2021艺体生培优讲义——考点5 等比数列

考点5 等比数列
[玩前必备]
1．等比数列的有关概念 (1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，a n ＋1
a n ＝q ．
说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0. (2)等比中项：
如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．
说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －
1．
(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.
3．等比数列的性质
已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；
[玩转典例]
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______． (2)（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，
则2
2
a b =_____． 例2 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝9
2，则公比q ＝( )
A. 1或－12
B. －12
C. 1
D. －1或1
2
[玩转跟踪]
1. （2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 ．
2.(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，
则n ＝________.
3.（北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n 项和n S = ．
4.(天津)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．
题型二 等比数列的性质及应用 例3 已知{a n }为等比数列．
(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；
(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．
[玩转跟踪]
1.（广东）等比数列的各项均为正数，且，则
________．
2.(新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A.2 B.1 C.12 D.1
8
题型三 等比数列综合应用
例４ (四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，
a 3成等差数列.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和为T n ，求T n .
{}n a 154a a =2122232425log +log +log +log +log =a a a a a
例5 （2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，
b 1=0， ，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.
[玩转跟踪]
1.(北京，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和.
2.(福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
[玩转练习]
1．（2019全国1理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若，则S 5=____________． 1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-21
4613
a a a ==，
2.（2019全国3理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16
B ． 8
C ．4
D ． 2
3．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论
的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个
单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A
B
C
．
D
．
4.（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
5．（2015新课标Ⅱ）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
6．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =
，663
4
S =，则8a = ． 7．（2016年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*
n N ∈，则
1a = ，5S = ．
8.（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
9．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =． (1)求{}n a 的通项公式；
(2)记n S 为{}n a 的前项和．若63m S =，求m ．
10.（2018全国卷Ⅰ）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)+=+n n na n a ，设n
n a b n
=． (1)求1b ，2b ，3b ；
(2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式．
11.（2017北京）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -+++
+．
n
12.(2016·新课标全国Ⅰ，17)已知是公差为3的等差数列，数列满足
，.
（I ）求的通项公式； （II ）求的前n 项和.
13.
（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
14.
（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n n
n
b a =,求{}n b 的前n 项和n T .
{}n a {}n b 12111
==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，{}n a {}n b。