排队论模型
排队模型(掌握mm1,mmc,mm1k)
(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 13 49 1 3 5 23 86 6 2 2 33 117 4 4 7
现实生活中的排队系统序Leabharlann 到达的顾客 号要求服务内容
服务机构
1 不能运转的机器 修理
修理技工
2 修理技工
领取修配零件 发放修配零件的管理员
3 病人
诊断或做手术 医生(或包括手术台)
4 电话呼唤
通话
交换台
5 文件搞
打字
打字员
6 提货单
提取存货
仓库管理员
7 驶入港口的货船 装(卸)货
装(卸)货码头(泊位)
二、排队系统的特征及其组成
1、排队系统的特征即拥挤现象的共性 1）、有请求服务的人或物 2）、有为顾客服务的人或物 3）、具有随机性 4）、服务的数量超过服务机构的容量
2、排队系统的三大基本组成部分
1）、输入过程(顾客到达的方式) a、顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也
可能是无限的； b、顾客相继到达的时间间隔可以是确定的，也可以
平均服务率： 41/127=0.32(人/分钟)
六、典型排队系统模型的结构及应用
M/M/C等待制排队模型研究要点： a、系统意义 b、状态转移速度图与状态转移速度矩阵 c、状态概率方程 d、系统的基本数量指标
Passion分布
设N(t)表示在时间[0, t)内到达顾客数； 令Pn(t1, t2)表示在时间区间[t1, t2)（t2 > t1）内有n（0） 个顾客到达的概率，即 Pn(t1, t2)=P{ N(t2) –N(t1)=n } （t2>t1，n0） Passion分布的三条件：
订单处理中的排队论模型研究
订单处理中的排队论模型研究在现代商业环境中，订单处理是任何企业或组织不可或缺的一部分。
如何高效地管理订单处理流程成为了检验企业运营能力的重要指标之一。
排队论模型是一种研究订单处理中服务设施效率的数学工具，其可以帮助企业找到优化订单处理流程的方法。
本文将介绍排队论模型在订单处理中的研究应用，并探讨其对提升服务质量和效率的意义。
一、排队论模型概述排队论模型是对排队系统进行建模和分析的数学工具。
它可以用来研究各种排队现象，例如：顾客到达时间、服务时间、顾客等待时间、服务人员数量等。
排队论模型中的关键参数包括到达率、服务率和服务设施数量，通过调整这些参数可以控制和优化排队系统。
在订单处理中，排队论模型可以衡量订单等待时间、服务水平，为企业提供决策依据。
二、排队论模型在订单处理中的应用1. 订单接受率优化通过排队论模型，企业可以根据订单的到达率和服务设施数量，优化订单接受率。
在接受新订单时，企业可以根据当前服务设施的负载情况来决定是否接受，并设置适当的等待阈值。
通过合理地控制订单接受率，企业可以避免资源浪费和订单滞后。
2. 服务设施数量优化排队论模型可以帮助企业确定合适的服务设施数量，以达到最佳的订单处理效率和服务质量。
在订单处理过程中，流程瓶颈往往出现在服务设施数量不足的环节。
通过分析排队论模型，企业可以评估当前服务设施的数量是否满足需求，避免因过多或过少的服务人员而导致效率低下或服务质量下降。
3. 顾客等待时间分析订单处理中的顾客等待时间是影响客户满意度和忠诚度的关键因素之一。
排队论模型可以用来分析顾客等待时间的概率分布，并提供相应的服务水平指标，如平均等待时间、最长等待时间等。
企业可以根据这些指标来设定合理的服务水平目标，以最大程度地满足客户需求。
三、排队论模型在订单处理中的意义排队论模型在订单处理中的应用，能够帮助企业合理分析和设计订单处理流程，提高服务质量和效率。
通过对排队论模型的研究，企业可以优化资源配置，减少服务瓶颈，提前预测和解决潜在问题，从而实现更高效的订单处理。
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
带优先权排队论模型简介应用案例
0.325 hour
0.033 hour
0.889 hour
0.048 hour
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
0.024 hour
0.154 hour
mm1n排队论模型参数
mm1n排队论模型参数
M/M/1 排队论模型是一种简单的排队系统模型，用于分析单一服务台、顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的系统。
在M/M/1 模型中，有三个主要参数：
1. 到达率（λ）：表示单位时间内到达系统的顾客数的期望值，服从参数为λ的泊松分布。
到达率决定了系统中的顾客数量变化速率。
2. 服务率（μ）：表示单位时间内一个顾客被服务完成的期望值，服从参数为μ的指数分布。
服务率决定了系统中顾客等待服务的速度。
3. 顾客到达和服务时间是独立的：这个条件表明顾客的到达和服务的完成之间没有影响，使得模型更具有现实意义。
通过平衡方程法，可以对M/M/1 模型进行稳态分析，计算出以下几个重要性质：
1. 队长（Ls）：表示系统中的顾客数（n）的期望值。
2. 排队长（Lq）：表示系统中排队等待服务的顾客数（n）的期望值。
3. 逗留时间（Ws）：指一个顾客在系统中的全部停留时间，为期望值。
4. 等待时间（Wq）：指顾客在系统中等待服务的時間，为期望值。
了解这些参数后，可以对M/M/1 模型进行评估和优化，以提高系统的效率和服务质量。
M/M/1 模型虽然简单，但在实际应用中具有广泛的价值，如电话交换系统、计算机网络、银行窗口等。
掌握M/M/1 模型的基本原理和分析方法对于学习排队论和实际应用具有重要意义。
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
排队论课件MM排队模型
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时，所有顾客都在 接受服务 j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时，所有服务窗都在 服务，正在接受服务的顾客数＝服务窗个数
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9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
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8
增长率和消亡率的分析
由此，M/M/…型排队模型，在状态时的增长率和消亡率为：
i lim pi ,i 1 (t ) t pi ,i 1 (t ) t lim
t 0(t )
t 0
i lim
t 0
t j t 0(t ) lim j t 0 t
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10
第一节 单服务窗损失制排队模型 M/M/1/1
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11Байду номын сангаас
排队模型分析
M/M/1/1 t 顾客到达间隔时间为负指数分布，参数为， a(t ) e t 服务窗服务时间为负指数分布，参数为， b(t ) e
损失的顾客
0 1
系统最大顾客数1决定了系统状态为{0,1}
队列长度有限
D= 等待制
队列最大长度
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3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达，系统中顾客数加1 有顾客服务完毕，系统中顾客数减1 总之，顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1
第四章 排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。
( 数学建模)排队论模型
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络的排队论模型是一种理论模型，用于研究计算机网络中传输数据时产生的排队现象和性能表现。
排队论模型可以帮助我们理解计算机网络中的数据传输过程，优化网络性能，提高网络的吞吐量和响应速度。
在本文中，我们将介绍计算机网络排队论模型的基本概念、分类和应用。
一、排队论模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指在一个服务设施之前等待服务的顾客队列。
在计算机网络中，排队系统可以看作是数据包在网络节点之间传输时产生的排队现象。
排队系统包括输入过程、服务机构和排队规则。
1.2 排队论模型排队论模型是对排队系统进行数学建模和分析的方法。
排队论模型通常包括顾客到达过程、服务时间分布、队列容量和服务规则等因素。
排队论模型可以帮助我们预测排队系统的性能表现，如平均等待时间、系统繁忙度和响应时间等指标。
二、排队论模型的分类2.1 M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队论模型之一，其中"M"代表顾客到达过程和服务时间满足指数分布，"1"代表只有一个服务设施。
M/M/1排队模型可以用来分析单一服务节点的性能表现，如平均等待时间和系统繁忙度等指标。
2.2 M/M/C排队模型M/M/C排队模型是相对复杂一些的排队论模型，其中"C"代表有C个服务设施。
M/M/C排队模型可以用来分析多个服务节点的性能表现，如系统的吞吐量和响应时间等指标。
2.3 其他排队模型除了M/M/1和M/M/C排队模型，还有很多其他类型的排队论模型，如M/M/∞排队模型、M/G/1排队模型和多类别排队模型等。
每种排队模型都有其独特的特点和适用范围，可以根据实际情况选择合适的模型进行性能分析。
三、计算机网络排队论模型的应用3.1 网络流量建模计算机网络排队论模型可以用来建模网络中的数据传输过程，分析网络节点的繁忙度和数据包的平均等待时间。
通过对网络流量进行建模，可以优化网络拓扑结构、改进路由算法和提高网络性能。
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1 P{T t} 1 P0 (t )
于是
FT (t ) 1 e t ，t 0 ；
e t ，t 0 .
概率密度为 fT ( t)
这里 表示单位时间内平均到达的顾客数，则
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服务机构
服务 机构
服务台的数目: 在多个服务台的情形下，是串 联或是并联； 顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布， 每个顾客所需的服务时间是否相互独立，是成 批服务或是单个服务等. 常见顾客的服务时间 分布有：定长分布、负指数分布、超指数分 布、k阶Erlang分布、几何分布、一般分布等.
用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间
1
用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时 间长度.
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• (4)损失率与服务强度
损失率:由于系统的条件限制，使顾客被拒绝服务而 使服务部门受到损失的概率，用 P损 表示 .
服务强度： 绝对通过能力 A，表示单位时间内被服务完顾客的均值， 或称为平均服务率； 相对通过能力 Q，表示单位时间内被服务完的顾客数与 请求服务的顾客数之比值.
Pn(t ).
Pn(t ,t n
0
t ) P0(t ,t t ) P1(t ,t t )
P(t ,t n
2
t ) 1
故在 t ,t t 内没有顾客到达的概率为
P0(t 015
Pn(t t ) Pn(t ) (t ) Pn(t ) Pn 1(T ) t t
令 t 0 ，则
dP n(t ) Pn(t ) Pn 1(t ), dt Pn(0) 0 (n 1).
(1.1)
特别地，当 n=0 时有
1 2
2
t1 内有 n n 0个顾客到达的概率，即
Pn(t1 ,t2 ) P{N (t2 ) N (t1 ) n}，当 Pn(t1 ,t2 )满足如下三个条件时，
则称顾客的到达形成泊松流 (最简单流 )：
(1)无后效性：在不相交的时间区域内顾客到达数是相互独立的， 即在时间段 t ,t t 内达到 k 个顾客的概率与时刻 t 以前到达 多少顾客无关 .
Ls Lq Ln
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其中Ln 为正在接受服务的顾客数
• (2)顾客的平均等待时间与平均逗留时间 顾客的平均等待时间(通常记为Wq)是指从顾客进入系 统的时刻起直到开始接受服务止的平均时间. 平均逗留时间(通常记为Ws)是指顾客在系统中的平均 等待时间与平均服务时间之和. 平均等待时间与平均服务时间是顾客最关心的数量指标.
P(t ,t n
2
t ) 1 t (t )
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将 0,t t 分为 0,t 和 t ,t t ，则在时间段 0,t t 内 到达 n 个顾客的概率应为
Pn(t ,t t ) P{N (t t ) N (0) n}
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排队规则是指服务允许/不允许排队，顾客是否愿意排队
排队 规则
损失制排队系统：顾客到达时,若有服务台均被占,服务机构 又不允许顾客等待, 此时该顾客就自动辞去 等待制排队系统：顾客到达时．若所有服务台均被占，他们 就排队等待服务。在等待制系统中,服务 顺序又分为：先到先服务,即顾客按到达 的先后顺序接受服务；后到先服务 . 混合制排队系统：损失制与等待制的混合，分为队长(容量) 有限的混合制系统，等待时间有限的混 合制系统，以及逗留时间有限制的混合 系统.
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排队现象是由两个方面构成，一方要求得到服务， 另一方设法给予服务. 我们把要求得到服务的人或物（设备）统称为顾 客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员 或服务台. 顾客与服务台就构成一个排队系统，或 称为随机服务系统. 显然缺少顾客或服务台任何一 方都不会形成排队系统.
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(3)普通性：对于充分小的 t ，在时间间隔 t ,t t 内有 2 个或 2 个以上 顾客的概率极小，可以忽略不计，即 Pn(t ,t t ) (t ).
n 2
系统状态为 n 的概率分布??
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系统状态为 n 的概率分布??
如果取时间段的初始时间为 t=0，则可记作 Pn(0,t ) 在 t ,t t 内，由于
Ws Wq
其中 为服务时间
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• (3)系统的忙期与闲期 从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再 次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间(记作T b )， 我们称为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作 强度，是衡量服务机构利用效率的指标，即
服务机构 工作强度
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5. 系统状态的概率
系统状态是求运行指标的基础，所谓系统的状态是指 系统中顾客的数量。如果系统中有n个顾客，则说系 统的状态为n.
一般来说，状态的取值与时间 t 有关, 在时刻 t 系统状态取值为 n 的概率 记为 P n( t ). 如果 lim Pn Pn ，则称为稳态（或统计平衡状态）解 .
t
实际中多数问题都属于稳态的情况，并不是真正的t ，即过某一段
t ) Pn . 时间以后就有 Pn(
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二、到达时间的间隔分布和服务时间的分布
1. 泊松分布 设 N(t)表示时间段 0,t 内到达的顾客数， Pn( t1 ,t2 )表示在时间段
t ,t t
(t )n t t) e 一般地有 Pn( n!
(n 0, 1, 2, 3， t 0)
表示在长为 t 的时间段内到达 n 个顾客的概率，即为泊松分布.
t )] t ， D[N (t )] t . 数学期望和方差分别为 E[N (
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2. 负指数分布
E (T ) 1 / 表示相继顾客到达平均间隔时间.
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类似地，设系统对一个顾客的服务时间为 v 服从于负指数分布， 分布函数为 概率密度为
Fv (t ) 1 e t ，t 0 ；
fv ( t ) e t ，t 0
其中 表示平均服务率，且期望值为 E (v) 1 / 表示平均一个顾客的服务时间.
dP 0(t ) P0(t ), dt P (0) 1. 0
笔误多
(1.2)
如何求解(1.1)??
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由（ 1.2）解得 P0( t)
e t ，代入（1.1）解得
2 ( t ) e t . P1( t ) te t ， P2(t ) 2!
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4. 描述排队系统的主要数量指标
• （1）队长与等待队长 队长(通常记为LS)是指在系统中的顾客的平均数(包括 正在接受服务的顾客), 而等待队长(队列长)(通常记为Lq)是指系统中排队等 待的顾客的平均数，它们是顾客和服务机构双方都十 分关心的数量指标. 显然，队长等于等待队长加上正在被服务的顾客数.
T 服从于负指数分布，与概率强度为 的泊松流等价.
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3. 爱尔朗分布
设有如下的顾客流，记 k 个顾客到达系统的时间间隔序列 为 v1, v2 ,, vk （为相互独立的随机变量），同服从于参数为
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(1)无后效性：
(2)平稳性：对于充分小的 t ，在时间间隔 t ,t t 内有 1 个顾客到达的 概率只与时间段的长度 t 有关，而与起始时刻 t 无关，且
P1(t ,t t ) t (t )，其中 0 ，称为概率强度（或平稳流强度） .
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3.符号表示
排队论模型的记号是20世纪50年代初由D. G. Kendall 引入的，其形式为 X / Y / Z / A / B / C
其中 X 表示相继到达间隔时间的分布，Y 表示服务时间的分布, Z 表示服务台的个数，A 表示系统的容量限制，B 表示顾客源数目， C 表示服务规则，可分为先到先服务（FCFS）、 后到先服务（LCFS）、 随机服务、有优先权的服务等. 通常只考虑 FCFS 的情况，此时可省略此项.
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3.符号表示
例如：M/M/C/N/m
即顾客相继到达间隔时间为负指数分布， 服务时间为负指数分布，C 个服务台 , 系统容量为 N，顾客源数为 m，先到先服务 .
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例如:
(1) M/M/S/∞ 表示输入过程是Poisson流, 服务时间服从负 指数分布, 系统有S个服务台平行服务, 系统容量为无穷的 等待制排队系统. (2) M/G/1/ ∞表示输入过程是Poisson流，顾客所需的服务 时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务 台，容量为无穷的等待制系统. (3) GI/M/1/∞表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 隔时间服从一般概率分布，服务时间是相互独立、服从负指 数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统
排队论模型简介
郑继明
理学院 数学教研部
2015.7.18
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Outline
1. 基本概念 2. 到达时间的间隔分布和服务时间的分布
3. 单服务台的排队模型
4. 多服务台的排队模型
5. 排队模型案例
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一、基本概念
1. 引例
某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务. 新 来维修的顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要排 队等待. 若排队的人数过多，势必会造成顾客抱怨，会影响 到公司产品的销售；若维修人员多，会增加维修中心的支出， 如何调整两者的关系，使得系统达到最优. 它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如： 上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形 成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售票处购票形成的排 队等; 另一种排队是物的排队，例如文件等待打印或发送; 路 口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.