人教版初中八年级数学上册专题完全平方公式的综合应用习题及答案
14.2.2 完全平方公式 初中人教版八年级上册数学课时习题(含答案)
14.2.2 完全平方公式一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A．2×32＝36B．（﹣2a2b3）3 ＝﹣6a6b9C．﹣5a5b3c÷15a4b＝﹣3ab2c D．（a﹣2b）2 ＝a2﹣4ab+4b2 2．下列计算正确的是（ ）A．(a―b)2=a2―b2B．(a+b)2=a2+b2C．(―a―b)2=a2―2ab+b2D．(a―b)2=a2―2ab+b2 3．设(a+3b)2=(a-3b)2+A，则A=( )A．6ab B．12ab C．-12ab D．24ab 4．下列运算正确的是（ ）A．x2+x3=2x5B．(―2x)2·x3=4x5C．(x+y)2=x2―y2D．x3y2÷x2y3=xy5．下列等式一定成立的是（ ）A．a2+a3=a5B．（a+b）2=a2+b2C．（2ab2）3=6a3b6D．（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab 6．下列等式不正确的是（ ）A．(a+b)(a-b)=a2-b2B．（a+b）(-a-b)=-(a+b)2C．(a-b)(-a+b)=-(a-b)2D．（a-b）(-a-b)=-a2-b27．有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）A．28B．29C．30D．31 8．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）A．﹣16B．﹣14C．﹣12D．﹣10 9．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）A．4B．5C．6D．7二、填空题10．(x―y)(x+y)= ；(a―b)2= .11．计算①(2x+y)(2x―y)= ；②(2x+3y)2= . 12．若x―y=3，xy=2，则x2+y2= .13．若a=b+1，则代数式a2―2ab+b2+2的值为 .14．a2―3a+1=0，则a2+1的值为 a215．已知a，b，c为ΔABC的三边长，且a2+b2=8a+12b―52，其中c是ΔABC中最短的边长，且c为整数，则c= ．三、解答题16．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2―4a―8b+20＝0，c＝3cm，求△ABC的周长．17．已知(a+b)2=60，(a―b)2=80，求a2+b2及ab的值．18．用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，请求出其阴影部分的面积为多少．参考答案1--9DDBBD DBBC10．x2-y2；a2-2ab+b211．4x2―y2；4x2+12xy+9y212．1313．314．715．3或416．解：∵a2+b2―4a―8b+20＝0∴a2―4a+4+b2―8b+16＝0∴(a―2)2+(b―4)2＝0，又∵(a―2)2≥0，(b―4)2≥0∴a―2＝0，b―4＝0，∴a＝2，b＝4，∴△ABC的周长为a+b+c＝2+4+3＝9cm．17．解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，∴①+②得：2（a2+b2）=140，解得：a2+b2=70，∴70+2ab=60，解得：ab=-5．18．解：设矩形的长为a，宽为b，根据图①得：（a-b）2=12，根据图②得：（a-2b）2=8，∴a―b=23a―2b=22，解得a=43―22b=23―22，由图③知阴影部分面积=（a-3b）2=（43-22-63+62）2=（-23+42）2=44-166.。
人教版八年级数学上册14.2完全平方公式同步测试题(附答案)【DOC范文整理】
人教版八年级数学上册14.2完全平方公式同步测试题（附答案）完全平方公式测试题时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题已知x^2-2x+16是一个完全平方式，则的值是A.-7B.1c.-7或1D.7或-1如果9a^2-a+4是完全平方式，那么的值是A.-12B.6c.±12D.±6若a+b=7，ab=5，则^2=A.25B.29c.69D.75运用乘法公式计算^2的结果是A.x^2+9B.x^2-6x+9c.x^2+6x+9D.x^2+3x+9已知2a-b=2，那么代数式4a^2-b^2-4b的值是A.6B.4c.2D.0下列运算正确的是A.a^2+a^2=a^4B.^3=-b^6c.2x⋅2x^2=2x^3D.^2=^2-n^2√+√的值等于A.5-4√2B.4√2-1c.5D.1下列计算结果正确的是A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2c.^3=-6a^6D.^2=a^2+1下列式子正确的是A.^2=a^2-2ab+b^2B.^2=a^2-b^2c.^2=a^2+2ab+b^2D.^2=a^2-ab+b^2已知1/4^2+1/4n^2=n--2，则1/-1/n的值等于A.1B.0c.-1D.-1/4二、填空题已知a+1/a=5，则a^2+1/a^2的值是______．已知4y^2+y+1是完全平方式，则常数的值是______．已知^2=20，^2=4，则xy的值为______．若关于x的二次三项式x^2+ax+1/4是完全平方式，则a 的值是______．已知x+1/x=-4，则x^2+1/x^2的值为______．已知a>b，如果1/a+1/b=3/2，ab=2，那么a-b的值为______．若代数式x^2+x+25是一个完全平方式，则=______．已知a+b=8，a^2b^2=4，则/2-ab=______．已知：-1/=5，则^2+1/^2=______．如果多项式y^2-2y+1是完全平方式，那么=______．三、计算题已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值x^2+y^2^2．已知x+y=8，xy=12，求：x^2y+xy^2x^2-xy+y^2的值．计算^2-计算：x^2y⋅^2-四、解答题已知xy=2，x^2+y^2=25，求x-y的值．求证：无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．回答下列问题填空：x^2+1/x^2=^2-______=^2+______若a+1/a=5，则a^2+1/a^2=______；若a^2-3a+1=0，求a^2+1/a^2的值．答案和解析【答案】D2.c3.B4.c5.B6.B7.DB9.A10.c1.23±43.4±1141-10或1028或36270.±11.解：∵x^2+y^2=^2-2xy，∴当x+y=6，xy=4，x^2+y^2=^2-2xy=6^2-2×4=28；∵^2=^2-4xy，∴当x+y=6，xy=4，^2=^2-4xy=6^2-4×4=20．2.解：∵x+y=8，xy=12，∴原式=xy=96；∵x+y=8，xy=12，∴原式=^2-3xy=64-36=28．3.解：原式=^2-4=4x^2+4xy+y^2-4；原式=x^2+10x+25-x^2+5x-6=15x+19．解：原式=-6x^3y^4；原式=4x^2+4xy+y^2-4x^2+9y^2=4xy+10y^2．解：∵^2=x^2+y^2-2xy=25-2×2=21，∴x-y=±√21；证明∵x^2+y^2-2x-4y+5=^2+^2≥0，∴无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．2；2；23【解析】解：∵x^2-2x+16是一个完全平方式，∴-2=8或-2=-8，解得：=-1或7，故选：D．利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．解：∵9a^2-a+4=^2±12a+2^2=^2，∴=±12．故选：c．根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到的值．本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．解：∵a+b=7，ab=5，∴^2=49，则a^2+b^2+2ab=49，故a^2+b^2+10=49，则a^2+b^2=39，故^2=a^2+b^2-2ab=39-2×5=29．故选：B．首先利用完全平方公式得出a^2+b^2的值，进而求出^2的值．此题主要考查了完全平方公式，正确得出a^2+b^2的值是解题关键．解：^2=x^2+6x+9，故选：c．根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．解：4a^2-b^2-4b=4a^2-+4=^2-^2+4=[2a+][2a-]+4=+4当2a-b=2时，原式=0+4=4，故选：B．根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．解：A、a^2+a^2=2a^2，故本选项错误；B、^3=-b^6，故本选项正确；c、2x⋅2x^2=4x^3，故本选项错误；D、^2=^2-2n+n^2，故本选项错误．故选B．结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键．解：原式=√+√=√^2)+√^2)=+=1，故选D．解：A、2+√3不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误；B、√8÷√2=2，所以B正确；c、^3=-8a^6≠-6a^6，所以c错误；D、^2=a^2+2a+1≠a^2+1，所以D错误．故选B依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．此题是二次根式的乘除法，主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算.，掌握这些知识点是解本题的关键．解：A.^2=a^2-2ab+b^2，故A选项正确；B.^2=a^2-2ab+b^2，故B选项错误；c.^2=a^2-2ab+b^2，故c选项错误；D.^2=a^2-2ab+b^2，故D选项错误；故选：A．根据整式乘法中完全平方公式^2=a^2±2ab+b^2，即可作出选择．本题考查了完全平方公式，关键是要了解^2与^2展开式中区别就在于2xy项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到．0.【分析】此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0 把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到，n的值，代入求值即可．【解答】解：由1/4^2+1/4n^2=n--2，得^2+^2=0，则=-2，n=2，∴1/-1/n=1/-1/2=-1．故选c．1.解：a^2+1/a^2=^2-2=5^2-2=23．故答案为：23．根据完全平分公式，即可解答．本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可.此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【解答】解：∵4y^2+y+1是完全平方式，∴=±4，故答案为±43.解：∵^2=x^2+2xy+y^2=20①，^2=x^2-2xy+y^2=4②，∴①-②得：4xy=16，则xy=4，故答案为：4已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出xy的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．解：中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．这里首末两项是x和1/2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故-a=±1，求解即可本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．解：∵x+1/x=-4，∴^2=16，∴x^2+1/x^2+2=16，即x^2+1/x^2=14．故答案为：14．直接把x+1/x=-4两边平方即可．本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键．解：1/a+1/b=/ab=3/2，将ab=2代入得：a+b=3，∴^2=^2-4ab=9-8=1，∵a>b，∴a-b=1．故答案为：1已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a-b的值．此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．解：∵代数式x^2+x+25是一个完全平方式，∴=-10或10．故答案为：-10或10．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．解：/2-ab=^2-2ab)/2-ab=^2)/2-ab-ab=^2)/2-2ab∵a^2b^2=4，∴ab=±2，①当a+b=8，ab=2时，/2-ab=^2)/2-2ab=64/2-2×2=28，②当a+b=8，ab=-2时，/2-ab=^2)/2-2ab=64/2-2×=36，故答案为28或36．根据条件求出ab，然后化简/2-ab=^2)/2-2ab，最后代值即可．此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．解：把-1/=5，两边平方得：^2=^2+1/^2-2=25，则^2+1/^2=27，故答案为：27．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．0.解：∵y^2-2y+1是一个完全平方式，∴-2y=±2y，∴=±1．故答案是：±1．根据完全平方公式，这里首末两项是y和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y和1积的2倍．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解．1.根据完全平方公式可得x^2+y^2=^2-2xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可；根据完全平方公式可得^2=^2-4xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可．本题考查了完全平方公式：^2=a^2±2ab+b^2.也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．2.原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3.原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可得到结果；原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．把x-y两边平方，然后把xy=2，x^2+y^2=25代入进行计算即可求解．将式子配方，再判断式子的取值范围即可．本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键．解：2、2．3．∵a^2-3a+1=0两边同除a得：a-3+1/a=0，移向得：a+1/a=3，∴a^2+1/a^2=^2-2=7．根据完全平方公式进行解答即可；根据完全平方公式进行解答；先根据a^2-3a+1=0求出a+1/a=3，然后根据完全平方公式求解即可．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题）➢ 例题示范例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ⋅=，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ➢ 巩固练习1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a+的值.4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是________________________________________．6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？8. 求224448x y x y +-++的最值．➢ 思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=，由222()2a b a ab b +=++得，2222()2102(204)508a b a b ab +=+-=-⨯-=， 即22(210)(200)x x -+-的值为508． 根据以上材料，请解答下题：若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=， 则(2015)(2013)x x --=______．【参考答案】➢ 例题示范例1．解：12x x -=∵ 214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴ 2221112426x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭=+=∴222136x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 2422422111236234x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭=-=∴例2：1 -3➢ 巩固练习1. 913 2. 517 3. 7 474. ±6±24 5. 5 24x - -4 8x -8x 4x6. 87. 4a =时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3➢ 思考小结1. 不相等，相差2()4a b -2. 2 014。
人教版八年级数学上册14 2完全平方公式同步测试题 附答案
人教版八年级数学上册14 2完全平方公式同步测试题附答案完全平方公式测试题时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）已知x^2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，则m的值是( )A. -7B. 1C. -7或1D. 7或-1如果9a^2-ka+4是完全平方式，那么k的值是( )A. -12B. 6C. ±12D. ±6若a+b=7，ab=5，则(a-b)^2=( )A. 25B. 29C. 69D. 75运用乘法公式计算(x+3)^2的结果是( )A. x^2+9B. x^2-6x+9C. x^2+6x+9D. x^2+3x+9已知2a-b=2，那么代数式4a^2-b^2-4b的值是( )A. 6B. 4C. 2D. 0下列运算正确的是( )A. a^2+a^2=a^4B. (-b^2 )^3=-b^6C. 2x⋅2x^2=2x^3D. (m-n)^2=m^2-n^22√(3-2√2) +√(17-12√2) 的值等于( )A. 5-4√2B. 4√2-1C. 5D. 1下列计算结果正确的是( )A. 2+√3=2√3B. √8÷√2=2C. (-2a^2 )^3=-6a^6D. (a+1)^2=a^2+1 下列式子正确的是( )A. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2B. (a-b)^2=a^2-b^2C. (a-b)^2=a^2+2ab+b^2D. (a-b)^2=a^2-ab+b^2已知1/4 m^2+1/4 n^2=n-m-2，则1/m-1/n的值等于( )A. 1B. 0C. -1D. -1/4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）已知a+1/a=5，则a^2+1/a^2 的值是______．已知4y^2+my+1是完全平方式，则常数m的值是______．已知(x+y)^2=20，(x-y)^2=4，则xy的值为______ ．若关于x的二次三项式x^2+ax+1/4是完全平方式，则a的值是______ ．已知x+1/x=-4，则x^2+1/x^2 的值为______ ．已知a>b，如果1/a+1/b=3/2，ab=2，那么a-b的值为______．若代数式x^2+kx+25是一个完全平方式，则k=______．已知a+b=8，a^2 b^2=4，则(a^2+b^2)/2-ab= ______ ．已知：m-1/m=5，则m^2+1/m^2 = ______ ．如果多项式y^2-2my+1是完全平方式，那么m=______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值(1)x^2+y^2 (2)(x-y)^2．已知x+y=8，xy=12，求：(1)x^2 y+xy^2(2)x^2-xy+y^2的值．计算(1)(2x+y-2)(2x+y+2)(2)(x+5)^2-(x-2)(x-3)计算：(1)3x^2 y⋅(-2xy^3)(2)(2x+y)^2-(2x+3y)(2x-3y)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）(1)已知xy=2，x^2+y^2=25，求x-y的值．(2)求证：无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．回答下列问题(1)填空：x^2+1/x^2 =(x+1/x )^2- ______ =(x-1/x )^2+ ______(2)若a+1/a=5，则a^2+1/a^2 = ______ ；(3)若a^2-3a+1=0，求a^2+1/a^2 的值．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. C5. B6. B7. D8. B9. A10. C11. 2312. ±413. 414. ±115. 1416. 117. -10或1018. 28或3619. 2720. ±121. 解：(1)∵x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，∴当x+y=6，xy=4，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=6^2-2×4=28；(2)∵(x-y)^2=(x+y)^2-4xy，∴当x+y=6，xy=4，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=6^2-4×4=20．22. 解：(1)∵x+y=8，xy=12，∴原式=xy(x+y)=96；(2)∵x+y=8，xy=12，∴原式=(x+y)^2-3xy=64-36=28．23. 解：(1)原式=(2x+y)^2-4=4x^2+4xy+y^2-4；(2)原式=x^2+10x+25-x^2+5x-6=15x+19．24. 解：(1)原式=-6x^3 y^4；(2)原式=4x^2+4xy+y^2-4x^2+9y^2=4xy+10y^2．25. (1)解：∵(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=25-2×2=21，∴x-y=±√21；(2)证明∵x^2+y^2-2x-4y+5=(x-1)^2+(y-2)^2≥0，∴无论x、y为何值，代数式x^2+y^2-2x-4y+5的值不小于0．26. 2；2；23【解析】1. 解：∵x^2-2(m-3)x+16是一个完全平方式，∴-2(m-3)=8或-2(m-3)=-8，解得：m=-1或7，故选：D．利用完全平方公式的特征判断即可得到结果．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2. 解：∵9a^2-ka+4=(3a)^2±12a+2^2=(3a±2)^2，∴k=±12．故选：C．根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k 的值．本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3. 解：∵a+b=7，ab=5，∴(a+b)^2=49，则a^2+b^2+2ab=49，故a^2+b^2+10=49，则a^2+b^2=39，故(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=39-2×5=29．故选：B．首先利用完全平方公式得出a^2+b^2的值，进而求出(a-b)^2的值．此题主要考查了完全平方公式，正确得出a^2+b^2的值是解题关键．4. 解：(x+3)^2=x^2+6x+9，故选：C．根据完全平方公式，即可解答．本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．5. 解：4a^2-b^2-4b=4a^2-(b^2+4b+4)+4=(2a)^2-(b+2)^2+4=[2a+(b+2)][2a-(b+2)]+4=(2a+b+2)(2a-b-2)+4当2a-b=2时，原式=0+4=4，故选：B．根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．6. 解：A、a^2+a^2=2a^2，故本选项错误；B、(-b^2 )^3=-b^6，故本选项正确；C、2x⋅2x^2=4x^3，故本选项错误；D、(m-n)^2=m^2-2mn+n^2，故本选项错误．故选B．结合选项分别进行合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式的运算，选出正确答案．本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键．7. 解：原式=√(12-8√2) +√(17-12√2) =√((√8-2)^2 )+√((3-√8 )^2 )=(√8-2)+(3-√8)=1，故选D．8. 解：A、2+√3不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误；B、√8÷√2=2，所以B正确；C、(-2a^2 )^3=-8a^6≠-6a^6，所以C错误；D、(a+1)^2=a^2+2a+1≠a^2+1，所以D错误．故选B依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．此题是二次根式的乘除法，主要考查了合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算.，掌握这些知识点是解本题的关键．9. 解：A.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故A选项正确；B.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故B选项错误；C.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故C选项错误；D.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，故D选项错误；故选：A．根据整式乘法中完全平方公式(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，即可作出选择．本题考查了完全平方公式，关键是要了解(x-y)^2与(x+y)^2展开式中区别就在于2xy项的符号上，通过加上或者减去4xy可相互变形得到．10. 【分析】此题主要考查了分式的化简求值、偶次方的非负性、完全平方公式的知识点，把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：2个完全平方式的和为0，这2个完全平方式的底数为0把所给等式整理为2个完全平方式的和为0的形式，得到m，n的值，代入求值即可．【解答】解：由1/4 m^2+1/4 n^2=n-m-2，得(m+2)^2+(n-2)^2=0，则m=-2，n=2，∴1/m-1/n=1/(-2)-1/2=-1．故选C．11. 解：a^2+1/a^2 =(a+1/a )^2-2=5^2-2=23．故答案为：23．根据完全平分公式，即可解答．本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．12. 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可.此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【解答】解：∵4y^2+my+1是完全平方式，∴m=±4，故答案为±413. 解：∵(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=20①，(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=4②，∴①-②得：4xy=16，则xy=4，故答案为：4已知等式利用完全平方公式化简，相减即可求出xy的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14. 解：中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故a=±1，解得a=±1，故答案为：±1．这里首末两项是x和1/2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和1/2积的2倍，故-a=±1，求解即可本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．15. 解：∵x+1/x=-4，∴(x+1/x )^2=16，∴x^2+1/x^2 +2=16，即x^2+1/x^2 =14．故答案为：14．直接把x+1/x=-4两边平方即可．本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键．16. 解：1/a+1/b=(a+b)/ab=3/2，将ab=2代入得：a+b=3，∴(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=9-8=1，∵a>b，∴a-b=1．故答案为：1已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将ab的值代入求出a+b 的值，再利用完全平方公式即可求出a-b的值．此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．17. 解：∵代数式x^2+kx+25是一个完全平方式，∴k=-10或10．故答案为：-10或10．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18. 解：(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2-2ab)/2-ab=((a+b)^2)/2-ab-ab=((a+b)^2)/2-2ab∵a^2 b^2=4，∴ab=±2，①当a+b=8，ab=2时，(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab=64/2-2×2=28，②当a+b=8，ab=-2时，(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab=64/2-2×(-2)=36，故答案为28或36．根据条件求出ab，然后化简(a^2+b^2)/2-ab=((a+b)^2)/2-2ab，最后代值即可．此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．19. 解：把m-1/m=5，两边平方得：(m-1/m )^2=m^2+1/m^2 -2=25，则m^2+1/m^2 =27，故答案为：27．把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20. 解：∵y^2-2my+1是一个完全平方式，∴-2my=±2y，∴m=±1．故答案是：±1．根据完全平方公式，这里首末两项是y和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去y和1积的2倍．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解．21. (1)根据完全平方公式可得x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可；(2)根据完全平方公式可得(x-y)^2=(x+y)^2-4xy，然后把x+y=6，xy=4整体代入进行计算即可．本题考查了完全平方公式：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2.也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．22. (1)原式提取公因式，将已知等式代入计算即可求出值；(2)原式利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23. (1)原式利用平方差公式，完全平方公式化简即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24. (1)原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．25. (1)把x-y两边平方，然后把xy=2，x^2+y^2=25代入进行计算即可求解．(2)将式子配方，再判断式子的取值范围即可．本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键．26. 解：(1)2、2．(2)23．(3)∵a^2-3a+1=0两边同除a得：a-3+1/a=0，移向得：a+1/a=3，∴a^2+1/a^2 =(a+1/a )^2-2=7．(1)根据完全平方公式进行解答即可；(2)根据完全平方公式进行解答；(3)先根据a^2-3a+1=0求出a+1/a=3，然后根据完全平方公式求解即可．本题考查了完全平方公式，解答本题的关键在于熟练掌握完全平方公式．。
八年级上数学专题专练：完全平方公式( 解析版)
6. 若 xy=12，（x-3y）2=25，则（x+3y）2 的值为（ ）
A．196
B．169
C．156
【答案】B．
【解析】（x+3y）2=（x-3y）2+12xy=25+12×12=169；
故选 B．
1
1
7. 已知 x+ x =5，那么 x2+ x2 =（ ）
A．10
B．23
C．25
【答案】B．
1
【解析】x+ =5，
x
(x 1 )2 52 ， x
x2
2
1 x2
52 ，
x2 1 23． x2
故选 B．
8. 计算（-a+b）（a-b）等于（ ）
A．a2-b2
B．-a2+b2
C．-a2-2ab+b2
【答案】D．
【解析】（-a+b）（a-b）
=-（a-b）2
=-a2+2ab-b2．
解得：k=13 或-11.
11. 若 x2-16x+m 是一个完全平方式，那么 m 的值是
；若 x2+mx+16 是一个完全平方式，那么 m 的值
是
．
【答案】64；±8.
【解析】若 x2-16x+m 是一个完全平方式，那么 m 的值是 64；若 x2+mx+16 是一个完全平方式，那么 m 的值±8.
故选 D．
D．a2-2ab+b2
4. 下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A．（a+1）（-a+1）
B．（a+b）（b-a）
C．（-a+b）（a-b） D．（a-b）（a+b）
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析
八年级数学上册《完全平方公式》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()32639a a =C ．2225420a a a ⋅=D ．444235a a a +=2．若多项式294x mx -+是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．12B ．12±C ．6D ．6±3．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a 的代数式2A a a =+，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个①当2a =-时，2A =；①存在实数a ，使得104A +<； ①若10A -=，则2213a a +=；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=22218A B C AB AC BC ++---=．A ．4B ．3C ．2D ．14．阅读材料：我们把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写，即222)2(a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+，2(2)2x x -+，2213224x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是224x x -+的三种不同形式的配方．则下列说法正确的个数是（ ） ①2(2)2x x +-和2(31)x ++都是224x x ++不同形式的配方①22(1)4x k x --+是完全平方式，则k 的值为3 ①23534b b +-有最小值，最小值为2 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．12mC ．15mD ．18m6．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、填空题7．若m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，则代数式m 2+n 2-2mn ＝_____．8．若x ＝3是关于x 的一元一次方程mx ﹣n ＝3的解，则代数式10﹣3m ＋n 的值是___．9．如果用公式222()2a b a ab b +=++计算2()a b c ++，那么第一步应该写成2()a b c ++=________．三、解答题10．已知xy (1)求代数式2x 2+2y 2﹣ x y 的值；(2)2x y 的值．11．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++①()220y +≥①()2244y ++≥①代数式248y y ++的最小值为4．(1)求代数式222x x --的最小值.(2)若269|1|0a a b -+++=，则b a =_________.(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()m AB x =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大?最大面积是多少?12．图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式2()m n +，2()m n -，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知7a b +=，5ab =，求2()a b -的值．参考答案：1．D【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故A 不符合题意；B 、()326327a a =，故B 不符合题意； C 、2245420a a a =，故C 不符合题意；D 、444235a a a +=，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用．2．B【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．【详解】解：①9x 2-mx +4是一个完全平方式，①-m =±12，①m =±12．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．B【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断①，利用公式变形，整体代入求值可判断①，根据A B -=B C -=A C -=222A B C AB AC BC ++---配方得出(222111222++，然后代入求值可判断①． 【详解】解①当2a =-时，()2222A =--=，故①正确； ①存在实数a ，使得221110442A a a a ⎛⎫+=++=+≥ ⎪⎝⎭，故①不正确； ①若10A -=，①21a a +=，当0,01a =≠，①0a ≠， ①11a a-=-， 则2221123a a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭； 故①正确；①已知代数式A 、B 、C 满足A B -=B C -=①()()A C A B B C -=-+-=则222A B C AB AC BC ++--- =()22212222222A B C AB AC BC ++---=()()()222111222A B B C A C -+-+-=(222111222++ =18；故①正确，①正确的个数有3个，故选B ．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．4．C【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；①利用完全平方公式的结构特征判断即可；①原式配方后，求出最小值，即可作出判断．【详解】解：①①(x +2)2-2x= x 2+2x +4，(x +1)2+3= x 2+2x +4，①(x +2)2-2x 和(x +1)2+3都是x 2+2x +4不同形式的配方，符合题意；①x 2-2(k -1)x +4是完全平方式，则k -1=2或k -1=-2，即k =3或-1，不符合题意；①原式=34(b 2-4b +4)+2=34(b -2)2+2，当b =2时，取得最小值，最小值为2，符合题意． 故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．C【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC ＝8m ，设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x +2）m ，在Rt①ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，即x 2+82＝（x +2）2，解得x ＝15，故AB ＝15m ，即旗杆的高为15m ．故选：C ．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．6．C【分析】根据运算程序代值求解得到输出结果的规律求解即可．【详解】解：把x ＝2代入得：2÷2＝1，把x ＝1代入得：1+5＝6，把x ＝6代入得：6÷2＝3，把x ＝3代入得：3+5＝8，把x ＝8代入得：8÷2＝4，把x ＝4代入得：4÷2＝2，把x ＝2代入得：2÷2＝1，……以此类推，可知每6个一循环，且输入次数与输出结果的对应规律是：61n +对应1；62n +对应6；63n +对应3；64n +对应8；65n +对应4；6n +6对应2；①202163365=⨯+，①经过2021次输出的结果是4．故选：C ．【点睛】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键．7．21【分析】先根据根与系数的关系得到m +n ＝3，m n ＝﹣3，再根据完全平方公式变形得到m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：①m ，n 是关于x 的方程x 2-3x -3＝0的两根，①m +n ＝3，m n ＝﹣3，①m 2+n 2﹣2mn ＝（m +n ）2﹣4mn ＝32﹣4×（﹣3）＝21．故答案为：21．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a =． 8．7【分析】根据题意得到﹣3m +n ＝﹣3，然后代入代数式10﹣3m ＋n 求解即可．【详解】解：由题意得：3m ﹣n ＝3，①﹣3m +n ＝﹣3，①原式＝10﹣3＝7．故答案为：7．【点睛】此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．9．22()2()a b c a b c ++++【分析】利用完全平方公式即可得．【详解】[]2222()()()2()a b c a b c a b c a b c ++=++=++++，故答案为：22()2()a b c a b c ++++．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．10．(1)27；(2)【分析】（1）求得x +y 和x y 的值，再利用完全平方公式变形求值即可；（2）根据x ＜1，先分母开方，约分，再代入求值即可；(1)解：原式＝2x 2+4xy +2y 2﹣5xy ＝2（x +y ）2﹣5xy ，①2x =2y ==，①x +y ＝24，(221xy ==，①原式＝2×42﹣5×1＝2×16﹣5＝27；(2)解：①x ＝21，①x yx yx y ＝x y＝1 ＝﹣1＝ 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．11．(1)−3； (2)13； (3)当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子变形为()213x --，再根据非负数的性质得出最小值； （2）根据阅读材料将所求的式子变形为()23|1|0a b -++=，再根据非负数的性质求出a 、b ，代入b a 计算即可；（3）先根据矩形的面积公式列出式子，再根据阅读材料将式子变形，求出最值即可．（1）解：()222213x x x --=--，①()210x -≥，①()2133x --≥-，①代数式222x x --的最小值为−3；（2）①()2269|1|3|1|0a a b a b -+++=-++=，①a −3＝0，b ＋1＝0，①a ＝3，b ＝−1， ①1133b a -==， 故答案为：13； （3）设()m AB x =，由题意可得，花园的面积为：()()()2222022202102550x x x x x x x -=-+=--=--+， ①()2250x --≤，①当x ＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC 的长是20−2×5＝10＜15，答：当x 取5时，花园的面积最大，最大面积是50m 2．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及应用，非负数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（1）m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-，方法①：2()4m n mn +-；（3）22()()4m n m n mn -=+-；（4）29．【分析】（1）根据图形即可得出图b 中小正方形的边长为m n -；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为2()m n -；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为2()4m n mn +-；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到22()()4a b a b ab -=+-．【详解】解：（1）图b 中小正方形的边长为m n -．故答案为m n -；（2）方法①：2()()()m n m n m n --=-；方法①：2()4m n mn +-；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以22()()4m n m n mn -=+-；（4）由（3）得：22()()4a b a b ab -=+-，7a b +=，5ab =，2()a b ∴-222a ab b =-+2()4a b ab =+-2745=-⨯4920=-29=．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．。
人教版八年级数学上册：平方差公式和完全平方公式(习题及答案)
平方差公式和完全平方公式（习题）例题示范例1：计算：23(1)(1)2(1)a a a -+---+．【操作步骤】（1）观察结构划部分：23(1)(1)2(1)a a a -+---+① ②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：a -和a -符号相同，是公式里的“a ”，1和-1符号相反，是公式里的“b ”，可以用平方差公式；第二部分：可以用完全平方公式，利用口诀得出答案．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式2223()12(21)a a a ⎡⎤=---++⎣⎦223(1)242a a a =----2233242a a a =----245a a =--巩固练习1. 下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y y x ---+B ．()()xy z xy z +-C ．(2)(2)a b a b --+D ．1122x y y x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2. 下列各式一定成立的是（ ）A ．222(2)42x y x xy y -=-+B ．22()()a b b a -=-C ．2221124a b a ab b ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭ D ．222(2)4x y x y +=+ 3. 若2222(23)412x y x xy n y +=++，则n =__________．4. 若222()44ax y x xy y -=++，则a =________．5. 计算： ①112233m n n m ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ②22()()()y x x y x y -++；③22(32)4x y y ---；④2()a b c +-；⑤296；⑥2112113111-⨯．6. 运用乘法公式计算：①2(2)(2)(2)x y x y x y -+-+； ②22(1)2(24)a a a +--+；③(231)(231)x y x y +--+；④3()a b -；⑤222233m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑥2210199-．思考小结1. 在利用平方差公式计算时要找准公式里面的a 和b ，我们把完全相同的“项”看作公式里的“_____”，只有符号不同的“项”看作公式里的“_____”，比如()()x y z x y z +---，_______是公式里的“a ”，_______是公式里的“b ”；同样在利用完全平方公式的时候，如果底数首项前面有负号，要把底数转为它的______去处理，比如22()(_______)a b --=2. 根据两大公式填空：+(_______)+(_______)b )222(2【参考答案】巩固练习1. C2. B3. ±34. -25. ①22149n m - ②44x y -+ ③2912x xy +④222 222a ab b bc ac c ++--+ ⑤9 216⑥1 6. ①242xy y --②267a a -+- ③224961x y y -+- ④322333a a b ab b -+- ⑤83m ⑥400 思考小结1. a ，b ，(x -z )，y ，相反数，a +b2. 2ab ，2ab ，4ab。
人教版八年级上册数学 14.2.2完全平方公式 同步习题(含解析)
14.2.2完全平方公式同步习题一．选择题（共10小题）1．计算：（2x﹣y）2＝（）A．4x2﹣4xy+y2B．4x2﹣2xy+y2C．4x2﹣y2D．4x2+y22．若a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a2﹣3ab+b2的值为（）A．13B．19C．25D．313．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．无法确定4．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）A．4B．﹣4C．2D．±25．计算（x+3y）2﹣（x﹣3y）2的结果是（）A．12xy B．﹣12xy C．6xy D．﹣6xy6．若（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a，b的值分别为（）A．a＝4，b＝3B．a＝2，b＝3C．a＝4，b＝9D．a＝2，b＝9 7．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（）A．﹣1B．﹣4039C．4039D．18．下列等式成立的是（）A．（a+1）2＝（a﹣1）2B．（﹣a﹣1）2＝（a+1）2C．（﹣a+1）2＝（a+1）2D．（﹣a﹣1）2＝（a﹣1）29．设m＝xy，n＝x+y，p＝x2+y2，q＝x2﹣y2，其中，①当n＝3时，q＝6．②当p＝时，m＝．则下列正确的是（）A．①正确②错误B．①正确②正确C．①错误②正确D．①错误②错误10．如果（x+3）2＝x2+ax+9，那么a的值为（）A．3B．±3C．6D．±6二．填空题（共5小题）11．已知a，b满足a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝．12．计算（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）的结果是．13．已知（2020+x）（2018+x）＝55，则（2020+x）2+（2018+x）2＝．14．用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝．15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（a+b）n （n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…根据以上规律，（a+b）5展开式共有六项，系数分别为．拓展应用：（a﹣b）4＝．三．解答题（共3小题）16．已知：x+y＝5，xy＝3．求：①x2+5xy+y2；②x4+y4．17．利用整式乘法公式计算：（1）2012；（2）19992﹣1998×2000．18．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；（2）求（6m﹣4039）2的值．参考答案1．解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，故选：A．2．解：∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab＝52﹣（﹣6）＝31，故选：D．3．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，∴A＝B．故选：A．4．解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，∴2xy＝62﹣20＝16，∴xy＝8，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，∴x﹣y＝±2，故选：D．5．解：原式＝x2+6xy+9y2﹣（x2﹣6xy+9y2）＝x2+6xy+9y2﹣x2+6xy﹣9y2＝12xy．故选：A．6．解：（ax+3y）2＝4x2+12xy+by2，则a2x2+6axy+9y2＝4x2+12xy+by2，故a2＝4且6a＝12，b＝9，解得：a＝2，b＝9．故选：D．7．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；∴a1＝20192，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，∴a2＝20202，∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，故选：B．8．解：A、（a+1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；B、（﹣a﹣1）2＝（a+1）2，原等式成立，故此选项符合题意；C、（﹣a+1）2≠（a+1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；D、（﹣a﹣1）2≠（a﹣1）2，原等式不成立，故此选项不符合题意；故选：B．9．解：当n＝3时，即x+y＝3，由可得，x﹣y＝2，因此，x＝，y＝，∴q＝x2﹣y2═﹣＝＝6，因此①正确；当p＝时，即x2+y2＝，又∴x﹣y＝2，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴﹣2xy＝4，∴m＝xy＝，因此②正确；故选：B．10．解：∵（x+3）2＝x2+6x+9，∴a＝6．故选：C．11．解：因为a﹣b＝1，ab＝2，所以a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝12+2×2＝1+4＝5，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+2×2＝9，所以a+b＝±3．故答案为：±3．12．解：（a﹣2b）2﹣2a（3a﹣4b）＝a2﹣4ab+4b2﹣6a2+8ab＝﹣5a2+4ab+4b2，故答案为：﹣5a2+4ab+4b2．13．解：∵（2020+x）（2018+x）＝55，∴（2020+x）2+（2018+x）2＝[（2020+x）﹣（2018+x）]2+2（2020+x）（2018+x）＝22+2×55＝114．故答案为114．14．解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．故答案是：100．15．解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案为：1 5 10 10 5 1，a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．16．解：①∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；②∵x+y＝5，xy＝3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝343．17．解：（1）原式＝（200+1）2＝2002+2×200×1+12＝40401；（2）原式＝19992﹣（1999﹣1）（1999+1）＝19992﹣19992+1＝1．18．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．。
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= 2 ，求 x 2 + ， x 4 + 2 = x - ⎪ + 2 x ⋅ ； ③ 将 x - = 2 ， x ⋅ = 1 代入求解即可；
1 ⎛
2 = x + ⎪ - 2 x 2 ⋅ 的值及 x 2 ⋅
完全平方公式的综合应用（习题）
➢ 例题示范
例 1：已知 x -
【思路分析】
1 1 1 x x x 4
的值．
① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积 x ⋅
判断此类题目为“知二求二”问题；
1 x
= 1 ，所求为两数的平方和），
② “x ”即为公式中的 a ，“ 1 x
”即为公式中的 b ，根据他们之间的关系可得：
x 2 +
1 ⎛ 1 ⎫2
1 x
2 ⎝ x ⎭ x
1 1
x x
④ 同理， x 4 + x 4 ⎝
x 2 ⎭ x 2
1 ⎫
2 1
，将所求的 x 2 + 1 1 x 2 x 2
= 1 代入
即可求解．
【过程书写】
例 2：若 x 2 - 2 x + y 2 + 6 y + 10 = 0 ，则 x=_______，y=________． 【思路分析】
此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．
观察等式左边， x 2 - 2 x 以及 y 2 +6 y 均符合完全平方式结构，只需补全即可，根 据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到 ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 0 ．
根据平方的非负性可知： ( x - 1)2 = 0 且 ( y + 3)2 = 0 ，从而得到 x = 1 ， y = -3 ．
➢ 巩固练习
1. 若 (a - 2b )2 = 5 ， ab = 1 ，则 a 2 + 4b 2 = ____， (a + 2b )2 = ____．
2. 已知 x + y = 3 ， xy = 2 ，求 x 2 + y 2 ， x 4 + y 4 的值．
1
， a 4 +
3. 已知 a 2 - 3a + 1 = 0 ，求 a 2 + 1 1 a 2 a 4
的值.
4. （1）若 x 2 + mxy + 9y 2 是完全平方式，则 m =________．
（2）若 9x 2 - kxy + 16y 2 是完全平方式，则 k=_______．
5. 多项式 4x 2 + 4 加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上
的单项式共有_______个，分别是__________
______________________________．
6. 若 a 2 + 4b 2 - 6a - 4b + 10 = 0 ，则 b -a = ______．
7. 当 a 为何值时， a 2 - 8a + 14 取得最小值，最小值为多少？
8. 求 x 2 + 4 y 2 - 4 x + 4 y + 8 的最值．
思考小结
1. 两个整数 a ，b （a ≠ b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等
吗？若不相等，相差多少？
2. 阅读理解题：
2
x=
2∴ x-⎪=4
∴x2+
1⎫2
x2=
x-⎪+2x⋅
若x满足(210-x)(x-200)=-204，试求(210-x)2+(x-200)2的值．解：设210-x=a，x-200=b，
则ab=-204，且a+b=(210-x)+(x-200)=10，
由(a+b)2=a2+2ab+b2得，
a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2⨯(-204)=508，
即(210-x)2+(x-200)2的值为508．
根据以上材料，请解答下题：
若x满足(2015-x)2+(2013-x)2=4032，
则(2015-x)(2013-x)=______．
【参考答案】
例题示范
例1．解：∵x-
1
⎛1⎫2
⎝x⎭
1⎛
= 4+2
= 6⎝x⎭
1
x
3
∴ x + 1 ⎫2 ⎪ = 36 x 4 ⎝ x 2 ⎭ - 2 x 2 ⋅ ⎛ ⎪
⎛ 2 ⎝ x 2 ⎭
∴ x 4 + 1 = x 2 + 1 ⎫2
1 x 2
= 36 - 2 = 34
例 2：1 -3 ➢ 巩固练习 1. 9 13 2. 5 17 3. 7 47 4. ±6 ±24
5. 5 -4x 2 -48x -8x x 4
6. 8
7. a = 4 时取得最小值，最小值为-2 8. 最小值为 3 ➢ 思考小结
1. 不相等，相差
2. 2 014
(a - b )2
4
4。