最新北师大版九年级上册数学第一章测试题
最新北师大版九年级上册数学第一章测试题
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E在BC的延长线上，且BD=CE，连接AE，则∠E的度数为（）
A．15° B．20° C．30° D．45°
2．如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在
BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）
A、线段EF的长逐渐增大
B、线段EF的长逐渐减少
C、线段EF的长不变
D、线段EF的长不能确定
3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）
A．对角线平分一组对角B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分D．四条边相等
4．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直
5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2011•湘潭）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）
A．平行四边形 B．正方形 C．等腰梯形 D．矩形
7．（2015秋•江阴市期中）如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面4个结论：
①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB⊥BC．
其中正确的结论有几个（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
9．长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是（）
A．60cm2 B．64cm2 C．24cm2 D．48cm2
10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
11．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（）
A．BA=BC
B．AC、BD互相平分
C．AC⊥BD
D．AB∥CD
12．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为（）
A．（23-3,2-3）
B．（23+3, 2-3）
C．（23-3, 2+3）
D．（23+3, 2+3）
13．如图，下列条件中，能使▱ABCD成为菱形的是（）
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
评卷人得分
二、填空题
14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．则CG的最小值为．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于E，四边形AECF的面积是．
16．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120︒，则EF＝ cm．
17．下列条件之一能使□ABCD是菱形的有_____________________．（只填序号即可）（1）AC⊥BD；（2）∠BAD=90°；（3）AB=CB；（4）AC=BD．
18．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径
．．．．．．．
如图，△ABC中，∠ABC=90º，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD，若∠DBC=60º，∠ACB=15º，BD=23ACEF的面积为．
19．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是．
20．正方形ABCD中，AB=24，AC交BD于O，则△ABO的周长是．
21．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形A′B′CD′，则点A的旋转路径长为．（结果保留π）
22．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，BP=5，则正方形的面积为。
23．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是．
24．菱形的两邻角的度数之比为l：3
，边长为52，则高为__________．
25．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．
26．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为．
评卷人得分
三、解答题
27．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．
28．（10分）如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
求证：（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
29．如图，四边形ABCD是长方形．
（1）作△ABC关于直线AC对称的图形；
（2）试判断（1）中所作的图形与△ACD重叠部分的三角形形状，并说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xoy中，点O为坐标原点，矩形AOCD的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点D的坐标为（6，4），点P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AO于E点．
（1）当点P坐标为（4，4）时，求点E的坐标；
（2）当点P坐标为（5，4）时，在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AO上运动，求OE的取值范围．31．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面积和周长各是多少？
32．如图AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试判断AEDF 是何图形，并说明理由．
33．如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．。
北师大版九年级上册数学第一章检测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第一章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A. 平行四边形B. 正方形C. 等腰梯形D. 矩形3.已知，如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE 的面积为（）A. 6cm2B. 8cm2C. 10cm2D. 12cm24.如图，将矩形纸带ABCD，沿EF折叠后，C，D两点分别落在C′，D ′的位置，经测量得∠EFB＝65°，则∠AED′的度数是( )A. 65°B. 55°C. 50°D. 25°5.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A. 1.6B. 2.5C. 3D. 3.46.如图，四边形ABCD是矩形，F是AD上一点，E是CB延长线上一点，且四边形AECF是等腰梯形，下列结论中不一定正确的是（）A. AE=FCB. AD=BCC. BE=AFD. ∠E=∠CFD7.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC8.已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A.当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形9.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC=BD时，它是正方形C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC=900时，它是矩形10.如图，正方形CEFH的边长为m，点D在射线CH上移动，以CD为边作正方形CDAB，连接AE、AH、HE，在D点移动的过程中，三角形AHE的面积（）A. 无法确定B.C.D.11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF ．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）.A. 2B. 4C. 6D. 812.在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点与点B关于AE对称，与AE交于点F，连接，，FC。
2023年北师大版九年级上册数学第一章综合测试试卷及答案
第一章综合练习
13．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中
D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE，AB＝8，
DE＝3，则△EFC的面积为
15 4
．
-14-
第一章综合练习
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分 线交AC于点D．过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点G，过 点D作DF⊥BC于点F，过点G作GH∥BC，交AC于点H， 则下列结论：①∠BAE＝∠C； ②S△ABG：S△EBG＝AB：BE； ③∠ADF＝2∠CDF； ④四边形AGFD是菱形； ⑤CH＝DF．其中正确的结论是 ①②④⑤ ．(填序号)
-22-
第一章综合练习
(2)∵四边形AFCE是平行四边形， ∴EC∥AF，∴∠FHB＝∠CGH． 又∵∠CGH＝∠DGE，∴∠DGE＝∠FHB． ∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH． ∵E，F分别是AD，BC的中点，AD＝BC， ∴DE＝BF，∴△DEG≌△BFH(AAS)， ∴EG＝FH．
A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
-10-
第一章综合练习
10 ． 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AB ＝ 6 ， ∠ ABC ＝ 60°，M为AD的中点，P为对角线BD上一动点， 连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( B ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
(1)求证：四边形ACED是平行四边形； (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
-19-
第一章综合练习
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC． ∵C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE． ∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形． (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． ∵AB＝AE，∴DC＝AE． ∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC 的中点，CE，AF分别交DB于G，H两点．求证：
(北师大版)初中数学九年级上册 第一章综合测试 (含答案)
第一单元综合测试一、单选题（每小题2分，共20分）1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A .四条边相等，四个角相等 B .对角线相等 C .对角线互相垂直D .对角线互相平分2.如图，在菱形ABCD 中，5AB =，120BCD ∠=︒，则ABC △的周长等于（ ）A .20B .15C .10D .53.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的（ ）A .15B .14C .13D .3104.如图，菱形ABCD 的周长为24 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，则线段OE 的长等于（ ）A .3 cmB .4 cmC .2.5 cmD .2 cm5.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为（ ）A .3B .CD .6.顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A .菱形 B .对角线互相垂直的四边形 C .矩形D .对角线相等的四边形7.如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A .15°或30°B .30°或45°C .45°或60°D .30°或60°8.如图，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，且E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则EAF ∠等于（ ）A .75°B .45°C .60°D .30°9.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）A .AF AE =B .ABE AGF △≌△C .EF =D .AF EF =10.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AEF △是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，下列结论：①BE DF =；②15DAF ∠=︒；③AC 垂直平分EF ；④BE DF EF +=；⑤2CEF ABE S S =△△.其中正确结论有（ ）A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题（每题3分，共24分）11.如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则α∠也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当α∠的度数为________时，两条对角线长度相等.12.如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，则以AC 为边的正方形ACEF 的周长为________.13.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE AC ⊥于点E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，且10AC =，则EC 的长度是________.14.如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，若ABE △的面积为18，4CE =，则线段BE 的长为________.15.菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为(，动点P 从点A 出发，沿A B C D A B →→→→→→⋯⋯的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s 时，点P 的坐标为________.16.如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中F ，连接DF ，4DF =.设AB x =，AD y =，则()224x y +-的值为________.17.如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点E 为AD 的中点，F 为BC 边上任一点，过F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为点G ，H ，则FG FH +=________.18.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交于点O ，连接OC .已知5AC =，OC =，则另一直角边BC 的长为________.三、解答题（19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分） 19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，DF BC ⊥交BC 的延长线于F . 求证：DE DF =.20.如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，过点C 作CE OD ∥，过点D 作DE AC ∥，CE 与DE 相交于点E .（1）求证：四边形OCED 是矩形.（2）若4AB =，60ABC ∠=︒，求矩形OCED 的面积.21.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E . （1）求证：BD BE =.（2）若10BE =，6CE =，连接OE ，求ODE △的面积.22.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E . （1）求证：DCE BFE △≌△.（2）若2CD =，30ADB ∠=︒，求BE 的长.23.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=︒，以点A 为顶点的一个60°的EAF ∠绕A 旋转，EAF ∠的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且E ，F 不与B ，C ，D 重合，连接EF . （1）求证：BE CF =.（2）在EAF ∠绕A 旋转的过程中，四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由.24.在正方形ABCD 的外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于F .（1）依题意补全图①；（2）若20,PAB ∠=︒求ADF ∠的度数；（3）如图②，若4590PAB ︒∠︒＜＜，用等式表示线段AB ，EF ，FD 之间的数量关系，并给出证明.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A【解析】∵菱形ABCD 的周长为24 cm ，()244 6 cm AB =÷=∴，OB OD =又E ∵为AD 边的中点，OE ∴是ABD △的中位线.()116 3 cm 22OE AB ==⨯=∴. 故选A . 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】D【解析】如图，由折叠的性质得12∠=∠.AD BC ∵∥，31∠=∠∴.23∠=∠∴.AE AF =∴.故选项A 正确.由折叠的性质得CD AG =，90D G ∠=∠=︒.AB CD =∵，AB AG =∴.又AE AF =∵，90B ∠=︒，()Rt Rt ABE AGF HL △≌△∴.故选项B 正确.设DF x =，则GF x =，8AF x =-. 又4AG AB ==∵，∴在Rt AGF △中，根据勾股定理得()22284x x -=+.解得3x =.85AF x =-=∴. 则5AE AF ==，BE =∴过F 作FM BC ⊥于点M ，则4FM =，532EM =-=.在Rt EFM △中，根据勾股定理得EF ===，则选项C 正确.5AF =∵，EF =，AF EF ≠∴.故选项D 错误.10.【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ===∴，90B BCD D BAD ∠=∠=∠=∠=︒. AEF ∵△是等边三角形，AE EF AF ==∴，60EAF ∠=︒. 30BAE DAF ∠+∠=︒∴.在Rt ABE △和Rt ADF △中，AE AFAB AI =⎧⎨=⎩()Rt Rt ABE ADF HL △≌△∴.BE DF =∴（故①正确）， BAE DAF ∠=∠.30DAF DAF ∠+∠=︒∴，即15DAF ∠=︒（故②正确）. BC CD =∵，BC BE CD DF -=-∴，即CE CF =，又AE AF =∵，AC ∴垂直平分EF （故③正确）.设EC x =，由勾股定理，得EF AE =，EG CG ==∴.AG x =∴.AC ∴.AB BC ==∴.22x xBE x +-=-=∴.BE DF x +-∴（故④错误）.易知22CEF xS =△，22224ABE x S ==△， 222ABECEF x S S ==△△∴（故⑤正确）.综上所述，正确的有4个. 二、11.【答案】90° 12.【答案】16 13.【答案】2.5 14.【答案】【解析】设正方形的边长为a ，18ABE S =△∵，236ABE ABCD S S ==△正方形∴，236a =∴.0a ∵＞，6a =∴.在Rt BCE △中，4CE =∵，90C ∠=︒，BE ===15.【答案】14⎛ ⎝⎭.16.【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是矩形，AB x =，AD y =，∴CD AB x ==，BC AD y ==，90BCD ∠=︒.又BD DE ⊥∵，F 是BE 的中点，4DF =，4BF DF EF ===∴，44CF BC y =-=-∴.在Rt DCF △中，222DC CF DF +=，即()2244216x y +-==.()22416x y +-=∴. 17.【解析】如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB ==，2AD BC ==，90A D ∠=∠=︒.∵点E 为AD 的中点，1AE DE ==∴，BE =∴，CE ==CE BE =∴. BCEBEFCEFSSS=+∵，111222BC AB BE FG CE FK ⋅=⋅+⋅∴，()BC AB BE FG FH ⋅=+∴，即)23FG FH ⨯+，解得FG FH +=18.【答案】7【解析】如图，过点O 作OM CA ⊥，交CA 的延长线于点M ，过点O 作ON BC ⊥于点N ，易证OMA ONB △≌△，CN OM =，OM ON =∴，MA NB =. 又90ACB ∠=︒∵，90OMA ONB ∠=∠=︒，OM ON =，∴四边形OMCN 是正方形.OCM ∴△为等腰直角三角形.OC =∵6CM OM ==∴.651MA CM AC =-=-=∴.617BC CN NB OM MA =+=+=+=∴.故答案为7. 三、19.【答案】证明：连接DB .∵四边形ABCD 是菱形， BD ∴平分ABC ∠.又DE AB ⊥∵，DF BC ⊥，DE DF =∴. 20.【答案】（1）证明：CE OD ∵∥，DE AC ∥，∴四边形OCED 是平行四边形.又∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ⊥∴，即90COD ∠=︒，∴四边形OCED 是矩形.（2）解：∵在菱形ABCD 中，4AB =，4AB BC CD ===∴.又60ABC ∠=︒∵，ABC ∴△是等边三角形，4AC =∴，122OC AC ==∴，OD ==∴∴矩形OCED 的面积是2=21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，AC BD =∴，AB CD ∥.又BE AC ∵∥，E 在DC 的延长线上.∴四边形ABEC 是平行四边形，AC BE =∴，BD BE =∴.（2）解：如图，过点O 作OF CD ⊥于F .∵四边形ABCD 是矩形，90BCD ∠=︒∴，90BCE ∠=︒∴.在Rt BCE △中，根据勾股定理可得8BC =.∵BE BD =，6CD CE ==∴， 12DE =∴.OD OC =∵，CF DF =∴，又OB OD =，OF ∴为BCD △的中位线，142OF BC ==∴， 111242422ODE S DE OF =⋅=⨯⨯=△∴. 22.【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AD BC ∥，90A C ∠=∠=︒， ADB DBC ∠=∠∴.根据折叠的性质得ADB FDB ∠=∠，90F A ∠=∠=︒，DBC FDB ∠=∠∴，C F ∠=∠.BE DE =∴.在DCE △和BFE △中，DEC BEF C F DE BE ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩DCE BFE △≌△∴.（2）解：在Rt BCD △中，2CD =∵，30DBC ADB ∠=∠=︒，4BD =∴.BC =∴在Rt ECD △中，易得30EDC ∠=︒.2DE EC =∴.()2222EC EC CD -=∴.又2CD =∵，CE =∴BE BC EC =-∴ 23.【答案】（1）证明：如图，连接AC .∵四边形ABCD 为菱形，120BAD ∠=︒，AB BC CD DA ===∴，60BAC DAC ∠=∠=︒∴， ABC ∴△和ADC △都是等边三角形，60ABE ACF ∠=∠=︒∴，1260∠+∠=︒.3260EAF ∠+∠=∠=︒∵，13∠=∠∴.60ABC ∠=︒∵，AB BC =，ABC ∴△为等边三角形.AB AC =∴，ABE ACF △≌△∴.BE CF =∴.（2）解：四边形AECF 的面积不变.由（1）知ABE ACF △≌△，则ABE ACF S S =△△，故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S =+=+=△△△△△四边形. 如图，过A 作AM BC ⊥于点M ，则2BM MC ==，AM =∴11422ABC S BC AM =⋅=⨯⨯=△∴故S 四边形AECF = 24.【答案】解：（1）如图①.（2）如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点， 20PAE PAB ∠=∠=︒∴，AE AB =.∵四边形ABCD 是正方形，AE AB AD ==∴，90BAD ∠=︒.AED ADE ∠=∠∴，130EAD DAB BAP PAE ∠=∠+∠+∠=︒. 180130252ADF ∠-︒︒=︒=∴. （3）2222EF FD AB +=.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF BF =，AE AB AD ==， 易得ABF AEF ADF ∠=∠=∠.90BAD ∠=︒∵，90ABF FBD ADB ∠+∠+∠=︒∴.90ADF ADB FBD ∠+∠+∠=︒∴.90BFD ∠=︒∴.在Rt BFD △中，由勾股定理得222BF FD BD +=. 在Rt ABD △中，由勾股定理得22222BD AB AD AB =+=， 2222EF FD AB +=∴.。
北师大版九年级数学上册第一章全章测试题
oD ABCE第一章 特殊平行四边形周周测9一、 选择题（每小题3分，共36分） 1、下列命题中，真命题是（ ） A 、两条对角线垂直的四边形是菱形 B 、对角线垂直且相等的四边形是正方形C 、两条对角线相等的四边形是矩形D 、两条对角线相等的平行四边形是矩形2．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是（ ） A ．□ ABCD 中，AB =BC B ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD3、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ） A 、正方形 B 、等腰梯形 C 、菱形 D 、矩形4、菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A 、24 B 、20 C 、10 D 、5 5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3 B.4 C.6 D.86．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5° 7．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A ．23cmB ．24cmC ．23cmD ．223cm8、下列命题是真命题的是（ ）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形 9、下列判定正确的是 （ ）A 、对角线互相垂直的四边形是菱形B 、两角相等的四边形是等腰梯形C 、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D 、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形10、在矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 是CD 上一点，且AE =AB ，则∠CBE 等于（ ） A.30° B.22.5° C.15° D.以上答案都不对 11．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，DABCE∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ） A ．3B ．2C ．3D ．3212、如图7，O 是菱形ABCD 的对角线AC BD ，的交点，E F ，分别是OA OC ，的中点．下列结论：①ADE EOD S S =△△；②四边形BFDE 是中心对称图形；③DEF △是轴对称图形；④ADE EDO ∠=∠．其中错误．．的结论有 ． Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个二、 填空题（每小题3分，共12分）13．顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 14．如图，一斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为_______cm16、如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线A C 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为____．三、 解答题（共52分）17、(6分)如图，△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的两条高，点F 、M 分别是DE 、BC 的中点。
最新北师版九年级初三数学上册北师大版九上第1章测试卷(1)
第一章 特殊平行四边形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( ) A.15 B.14 C.13 D.310第2题图 第3题图3．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( )A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°4．正方形ABCD 的面积为36，则对角线AC 的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 25．下列命题中，真命题是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，AC ⊥BD ，分别过A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形7．如图，菱形ABCD 中，∠A ＝60°，周长是16，则菱形的面积是( )A ．16B ．16 2C ．16 3D ．8 3第7题图 第9题图 第10题图8．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( ) ①AC ＝5；②∠A ＋∠C ＝180°；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD .A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④9．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形CODE 的周长为( )A ．4B ．6C ．8D ．1010．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB .下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．12．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝________．第12题图第14题图13．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件____________使其成为一个菱形(只添加一个即可)．14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____________．第15题图第16题图16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．17．如图，已知双曲线y＝kx(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝________．第17题图第18题图18．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝10，则FD的长为________．三、解答题19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)(1)试判断线段BD与CD的大小关系；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；(3)若△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由.参考答案一、选择题1．B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C10．D 解析：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；若∠BAC ＝90°，则平行四边形AEDF 为矩形，故②正确；若AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠F AD .∵DE ∥CA ，∴∠EDA ＝∠F AD ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 为菱形，故③正确；若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，同理可得平行四边形AEDF 为菱形，故④正确，则其中正确的个数有4个．故选D.二、填空题11．菱形 12.112.5° 13.AC ⊥BD (答案不唯一)14．90 15.(2＋2，2) 16.7517．6 解析：设F ⎝⎛⎭⎫a ，k a ，则B ⎝⎛⎭⎫a ，2k a ，因为S 矩形ABCO ＝S △OCE ＋S △AOF ＋S 四边形OEBF ， 所以12k ＋12k ＋6＝a ·2k a，解得k ＝6. 18.256解析：连接EF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . ∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴AE ＝EG ，BG ＝AB ＝6，∴ED ＝EG .∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EGF ＝90°.在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝EG ，EF ＝EF ， ∴Rt △EDF ≌Rt △EGF (HL)，∴DF ＝FG .设DF ＝x ，则BF ＝BG ＋GF ＝6＋x ，CF ＝CD －DF ＝6－x .在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即102＋(6－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝256.即DF ＝256. 三、解答题19．证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠B ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D .∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.在△ABM 与△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AMB ＝∠AND ，∠B ＝∠D ，AM ＝AN ，∴△ABM ≌△ADN ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．20．解：(1)如图所示，EF 为所求直线．(2)四边形BEDF 为菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BD ，∴BF ＝DF ，BE ＝DE ，∠DEF ＝∠BEF .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF . ∵BF ＝DF ，∴BE ＝ED ＝DF ＝BF ，∴四边形BEDF 为菱形．21.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°.∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，∴BE ＝BF ，∠EBC ＋∠FBC ＝90°. 又∵∠ABF ＋∠FBC ＝90°，∴∠ABF ＝∠CBE .在△ABF 和△CBE 中，有⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴△ABF ≌△CBE (SAS)．(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝180°－∠BFE ＝135°. 又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF ＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．22．(1)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC .∵AE 平分∠CAM ，∴∠CAE ＝∠EAM ，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12(∠BAC ＋∠CAM )＝90°. ∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形．(2)解：当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形．证明如下∵∠BAC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴AD ＝CD .又∵四边形ADCE 为矩形，∴四边形ADCE 为正方形．23．解：(1)连接AC ，BD ，并且AC 和BD 相交于点O .∵AE ⊥BC 且E 为BC 的中点，∴AC ＝AB .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ，AC ⊥BD ∴△ABC 和△ADC 都是正三角形，∴AB ＝AC ＝4.∴AO ＝12AC ＝2，∴BO ＝AB 2－AO 2＝23， ∴BD ＝43，∴菱形ABCD 的面积是12AC ·BD ＝8 3. (2)∵△ADC 是正三角形，AF ⊥CD ，∴∠DAF ＝30°.∵CG ∥AE ，BC ∥AD ，AE ⊥BC ， ∴四边形AECG 为矩形，∴∠AGH ＝90°，∴∠AHC ＝∠DAF ＋∠AGH ＝120°.24．解：(1)BD ＝CD .∵AF ∥BC ，∴∠F AE ＝∠CDE .∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F AE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∠AEF ＝∠CED ，∴△AEF ≌△DEC (ASA)，∴AF ＝CD .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．(3)四边形AFBD为菱形，理由如下：∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.同(2)可得四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是菱形．学习名言警句：1.在科学上面没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望到达光辉的顶点。
北师大版九年级数学上册第一单元测试题含答案
北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于() A．20 B．15 C．10 D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A．15B．14C．13D．3104．如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于()A．3 cm B．4 cm C．2.5 cm D．2 cm5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3 B．2 2 C. 6 D．3 36．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于()A．75°B．45°C．60°D．30°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2 5D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有() A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，3)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 019 s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC 边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG ＋FH＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC.已知AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形．(2)若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．21．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE.(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE.(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F 不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠P AB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．答案一、1．D2．B3．B4．A解析：∵菱形ABCD的周长为24 cm，∴AB＝24÷4＝6 (cm)，OB＝OD.又∵E为AD边的中点，∴OE是△ABD的中位线．∴OE＝12AB＝12×6＝3 (cm)．故选A.5．D6．D7．D8．C9．D解析：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.∵AD∥BC，∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.又∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又∵AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝AE2－AB2＝52－42＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则FM＝4，EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝EM2＋FM2＝22＋42＝20＝25，则选项C正确．∵AF＝5，EF＝25，∴AF≠EF.故选项D错误．10．C 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)． ∴BE ＝DF (故①正确)， ∠BAE ＝∠DAF .∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF (故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x . ∴AG ＝62x . ∴AC ＝6x ＋2x2.∴AB ＝BC ＝3x ＋x 2.∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2.∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x (故④错误)．易知S △CEF ＝x 22，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x22＝x 24，∴2S △ABE ＝x 22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、11．90° 12．16 13．2.514．213 解析：设正方形的边长为a ，∵S △ABE ＝18，∴S 正方形ABCD ＝2S △ABE ＝36， ∴a 2＝36.∵a ＞0，∴a ＝6. 在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∠C ＝90°， ∴BE ＝BC 2＋CE 2＝62＋42＝213. 15．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 16．16 解析：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝x ，AD ＝y ，∴CD ＝AB ＝x ，BC ＝AD ＝y ，∠BCD ＝90°.又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF ＝4，∴BF ＝DF ＝EF ＝4，∴CF ＝4－BC ＝4－y.在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，即x 2＋(4－y )2＝42＝16.∴x 2＋(y －4)2＝16. 17．3105 解析：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°. ∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1，∴BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10， ∴CE ＝BE .∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC ·AB ＝12BE ·FG ＋12CE ·FH ，∴BC ·AB ＝BE (FG ＋FH )，即2×3＝10(FG ＋FH )，解得FG ＋FH ＝3105.18．7 解析：如图，过点O 作OM ⊥CA ，交CA 的延长线于点M ，过点O作ON ⊥BC 于点N ，易证△OMA ≌△ONB ，CN ＝OM ，∴OM ＝ON ，MA ＝N B.又∵∠ACB ＝90°，∠OMA ＝∠ONB ＝90°，OM ＝ON ， ∴四边形OMCN 是正方形． ∴△OCM 为等腰直角三角形． ∵OC ＝62，∴CM ＝OM ＝6.∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7. 故答案为7.三、19．证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.20．(1)证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．(2)解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝4，∴OC＝12AC＝2，∴OD＝42－22＝23，∴矩形OCED的面积是23×2＝4 3.21．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，E在DC的延长线上．∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE，∴BD＝BE.(2)解：如图，过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCE＝90°.在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC＝8.∵BE＝BD，∴CD＝CE＝6，∴DE＝12.∵OD＝OC，∴CF＝DF，又OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝12BC＝4，∴S△ODE＝12DE·OF＝12×12×4＝24.22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠ADB＝∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB＝∠FDB，∠F＝∠A＝90°，∴∠DBC＝∠FDB，∠C＝∠F.∴BE＝DE.在△DCE和△BFE中，∴△DCE≌△BFE.(2)解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BD＝4.∴BC＝2 3.在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.∴DE＝2EC.∴(2EC)2－EC2＝CD2.又∵CD＝2，∴CE＝23 3.∴BE＝BC－EC＝43 3.23．(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC 和△ADC都是等边三角形，∴∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC 为等边三角形．∴AB ＝AC .∴△ABE ≌△ACF .∴BE ＝CF .(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC .如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2，∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝2 3.∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝4 3.故S 四边形AECF ＝4 3.24．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE ，∵点E 是点B 关于直线AP 的对称点，∴∠P AE ＝∠P AB ＝20°，AE ＝AB.∵四边形ABCD 是正方形，∴AE ＝AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴∠AED ＝∠ADE ，∠EAD ＝∠DAB ＋∠BAP ＋∠P AE ＝130°.∴∠ADF ＝180°－130°2＝25°. (3)EF 2＋FD 2＝2AB 2.证明如下：如图③，连接AE ，BF ，BD ，由轴对称和正方形的性质可得，EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，易得∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF .∵∠BAD ＝90°， ∴∠ABF ＋∠FBD ＋∠ADB ＝90°.∴∠ADF ＋∠ADB ＋∠F BD ＝90°.∴∠BFD ＝90°.在Rt △BFD 中，由勾股定理得BF 2＋FD 2＝BD 2.在Rt △ABD 中，由勾股定理得BD 2＝AB 2＋AD 2＝2AB 2，∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.。
北师大版九年级数学上册第一章检测题(含答案)
第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(内江中考)下列命题中，真命题是( C )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．(西宁中考)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( D )A．5 B．4 C.342D.343．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是( C )A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD,第2题图),第4题图),第5题图),第6题图)4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( D )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180°5．(衡阳中考)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M 、N 的坐标分别是( A ) A ．M(5，0)，N(8，4) B ．M(4，0)，N(8，4) C ．M(5，0)，N(7，4) D ．M(4，0)，N(7，4)6．(陕西中考)如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于点M′、N′，则图中的全等三角形共有( C )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对7．(广东中考)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连接EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )A . 2B ．2 2C .2＋1D ．22＋18．(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为( D )A .103B ．4C ．4.5D ．5 ,第7题图) ,第8题图),第9题图) ,第10题图)9．(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图1，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图2，AC ＝( A )A . 2B ．2C . 6D ．2 210．(宜宾中考)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( A )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2二、填空题(每小题3分，共18分)11．(成都中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为__33__.12．(青岛中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE ，ED ，BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度．,第11题图) ,第12题图),第14题图),第16题图) 13．(兰州中考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__.14．(江西中考)如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为__26__.15．(哈尔滨中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__.16．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长C n＝__2n＋1__.三、解答题(共72分)17．(6分)已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.证明：易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF18．(7分)如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上一点．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)若AB＝AE，∠BAE＝36°，求∠CDE的度数．(1)证明：易证△ABE≌△ADE(SAS)；(2)解：∵AB＝AE，∠BAE＝36°，∴∠AEB＝∠ABE＝180°－∠BAE2＝72°，∵△ABE≌△ADE，∴∠AED＝∠AEB＝72°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAE＝36°，∴∠CDE＝∠AED－∠DCA＝72°－36°＝36°19．(7分)(贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积．(1)证明：易证△AOD ≌△COB(ASA )，∴AO ＝OC ，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝5，∴OC ＝CD 2－OD 2＝2，∴AC ＝2OC ＝4，∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝4 5 20．(7分)(上海中考)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD DE ＝DE EA ＝EC，∴△ADE ≌△CDE ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ，∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ，∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形(2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形21．(7分)(遵义中考)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．(1)证明：易证△CFP ≌△AEQ(ASA )，∴CP ＝AQ(2)解：∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°，∵∠AEF ＝45°，∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2，∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32，∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2，∵CP ＝AQ ，AD ＝BC ，∴DQ ＝BP ＝1，∴AD ＝AQ ＋DQ ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB·AD ＝2×4＝822．(8分)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，分别延长OA ，OC 到点E ，F ，使AE ＝CF ，依次连接B ，F ，D ，E 各点．(1)求证：△BAE ≌△BCF ；(2)若∠ABC ＝40°，求当∠EBA 为多少度时，四边形BFDE 是正方形．(1)证明：易证△BAE ≌△BCF(SAS )(2)解：若∠ABC ＝40°，则当∠EBA ＝25°时，四边形BFDE 是正方形．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠ABO ＝12∠ABC ＝20°，∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，∴四边形BFDE 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形，∵∠EBA ＝25°，∴∠OBE ＝25°＋20°＝45°，∴△OBE 是等腰直角三角形，∴OB ＝OE ，∴BD ＝EF ，∴菱形BFDE 是正方形23．(8分)(云南中考)如图，△ABC 是以BC 为底的等腰三角形，AD 是边BC 上的高，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S.解：(1)∵AD ⊥BC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，Rt △ACD 中，DF ＝12AC ＝AF ，又∵AB ＝AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，∴四边形AEDF 是菱形(2)如图，∵菱形AEDF 的周长为12，∴AE ＝3，设EF ＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7，∴x 2＋2xy ＋y 2＝49①，∵AD ⊥EF 于O ，∴Rt △AOE 中，AO 2＋EO 2＝AE 2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x 2＋y 2＝36②，把②代入①，可得2xy ＝13，∴xy ＝132，∴菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝13424．(10分)(开江县期末)如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，以AE 为边作正方形AEFG .(1)求证：△ADG ≌△ABE ；(2)求证：∠FCN ＝45°；(3)请问在AB 边上是否存在一点Q ，使得四边形DQEF 是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．证明：(1)∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴DA ＝BA ，EA ＝GA ，∴∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ，∴△ADG ≌△ABE(2)过F 作BN 的垂线，设垂足为H ，∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠FEH ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠HEF ，∵AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EHF ，∴AB ＝EH ，BE ＝FH ，∴AB ＝BC ＝EH ，∴BE ＋EC ＝EC ＋CH ，∴CH ＝BE ＝FH ，∴∠FCN ＝45°(3)在AB 上取AQ ＝BE ，连接QD ，∵AB ＝AD ，∴△DAQ ≌△ABE ，∵△ABE ≌△EHF ，∴△DAQ ≌△ABE ≌△ADG ，∴∠GAD ＝∠ADQ ，∴AG 、QD 平行且相等，又∵AG 、EF 平行且相等，∴QD 、EF 平行且相等，∴四边形DQEF 是平行四边形．∴在AB 边上存在一点Q ，使得四边形DQEF 是平行四边形25．(12分)(1)如图1，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一个动点，若线段MN 垂直AP 于点E ，交线段AB 于M ，交线段CD 于N ，证明：AP ＝MN ；(2)如图2，正方形ABCD 中，点P 为线段BC 上一动点，若线段MN 垂直平分线段AP ，分别交AB 、AP 、BD 、DC 于点M 、E 、F 、N.求证：EF ＝ME ＋FN ；(3)若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的最大值与最小值．(1)证明：过B 点作BH ∥MN 交CD 于H ，∵BM ∥NH ，BH ∥MN ，∴四边形MBHN 为平行四边形．∴BH ＝MN.∵MN ⊥AP ，∴∠BAP ＋∠ABH ＝90°.又∵∠ABH ＋∠CBH＝90°，∴∠BAP ＝∠CBH.在△ABP 与△BCH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAP ＝∠CBH AB ＝BC∠ABP ＝∠BCH∴△ABP ≌△BCH.∴AP ＝BH.∴AP ＝MN(2)连接FA ，FP ，FC.∵正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，∴FA ＝FC.又∵FE 垂直平分AP ，∴FA ＝FP.∴FP ＝FC.∴∠FPC ＝∠FCP.∵∠FAB ＝∠FCP ，∴∠FAB ＝∠FPC.又∵∠FPC ＋∠FPB ＝180°，∴∠FAB ＋∠FPB ＝180°.∴∠ABC ＋∠AFP ＝180°.∴∠AFP ＝90°.∴FE ＝12AP.又∵AP ＝MN ，∴ME ＋EF ＋FN ＝AP.∴EF ＝ME ＋FN(3)由(2)有EF ＝12MN ，∵AC ，BD 是正方形的对角线，∴BD ＝2 2.当点P 和点B 重合时，EF 最小＝12MN ＝12AB ＝1.当点P 和点C 重合时，EF 最大＝12MN ＝12BD ＝ 2。
北师大版数学九年级上册第一章测试卷
第一章检测题（一）一、选择题1、下列说法中，不正确的是（ ）．（A ）有三个角是直角的四边形是矩形;（B ）对角线相等的四边形是矩形（C ）对角线互相垂直的矩形是正方形;（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形2、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）．（A ）①②③ （B ）①④⑤ （C ）①②⑤ （D ）②⑤⑥ 3、观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有（ ）（A ）2个 （B ）1个 （C ）4个 （D ）3个 图1 4、顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ） A ．菱形 B ．正方形 C ．矩形 D ．等腰梯形5、如图1，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD =（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①②③ 6、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、32B 、332C 、3 3D 、532图3 图47、如图3，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）．（A ）15° （B ）30° （C ）45° （D ）60°8、如图4，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）． （A ）3：2 （B ）3：3 （C ）1：2 （D ）3：19、如图5，四边形ABCD 是正方形，延长BC 至点E ，使CE=CA ，连结AE 交CD•于点F ，•则∠AFC 的度数是（ ）．（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112．5° 10、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A 、四个角都是直角B 、两组对边分别相等C 、内角和为0360 D 、对角线平分对角图5 11、矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ） （A ）6 cm 和9 cm （B ）5 cm 和10 cm （C ）4 cm 和11 cm （D ）7 cm 和8 cm12、菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为…………………（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24 二、填空题：13、已知矩形的对角线长为4cm ，一条边长为23cm ，则面积为________．14、菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．15、如图7，在□ABCD 中，则对角线AC 、BD 相交于O ，图中全等的三角形共有____对．图7 图8 图916、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为 .17、如图8，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点AE ⊥BD ，垂足为E ．若OD ＝2 OE ， AE ＝3，则DE 的长为______．18、如图9，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若AE ＝4，AF ＝6，□ABCD 的周长为40，则S □ABCD 为______．三、解答题（要有必要的文字说明，规范的步骤）19、如图6，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点且AE=AD ，又AE DF ⊥于点F ， 证明：EC=EF.A BCDA DFECDBAO20、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作CE ∥BD ，交A•孤延长线于点E ，求证：AC=CE ．21、如图1-16，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ． (1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（ ）． A ．梯形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 ⑶证明你在(2)中的结论22、（本小题满分10分）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．23、如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交B于Q.（1）求证： OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．。
北师版九年级数学上册第一章测试卷含答案
第一章检测题（本试卷满分120分考试时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（）A.底边长都为15cm的两个等腰三角形B.腰长都为15cm的两个等腰三角形C.两个含45°角的直角三角形D.边长为12cm的两个等边三角形2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A.7B.3C.7或3D.53、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.一个角是钝角，一个角是直角5、如图1-1，D是线段AB.BC垂直平分线的交点，若∠ABC=150°，则∠ADC的度数是（）A.60°B.70°C.75°D.80°6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）A.10mB.15mC.25mD.30mCBA D 图1-1 图1-27、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角形是等边三角形。
其中逆命题正确的有（ ）A.①③B.②④C.①②D.③④8、如图1-3（1）在△ABC 中，D 、E 分别是AB,AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的四个结论中，一定不成立的是（ ）A.∠B+∠C=180°B.点A 落在BC 上C.△DBA 是等腰三角形D.DE ∥BC9、如图1-4，在Rt △ABC 中，∠C=90°，直线BD 交AC 于点D ，把直角三角形沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上，如果△ABD 是等腰三角形，那么∠A 等于（ ）A.60°B.45°C.30°D.22.5°30°A B C E D A B C D E 图1-3 （1） （2）10、如图1-5，在△ABC 中，BC=AC,∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 的延长线交AC 的延长线于F ，垂足为E 。
北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案
北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案(考试时间：120分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题共18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(A)A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补2．下列命题中，错误的是(C)A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O，C的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点B的坐标是(C)A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)第3题图第4题图4．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长是30 cm，则AB的长为(A)A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm5．若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两个邻角的度数比为(C)A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为(A) A．1 B．2 C. 2 D.3第6题图第7题图第Ⅱ卷(非选择题共102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，AE交CD于F，则∠E＝__22.5°__.8．矩形的两邻边长分别为3 cm和6 cm，则顺次连接各边中点，所得四边形的形状一定是菱形，其面积是9 cm2.9．★如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E 处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是__4__.第9题图第10题图10．如图所示，矩形中有两个相邻的正方形，面积分别是3和9，那么阴影部分的面积11．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝__7__，CD＝__5__.第11题图第12题图12．★(徐州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(广州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD 的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，即∠ABD＝60°.14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO.∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.15．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DCF ＝90°.在△BCE 与△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF. 16．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，EF 平分∠BED ，求证：EF ⊥BD .证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴△ABC 和△ADC 都是直角三角形， 且有公共斜边AC.又∵E 是公共斜边AC 的中点， ∴BE ＝DE ＝12AC.又∵EF 平分∠BED ，∴EF ⊥BD.17．(广安中考)如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF ＝BE .证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠CBE ＝∠CDF.∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ， ∴∠CFD ＝∠CEB ＝90°， 在△CEB 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠CEB ＝∠CFD ，∠CBE ＝∠CDF ，CB ＝CD ，∴△CEB ≌△CFD(AAS)，∴DF ＝BE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(荆州中考)如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，将△ABC 沿BC 方向平移，使点B 移到点C ，得到△DCE .(1)求证：△ACD ≌△EDC ；(2)请探究△BDE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵△DCE 是由△ABC 平移而得到的，∴△DCE ≌△ABC. ∵△ACD ≌△CAB ，∴△ACD ≌△EDC ； (2)解：△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝DE ，AC ＝DB ，∴DE ＝DB ，∴△BDE 是等腰三角形．19．如图，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G . (1)求证：AE ＝CF ；(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的度数．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC. ∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°.∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CBF.在△AEB 和△CFB 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ，∴△AEB ≌△CFB(SAS)，∴AE ＝CF.(2)解：∠EGC ＝80°.20．(贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为点O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积．(1)证明：∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠ADB ＝∠CBD.又∵AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴BO ＝DO(等腰三角形“三线合一”)．在△AOD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOD ＝∠COB ，OB ＝OD ，∠ADO ＝∠CBO.∴△AOD ≌△COB(ASA)，∴AO ＝CO.又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝ 5.在Rt △CDO 中，OC ＝CD 2－OD 2＝32－（5）2＝2，∴AC ＝4. ∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12× 4× 25＝4 5.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在直线AC 上(点E 在F 左侧)，BE ∥DF . (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长．(1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD. 由BE ∥DF 得∠BEO ＝∠DFO.又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△BEO ≌△DFO. ∴BE ＝DF.又∵BE ∥DF ， ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)解：∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213， ∴AC ＝6，∴AO ＝3， ∴在Rt △BAO 中，BO ＝5. 又∵四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ＝5，∴点E 在OA 的延长线上，且AE ＝2.22．(杭州中考)如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B ，D 重合)，GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连接AG .(1)写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)关系：AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2；(2)作AM⊥BG于M，依题意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.设GM＝x，则AM＝BM＝3x.在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，∴(3x)2＋(3x)2＝1，∴x＝6 6，∴BG＝x＋3x＝66＋3×66＝6＋326.六、(本大题共12分)23．(威海中考)如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.在△ABF和△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.∴∠EAF＝∠BAD.∵AB＝AC，AC＝AE，∴AB＝AE.在△AEF和△ABD中，AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，∴△AEF≌△ABD.∴BD＝EF.(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABN＝90°.由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∴四边形ABNE是矩形．又∵AE＝AB，∴矩形ABNE是正方形．。