模糊数学——第3次课模糊集合运算.
2018年10月8日
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模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 ( , )
A B max{A , B}, A B min{A , B}
（2）代数积算子 AB A B
（3）代数和算子 A B A B 1
x A A 0 x U \ A A 称为与A的“乘积”，是个模糊子集。
定理内容： 设A为论域U的一个模糊子集，A是A的截 集，[0，1]，则
A U A
[0,1]
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常用的隶属函数 凸模糊集：
定义：设A是以实数集R为论域的模糊子集，其 隶属函数为A(x)。若对任意实数a < x < b，有 A(x) min(A(a), A(b))。则称A为凸模糊集。 性质1：凸模糊集的截集必是区间（可以无限）。 截集均为区间的模糊集必为凸模糊集 性质2：A与B均为凸模糊集，则A B必为凸模 糊集。
u1 u2 u3 u4 u5
取其截集如下：
A1 u3 A0.7 u3 , u4 A0.6 u2 , u3 , u4 A0.5 u1, u2 , u3 , u4 A0.3 u1, u2 , u3 , u4 , u5
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模糊集合与经典集合的关系 2、分解定理：
A A A, A A A, A B B A, A B B A,
3. 结合律 A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B) C 4. 吸收律 A U ( A I B) A, A I ( A U B) A
c c ( A ) A, 7. 还原律
c c c c c c ( A B ) A B , ( A B ) B A , 8. 对偶律
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注意：互补律不成立。
A U AC U , A I AC
原因：模糊子集A没有明确的边界，其补集也 没有明确的边界。 （举例说明互补律不成立的例子。 如“很胖”，补集为“较瘦”）
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隶属函数的确定
1、模糊统计法 对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，
18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-35 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28
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A B 1 A B 1
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模糊集合及其运算
（4）环和算子
AB A B AB
例2：
0.1 0.7 1 0.3 B x1 x3 x4 x5 0.02 0.63 0.15 则： A B x1 x3 x5 0.3 0.4 1 1 0.8 A B x1 x2 x3 x4 x5
课前复习：
举例说明对模糊子集的理解， 然后熟悉模糊子集表示法。
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模糊集合及其运算
2、模糊集的运算
注意：举一个实际 模糊子集正确理解 这些运算
设A，B是论域U的两个模糊子集，定义 相等：A B A ( x) B ( x), x U
包含： A B A ( x) B ( x), x U
并：
AB ( x) A ( x) B ( x), x U AB ( x) A ( x) B ( x), x U
A
表示取大； 表示取小。
交：
余(补)： c ( x) 1 A ( x), x U
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模糊集合及其运算
并交余计算的性质 1. 幂等律 2. 交换律
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(3)柯西型
1 1 x 1 x a xa xa , , 0
当a = 0.2, b = 2, c = 25时，即为“年青”的隶属函数
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隶属函数的确定 三种确定方法：
1、模糊统计法； 2、指派法； 3、专家经验法
问年龄 u0 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。
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常用的隶属函数
以实数集R为论域的隶属函数称为模糊分布。
(1)正态型
x e
x a b
2
,b 0
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常用的隶属函数
(2)型
0 x x v v x e x0 x0 , , v 0
则称A为A的截集，它是一个经典集合， 称为水平。 2 A u A u
则称 A 为A的强截集。
A U B A U B
A A
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A I B A I
B
例3：设模糊子集 A 0.5 0.6 1 0.7 0.3
2018年1配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ), A ( B C ) ( A B) ( A C ) 6. 0-1律
A A, A , A U U , A U A
0.28 0.4 0.97 1 0.65 A B x1 x2 x3 x4 x5
0.2 0.4 0.9 0.5 A x1 x2 x3 x5
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模糊集合与经典集合的关系 1、截集： 设 A F U ,0 1,若
1 A u A u
模糊数学 (第三讲)
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一般来说用Hamming 模糊度计算较为简单， 而用 Euclid模糊度计算虽然比较复杂，但是计算 结果比较精细。 定理1.5.2 设 U ={u1 , u2 , …, un}, AF(U ),则
1 D( A) H ( A) n ln 2
S ( A(u ))
i 1 i
n
为A的模糊度，H(A)通常称为A的模糊熵，其中 S(x)为Shannon函数
解:(见黑板)
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§1.5 模糊性的度量
定义1.5.1 设映射 D: F(U) →[0,1] 满足下列5条性质: 对于任意A F(U), 1)清晰性:D(A)=0当且仅当A P(U); 2)模糊性: D(A)=1当且仅当u U, A(u) =0.5; 3)单调性:若u U, A(u) ≤B(u) ≤0.5或者A(u) ≥B(u) ≥ 0.5, 则D(A) ≤ D(B) ; 4)对称性: A F(U) , D(A)= D(A′); 5)可加性： D(A∪B)+ D(A∩B)= D(A)+D(B). 则称D为定义在F(U) 上的模糊度函数，称D(A) 为模 糊集A的模糊度。
)du
A'0.5
e
(
u
)
2
du
2 ln 2 2
ln 2
(2 ln 2 3 4 ( ln 4 ))
查标准正态分布表可得 故
2 12 2 1 t2 1 2t e dt e 2 dt 2 2
e
1 t2 2
D p ( A) 2 n
1 p
( A(ui ) A0.5 (ui )
i 1
n
p
)
模糊数学模糊集合及其运算
AI B
u1
u2
u3
u4
u5
0.2 0.3 0.5
u1 u2 u5
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一般地，模糊集A和B的交并和余的计算，按论域U为有限和无 限分为两种表示
(1)
设论域U
{u1,...un}且A
n k 1
A(uk ), B uk
n k 1
B(uk ), uk
则A B n A(uk ) B(uk )，A B n A(uk ) B(uk )，AC n 1- A(uk )
2020/5/1
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集合的运算规律
1、交换律 2、结合律 3、吸收律 4、幂等律 5、分配律
A B B A, A B B A A (B C) (A B) C , A (B C) (A B) C (A B) A A, (A B) A A
A A A, A A A
注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中 “分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。
模糊集合的表示
一般情况 A {(u, A(u)) | u U}
U有限或可数 A
A(ui ) / ui
A(ui ) ui
U无限不可数
A A(u) / u
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例3 设U={1,2,3,4,5,6},A表示“靠近4”的数集,则AF(U),各数属于A的 程度A(ui)如下
0.5 0.3 0.1 0.7 B ,
u1 u2 u3 u5
那么
A U B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
u1
u2
u3
u4
u5
0.5 0.7 1 0.1 0.7 u1 u2 u3 u4 u5
模糊集合及其运算讲解
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
U
~
x A( x) [0,1]
A
~
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数，A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度，简称隶属度。
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
模糊集合及其运算
确定性
—— 经典数学
量
随机性 —— 随机数学
不确定性
模糊性 —— 模糊数学
随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生
不确定 。 （事件是否发生不确定）
明天有雨，掷一枚骰子出现6点
模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件
发生与否。（事件本身的状态不确定）
青年人，高个子
模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念 （或现象）处处存在。 有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年 男人” 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也 具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模 糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。 一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，
模糊矩阵的幂 A2 A A
例：
设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , 0.3
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
, 则
0.6
A B 0.5 0.6 0.3 0.3
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3
模糊集合之运算
0 ≤ A c ( x) ≤ 1
(4.2)
認 Fuzzy
一般常用的模糊集合之補集定義除 (4.1a) 外尚有： (1) 門檻式：
1, 當 z ≤ l c( z ) = 0, 當 z > l
(4.3)
其中 z ∈[0, 1] 及 l ∈[0, 1) ， l 稱為門檻 (Threshold)
c(z) 1
(4.1b) 只是 t-基準之一種。其它之 t-基準運算定義仍有許 多。在此用 t ( p, q ) 代表 p 與 q 之 t-基準或 p ∩ q，其中 p
及 q 為某個模糊集合之歸屬函 (如 A(x),B(x) )，因此
0 ≤ p, q ≤ 1 是必然的。
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認 Fuzzy
常用的模糊交集運算定義： 標準交集 (Standard Intersection)：
p, 當 q = 1 t ( p , q ) = q , 當 p = 1 0, 其 他
(4.10)
其中 (4.7)～(4.10) 之大小關係：
( 4.10) ≤ ( 4.9) ≤ ( 4.8) ≤ ( 4.7)
其他學者提出的交集公式 page 4-7 and 4.3.
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認 Fuzzy
4.4 模糊集 (t-反基，s-norms 或 t-conorms)
認 Fuzzy
第 四 章
模 糊 集 合 之 運 算
1
認 Fuzzy
4.1 模糊集合運算之種
三種模糊集合運算：集 (Union)、補集 (Complement)、 及交集 (Intersection)。 標準運算: A ( x ) = 1 A( x )
( A ∩ B )( x ) = min( A( x ), B ( x ))
模糊集合运算法则
模糊集合运算法则模糊集合运算法则是一种建立在模糊集合理论基础上的数学模型，它允许从集合中提取成员元素，以及使用模糊函数对多个集合之间进行运算，而且能够考虑运算结果的不确定性。
模糊集合运算法则也是一种测量数据归纳和推理的重要手段。
它的应用在很大程度上可以用于解决实际问题。
本文将介绍模糊集合运算法则的定义，以及它的几种应用。
一、模糊集合运算法则的定义模糊集合运算法则是一种建立在模糊集合理论基础上的数学模型。
它研究的是具有特定元素的及其概率的模糊集合，以及它们之间的运算关系。
模糊集合运算法则是用来描述微妙的数学关系，给出了一种以概率定义的一组模糊集合的方法，并根据这组模糊集合的特征，构造一组运算关系，以便可以进行复杂的数学运算。
模糊集合运算法则的基本思想是：在模糊集合中，不同的元素有可能出现同一概率的元素，而不同的概率可以由不同的运算关系来表示，比如可以使用集合交、并、补和差运算表示。
使用模糊集合运算法则，就可以形成概率模型，以实现集合之间的运算，其中最重要的是模糊函数。
二、模糊集合运算法则的应用（1）多属性决策分析多属性决策分析是指利用多个指标分析决策问题。
使用模糊集合运算法则可以在模糊环境下进行多属性决策分析。
利用模糊函数可以得出多个指标之间的关系，以此来帮助做出合理的决策。
（2）模糊推理模糊推理是一种以概率推断的知识表示形式，是从特定假设及概率模型中推断出结论的过程。
模糊集合运算法则可以帮助计算各种概率，并利用模糊函数计算不同概率的结果，来帮助做出合理的推断。
（3）数据归纳模糊集合运算法则还可以用于数据归纳，即通过对模糊集合中的元素进行运算，来推断出新的信息。
这种方法可以用于统计抽样，计算概率等方面，可以很好地帮助收集和分析数据，以便更好地确定最优策略。
综上所以，模糊集合运算法则是一种有效的处理模糊环境下数据的工具，可以有效地解决实际问题。
模糊集合运算法则通过模糊函数来描述和处理模糊环境，分析数据归纳和推理，以及多属性决策分析等。
模糊集合的运算以及合成
模糊集合的运算以及合成标题：模糊集合的运算与合成概述：模糊集合是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具。
它能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性情况。
本文将讨论模糊集合的运算及其合成方法，并通过人类视角的叙述，使读者更好地理解和感受这一概念。
引言：在现实生活中，我们常常遇到一些模糊的问题，比如说“这个人高吗？”、“这个饭菜辣吗？”等等。
这些问题往往没有一个确定的答案，而是具有一定的不确定性。
为了更好地处理这种不确定性，人们提出了模糊集合的概念。
1. 模糊集合的运算模糊集合的运算包括交集、并集和补集。
通过这些运算，我们可以对模糊集合进行综合和分析。
1.1 交集运算交集运算是指将两个模糊集合的元素逐个比较，取其中相对较小的隶属度作为交集结果的隶属度。
例如，对于模糊集合A和B，其交集记为A∩B，其隶属度的计算公式为：μ(A∩B) = min{μA(x), μB(x)}1.2 并集运算并集运算是指将两个模糊集合的元素逐个比较，取其中相对较大的隶属度作为并集结果的隶属度。
例如，对于模糊集合A和B，其并集记为A∪B，其隶属度的计算公式为：μ(A∪B) = max{μA(x), μB(x)}1.3 补集运算补集运算是指将一个模糊集合的元素的隶属度取反，得到其补集。
例如，对于模糊集合A，其补集记为A'，其隶属度的计算公式为：μ(A') = 1 - μA(x)2. 模糊集合的合成模糊集合的合成是指将多个模糊集合综合起来，得到一个新的模糊集合。
合成方法包括合取、析取和修正。
2.1 合取合成合取合成是指将多个模糊集合的隶属度进行逐个相乘，得到新的模糊集合。
例如，对于模糊集合A和B，其合取合成记为A⊗B，其隶属度的计算公式为：μ(A⊗B) = μA(x)* μB(x)2.2 析取合成析取合成是指将多个模糊集合的隶属度进行逐个相加，得到新的模糊集合。
例如，对于模糊集合A和B，其析取合成记为A⊕B，其隶属度的计算公式为：μ(A⊕B) = μA(x) + μB(x) - μA(x) * μB(x)2.3 修正合成修正合成是指将一个模糊集合的隶属度与另一个模糊集合的隶属度进行修正，得到新的模糊集合。
2.3模糊集合及其运算
2.3 模糊集合及其运算2.3.1 模糊子集的定义及表示模糊子集的定义：设给定论域U ，U 到[0，1]闭区间的任一映射A μ→U A :μ[0,1])(u u A μ→ （2-3-1）都确定U 的一个模糊子集A ,A μ称为模糊子集的隶属函数，)(u A μ称为u 对于A 的隶属度。
隶属度也可记为)(u A 。
在不混淆的情况下，模糊子集也称模糊集合。
上述定义表明，论域U 上的模糊子集A 由隶属函数A μ来表征。
)(u A μ取值范围为闭区间[0，1]，)(u A μ的大小反映了u 对于模糊子集的从属程度。
)(u A μ的值接近于l ，表示u 从属于A 的程度很高； )(u A μ的值接近于O ，表示u 从属A 的程度很低。
可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。
当)(u A μ的值域＝{0，1}时，)(u A μ蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集A 便蜕化成一个经典子集。
由此不难看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。
模糊集合的表达方式有以下几种：1．当U 为有限集{}n u u u ,,21 时，通常有如下三种方式。
（1）Zadeh 表示法nn A A A u u u u u u A )()()(2211μμμ+++=其中ii A u u )(μ并不表示“分数”，而是表示论域中的元素i u 与其隶属度)(i A u μ之间的对应关系。
“＋”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在论域U 上的整体。
在论域U 中，)(u A μ的元素集称为A 的台,又称为模糊集合A 的支集。
实际上若某元素的隶属函数值为零。
即它不属于这个集合，则用台来表示一个模糊集合，可使表达式简单明了。
以下采用台的方式给出模糊集合，例如模糊集合“几个”可表示为83.077.0615147.033.0+++++=A 若对于模糊集合A 有一个有限的台，{}n u u u ,,21，则可表示为如下一般形式 nn A A A u u u u u u A )()()(2211μμμ+++=∑==ni ii A u u 1)(μ （2-3-3）（2）序偶表示法将论域中的元素i u 与其隶属度)(i A u μ构成序偶来表示A ，则))}(,(,)),(,()),(,{(2211n A n A A u u u u u u A μμμ⋅⋅⋅= （2-3-4）采用序偶表示法，例1中的A 可写为(){})3.0,8(),7.0,7)(1,6(),1,5(),7.0,4(,3.0,3=A此种方法隶属度为0的项可不写入。
模糊集合的运算与运用
模糊集合的运算与运用随着信息技术的飞速发展，模糊集合理论逐渐在各个领域得到广泛的应用。
模糊集合是一种用来处理不确定性和模糊性的数学工具，它的运算和应用可以帮助我们更好地理解和解决复杂问题。
本文将探讨模糊集合的基本概念、运算方法以及在不同领域的实际运用。
## 模糊集合的基本概念模糊集合是一种集合论的扩展，它允许元素具有不同程度的隶属度。
在传统的集合中，一个元素要么属于这个集合，要么不属于；但在模糊集合中，一个元素可以以一个0到1之间的值来表示其隶属度，0表示不属于，1表示完全属于，而在这两个极端之间的值表示不确定的隶属度。
例如，考虑一个集合“高矮”的情况，传统集合只能用“高”或“矮”来描述一个人的身高，而模糊集合可以使用0.7来表示某人的身高在“高矮”这个集合中的隶属度，这意味着这个人的身高在高和矮之间有一定的不确定性。
## 模糊集合的运算模糊集合的运算包括交集、并集、补集和差集等操作，与传统集合运算类似，但隶属度的考虑使得这些运算更加灵活和适用于处理模糊信息。
以下是一些基本的模糊集合运算：### 1. 交集模糊集合A和B的交集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A和B对应元素的隶属度的最小值。
这可以用来表示两个模糊集合的共同特征。
### 2. 并集模糊集合A和B的并集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A和B对应元素的隶属度的最大值。
这用于表示两个模糊集合的综合特征。
### 3. 补集模糊集合A的补集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于1减去A中对应元素的隶属度。
这可以用于表示与A相反的特征。
### 4. 差集模糊集合A和B的差集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A中对应元素的隶属度减去B中对应元素的隶属度。
这可以用于表示A相对于B的特征。
## 模糊集合的应用模糊集合理论在各种领域有着广泛的应用，包括人工智能、控制系统、决策分析、模式识别等。
以下是一些具体的应用示例：### 1. 模糊逻辑控制模糊逻辑控制是一种基于模糊集合的控制方法，它允许系统根据模糊规则来进行决策和控制，特别适用于那些难以用传统逻辑方法精确描述的系统，如温度控制、汽车驾驶等。
模糊集合的运算以及合成
模糊集合的运算以及合成
模糊集合的运算与合成
模糊集合是一种用来描述模糊概念的数学工具。
它与传统的集合论不同，可以处理那些不完全确定或难以精确划定的概念。
模糊集合的运算与合成是模糊集合理论中的重要内容，它们可以用来对现实世界中的模糊问题进行建模和求解。
模糊集合的运算主要包括交集、并集和补集。
交集运算可以用来求两个模糊集合的共同部分，它反映了两个模糊概念之间的相似程度。
并集运算可以用来求两个模糊集合的整体部分，它反映了两个模糊概念之间的包容关系。
补集运算可以用来求一个模糊集合的相反部分，它反映了一个模糊概念的否定关系。
模糊集合的合成是指将多个模糊集合进行组合，得到一个新的模糊集合。
合成的方法有很多种，常用的方法包括最小值合成、最大值合成和平均值合成。
最小值合成将多个模糊集合的对应元素取最小值，反映了多个模糊概念的最弱关系。
最大值合成将多个模糊集合的对应元素取最大值，反映了多个模糊概念的最强关系。
平均值合成将多个模糊集合的对应元素取平均值，反映了多个模糊概念的平衡关系。
模糊集合的运算与合成在各个领域都有广泛的应用。
在工程领域，模糊集合的运算与合成可以用来对模糊逻辑进行建模和求解。
在经
济领域，模糊集合的运算与合成可以用来对模糊需求和模糊供给进行分析和决策。
在医学领域，模糊集合的运算与合成可以用来对模糊诊断和模糊治疗进行评估和优化。
模糊集合的运算与合成是模糊集合理论中的重要内容，它们可以用来对现实世界中的模糊问题进行建模和求解。
通过运算和合成，可以得到模糊概念之间的相似程度、包容关系和否定关系，从而更好地理解和处理模糊问题。
模糊数学第三章
两点说明：
模糊关系－example3
模糊关系的运算
模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积 A×B罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算 法则
运算
设R, S F ( X Y )
包含： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 相等： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 并： 交： 余：
(2)包含：A B <=>对任意i, j 有 aij ≤ bij
因此，对任何
R m n , 总有：
ORE
模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,
j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 例：
则称O为X×Y的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系E满足
E ( x, y ) X Y , E ( x, y ) 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称关系E的矩 阵为全称矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系R，定义
1 0.7 R 0 0.5
0.7 1 0 0.4
0 0 1 0
0.5 0.4 0 1
模糊矩阵－mple
例1.
X Y {甲，乙，丙} R 信任
1 0.8 0.9 R 0.3 0.9 1 0.9 0.3 1