2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第一章 集合与常用逻辑用语3 Word版含解析
2018年高考新课标数学(理)一轮考点突破练习第一章 集合与常用逻辑用语 Word版含答案
.第一章集合与常用逻辑用语
考纲链接
.集合
()集合的含义与表示
①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
()集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
()集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
．常用逻辑用语
()理解命题的概念．
()了解“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．()理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．()了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
()理解全称量词和存在量词的意义．
()能正确地对含一个量词的命题进行否定．
．集合及其运算
()①∩；②∩；
③∩＝；④∩∅＝；
⑤∩∩.
()①∪; ②∪；
③∪＝；④∪∅＝；
⑤∪∪.
()①∁(∁)＝；②∁＝；
③∁∅＝；
④∩(∁)＝；
⑤∪(∁)＝；
()①∩＝⇔⇔∪＝；
②∩＝∪⇔.
()记有限集合，的元素个数为()，()，则：
(∪)＝；
＝.
自查自纠：
．()元素集合()确定性互异性无序性()列举法描述法
．*(＋)
．()属于∈不属于∉。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测第一章 集合与常用逻辑用语 1-1 Word版含答案
组专项基础训练(时间：分钟)．(·山东)设集合＝{＝，∈}，＝{－＜}，则∪＝()．(－，)．(，)．(－，＋∞) ．(，＋∞)【解析】∵＝＞，∴＝{＞}．又－＜，∴－＜＜，∴＝{－＜＜}．故∪＝{＞}∪{－＜＜}＝{＞－}．故选.【答案】．(·开封模拟)设集合＝{＝－，∈}，＝{－＞}，则∩(∁)＝()．{－，} ．{－，－，，，}．{，} ．∅【解析】＝{＞或＜－}，∴∁＝{－≤≤}，∴∩(∁)＝{－，}．【答案】．(·日照模拟)集合＝{＝}，＝{＝，＞}，则∩等于()．．∅．．(－，]．∪．．(－∞，－]∪[，＋∞)【解析】由∪＝，可得⊆.∵＝{≤}＝{－≤≤}，∴－≤≤.故选.【答案】．若∈，则∈，就称是伙伴关系集合，集合＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是．【解析】具有伙伴关系的元素组是－；，，所以具有伙伴关系的集合有个：{－}，，.【答案】．(·贵阳监测)已知全集＝{，，，}，集合是集合的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若∈，则∈；②若∉，则∉；③若∈，则∉.则集合＝．(用列举法表示)【解析】若∈，则∈，则由若∉，则∉可知，∈，假设不成立；若∈，则∉，则∉，∉，假设不成立，故集合＝{，}．【答案】 {，}．已知集合＝{(，)，(，)，(－，)}，＝{(，)＋－＝，，∈}，则∩＝．【解析】、都表示点集，∩即是由中在直线＋－＝上的所有点组成的集合，代入验证即可．【答案】 {(，)，(－，)}．已知集合＝{∈＋＜}，集合＝{∈(－)(－)＜}，且∩＝(－，)，则＝，＝．【解析】＝{∈＋＜}＝{∈－＜＜}，由∩＝(－，)可知＜，则＝{＜＜}，画出数轴，可得＝－，＝.【答案】－组专项能力提升(时间：分钟)．(·天津)已知集合＝{，，，}，＝{＝－，∈}，则∩＝()．{} ．{}．{，} ．{，}【解析】由题意，得＝{，，，}，∴∩＝{，}．【答案】．(·北京)已知集合＝{＜}，＝{－，，，，}，则∩＝()．{，} ．{，，}．{－，，} ．{－，，，}【解析】∵＝{＜}＝{－＜＜}，又＝{－，，，，}，∴∩＝{－，，}．故选.【答案】．(·浙江临海台州中学第三次统练)已知集合＝{，}，＝{－∈}，则∪＝()．{} ．{，}．{，，} ．∅【解析】∵＝{，}，∴＝{－∈}＝{，}，∴∪＝{，，}．【答案】．(·成都模拟)已知集合＝{＞}，＝，则∩＝．【解析】对于集合，由＞，解得＜＜，∴＝{＜＜}，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴＝，∴∩＝.【答案】．(·兰州模拟)集合＝{＋－≤}，＝{＝，≤≤}，则∩(∁)＝．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 Word版含答案
真题演练集训．命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是( )．∀∈，∃∈*，使得<．∀∈，∀∈*，使得<．∃∈，∃∈*，使得<．∃∈，∀∈*，使得<答案：解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知，选.．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是( )．∀∈*，()∉*且()>．∀∈*，()∉*或()>．∃∈*，()∉*且()>．∃∈*，()∉*或()>答案：解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．．设命题：∃∈，＞，则綈为( )．∃∈，≤．∀∈，＞．∀∈，≤．∃∈，＝答案：解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．故选.．若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．答案：解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于.又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.课外拓展阅读利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现，题型为选择题或填空题．给定命题：对任意实数都有＋＋>成立；：关于的方程－＋＝有实数根．如果“∨”为真命题，“∧”为假命题，那么实数的取值范围为．(－∞，)∪当为真命题时，“对任意实数都有＋＋>成立”⇔＝或(\\(>，,Δ<，))所以≤<.当为真命题时，“关于的方程－＋＝有实数根”⇔Δ＝－≥，所以≤.因为“∨”为真命题，“∧”为假命题，所以，一真一假．若真假，则<<；若假真，则<.综上，实数的取值范围为(－∞，)∪.根据命题的真假求参数取值范围的方法步骤：()求出当命题，为真命题时，所含参数的取值范围；()判断命题，的真假性；()根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．考法总结含分式不等式的命题的否定对于含分式不等式的命题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定．设函数()＝的定义域为，若命题：∈与命题：∈有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．由题意，可知，两个命题一真一假，命题等价于{≤<}，命题等价于<)))).()若真假，则需满足(\\(≤<，<()或≥))⇒∈∅.()若假真，则需满足(\\(<或≥，,()≤<))⇒∈∪[)．综上所述，的取值范围为∪[)．点评对于含分式不等式的命题的否定，有两种解法，一是先写出否定形式，再求范围，二是先求范围，再对范围进行否定，但解法一容易遗漏分式无意义的情况，推荐使用解法二进行解题．。
2018年高考数学理一轮复习文档 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合及其运算 含答案 精品
量词与存在量词1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *(或N ＋)ZQR表示 关系自然语言符号 语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，x ∈B )A ⊆B (或B ⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中 A B (或B A )集合相等集合A ，B 中元素相同A ＝B集合的并集 集合的交集 集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1．辨明三个易误点(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2．活用几组结论(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.1.教材习题改编已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆DB2.教材习题改编设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}C 因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．3．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.4.教材习题改编已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝________．由题意得∁U B＝{2，5，8}，所以A∩∁U B＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．{2，5}5.教材习题改编已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则(∁R A)∪B＝________．由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}，又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．{x |x ≤1或x >2}集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2. 故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素．(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b＝1.所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)C1．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B 因为a ∈A ，b ∈B ，所以x ＝a ＋b 为1＋4＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8.共4个元素．2．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.－32集合间的基本关系(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}． 由题意知B ＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)D (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.2．若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R PC 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________． 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1. m ≤1集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求集合间的交或并运算； (2)求集合的交、并、补的混合运算； (3)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．(1)(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2016·高考山东卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2，6}B ．{3，6}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，4，6}(3)已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________．【解析】 (1)由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知A ∪B ＝{1，3，4，5}，所以∁U (A ∪B )＝{2，6}． (3)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ， 又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，又U ＝{1，3，5，7，9}，假设1∈A ，由A ∩B ＝{3}， 知1∉B ，所以1∈∁U B ，则与(∁U B )∩A ＝{9}矛盾， 所以1∉A ，同理5，7∉A ，则A ＝{3，9}． 【答案】 (1)D (2)A (3){3，9}集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．角度一 求集合间的交或并运算1．(2016·高考全国卷甲)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}C 由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.角度二 求集合的交、并、补的混合运算2．(2017·海口市调研测试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B 等于( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，76B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫76，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，－76A 依题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <76；B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，因此(∁U A )∩B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <76，选A.3．(2017·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A ，因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x|0≤x<6}，故选C.角度三已知集合的运算结果求参数的值(范围)4．(2017·河南省六市第一次联考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B 有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B．)——集合中的创新问题以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．【解析】由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．【答案】{0，6}解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．1.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪ {0}∪ 符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．6)1．(2016·高考天津卷)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{4}C ．{1，3}D ．{1，4}D 由题意得，B ＝{1，4，7，10}，所以A ∩B ＝{1，4}．2．设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0，x ∈Z }，则集合M 的真子集个数为( ) A ．8 B ．7 C ．4D ．3B 依题意，M ＝{x |(x ＋1)·(x －3)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <3，x ∈Z }＝{0，1，2}，因此集合M 的真子集个数为23－1＝7，故选B ．3．(2017·南昌月考)设集合P ＝{a 2，log 2a }，Q ＝{2a，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( ) A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{0，2}D ．{0，1，2，3}B 因为P ∩Q ＝{0}，所以0∈P ，只能log 2a ＝0，所以a ＝1，a 2＝1，又0∈Q ，因为2a＝21＝2≠0，所以b ＝0，所以，P ＝{0，1}，Q ＝{2，0}，所以P ∪Q ＝{0，1，2}．4．(2017·河南省八市重点高中质量检测)若U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{4，6}B ．{1，8}C ．{1，4，6，8}D ．{1，4，6，8，9}B 因为U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，所以∁U B ＝{1，8，9}，因此A ∩(∁U B )＝{1，8}，故选B ．5．(2017·湖南省东部六校联考)已知集合M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4，x ∈Z ，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1，0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，1}D ．{0，1}C 由12≤2x≤4，解得－1≤x ≤2，即集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0，1}，故选C.6．(2017·石家庄教学质量检测(二))设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x<2，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ∩N ＝∅D ．M ∪N ＝RB 因为1x －2<0，即2x －1x >0，解得x <0或x >12，因为N ＝(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，又M ＝{1，－1}，所以可知B 正确，A ，C ，D 错误，故选B ．7．已知全集U ＝Z ，P ＝{－2，－1，1，2}，Q ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{－1，－2}B ．{1，2}C ．{－2，1}D ．{－1，2}A 因为Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.8．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6C 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，m ＋n ＝7.9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，ba，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}A 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．10．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )A．147 B．140C．130 D．117B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B．11．(2017·开封市第一次模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则A∩(∁R B)＝( )A．{－1，2} B．{－2，－1，1，2，4}C．{1，4} D．∅A 当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n ＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁RB ＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．12．(2017·临沂质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁U B⊆A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，所以∁U B＝{x|x>a}．因为∁U B⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D．13．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.414．(2017·山西省高三考前质量检测)设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1，2，3}．若B⊆∁U A，则集合B的个数是________．由题意得，U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以∁U A＝{－2，4}，所以集合B的个数是22＝4.415．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B＝________．因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U(A∪B)＝{1，3}，得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A∩(∁U B)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁U B．所以B ＝{5，6，7，8，9}． {5，6，7，8，9}16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]． (－∞，－1]17.设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)．(－∞，－1]∪(0，1)18．已知集合M ＝{1，2，3，4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有_____个．当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1，2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个． 1719．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ． (1)因为9∈(A ∩B )，所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝3或a ＝－3. 当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}， 所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4，9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3.20．(2017·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
高考数学复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习 理 新
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第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为（）A.所有的指数函数都不是单调函数B.所有的单调函数都不是指数函数C.存在一个指数函数，它不是单调函数D。
存在一个单调函数，它不是指数函数解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数,它不是单调函数.答案C2.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称。
则下列判断正确的是（)A。
p为真 B.綈p为假C.p∧q为假D.p∧q为真解析p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假。
答案C3。
2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（)A.（綈p)∨（綈q)B.p∨（綈q)C.(綈p）∧（綈q）D。
2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第一章集合与常用逻辑用语4Word版含解析
考点规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固1.下列命题中的假命题是()A.任意x∈R,>0B.任意x∈N,x2>0C.存在x∈R,ln x<1D.存在x∈N*,sin=12.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是()A.?x∈R,f(-x)≠f(x)B.?x∈R,f(-x)=-f(x)C.?x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.?x0∈R,f(-x0)=-f(x0)3.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A.?x0∈R,使得f(x0)>0成立B.?x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.?x∈R,f(x)>0成立D.?x∈R,f(x)≤0成立4.(2016湖南永州二模)已知p:|x|≥1,q:-1≤x<3,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中,正确的是()A.命题“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x0∈R,-x0≥0”B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为6.(2016广西来宾高级中学适应卷)以下四个命题中,为真命题的是()A.?x∈(0,π),使sin x=tan xB.“对任意的x∈R,x2+x+1>0”的否定是“存在x0∈R,+x0+1<0”C.?θ∈R,函数f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函数D.△ABC中,“sin A+sin B=cos A+cos B”是“C=”的充要条件7.已知p:x2+2x-3>0;q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]8.下列命题的否定为假命题的是()A.?x0∈R,+2x0+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被3整除的整数都是奇数D.?x∈R,sin2x+cos2x=19.已知命题p:?x∈R,x3<x4;命题q:?x0∈R,sin x0-cos x0=-.则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧qC.p∧(q)D.(p)∧(q)10.(2016辽宁沈阳三模)若命题“?x∈,不等式e x sin x≥kx”是真命题,则实数k的取值范围是()A.(-∞,1]B.C.D.11.下列结论:①若命题p:?x0∈R,tan x0=2;命题q:?x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧(q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.(把你认为正确结论的序号都填上)能力提升12.(2016河南新乡名校联盟押题)已知命题p:若不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,则实数a∈(0,4);命题q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是()A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)13.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p314.(2016湖北武昌区五月调考)已知命题p1:设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a,则f(x)在[0,2]上必有零点;p2:设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∧(p2)中,真命题是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q415.已知命题p:“?x∈R,?m∈R,4x-+m=0”,若命题p是假命题,则实数m的取值范围是.?导学号37270409?16.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)为真,p为真,则实数m的取值范围是.高考预测17.下列说法正确的是()A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B.若p:?x0∈R,-x0-1>0,则p:?x∈R,x2-x-1<0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.“若α=,则sin α=”的否命题是“若α≠,则sin α≠”参考答案考点规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.B解析对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.2.C解析不是偶函数是对偶函数的否定,定义域为R的偶函数的定义:?x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,故它的否定为特称命题:?x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故选 C.3.A解析对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解,即不等式f(x)>0在实数范围内有解,故与命题“?x0∈R,使得f(x0)>0成立”等价.4.A解析∵p:|x|≥1,∴p:|x|<1,即p:-1<x<1.又q:-1≤x<3,∴p能推出q,但q推不出p,即p是q的充分不必要条件.故选A.5.C解析A项中的否定是“?x0∈R,-x0>0”故A错误;B项中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故B错误;D项中概率为,故D错误;故选C.6.D解析A项中,若sin x=tan x,则sin x=tan x=∵x∈(0,π),∴sin x≠0.∴1=,即cos x=1.∵x∈(0,π),∴cos x=1不成立,故A错误;B项中的否定是“存在x0∈R,+x0+1≤0”,故B错误;C项中,当θ=时,f(x)=sin(2x+θ)=sin=cos 2x为偶函数,故C错误;故选 D.7.A解析由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1.由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.8.D解析选项A中,命题的否定是“?x∈R,x2+2x+2>0”.由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对?x∈R恒成立,故为真命题;选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.9.B解析若x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题;若sin x-cos x=sin=-,则x-+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),故命题q为真命题;因此(p)∧q为真命题.10.A解析令f(x)=e x sin x-kx.∵“?x,不等式e x sin x≥kx”是真命题,且f(0)=0,∴f'(x)=e x(sin x+cos x)-k≥0在x上恒成立.∴k≤e x(sin x+cos x)对x上恒成立.令g(x)=e x(sin x+cos x),则g'(x)=2e x cos x≥0.故函数g(x)在上单调递增,因此g(x)≥g(0)=1,即k≤1.故选A.11.①③解析在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(q)”为假命题是正确的.在②中,l1⊥l2?a+3b=0,而=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出=-3,故②不正确.在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,正确.12.C解析当a=0时,不等式ax2+ax+1>0化为1>0,满足条件.当a≠0时,由不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,可得解得0<a<4.综上可知实数0≤a<4,因此命题p是假命题.由x2-3x>0解得x>3或x<0.故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,因此命题q是真命题.综上可得,(p)∧q是真命题.故选C.13.B解析画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选 B.14.C解析p1:因为f(1)=-a,所以a+b+c=-a,即c=-b-2a.又因为f(0)=c=-b-2a,f(2)=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b,所以f(0)f(2)=(-b-2a)(2a+b)=-(b+2a)2≤0.所以f(x)在[0,2]上必有零点,故命题p1为真命题.p2:设f(x)=x|x|=画出f(x)的图象(图象略)可知函数f(x)在R上为增函数.所以当a>b时,有f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.反之也成立.故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故命题p2为假命题.则q1:p1∨p2为真命题.q2:p1∧p2为假命题.q3:(p1)∨p2为假命题.q4:p1∧(p2)为真命题.故选 C.15.(-∞,1]解析若p是假命题,则p是真命题,即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解.因此m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,即m≤1.16.(1,2)解析因为p为真,所以p为假.所以p∧q为假.又q∨(p∧q)为真,所以q为真,即命题p为假、q为真.命题p为假,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-2<m<2;命题q为真,则4-4m<0,解得m>1.故所求的m的取值范围是1<m<2.17.D解析对于A,函数f(x)=是定义域上的奇函数,但f(0)不存在,故A不正确;对于B,若p:?x0∈R,-x0-1>0,则p:?x∈R,x2-x-1≤0,故B不正确;对于C,若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,故C不正确;对于D,“若α=,则sin α=的否命题是“若,则sin ,故D正确.。
2018版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算 理
第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.2．(2016·江西重点中学联考)已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝x－3}，则A∩B 等于( )A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞)答案 C解析根据题意，得A＝{x|x2－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|y＝x－3}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]．3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于( )A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}答案 A解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A.4．(2016·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( ) A．{1} B．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}答案 D解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10； 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．故选D.5．(2016·云南名校联考)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2，＋∞)解析 由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，从数轴观察得a ≥2.题型一 集合的含义例1 (1)(2017·济南调研)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)B (2)0或98解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1,2,6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3,4,8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6,7,11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)(2016·临沂模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈A (k ∈Z )D ．－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________. 答案 (1)C (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)(2016·唐山一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B ，I ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( )A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________．答案 (1)D (2)(－∞，4] 解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )等于( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 (1)D (2)B解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}，得A ∩B ＝{x |32<x <3}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. (2)由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}． ∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1D ．a >－1(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 (1)D (2)D解析 (1)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 (1)C (2)D解析 (1)∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}， ∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例5 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合AB ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 答案 C解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B 中元素的个数为45.故选C.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( )A ．{x |3<x ≤4}B ．{x |3≤x ≤4}C ．{x |3<x <4}D ．{x |2≤x ≤4}答案 B解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}．1．集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3或0(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________． 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.(2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 由题意可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中的元素的个数为5.故选C. 2．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( ) A ．8 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 由题意得P ＝{3,4}，∴集合P 有4个子集．3．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．[13，＋∞)B ．[0，13)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 D解析 ∵A ∩B ＝∅，①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上，实数m 的取值范围为[0，＋∞)．4．(2017·潍坊调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}答案 B解析 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A 去掉A ∩B ，所以阴影部分所表示的集合为{1}．5．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.6．(2016·河北衡水中学模拟)已知U 为全集，集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )等于( ) A ．{x |－1≤x ≤4} B ．{x |2<x ≤3} C ．{x |2≤x <3} D ．{x |－1<x <4}答案 B解析 ∵A ＝{x <－1或x >3}，∴∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}， ∴B ∩(∁U A )＝{x |2<x ≤3}．7．(2016·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 B 解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.8．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.9．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}．∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧ n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112，故选C. 11．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________．答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意， ∴m ＝－32. 12．(2017·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}．13．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，1]解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.*14.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．*15.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.。
2018年高考数学理一轮复习文档 第一章 集合与常用逻辑
第2讲 简单不等式的解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集(1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解集1．辨明三个易误点(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． (2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 2．分式不等式的四种形式求解思路 ①f （x ）g （x ）>0⇔f (x )g (x )>0； ②f （x ）g （x ）<0⇔f (x )g (x )<0； ③f （x ）g （x ）≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. 3．绝对值不等式的解法 (1)|f (x )|>|g (x )|⇔2>2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．1.教材习题改编 不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)D 将x 2－3x ＋2<0化为(x －1)·(x －2)<0，解得1<x <2.2．若不等式4x 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1D ．－1A 由不等式4x 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12知，－a 2×4＝－12.所以a ＝4.故选A.3．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪ 由不等式x －12x ＋1≤0 可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 4．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________．由不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6.65．若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4. (－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题． 高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度： (1)解一元二次不等式；(2)已知一元二次不等式的解集求参数．解下列不等式： (1)－2x 2＋3x ＋2<0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 (1)－2x 2＋3x ＋2<0，即为2x 2－3x －2>0. Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0.方程2x 2－3x －2＝0的两实根为x 1＝－12，x 2＝2.所以2x 2－3x －2>0的解集为{x |x <－12或x >2}，即原不等式的解集为{x |x <－12或x >2}．(2)因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度一 解一元二次不等式 1．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0<x 2－x －2≤4.(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43.(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．角度二 已知一元二次不等式的解集求参数2．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为______．依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝c a ，所以解得a ＝－12，c ＝2，所以不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)． (－2，3)简单的分式不等式的解法解下列不等式： (1)1－x 3x ＋5≥0； (2)x －1x ＋2>1. 【解】 (1)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，3x ＋5≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－53<x ≤1.(2)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， 所以x －1－（x ＋2）x ＋2>0，所以－3x ＋2>0，则x <－2. 故原不等式的解集为{x |x <－2}．解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3.(1)不等式x ＋1x －3≥0可以转化为(x ＋1)(x －3)≥0且x ≠3，所以解集为{x |x >3或x ≤－1}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可以改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2（x －1）x ＋1<0，故原不等式的解集为{x |－1<x <1}．简单的绝对值不等式的解法设函数f (x )＝|2x －3|－1. (1)解不等式f (x )<0；(2)若方程f (x )＝a 无实数根，求a 的范围． 【解】 (1)f (x )<0即为|2x －3|<1. 即－1<2x －3<1. 所以1<x <2.所以不等式f (x )<0的解集为{x |1<x <2}． (2)法一：方程f (x )＝a 无实数根， 即|2x －3|＝a ＋1无实数根， 因为|2x －3|≥0， 所以a ＋1<0，即a <－1.所以当a <－1时，方程f (x )＝a 无实数根．法二：方程f (x )＝a 无实数根，即函数f (x )＝|2x －3|－1与y ＝a 的图象无交点(如图)．所以a 的范围为a <－1.含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：a 为正实数，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号，适用于|x －a |<|x －b |或|x －a |>|x －b |型的不等式的求解．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．1．不等式|2x －1|>3的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}C 由|2x －1|>3得2x －1<－3或2x －1>3，即x <－1或x >2，故选C. 2．不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为________． 由|2x －3|<3x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－（3x ＋1）<2x －3<3x ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x >25，即x >25.故不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为{x |x >25}．{x |x >25}——分类讨论思想在解不等式中的应用解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．【解】 原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0(a >0)，①若0<a <1，则1a>1，所以1<x <1a；②若a ＝1，则1a＝1，所以不等式无解；③若a >1，则1a <1，所以1a<x <1.综上知，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.(1)本题利用了分类讨论思想，所谓分类讨论思想，是在研究和解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称为“分类讨论思想”．分类讨论是“化整为零，各个击破，积零为整”的解题策略．(2)本题根据1a和1的大小进行比较，对于含参数的不等式一般要分类讨论，对于含绝对值的不等式也要分类讨论．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5得x ≤－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5得无解； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5得x ≥2.即所求的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． {x |x ≤－3或x ≥2}1．不等式－2x 2＋x <－3的解集为( ) A ．{x |－32<x <1}B ．{x |－1<x <32}C ．{x |x <－32或x >1}D ．{x |x <－1或x >32}D －2x 2＋x <－3， 即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为{x |x <－1或x >32}，故选D ．2．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 C 不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.3．关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D ．32D －12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D ．4．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}B 因为A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．5．(2017·福建晋江高二检测)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (x )的图象为( )B 因为不等式的解集为(－2，1)，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B ．6．若0<a <1，则不等式x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3≤0的解集为( ) A ．{x |3a 2≤x ≤3a } B ．{x |3a ≤x ≤3a 2} C ．{x |x ≤3a 2或x ≥3a }D ．{x |x ≤3a 或x ≥3a 2}A 因为0<a <1，所以0<3a 2<3a ，而方程x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3＝0的两个根分别为3a 和3a 2，所以不等式的解集为{x |3a 2≤x ≤3a }．7．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1<x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >2}A 依题意，a >0且－b a＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，1)C ．(－∞，1]D ．(1，＋∞)C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x －x 2≤2， 解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]，故选C.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3A 由题意得，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.10．若不等式－x 2＋2x ＋m >0的解集是∅，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－1 B ．m ≥－1 C ．m ≤1D ．m ≥1A －x 2＋2x ＋m >0， 即为x 2－2x －m <0.由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m )≤0， 即4＋4m ≤0，所以m ≤－1.故选A.11．不等式x ＋5（x －1）≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] D 由x ＋5（x －1）2≥2，得x ＋5－2（x －1）2（x －1）2≥0， 即－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0. 所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋5x ＋3≥0，x －1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，所以原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3]． 12．(2017·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|，x ≤2，2x －1，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 D 不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D ． 13．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.{x |0<x <2}14．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________． 原不等式即(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a，所以a <x <1a. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a <x <1a 15．不等式x －1x ≥2的解集为________． 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤3217．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有a ＝________，b ＝________.由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.－3 －418．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，则关于x 的不等式42－36＋45<0的解集为________．由42－36＋45<0，得32<<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，所以＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为 (1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12.20．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a， 所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第1章第1节集合
解析：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：{1,2}，{1,2,3}， {1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D.
5．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B
{7,9} ＝________.
解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要 求的集合，即(∁UA)∩B＝{7,9}．
3．(2017· 宜春检测)设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的 是( A ) A．P⊆Q C．P＝Q B．Q⊆P D．P∪Q＝R
解析：由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以P⊆Q，故选A.
4．(2017· 西安模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( D ) A．1 C．3 B．2 D．4
即时应用
由于A⊆B，如图所示，则a＞ 4，即c＝4.
考点二
2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝ 0}，若B⊆A，则实数m＝( D ) A．3 B．2 D．0或2或3
当B为空集时，m＝0；当2∈B 时，m＝3；当3∈B时，m＝2.
即时应用
C．2或3
考点三
集合的基本运算
先求出集合P的补集，再求出补 集和集合Q的并集．∵∁UP＝ {2,4,6}，又Q＝{1,2,4}，∴(∁UP) ∪Q＝{1,2,4,6}，故选C.
解析：先化简集合B，再依据并集的定义求解． B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所 以A∪B＝{0,1,2,3}．
2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第一章 集合与常用逻辑用语 单元质检
单元质检一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2016湖南长沙二模)若集合A={x|,x∈R},B={1,m},且A⊆B,则m的值为()A.2B.-1C.-1或2D.2或2.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=3.(2016内蒙古包头一模)已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0}4.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A. p:∃x0∈A,2x0∈BB. p:∃x0∉A,2x0∈BC. p:∃x0∈A,2x0∉BD. p:∀x∉A,2x∉B5.“p∨q是真命题”是“ p为假命题”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2016山西太原五中二模)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1)7.(2016百校联盟押题卷)已知直线y=kx+3与圆x2+(y+3)2=16相交于A,B两点,则“k=2”是“|AB|=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2016内蒙古赤峰模拟)不等式x2-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是()A.m>2B.0<m<1C.m>0D.m>19.(2016河南新乡名校联考押题)已知集合A=,B={y|y=},则A∩(∁R B)等于()A.[-3,5]B.(-3,1)C.(-3,1]D.(-3,+∞)10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.311.已知命题p:∃x∈R,x-2>lg x,命题q:∀x∈R,e x>1,则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧( q)是真命题D.命题p∨( q)是假命题12.(2016山西太原一模)对于下列四个命题:p1:∃x0∈(0,+∞),;p2:∃x0∈(0,1),lo x0>lo x0;p3:∀x∈(0,+∞),<lo x;p4:∀x∈<lo x.其中的真命题是()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2016山东青岛一模改编)已知全集U=,集合A={-1,1},B={1,4},则A∩(∁U B)=.14.已知全集U=R,集合A={x|2x2-x-6≥0},B=,则A∪B=.15.若在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,则a的取值范围是.16.设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,则使p ∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是.参考答案单元质检一集合与常用逻辑用语1.A解析因为集合A={x|,x∈R}={2},B={1,m},且A⊆B,所以m=2,故选A.2.C3.B解析∵x2-2x-3<0,∴(x-3)(x+1)<0,即-1<x<3.故B={x|-1<x<3}.又A={-2,-1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2},故选B.4.C5.A解析若 p为假命题,则p为真命题,故p∨q是真命题;若p∨q是真命题,则p可以为假命题,q为真命题,从而 p为真命题.故选A.6.B解析∵<1,∴-1=<0.∴x>2或x<-1.又p是q的充分不必要条件,∴k>2,故选B.7.A解析易得圆心为(0,-3),半径为4,而圆心(0,-3)到直线y=kx+3的距离d=,弦长的一半为=2,故d==2=,解得k2=8,可得k=2或k=-2,故“k=2”是“|AB|=4”的充分不必要条件,故选A. 8.C解析当不等式x2-2x+m>0在R上恒成立时,Δ=4-4m<0,解得m>1;故m>1是不等式恒成立的充要条件;m>2是不等式成立的充分不必要条件;0<m<1是不等式成立的既不充分也不必要条件;m>0是不等式成立的必要不充分条件.故选C.9.C解析由≤0,解得-3<x≤5.故A={x|-3<x≤5}.∵y=,∴y>1.∴B={y|y>1}.∴∁R B={y|y≤1}.∴A∩(∁R B)={x|-3<x≤1},故选C.10.A解析由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},故A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,故a+b=-3,故选A.11.C解析因为命题p:∃x∈R,x-2>lg x是真命题,命题q:∀x∈R,e x>1是假命题,所以命题p∧( q)是真命题,故选C.12.D解析由,可知当x>0时,有>1,故可知对∀x∈(0,+∞),有,故p1是假命题;当0<a<1,可知y=log a x在(0,+∞)上是减函数.故对∀x0∈(0,1),有0<lo<lo,即lo x0>lo x0.故∃x0∈(0,1),lo x0>lo x0,即p2是真命题.当x=1时,,lo x=lo1=0,此时>lo x,故p3是假命题;因为y1=内是减函数,所以=1.又因为y2=lo x在内是减函数,所以lo x>lo=1.所以对∀x∈,有lo x>,故p4是真命题.13.{-1}解析由全集U中y=log2x,x∈,得到y∈{-1,0,1,4},即全集U={-1,0,1,4}.∵A={-1,1},B={1,4},∴∁U B={-1,0}.∴A∩(∁U B)={-1}.14.解析由2x2-x-6≥0,得(x-2)(2x+3)≥0,故A=.由≥0,得≤0,故B={x|1≤x<3}.因此A∪B=.15.(-∞,1)解析由2x(3x+a)<1可得a<-3x.故在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,等价于a<(-3x)max,其中x∈[0,1].令y=2-x-3x,则函数y在[0,1]上单调递减.故y=2-x-3x的最大值为20-0=1.因此a<1.故a的取值范围是(-∞,1).16.(-∞,-2]∪[-1,3)解析设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,则得m<-1,故p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,故q为真时,-2<m<3.由p∨q为真,p∧q为假,可知命题p,q一真一假.当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3,故所求实数m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3.。
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考点规范练3命题及其关系、充要条件基础巩固1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=32.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”3.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题4.(2016山东,理6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题6. (2016河南中原联盟高考仿真)已知条件p:a<0,条件q:a2>a,则 p是 q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列结论错误的是()A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要条件C.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”9.设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.(2016天津耀华中学一模)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.b≥B.b<C.a≤D.a>〚导学号37270260〛11.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.12.若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.能力提升13.已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是减函数,则m>1”,是真命题B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内不是增函数”,是真命题〚导学号37270261〛14.下列命题中是真命题的是()①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③15.(2016湖北武昌区五月调考)下列关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中真命题是()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4〚导学号37270262〛16.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.17.已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.高考预测18.设a,b∈R,则“a>b”是“a(e a+e-a)>b(e b+e-b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案考点规范练3命题及其关系、充要条件1.A解析a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.2.B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.3.A解析原命题的逆否命题:若a,b都小于1,则a+b<2.显然为真.故原命题为真.原命题的逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.因为a=1.2,b=0.2,有a+b<2,所以其逆命题为假.4.A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又因为a⊆α,b⊆β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有a∥b.显然a,b可能相交,也可能异面、平行.综上,“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.A解析对于A,逆命题是:若x>|y|,则x>y.因为x>|y|≥y,必有x>y,所以逆命题是真命题;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1.因为x=-5,有x2=25>1,所以否命题是假命题;对于C,否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0.因为x=-2,有x2+x-2=0,所以否命题是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此逆否命题是假命题.6.B解析因为 p:a≥0, q:0≤a≤1,所以 p是 q的必要不充分条件.7.A解析由|x-2|<1,解得1<x<3.因为“1<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件.8.C解析若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥-,不能推出m>0.所以“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题不是真命题,故选C.9.B解析∵3a>3b>3,∴a>b>1.∴log3a>log3b>0.,即log a3<log b3.∴“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分条件.当0<a<1,b>1时,满足log a3<log b3.而由3a>3b>3,得a>b>1,∴由log a3<log b3不能推出3a>3b>3,∴“3a>3b>3”不是“log a3<log b3”的必要条件.∴“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件,故选B.10.A解析∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|<a,∴|2x+2|<a.∴-a<2x+2<a.<x<∵|x+1|<b,∴-b<x+1<b.∴-b-1<x<b-1.∵|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),(-b-1,b-1).∴-b-1,b-1,解得b故选A.11.②③解析①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.12.1解析由题意知m≥(tan x)max.∵x,∴tan x∈[0,1].∴m≥1.故m的最小值为1.13.D解析由f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数,可知f'(x)=e x-m≥0在(0,+∞)内恒成立,故m≤1.因此命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内不是增函数”是真命题.14.B解析对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.15.D解析∵等差数列a n+1-a n=d>0,∴数列{a n}是递增数列,故p1是真命题;对于数列{na n},(n+1)a n+1-na n=(n+1)d+a n,不一定是正实数,故p2是假命题;对于数列,不一定是正实数,故p3是假命题;对于数列{a n+3nd},第n+1项与第n项的差等于a n+1+3(n+1)d-a n-3nd=4d>0,故p4是真命题.故选D.16.(1,2]解析∵p是q的必要不充分条件,∴q⇒p,且p q.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A.又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a};当a<0时,A={x|3a<x<a}.故当a>0时,有解得1<a≤2;当a<0时,显然A∩B=⌀,不合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,2].17.(-∞,0]∪[3,+∞)解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},由p是q的充分条件,可知A⊆B,故a+1≤1或a-1≥2,即a≤0或a≥3.即所求实数a的取值范围是(-∞,0]∪[3,+∞).18.C解析设f(x)=e x+e-x,则f'(x)=e x-e-x=当x>0时,e x>1,∴(e x)2-1>0.∴f'(x)>0,∴当x>0时,f(x)是增函数;∵a>b>0,∴f(a)>f(b).∴e a+e-a>e b+e-b.∴a(e a+e-a)>b(e b+e-b).当x<0时,0<e x<1,∴(e x)2-1<0.∴f'(x)<0,∴当x<0时,f(x)是减函数;∵b<a<0,∴f(a)<f(b).∴e a+e-a<e b+e-b.∴a(e a+e-a)>b(e b+e-b).当a>0>b时,a(e a+e-a)>b(e b+e-b)显然成立,综上所述,当a>b时,a(e a+e-a)>b(e b+e-b)恒成立,故充分性成立; 反之也成立,故必要性成立;故“a>b”是“a(e a+e-a)>b(e b+e-b)”的充要条件,故选C.。