2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算学案苏教版选修1_1

- 1 - 3.2导数的运算 3．2.1 常见函数的导数

问题1：函数f(x)＝x，f(x)＝x3的导数？ 提示：(1)∵f(x)＝x，∴ΔyΔx＝x＋Δx－xΔx＝1， ∴当Δx→0时，f′(x)＝1. (2)∵f(x)＝x3，

∴ΔyΔx＝x＋Δx3－x3Δx＝3x2＋3xΔx＋(Δx)2， ∴当Δx→0时，f′(x)＝3x2. 问题2：函数f(x)＝x－1，f(x)＝x－2的导数？

提示：(1)∵f(x)＝1x，

∴ΔyΔx＝1x＋Δx－1xΔx＝－1x＋Δxx， 当Δx→0时，f′(x)＝－1x2＝－x－2. (2)∵f(x)＝1x2，

∴ΔyΔx＝1x＋Δx2－1x2Δx＝－2－Δxx＋Δx2·x， 当Δx→0时，f′(x)＝－2x3＝－2x－3. 问题3：由问题1、问题2，能否得到f(x)＝xα的导数？ 提示：f′(x)＝αxα－1

1．常见函数的导数公式 (1)(kx＋b)′＝k(b为常数)； (2)c′＝0(c为常数)； (3)x′＝1； (4)(x2)′＝2x；

(5)1x′＝－1x2. - 2 -

2．基本初等函数的求导公式 (1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)； (2)(ax)′＝axln_a(a＞0，且a≠1)；

(3)(logax)′＝1xlogae＝1xln a(a＞0，且a≠1)； (4)(ex)′＝ex； (5)(ln x)′＝1x； (6)(sin x)′＝cos_x； (7)(cos x)′＝－sin_x.

基本初等函数的导数公式可分为以下五类： 第一类为常数函数，C′＝0(C为常数)，可记为常数函数的导数为0； 第二类为幂函数，(xn)′＝n·xn－1(注意幂指数n可推广到全体实数)； 第三类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数； 第四类为指数函数，y′＝(ax)′＝axln a，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例；

第五类为对数函数，y′＝(logax)′＝1xln a，也可记为(logax)′＝1x·logae，当a＝e时，ln x的导数是(logax)′的一个特例．

[对应学生用书P44] 利用公式求导数 [例1] 求下列函数的导函数： (1)y＝2x； (2)y＝log2x；

(3)y＝4x3； (4)y＝2sin x2cos x2. [思路点拨] 解答本题，可根据所给函数，选择合适的导数公式求导，不具备基本初等函数特征的函数，应先变形，然后求导． [精解详析] (1)y′＝(2x)′＝2x·ln 2；

(2)y′＝(log2x)′＝1xln 2； - 3 -

(3)y′＝(4x3)′＝(x34)′＝34·x－14＝34 4x； (4)y′＝(2sin x2cosx2)′＝(sin x)′＝cos x. [一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．

1．下列结论中不正确的是________． (1)若y＝3，则y′＝0；

(2)(sin π3)′＝cos π3；

(3)(－1x)′＝12x x； (4)若y＝x，则y′＝1. 解析：(1)正确；(2)sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于(3)，(－1x)′＝(－x

－12)′＝12x－32＝12x x，正确；(4)正确． 答案：(2) 2．求下列函数的导数． (1)f(x)＝log2x； (2)f(x)＝2－x；

(3)y＝log2x2－log2x; (4)y＝－2sin x21－2cos2x4.

解：(1)f′(x)＝(log2x)′＝1xln 2＝2xln 2. (2)∵2－x＝12x， ∴f′(x)＝12x′＝12xln12＝－12xln 2. (3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝1x·ln 2. - 4 -

(4)∵y＝－2sinx21－2cos2x4 ＝2sinx22cos2x4－1 ＝2sinx2cosx2＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.

求切线的方程 [例2] 已知曲线方程y＝x2，求： (1)曲线在点A(1,1)处的切线方程； (2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程． [思路点拨] (1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程． [精解详析] (1)y′＝2x，当x＝1时，y′＝2，故过点A(1,1)的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)∵B(3,5)不在曲线y＝x2上， ∴可设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)． ∵y′＝2x， ∴当x＝x0时，y′＝2x0. 故切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)． 又∵直线过B(3,5)点， ∴5－x20＝2x0(3－x0)． 即x20－6x0＋5＝0. 解得x0＝1或x0＝5. 故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. [一点通] (1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上； ②求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤： ①求出f′(x0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； - 5 -

③化简切线方程． (3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x0，y0)； ②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)； ③代入点P的坐标，求出方程．

3．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为________． 解析：设切点为P(x0，y0)，∵y′＝1x，由题意得1x0＝1，∴x0＝1，∴点P的坐标为(1,0)，把点P的坐标代入直线y＝x＋a，得a＝－1. 答案：－1 4．求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程． 解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2.

∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)·(x－x0)． ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0. ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．

解得x0＝1或x0＝－12. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)，

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

导数的综合应用 [例3] 求曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积． [思路点拨] 解答本题，应先通过解方程组求得两曲线的交点坐标，再对函数求导，写出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点坐标，即可求得所求三角形的面积．

[精解详析] 由 y＝1x，y＝x2解得交点为(1,1)． - 6 -

∵y′＝1x′＝－1x2， ∴曲线y＝1x在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x＋1，即y＝－x＋2.

又y′＝(x2)′＝2x， ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，

即y＝2x－1.

y＝－x＋2与y＝2x－1和x轴的交点分别为(2,0)，12，0.

∴所求面积S＝12×1×2－12＝34. [一点通] 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的问题，解题的关键是正确确定切点的位置，进而确定切点坐标．

5．点P是曲线f(x)＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线f(x)＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图． 则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f′(x0)＝1. ∵f′(x)＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．

利用点到直线的距离公式得距离为22.

6．若曲线y＝x12在点(a，a12)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．

解：y′＝－12x32 (x>0)，故在点(a，a12处的切线的斜率k＝－12a32，

所以切线方程为y－a－12＝－12a32 (x－a)， 易得切线在x轴，y轴上的截距分别为3a，32a12， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝12×3a×32a12＝94a12＝18.