哈夫曼树和图的应用
数据压缩算法中的哈夫曼编码原理及应用
数据压缩算法中的哈夫曼编码原理及应用哈夫曼编码是一种常用的数据压缩算法，它的原理是通过对待压缩的数据进行频率统计，将频率较高的字符赋予较短的编码，频率较低的字符赋予较长的编码，从而实现对数据的高效压缩。
哈夫曼编码的应用广泛，包括文件压缩、通信传输、数据存储等方面。
哈夫曼编码的原理可以简单描述为以下几个步骤：1.频率统计：将待压缩的数据进行频率统计，统计每个字符出现的次数，得到字符频率表。
2.构建哈夫曼树：根据字符频率表，构建哈夫曼树。
哈夫曼树是一种特殊的二叉树，其中每个叶子节点对应着一个字符，其路径长度代表该字符的编码长度。
3.生成编码：从哈夫曼树的根节点开始，对每个叶子节点进行编码生成。
从根节点到叶子节点的路径上的边分为0和1，路径上的0表示向左走，1表示向右走，从而得到每个字符的哈夫曼编码。
4.压缩数据：将原始数据按照生成的哈夫曼编码进行压缩，将每个字符替换为对应的哈夫曼编码。
5.解压数据：根据压缩后的数据和哈夫曼树，进行解压还原。
从根节点开始，按照压缩数据的0和1进行路径遍历，当遇到叶子节点时，即可找到对应的字符。
哈夫曼编码的应用非常广泛，下面介绍几个常见的应用领域：1.文件压缩：哈夫曼编码在文件压缩中有着重要的应用。
通过统计文件中每个字符的出现频率，构建哈夫曼树，并生成对应的哈夫曼编码，将字符替换为哈夫曼编码后，可以大大减少文件的存储空间。
当文件中存在一些频率较高的字符时，哈夫曼编码的效果尤为显著。
2.图片压缩：在图片压缩中，哈夫曼编码通常用于无损压缩。
将图像中的像素点表示为字符，通过统计每个字符出现的频率，构建哈夫曼树，并生成对应的哈夫曼编码。
将像素点替换为哈夫曼编码后，图像的存储空间可以大大减小，同时保证了图像的质量不受损失。
3.音频压缩：在音频压缩中，哈夫曼编码常用于有损压缩，例如MP3格式的音频文件。
在有损压缩中，通过对音频数据进行量化和编码，可以减小文件的大小，从而方便传输和存储。
哈夫曼编码的实现及应用
哈夫曼编码的实现及应用哈夫曼编码（Huffman Coding）是一种用于数据压缩的编码技术，它可以将数据中频繁出现的字符或符号用较短的编码表示，从而减小数据的存储或传输开销。
以下是哈夫曼编码的实现和应用：实现哈夫曼编码：1. 构建哈夫曼树：首先，需要收集数据中不同字符或符号的频率信息，然后根据这些频率构建哈夫曼树。
在哈夫曼树中，频率较高的字符位于树的较低部分，频率较低的字符位于树的较高部分。
2. 分配编码：从根节点开始，沿着哈夫曼树的路径向下，为每个字符分配唯一的编码。
左子树通常表示0，右子树表示1。
这确保了编码是前缀编码，即没有一个编码是另一个编码的前缀。
3. 编码数据：使用分配的编码，将原始数据中的字符替换为相应的编码，从而生成压缩的数据。
哈夫曼编码的应用：1. 数据压缩：哈夫曼编码广泛用于数据压缩领域，包括压缩文件、图像、音频和视频数据。
由于频率较高的字符使用较短的编码，哈夫曼编码可以显著减小文件大小。
2. 通信系统：在通信系统中，数据通常需要在网络上传输。
使用哈夫曼编码可以减小数据传输的带宽要求，提高通信效率。
3. 文本编辑器：哈夫曼编码可用于实现字典压缩，减小文本文件的大小，使其更容易存储和传输。
4. 图像压缩：JPEG图片格式使用了哈夫曼编码来压缩图像数据，减小图像文件的大小。
5. 音频压缩：MP3音频格式中的音频数据也使用了哈夫曼编码，以减小音频文件的大小。
6. 存储设备：存储设备，如硬盘和闪存驱动器，通常使用哈夫曼编码来提高存储效率，减小数据的物理存储需求。
哈夫曼编码是一种有效的数据压缩方法，可以在多个领域中应用，以减小数据的大小并提高数据传输和存储的效率。
不同应用领域可能会采用不同的编码方式，但核心原理是一致的。
头歌赫夫曼树及其应用实践
头歌赫夫曼树及其应用实践头歌赫夫曼树是一种特殊的哈夫曼树算法，它在图像压缩、数据传输、数据存储等方面得到广泛应用。
本文将介绍头歌赫夫曼树的原理、构建方法以及应用实践。
一、头歌赫夫曼树的原理头歌赫夫曼树是由美国计算机科学家J. L. Bentley和A. J. Heineman在1986年所提出的算法。
该算法的核心思想是根据数据源中的出现频率来构建一棵哈夫曼树，使得重复次数多的数据用较短的编码表示，而出现较少的则用更长的编码表示。
头歌赫夫曼树相较于普通的哈夫曼树，使用的是无损压缩技术，将数据源的压缩结果保持无误的情况下完成数据压缩。
二、头歌赫夫曼树的构建方法头歌赫夫曼树的构建方法主要分为两个步骤：哈夫曼树的构建和头歌操作。
1. 哈夫曼树的构建（1）将数据源中的所有元素按照出现频率的高低进行排序，出现频率越高的排名越靠前。
（2）依次将排名靠前的两个元素作为一组，其中出现频率较高的元素为根节点，出现频率较低的元素为叶子节点。
将该组元素从数据源中删除，并将新生成的节点加入数据源。
（3）重复执行（1）和（2），直到数据源中只剩下一棵哈夫曼树。
2. 头歌操作头歌操作是在树的基础上，使用二进制位操作来达成哈夫曼编码。
（1）记录每个叶子节点所代表的字符和二进制编码。
（2）从根节点到叶子节点，如果在这条路径上向左走，则将下一位的二进制编码设为0，向右走则为1。
（3）将所有叶子节点的二进制编码连接起来，以形成数据源压缩后的结果。
三、头歌赫夫曼树的应用实践头歌赫夫曼树已经广泛应用于图像压缩、数据传输、数据存储等方面，以下是头歌赫夫曼树在这些领域的具体应用实践。
1. 图像压缩头歌赫夫曼树可以将图像中重复出现的像素点压缩为一个代表像素点的数据，从而达到压缩图像的效果，提高图像传输和存储的效率。
2. 数据传输头歌赫夫曼树可以将传输的数据进行压缩，缩短传输时间，减少传输量，有效地减轻传输负担。
3. 数据存储头歌赫夫曼树可以将数据存储为压缩格式，占用的存储空间更小，提高存储效率。
简述哈夫曼原理的应用
简述哈夫曼原理的应用1. 哈夫曼编码哈夫曼编码是一种用于数据压缩的无损编码方法，通过根据字符出现的频率来构建一个最优的二进制编码表。
具体过程如下：1.统计字符的频率：遍历待编码的文本，统计每个字符出现的频率。
2.构建哈夫曼树：根据字符频率构建哈夫曼树，频率越高的字符距离根节点越近。
3.生成哈夫曼编码表：从根节点开始，左子树编码为0，右子树编码为1，通过深度优先遍历生成每个字符的编码。
4.进行编码：用生成的编码表将文本中的字符替换为对应的哈夫曼编码，从而实现数据的压缩。
哈夫曼编码的应用可以大大减少数据的存储空间，常见的应用场景包括文本文件压缩、图片文件压缩等。
2. 音频压缩在音频压缩中，哈夫曼编码经常被用来压缩音频数据。
音频数据通常包含大量的冗余信息，利用哈夫曼编码可以消除这些冗余并减小数据体积。
具体步骤如下：1.分析音频数据的频谱：将音频数据转换为频域数据，通过傅里叶变换等方法提取频谱特征。
2.统计频谱特征的出现频率：根据频谱特征的出现频率构建哈夫曼树。
3.生成哈夫曼编码表：根据哈夫曼树生成对应的哈夫曼编码表。
4.进行编码：利用哈夫曼编码表将频谱特征进行编码，替代原始的音频数据。
通过音频压缩可以减小音频文件的大小，提高存储效率，同时保证音质的基本不损失。
3. 图像压缩图像压缩是指将图像数据压缩为更小的文件大小，同时尽量保持图像的视觉质量不受太大影响。
哈夫曼编码在图像压缩中也有着广泛的应用。
具体应用如下：1.图像预处理：将图像转换为灰度图或者进行颜色空间的变换。
2.图像分块：将图像划分为若干个小块，每个小块包含多个像素点。
3.统计每个小块中像素点的频率：根据像素点的灰度值统计频率，并构建哈夫曼树。
4.生成哈夫曼编码表：根据哈夫曼树生成对应的哈夫曼编码表。
5.进行编码：利用哈夫曼编码表将图像数据进行编码，代替原始的像素值。
图像压缩技术通过减少冗余信息和去除人眼不敏感的细节，可以大幅度减小图像文件的大小，常见的图像压缩格式如JPEG就广泛应用了哈夫曼编码。
哈夫曼树.ppt
n
w i pi
最小，其中
i 1
Wi是第i个字符的使用频度，而Pi是第i个字符的编码长度， 这正是度量报文的平均长度的式子。
2020/3/5
21
例2：要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT}
要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；}
每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 }
PL=0+1+1+2+2=6
2020/3/5
9
问题2：什么样的带权树路径长度最小？
例如：给定一个权值序列{2,3,4,7}，可构造的多种 二叉树的形态。
2
3
4
7
2 34 7
(a) WPL=2×2＋2×3+2×4+2×7=32 (b) WPL=1×2＋2×3+3×4+3×7=41
2020/3/5
7
4
3
2
(c) WPL=1×7＋2×4+3×3+3×2=30
10
哈夫曼树的构造
例：给定权值{7，5，2，4}，构造哈夫曼树。
6
方法： 75 2 4
75
（1）a 初始b化：由c 原始d数据生成森林a ； b c
d
（次2小）的找二最叉小(树a树) 作：为在左森右林子中树选构取造两一棵棵根新结的点二权叉值树最(，小b)其的根和
A）先序遍历
B）中序遍历
C）后序遍历
D）从根开始进行层次遍历
2、某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉
树一定是（ B ）的二叉树。
A）空或只有一个结点
B）高度等于其结点数
C）任一结点无左孩子
D）任一结点无右孩子
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树的实际应用
哈夫曼树（Huffman Tree）是一种重要的数据结构，它在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用。
1. 数据压缩：哈夫曼树是一种无损压缩的方法，能够有效地减小数据的存储空间。
在进行数据压缩时，可以使用哈夫曼树构建字符编码表，将出现频率较高的字符用较短的编码表示，而出现频率较低的字符用较长的编码表示，从而减小数据的存储空间。
2. 文件压缩：在文件压缩领域，哈夫曼树被广泛应用于压缩算法中。
通过构建哈夫曼树，可以根据字符出现的频率来生成不同长度的编码，从而减小文件的大小。
常见的文件压缩格式如ZIP、GZIP等都使用了哈夫曼树。
3. 图像压缩：在图像处理中，哈夫曼树被用于图像压缩算法中。
通过将图像中的像素值映射为不同长度的编码，可以减小图像的存储空间，提高图像传输和存储的效率。
常见的图像压缩格式如JPEG、PNG等都使用了哈夫曼树。
4. 文件传输：在数据传输中，哈夫曼树被用于数据压缩和传输。
通过对数据进行压缩，可以减小数据的传输时间和带宽占用。
在传输过程中，接收方可以通过哈夫曼树解码接收到的数据。
5. 数据加密：在数据加密中，哈夫曼树可以用于生成密钥，从而实现数据的加密和解密。
通过将字符映射为不同长度的编码，可以实
现对数据的加密和解密操作。
哈夫曼树在信息编码和压缩、数据传输和存储、图像处理等领域有广泛应用，能够有效地减小数据的存储空间、提高数据传输效率、实现数据加密等功能。
哈夫曼编码算法的原理及应用
哈夫曼编码算法的原理及应用随着信息技术的快速发展和数字化时代的到来，数据量的增加、存储和传输的要求也愈加严格。
如何用最少的存储空间传输最多的信息，成为了数字化时代数据处理的重要问题。
哈夫曼编码算法由于它对数据的高效压缩和快速解压，已经成为信息技术领域中常用的压缩算法之一。
一、哈夫曼编码算法的原理哈夫曼编码算法是由美国数学家哈夫曼在1952年发明的一种高效的数据压缩算法，它是一种前缀编码方式，利用不同字符出现的频率不同，将频率小的字符用较短的编码表达，频率大的字符则用较长的编码表示。
在编码表中，任何一个字符的编码都不会是另一个的编码的前缀，这就是哈夫曼编码的前缀编码优势。
采用哈夫曼编码算法最终压缩得到的数据是无损的，因为压缩后的数据是通过编码表进行翻译的，不会出现错误的情况。
哈夫曼编码算法的实现包括两个主要步骤：创建哈夫曼树和生成哈夫曼编码。
创建哈夫曼树：哈夫曼树是由哈夫曼算法创建的，其基本思想是将每个字符看作一棵树，以该字符出现的频率为权值，进行递归合并，直到所有的树合并为一棵哈夫曼树。
哈夫曼树的结构可以用一棵二叉树来表示，每个节点代表一个字符或者一个由多个字符组成的字符串。
生成哈夫曼编码：通过哈夫曼树可以生成哈夫曼编码表，哈夫曼编码表可以用一个映射关系来表示，将每个字符与对应的编码对应起来。
在哈夫曼树的遍历过程中，当向左走时，添加0到编码中，向右走时，添加1到编码中，直到到达叶子节点时，记录下该字符的哈夫曼编码。
二、哈夫曼编码算法的应用哈夫曼编码算法的应用非常广泛，除了在数据压缩中广泛应用外，它在通信、数据存储等领域也有很多应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 压缩和解压缩作为一种高效的数据压缩算法，哈夫曼编码算法被广泛应用于文件和图像等数据的压缩和解压缩中。
哈夫曼编码通过对数据进行更高效的压缩，可以节约存储空间和传输带宽。
在压缩文件的过程中，压缩后的文件大小通常能缩小到原来的50%以下。
数据结构-哈夫曼树及其应用
15
40 a
30 b
5
c
10 d
15 e
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
30
40 a
30 b
15
15 e
5
c
10 d
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ③实例：已知有5个叶子结点的权值分别为：5 , 15 , 40 , 30 , 10 ；试画出一棵相应的哈夫曼树。
WPL=∑wi*li最小的二叉树称为“最优
i=1 n
二叉树”或称为“哈夫曼树”。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的值为{w1,w2,...wn}，构 造一棵最优二叉树。
二、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树的求解过程 ②方法：
步骤1:构造一个具有n棵二叉树的森林F={T1,T2,......,Tn}， 其中Ti是只有一个根结点且根结点的权值为wi的二叉树。 步骤2:在F中选取两棵其根结点的权值最小的二叉树，从F 中删除这两棵树，并以这两棵二叉树为左右子树构造一棵 新的二叉树添加到F中，该新的二叉树的根结点的权值为 其左右孩子二叉树的根结点的权值之和。 步骤3:判断F中是否只有唯一的一棵二叉树。若是，则求 解过程结束；否则，转步骤2。
二、哈夫曼树及其应用
3.哈夫曼编码 ②压缩编码：
例如：对于刚才的4个字符的编码问题，可以按如 下不等长编码方案进行编码： A: 0 B: 00 C: 1 D: 01 则对于电文“ABACCDA”的二进制电码为： 000011010 总长为9位 问题：译码时可能出现多意性，即译码不唯一：
二、哈夫曼树及其应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弧的集合G={<V1 ，V3>, <V3 ，V4>,
<V2 ，V4>, <V4，V1>}
V1
V3
顶点集合V={V1 ， V2 ， V3 ， V4 } 边的集合E={(V1, V3), (V1, V2), (V1, V4),(V2, V4)} 顶点(V1, V3)与 (V3, V1)表示同一条边
V2
V4
28.有n个叶子结点的哈夫曼树，其结点总数为2n-1
2016/2/25
25
26. 设电文中出现的字符 为A, B, C, D, E，每个字 母在电文中出现的次数分 别为 9, 7 , 3, 5,11，按哈 夫曼得出C的编码是：
0
55
1 28
B
27 E
0
11
1
1
0 17
0 C的编码是1100 3 C
图的邻接表表示法：即对图中每个顶点建立一个单链表，第i个 单链表中的结点表示依附于该顶点Vi的边（或弧）
1
V1
V3
3 ∧ 4 ∧ 4 ∧ 1 ∧
2 3
V2
V4
4
V1
V3
1 2 3
2 1 1 ∧
3 4 ∧
4 ∧
V2
V4
4
1
2 ∧
2016/2/25
22
2.6.3 图的应用
图的应用非常广泛，例如：
用图可以表示一座城市的交通联系的情况；
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
V4
19
邻接矩阵表示法对求顶点的度很方便。 在无向图中： 顶点的度数=矩阵中对应该顶点的行或列中非 零元素的个数。 在有向图中：
顶点的出度=矩阵中对应该顶点的行中非零元 素的个数。 顶点的入度=矩阵中对应该顶点的列中非零元 素的个数。
2016/2/25
80≤a<90 60≤a<70 a<60
次，可得到（c)判定树。
(b)
(c)
2016/2/25
11
（2）哈夫曼编码-----利用哈夫曼树构造通讯中电文编码（前缀码）
例2：要传输的电文是{CAS；CAT；SAT；AT} 要传输的字符集是 D={C，A，S，T， ；}
每个字符出现的频率是W={ 2，4， 2，3， 3 }
17
2.6.2 图的存储结构
（1）图的连接矩阵表示法 （2）图的邻接表示法
2016/2/25
18
图的连接矩阵表示法
V1 V2 V3 V4 V1 0 0 1 0
V1
V3
V2
V3 V2 V4 V4
0
0 1
0
0 0
0
0 0
1
1 0
V1 V2 V3 V4 V1 V1 V3 V2 V3 V2 V4
2016/2/25
各字符编码是 方法： T ； A C S
0
14
00 01 10 110 111
1
6 8 （1）用{ 2，4， 2，3， 3 }作为叶子结点的权值生成一棵哈 上述电文编码： 0 1 0 1 夫曼树，并将对应权值wi的叶子结点注明对应的字符； 11010111011101000011111000011000 3 3 4 4 （2）约定左分支表示字符“0”，右分支表示字符‘ 1’ 1 T ; A 0 注意：编码的总长度恰好为哈夫曼树的带权路径长。 （3）从叶子结点开始，顺着双亲反推上去，直到根结点，路 2 2 径上的‘ 0’ 或‘ 1’ 连接的序列就是结点对应的字符的二进制 C S 编码的逆序。
8
5 D
1
9 A
2016/2/25
PL=0+1+1+2+2+2+2=10
2016/2/25
4
树的路径长度用PL表示。
1 1 2 4 5 6 3 7 6 PL=0+1+1+2+2+2+2=10 7 PL=0+1+1+2+2+3+3=12 4 2 5 C
2016/2/25
5
结点带权的路径长度： 从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。 树的带权路径长度： 树中叶子结点带权路径长度之和。
a b c d 7 5 2 4 WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
2016/2/25
6
树的带权路径长度记作：
WPL
k 1 其中：Wk为树中每个叶子结点的权；
WK LK
n
L k为每个叶子结点到根的路径长度。
a b c d 7 5 2 4 WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
20
V1 V2 V3 V4 V1 V3 V1 V2 0 0 0 0 1 0 0 1
入度
1 0 1
出度
1 1 1
V3
V2 V4 V4
0
1
0
0
0
0
1
0
2
1
V1 V2 V3 V4
度数
3
2
V1
V1 V3 V2 V3 V4
2016/2/25
0
1 1 1
1
0 0 1
1
0 0 0
1
1 0 0
V2
V4
1 2
21
2016/2/25
WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
2、哈夫曼树的构造
8
例：给定权值{7，5，2，4}，构造哈夫曼树。
7 5
6
方法： 7 5 2 4 c d （1）由原始数据生成森林； a b c d (2) 在森林中选取两棵根结点权值最小的和次小的二 (b) (a) 叉树作为左右子树构造一棵新的二叉树，其根结点的 18 权值为左右子树根结点权值之和。规定左子树根结点 的权值小于右子树根结点的权值。 11 7 11 a 7 F中，去除原两棵权值 （3）将新的二叉树加入到森林 最小的树； b b （4）重复 2、3步骤，直至F中只剩一棵树为止。 5 5 注意：参看书中 c P53的例子。 d c (c) (d) 2
2016/2/25
12
11月1日上机作业： 1. 折半查找 2. 顺序查找
3. 选择排序
4. 快速排序
2016/2/25
13
2.6 图
2.6.1 图的基本概念
顶点:图中的数据元素
A
1
3 2
Байду номын сангаас
B D
5
C
6
V表示顶点的非空有限集合。
VR表示两个顶点之间关系的集合。
2016/2/25
14
有向图
图
无向图
WPL最小的二叉树就称作最优二叉树或哈夫曼树 。
2016/2/25
7
哈夫曼树 （最优树）
加权路径长度最小的二叉树就 是哈夫曼树。
n
公式：
WPL
k 1
WK LK
a b c d 7 5 2 4 WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
c 4 d
2
7 a 5 b 2 c d 4
a b 7 5 WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
V1 V2 V3 V4 V1 V3
V2
V4
在有向图中，<V1，V3>表示从V1到V3的一条弧。
V1为弧尾或初始点，V3为弧头或终端点。
在无向图中，(V1，V 3)表示V1和V3之间的一条边。 2016/2/25
15
G=( V, E )
V1 V2 V3 V4
顶点集合V={V1 ， V2 ， V3 ， V4 }
2016/2/25
16
权：与图的边或弧相关的数。 网：带权的图。 顶点的度：依附于该顶点的边数或弧数。 出度：（仅对有向图）以该顶点为尾的弧数。 入度：（仅对有向图）以该顶点为头的弧数。 路径：顶点A与顶点C之间存在一条路径。路 径上边或弧的数目称为该路径的路径长度。
3 2 5
A
1
B D
C
6
2016/2/25
2016/2/25
6 d 4
3、哈夫曼树的应用 （1）判定树 在解决某些判定问题时，利用哈夫曼树可以得到最 佳判定算法。 例1 将学生百分成绩按分数段分级的程序。
9
若学生成绩分布是均匀的，可用图（a)二叉树结构 来实现。
Y
不及格 a<60
N
a<70
Y
及格
输入10000个 数据，则需进 行31500次比 较。
2016/2/25
中等
Y
a<80
N
N
a<90
Y
良好
N
优秀
(a)
学生成绩分布不是均匀的情况： 分数 比例 0—59 0.05 60—69 0.15 70—79 0.4 80—89 0.3
70≤a≤ 80
10
90—99 0.10
以比例数为权构造一棵哈夫曼树， 输入10000个 如（b)判断树所示。
数据，仅需进 行22000次比 再将每一比较框的两次比较改为一 较。
10
65
865
姓名
学号
成绩
班级 机97.6
李红 9761059 95
2
2.5.3哈夫曼树及其应用
1、哈夫曼树 树的路径长度的概念： 从一个结点到另一个结点之间的分支数 目称为这对结点之间的路径长度。
树的路径长度是从树的根到每一结点的 路径长度之和。
2016/2/25