ；②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A 、B 、C ；③以点O 为圆心，OA 为半径作O e ；④分别作出AB 和BC 的垂直平分线，并且相交于点O ；正确的操作步骤是（ ）A. ②①③④B. ②①④③C. ①②④③D. ①④②③【答案】B【解析】【分析】 根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC 的外接圆，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC 的外接圆，∴这块玻璃镜的圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，∴正确操作步骤是②②②②故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点． 6.如图，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4：9，则OB ′：OB 为（ ）A. 2：3B. 3：2C. 4：5D. 4：9【答案】A【解析】【分析】根据位似的性质得△ABC ∽△A ′B ′C ′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.【详解】由位似变换的性质可知，A′B′②AB ，A′C′②AC ，的②②A′B′C′②②ABC，②②A'B'C'与②ABC的面积的比4：9，②②A'B'C'与②ABC的相似比为2：3，②23OBOB'=，故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．7.有一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约是② ②A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】B【解析】在同样的条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解.解解：由题意得，×100％=20％，解得，a=15.故选B.8.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）C. 2D. 1 2【答案】D 【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD②再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB②∴tan ∠DEB= tan ∠DAB=12② 故选D②【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．9.关于反比例函数4y x =图像，下列说法正确的是（ ）A. 必经过点()1,1B. 两个分支分布在第二、四象限C. 若(),P x y 在图像上，则(),P x y '-也在图像上D. 若(),A a h ，(),B b k 在图像上，且0b a >>则h k >【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k ＝4＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小，根据函数图像与性质依次判断.【详解】A 、把点（1，1）代入反比例函数y ＝41得4≠1不成立，故A 选项错误； B 、∵k ＝2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故B 选项错误；C 、若(),P x y 在图像上，则关于y 轴的对称点(),P x y '-不在图像上，故C 选项错误；D 、若(),A a h ，(),B b k 在图像上，0b a >>则h k >，故D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数y ＝k x （k ≠0）的性质： ①当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k ＞0时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大． 10.如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为（ ）的A. 70°B. 55°C. 45°D. 35°【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数【详解】连接OA、OC，∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，∵OA＝OB（都是半径），∴∠ABO＝∠OAB＝12（180°﹣∠AOB）＝55°．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．11.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A. y=﹣2x2B. y=2x2C. y=﹣0.5x 2D. y=0.5x 2【答案】C【解析】【分析】 由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：y=ax 2，利用待定系数法求解．【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax 2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x 2 ，选C ．【点睛】根据题意得到抛物线经过点的坐标，求解函数解析式是解决本题的关键.12.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ）A. （180+x ﹣20）（50﹣10x ）＝10890 B. （x ﹣20）（50﹣18010x -）＝10890 C. x （50﹣18010x -）﹣50×20＝10890 D. （x +180）（50﹣10x ）﹣50×20＝10890 【答案】B【解析】【分析】设房价定为x 元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】解：设房价定为x 元，根据题意，得（x ﹣20）（50﹣18010x -）＝10890． 故选：B ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 13.某地A 、B 两市被大山阻隔，若要从A 市到B 市，只能沿着公路先从A 市到C 市，再由C 市到B 市．现计划开凿隧道使A ，B 两地直线贯通．下表是九年级兴趣小组设计的实践活动报告的部分内容：（结果精确到1km 1.4≈ 1.7≈）通过计算隧道开通后缩短的路程是（）A. 7kmB. 17kmC. 27kmD. 34km 【答案】A【解析】【分析】根据解直角三角形的方法求出AB，AC,BC的长即可比较.【详解】如图，∵AC=20km，α=30︒，∴AD=ACcos30︒=20×2，CD=ACsin30︒=20×12=10km，∴BC=CD÷sin45︒=10÷2≈14km，BD=CD÷tan45︒=10÷1=10km，∴AB=AD+BD=27 km∴隧道开通后缩短的路程是AC+BC-AB=20+14-27=7km故选A.【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.14.如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．【详解】如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．∵S△AOB＝S△BOC，∴AB＝BC．∵△AOB的面积为1，∴12OA•OB＝1，∴OA＝2a，∵CD∥OB，AB＝BC，∴OD＝OA＝2a，CD＝2OB＝2a，∴C（2a，2a），∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点C，∴k＝2a×2a＝4．故选D．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．15.如图，扇形OAB 中，∠AOB=100°，OA=12，C 是OB 的中点，CD ∠OB 交»AB 于点D ，以OC 为半径的»CE交OA 于点E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】连接OD②AD ，根据点C 为OA 的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO 为等边三角形，求出扇形AOD 的面积，最后用扇形AOB 的面积减去扇形COE 的面积，再减去S 空白ADC 即可求出阴影部分的面积． 【详解】如图，连接OD②BD②∵点C 为OB 的中点， ∴OC=12OB=12OD② ∵CD ⊥OB②∴∠CDO=30°②∠DOC=60°②∴△BDO 为等边三角形，OD=OB=12②OC=CB=6②∴∴S 扇形BOD =260?·12360π=24π② ∴S 阴影=S 扇形AOB ②S 扇形COE ②②S 扇形BOD ②S △COD ②=22100?·12100?·612463603602πππ⎛---⨯⨯ ⎝+6π② 故选C②【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=2 360n r②16.如图，若二次函数y=ax2+bx+c②a≠0②图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B②②1②0），则①二次函数的最大值为a+b+c②②a②b+c②0②③b2②4ac②0②④当y②0时，﹣1②x②3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c②a≠0②图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=②1时，a②b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2②4ac②0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B②②1②0②②∴A②3②0②②故当y②0时，﹣1②x②3，故④正确．故选B②点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．二、填空题（本大题共3小题，共11分；17题每小题3分；18-19小题各有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上）17.若m 是方程22310x x --=的一个根，则2462020m m -+的值为___． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：22310m m --=， ∴223m m -＝1，∴原式＝2（2m 2−3m ）＋2020＝2022． 故答案为：2022．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．18.如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1/cm s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为_____s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是_____2cm ．【答案】 (1). 3 (2). 18 【解析】 【分析】设运动时间为()06t t ≤≤，则AE t =，6AH t =-，由四边形EFGH 的面积＝正方形ABCD 的面积﹣4个AEH ∆的面积，即可得出EFGH S 四边形关于t 的函数关系式，配方后即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为()06t t ≤≤，则AE t =，6AH t =-， 由题意可知AE=BF=CG=DH ，EB=FC=GD=HA ∴S △AEH =S △BFE =S △CGF =S △DHG∴()()221466462123623182AEH ABCD EFGH S S S t t t t t ∆=-=⨯-⨯-=-+=-+正方形四边形， ∴当3t =时，四边形EFGH 的面积取最小值，最小值为18． 故答案为：3；18．【点睛】此题考查的是二次函数与几何问题的应用，掌握利用二次函数求最值是解决此题的关键． 19.如图，ABC ∆中，8AC =，30A ∠=︒，50B ∠=︒，点P 为AB 边上任意一点，（P 不与点B 、C 重合），I 为BPC ∆的内心则：（1）CP 的最小值=____；（2）CIB ∠的取值范围是____．【答案】 (1). 4 (2). 105°＜∠CIB ＜155° 【解析】 【分析】作CP 1⊥AB ，此时CP 最小，根据含30°的直角三角形的性质即可求解；I 为△BPC 的内心，即I 为△APC 角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180︒及角平分线定义即可表示出CIB ∠，CIB ∠的取值范围． 【详解】如图，作CP 1⊥AB ，则此时CP 最小， ∵8AC =，30A ∠=︒∴AP 1=12AC=4， 设∠ACP ＝α，则∠APC ＝α＋30°，∵30A ∠=︒，50ABC ∠=︒， ∴∠ACB=100°， ∴∠PCB ＝100︒−α， ∵I 为△APC 的内心，∴CI 、BI 分别平分∠PCB ，∠PBC ， ∴∠ICB ＝12∠PCB ，＝12∠PBC ， ∴CIB ∠＝180︒−（∠ICB ＋∠IBC ）＝180︒−12（∠PCB ＋∠PBC ） ＝180︒−12（100︒−α＋50︒）＝12α＋105︒ ∵0＜α＜100︒，∴105︒＜12α＋105︒＜155︒， 即105︒＜②CIB ＜155︒故答案为： 4;105︒＜②CIB ＜155︒．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线定义等，熟练掌握内心的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值． 【答案】（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =， 而10m -≠， ∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．21.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员甲测试成绩表运动员乙测试成绩统计图运动员丙测试成绩统计图（1）运动员甲测试成绩的众数是______，中位数是_______；（2）已知甲成绩的平均数是7分，请分别计算乙、丙两人测试成绩的平均数；若三人成绩的方差分别为20.8S =甲、20.4S =乙、2S =丙0.8，在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（3）若在甲、乙、丙中任选两人相互进行垫球练习，用树状图或列表法求出选中甲和乙练习的概率是多少？ 【答案】（1）7分；7分；（2）选乙运动员更合适；（3）甲和乙练习的概率是P=13． 【解析】 【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分； （2）求出乙丙运动员测试成绩的平均数，再根据20.8S =甲、20.4S =乙、2S =丙0.8即可判断；（3）列出表格，即可解决问题．【详解】（1）把运动员甲测试成绩排序为：5，6，7，7，7，7，7，8，8，8 ∴运动员甲测试成绩的众数是7分，中位数是7分， 故答案为：7分；7分；（2）16877678777710x =+++++++++=乙（）(分) 52647381 6.310x ⨯+⨯+⨯+⨯==丙(分)②x x =甲乙＞x 丙，且2S 甲＞2S 乙 ②选乙运动员更合适． （3）列表如下，两人组合形式共有6种等可能性的结果，其中甲和乙练习有2种， 所以甲和乙练习的概率是P=2163=． 【点睛】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．22.如图，Rt ABM ∆和Rt ADN ∆的斜边分别为正方形ABCD 的边AB 和AD ，其中AM AN =．（1）求证：AM AN ⊥．（2）线段MN 与线段AD 相交于T ，若14AT AD =，求tan ABM ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2）tan ∠ABM=13． 【解析】 【分析】（1）利用HL 证明Rt △ABM ≌Rt △ADN 即可求解； （2）想办法证明△DNT ∽△AMT ，可得AM AT DN DT =，由14AT AD =，推出AM AT DN DT ==13，在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝13AM AM BM DN ==． 【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD=AB ，②DAB=90° ②AM=AN ，②AMB=②AND=90° ②Rt②ABM②Rt②ADN （HL ）． ②②BAM=②DAN ②②DAM+②MAB=90°； ②②DAM+②DAN=90° ②②BAD=②MAN=90° 即AM②AN ．（2）由Rt②ABM②Rt②ADN 知DN=BM②②BAM+②DAM=90°；②DAN+②ADN=90° 又②BAM=②DAN ②②DAM=②ADN ②ND②AM ②②DNT②②AMT②AM ATDN DT = ②AT=14AD②AM AT DN DT ==13②tan②ABM=13AM AM BM DN ==【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.如图，嘉琪家对面新建了一幢图书大厦，她在自家窗口A 处测得大厦底部D 点俯角为α，大厦顶部B点的仰角为β，sin α和tan β是方程22310x x -+=的两根．嘉琪量得两幢楼之间的距离DE为m ．（1）求出α、β的度数；（2）求出大厦的高度BD ．（结果保留根号） 【答案】（1）30α=︒，45β=︒；（2）大厦的高度BD 为（+20）米． 【解析】 【分析】（1）利用公式法解出方程22310x x -+=的两根，即可求出α、β的度数；（2）易得四边形AEDC 是矩形，即可求得AC 的长，然后分别在Rt △ABC 与Rt △ACD 中，利用三角函数的知识求得BC 与CD 的长，继而求得答案．【详解】（1）②2a =，3b =-，1c = ②2494211b ac -=-⨯⨯= ②314x ±=②11x =，212x = ②1sin 2α=，tan 1β= ②30α=︒，45β=︒（2）如图，②AC②BD ， ②BD②DE ，AE②DE ， ②四边形AEDC 是矩，②在Rt②ABC 中，α=45°，在Rt②ACD 中，tan30°=CDAC，（米），（米）；②大厦的高度BD 为（）米．【点睛】此题考查了仰角与俯角的定义．注意能借助仰角与仰角构造直角三角形并解直角三角形是关键． 24.某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10②，待加热到100②，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （②）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20②，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题： （1）分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式； （2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40②的开水，问他需要在什么时间段内接水．【答案】（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8②x≤a 时，y=800x②②2②40②②3②要在7②50②8②10时间段内接水．【解析】【分析】 （1）当0≤x ≤8时，设y②k 1x②b②将(0②20)②(8②100)的坐标分别代入y②k 1x②b ，即可求得k 1②b 的值，从而得一次函数的解析式；当8②x ≤a 时，设y②2k x ②将(8②100)的坐标代入y②2k x②求得k 2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y②20代入反比例函数的解析式，即可求得a 值；（3）把y②40代入反比例函数的解析式，求得对应x 的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x 的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．【详解】解： (1)当0≤x ≤8时，设y②k 1x②b②将(0②20)②(8②100)的坐标分别代入y②k 1x②b ，可求得k 1②10②b②20∴当0≤x ≤8时，y②10x②20.当8②x ≤a 时，设y②2k x② 将(8②100)的坐标代入y②2k x ② 得k 2②800∴当8<x ≤a 时，y②800x. 综上，当0≤x ≤8时，y②10x②20②当8②x ≤a 时，y②800x(2)将y②20代入y②800x ② 解得x②40，即a②40.(3)当y②40时，x②80040②20 ∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7②38到7②50之间接水． 【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．25.如图1，⊙O 的直径AB ＝12，P 是弦BC 上一动点（与点B ，C 不重合），∠ABC ＝30°，过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D ．（1）如图2，当PD ∥AB 时，求PD 的长；（2）如图3，当¶¶DCAC 时，延长AB 至点E ，使BE ＝12AB ，连接DE ． ①求证：DE 是⊙O 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）；（2）①见解析；②CP长为：﹣3或．【解析】【分析】 （1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP ，PD 的长；（2）①首先得出△OBD 是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案．详解】解：（1）如图2，连接OD ，∵OP ⊥PD ，PD ∥AB ，∴∠POB ＝90°，∵⊙O 的直径AB ＝12，∴OB ＝OD ＝6，在Rt △POB 中，∠ABC ＝30°，的【∴OP＝OB•tan30°＝6×3＝在Rt△POD中，PD；（2）①证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵»»DC AC=，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE＝12 AB，∴OB＝BE，∴BF∥ED，∴∠ODE＝∠OFB＝90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF＝FB＝OB•cos30°＝在Rt△POD中，OF＝DF，∴PF＝12DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP＝CF﹣PF＝3，当点P在点B与点F之间时，同理可得：CP＝CF+PF＝，综上所述：CP 的长为：﹣3或．【点睛】此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出△OBD 是等边三角形是解题关键．26.在平面直角坐标系中，规定：抛物线2()y a x h k =-+的伴随直线为()y a x h k =-+．例如：抛物线22(1)3y x =+-的伴随直线为22(1)3y x =+-，即y =2x ②1②②1）在上面规定下，抛物线2y (x 1)4=+-的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线2y (x 1)4=+-与其伴随直线的交点坐标为 和 ②②2）如图，顶点在第一象限的抛物线2m(1)4y x m =--与其伴随直线相交于点A ②B （点A 在点B 的左侧），与x 轴交于点C ②D ②①若∠CAB =90°，求m 的值；②如果点P ②x ②y ）是直线BC 上方抛物线上的一个动点，△PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值274时，求m 的值．【答案】(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)；）（2）①m= ; ②m=-2 【解析】【分析】 （1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；（2）①可先用 m 表示出 A 、B 、C 、D 的坐标，利用勾股定理可表示出 AC2、AB2和 BC2，在 Rt △ABC中由勾股定理可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值；②由 B 、C 的坐标可求得直线 BC 的解析式，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q ，则可用 x 表示出 PQ 的长，进一步表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可得到 m 的方程，可求得 m 的值．【详解】（1）∵y=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得2y=x+1-4y=x-3⎧⎨⎩（），解x=0y=-3⎧⎨⎩或x=-1y=-4⎧⎨⎩，∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），故答案为（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；(2)、①因为抛物线解析式为y=m（x-1）2-4m，所以其伴随直线为y=m（x-1）-4m，即y=mx-5m.联立抛物线与伴随直线的解析式可得：2145y m x my mx m⎧=--⎨=-⎩（），解得x=1y=-4m⎧⎨⎩或x=2y=-3m⎧⎨⎩，所以A(1,-4m)，B（2，-3m）在y=m（x-1）2-4m中，令y=0可计算出x=-1或x=3，所以C（-1，0），D（3，0）即AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，若∠CAB=90°，则AB2+AC2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2解得：（抛物线开口向下，舍去），，所以当∠CAB=90°时，m=-2；①设直线BC的解析式为y=-mx-m，如图过作轴的垂线交BC于点Q，如图所示：因为点P的横坐标为，所以P（x，m（x-1）2-4m），Q（x，-mx-m），因为P是直线BC上方抛物线上的一个动点，所以PQ=m（x-1）2-4m+mx+m=m（x2-x-2）=［（x-12）2-94］m所以，.S△PBC=12×［2-（-1）］PQ=32m（x-12）2-278m当x=12时，△PBC的值有最大值-278m，所以取得最大值274时，即-278m=274，计算得出m=-2．点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在(1)中注意伴随直线的定义的理解，在(2)①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在(2)②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。