集合的含义与表示练习题(附答案)
9 时，A 中只有一个元素． 8 9 ． 8
③若 A 中至多只有一个元素，则包括两种情形，A 中有且仅有一个元素，A 是空集，由 ①、②的结果可得 a＝0，或 a
21．解：①由 9－x＞0 可知，取 x＝0，1，2，3，4，5，6，7，8 验证，则 x＝0，6，8 时
9 1 ，3，9 也是自然数，∴A＝{0，6，8} 9 x
3
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集合与集合的表示方法参考答案
一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 解析：在选项 A 中，M＝ ，P＝{0}，是不同的集合； 在选项 B 中，有 M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}， 是不同的集合，在选项 C 中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则 M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t ≥1}，它们都是由不小于 1 的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和 P 是同一个集合，在选项 D 中，M 是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P 是由…， 2，6，10，14，…组成的集合，因此，M 和 P 是两个不同的集合．答案：C． 二、填空题 7．2 8．x≠3 且 x≠0 且 x≠－1
x 3, 2 根据构成集合的元素的互异性，x 满足 x 2 x 3, x 2 2 x x.
解之得 x≠3 且 x≠0 且 x≠－1． 9．2 或 4 10．①∈，∈，∈， ，∈．②∈， ，∈， ． 12． a 11．m＝3，n＝2．
1 1 ， b ．解析：由题意知，方程 x2＋(a－1)x＋b＝0 只有等根 x＝a，则 ＝ 3 9 1 1 (a－1)2－4b＝0①， 将 x＝a 代入原方程得 a2＋(a－1)a＋b＝0②， 由①、 ②解得 a ，b . 3 9
1 1 A ，即 A ． 2 1 (1) 1 1 1 ∵ A， A ，即 2∈A． 1, ∴ 1 2 2 1 2
∵－1∈A，－1≠1∴ 由以上可知，若 2∈A，则 A 中还有另外两个数－1 和 (2)不妨设 A 是单元素的实数集．则有 a ∵＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， ∴方程 a2－a＋1＝0 没有实数根． ∴A 不是单元素的实数集．
1 2 3 p ，∴ E {0, , , ,4} q 4 3 2 22．解：由已知， ＝4(p－1)2－4≥0，得 P≥2，或 P≤0，
又∵ x ∴A＝{p｜p≥2，或 p≤0}，∵x∈A，∴x≥2，或 x≤0． ∴2x－1≥3，或 2x－1 ≤－1，∴B＝{y｜y≤－1，或 y≥3}．
1 1 ∴ A {1, ,2} ． 2 2
1 , 即 a2－a＋1＝0． 1 a
1 A 1 a 1 1 ∴ A ，即 A． 1 1 a 1 1 a
(3)∵若 a∈A，则 20．解：①∵A 是空集∴方程 ax2－3x＋2＝0 无实数根 ∴
a 0, 9 解得 a 8 9 8a 0, 2 ； 3
1 A． a
2
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20．已知集合 A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中 a 为常数，且 a∈R ①若 A 是空集，求 a 的范围； ②若 A 中只有一个元素，求 a 的值； ③若 A 中至多只有一个元素，求 a 的范围．
21．用列举法把下列集合表示出来： ①A= {x N | ②B= {
②由①知，B＝{1，3，9}． ③∵y＝－x2＋6≤6，而 x∈N，y∈N， ∴x＝0，1，2 时，y＝6，5，2 符合题意． ∴C＝{2，5，6}． ④点(x，y)满足条件 y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有
x 0, y 6,
x 1, y 5,
x 2, y 2.
9 N}; 9 x
9 N | x N}; 9 x
③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； ④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝ {x |
p x, p q 5, p N, q N*} q
22．已知集合 A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合 B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．
②∵A 中只有一个元素， ∴方程 ax2－3x＋2＝0 只有一个实数根． 当 a＝0 时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根 x 当 a≠0 时，令 ＝9－8a＝0，得 a 等的实数根，即 A 中只有一个元素． 由以上可知 a＝0，或 a
9 ，这时一元二次方程 ax2－3x＋2＝0 有两个相 8
18．解：∵5 ∈A，且 5 B．
a 2 2a 3 5， a 4或a 2, ∴ 即 2. 5, a a 3
∴a＝－4 19．证明：(1)若 2∈A，由于 2≠1，则
1 A ，即－1∈A． 1 2
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第一章 集 合
1．1 集合与集合的表示方法
一、选择题 1．下列各组对象 ①接近于 0 的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体；④正三角形的全体； ⑤ 2 的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A．2 组 B．3 组 C．4 组 D．5 组 2．设集合 M＝{大于 0 小于 1 的有理数}， N＝{小于 1050 的正整数}， P＝{定圆 C 的内接三角形}， Q＝{所有能被 7 整除的数}， 其中无限集是( ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 3．下列命题中正确的是( ) A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义 B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合 M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( ) A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点 5．已知 M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈ Z}，则( ) A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y M 6．下列各选项中的 M 与 P 表示同一个集合的是( ) A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0} B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R} C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R} D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z} 二、填空题 7．由实数 x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x，x2－2x}中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合 A＝{2，4，6}，若 a∈A，则 6－a∈A，那么 a 的值是______． 10．用符号∈或 填空： ①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z， 2 ______R． ②
x y 1 13．方程组 y z 2 的解集为______． z x 3
14．已知集合 P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示 集合 Q＝______． 15．用描述法表示下列各集合： ①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③ { , , , , } ______________________________________________________． 16．已知集合 A＝{－2，－1，0，1}，集合 B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则 B＝______． 三、解答题 17．集合 A＝{有长度为 1 的边及 40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出 这些元素来．
*
∴D＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．
⑤由 p＋q＝5，p∈N，q∈N 得
p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, q 5, q 4, q 3, q 2, q 1.
5
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13．{(1，0，2)} 14．Q＝{0，2，3，4，6，8，12} * 15．①{x｜x＝2n，n∈N 且 n≤6}， ②{x｜2≤x≤4，x∈N}，或{x｜(x－2)(x－3)(x－4)＝0} ③ {x | x
n , n N*且n 6} n2
16．B＝{0，1，2}解析：∵y∈A，∴y＝－2，－1，0，1，∵x＝｜y｜，∴x＝2，1，0， ∴B＝{0，1，2} 三、解答题 17．解：有 4 个元素，它们分别是： (1)底边为 1，顶角为 40°的等腰三角形；(2)底边为 1，底角为 40°的等腰三角形； (3)腰长为 1，顶角为 40°的等腰三角形；(4)腰长为 1，底角为 40°的等腰三角形．
1 ______R， 5 ______Q，｜－3|______N＋，｜－ 3 ｜______Z． 2
1
11．若方程 x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则 m＝______，n＝______．
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12． 若集合 A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中， 仅有一个元素 a， 则 a＝______， b＝______．6 7
18．设 A 表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B 表示集合{a＋3，2}，若已知 5∈A，且 5 B， 求实数 a 的值．
集合的含义与表示巩固练习含答案
§1 集合的含义与表示1.下列说法正确的是( A )A.2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合B.某个班年龄较小的学生组成一个集合C.集合{1，2，3}与{3，1，2}表示不同的集合D.1，0.5，23，21组成的集合有四个元素 2.下面六种表示法：①｛x=1-，y=2｝;②｛(x,y)｜x=1-,y=2｝;③｛1-，2｝;④(1-，2);⑤｛(1-，2)｝;⑥｛(x,y)｜x=1-或y=2｝，能正确表示方程组⎩⎨⎧=+-=+03,02y x y x 的解集的是( C ) A.①②③④⑤⑥ B.①②④⑤ C.②⑤ D.②⑤⑥3.下面有四个命题：①集合N 中的最小元素为1；②方程（x-1）3（x+2）（x-5）=0的解集含有3个元素；③0∈∅；④满足1＋x ＞x 的实数的全体形成集合.其中正确命题的个数是 ( C )A.0B.1C.2D.34.已知集合S={a ，b ，c}中的三个元素可构成△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( D )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5．坐标轴上的点的集合可表示为（ C ）A.()}{,0,0,0,0x y x y x y =≠≠=或 B. ()}{22,0x y x y += C. ()}{,0x y x y ⋅= D. ()}{22,0x y x y +≠6.用符号∈或∉填空.(1)3.14______Q ，0______ N ，2_____ Z ，(-1)0_____ N ，0_____∅； (2)23_____{x|x<11},32_____｛x ｜x ＞4｝，2+5___｛x ｜x ≤2+3｝；(3)3____｛x ｜x=n 2+1，n ∈N ｝，5_______｛x ｜x=n 2+1，n ∈N ｝；(4)(-1，1)____ ｛y ｜y=x 2｝,(-1,1)____｛(x,y)｜y=x 2｝.解析：分清元素与集合之间的关系.(1)∈ ∈ ∉ ∈ ∉ (空集不含任何元素) (2)23＝1112>，32＝1618>＝4，2)52(52+=+ =12271027+<+ ＝32)32(2+=+，故填∉,∈,∈.(3)令n 2+1=3，n ＝±2，n ∉N.令n 2+1＝5，n ＝±2，2∈N ，故填∉,∈.(4)(因为｛y ｜y ＝x 2｝中元素是数，而(-1，1)代表一个点),故填∉,∈.答案：(1)∈ ∈ ∉ ∈ ∉ (2) ∉ ∈ ∈ (3) ∉ ∈ (4) ∉ ∈7.试用适当的方法表示下列集合.（1）24的正约数；（2）数轴上与原点的距离小于1的所有点；（3）平面直角坐标系中，第一，三象限的角平分线上的所有点；（4）所有非零偶数；（5）所有被3除余数是1的数.答案：（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}；（2）{x||x|＜1}；（3）{（x ，y ）|y=x}；（4）{x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0}或{x|2x ∈Z 且x ≠0}； （5）{x|x=3k+1，k ∈Z }. 8.设集合(){},26,,A x y x y x N y N =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为 . 答案：()()()(){}0,6,1,4,2.2,3,09.集合{}2320,A x R ax x a R =∈-+=∈只有一个元素，则a = 答案：908或10.（1）实数a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}是有限集；（2）a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为无限集；（3）a 、b 满足关系_________时，集合A={x|ax+b=0}为空集.答案：(1)a ≠0，b ∈R (2)a=b=0 (3)a=0，b ≠011.已知A={x ∈N|x -612∈N},试用列举法表示A. 解析：因为x -612∈N(x ∈N)所以6-x=1,2,3,4,6,12(x ∈N)，即x=5,4,3,2,0.所以A={0，2，3，4，5}.。
同步练习 集合的含义与表示含答案
同步练习 集合的含义与表示学校： 姓名： 班级：一、选择题1 下列各组对象可以组成集合的是( )A ．数学必修1课本中所有的难题B ．小于8的所有素数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数2 给出下列关系：①12∈R ； ②2∉Q ； ③|－3|∉N ； ④|－3|∈Q ；⑤0∉N ，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．第一象限的点组成的集合可以表示为( )A ．{(x ，y )|xy >0}B ．{(x ，y )|xy ≥0}C ．{(x ，y )|x >0且y >0}D ．{(x ，y )|x >0或y >0}5. 方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ()5,4 B ()4,5- C (){}4,5- D (){}4,5-6. 下列四个集合中，是空集的是（ ） A }33|{=+x x B },,|),{(22R y x x y y x ∈-= C }0|{2≤x x D },01|{2R x x x x ∈=+- 7．在下列关系中错误的个数是( )①1∈{0,1,2}； ②{1}∈{0,1,2}； ③{0,1,2}⊆{0,1,2}； ④{0,1,2}＝{2,0,1}；⑤{0,1}⊆{(0,1)}；A ．1B ．2C ．3D ．48．集合M ＝{1,2,3}的子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题9. 用符号“∈”或“∉”填空． －2________R ； －3________Q ； －1________N ； π________Z .10. 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 11. 设集合{=M 小于5的质数}，则M 的子集的个数为. 三、解答题12. 求解下列问题： （1）0822=--x x （2）2113x x +<-13. 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值．14．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ⊆B ，求实数m 的取值集合．同步练习 集合的含义与表示答案1. B 解析 A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．2. B 解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3为无理数， ④错；0是自然数，⑤错．故选B.3. C4. C5. D 1594x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-==-⎩⎩得，该方程组有一组解(5,4)-，解集为{}(5,4)-； 6. D 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)并非空集，选项C 所代表的 集合是{}0并非空集，选项D 中的方程210x x -+=无实数根； 7. B 解析 ①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，而不能用符号∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2.故选B.8. D 解析 ∵集合M 共有3个元素， ∴集合M 的子集的个数为23＝8.9.答案 ∈ ∈ ∉ ∉10.答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ， ∴0≤x ≤2且x ∈N . 当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ； 当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N . ∴A 中元素有0,1,2. 11.412.略13.(1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a }，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.14.解 ∵A ⊆B ，∴当A ＝∅时，即方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0无实根，故Δ＝16m 2－8(m ＋3)<0，解得－1<m <32.当A ≠∅时，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的根为负， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，4m <0，2m ＋6>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥32或m ≤－1，m <0，m >－3⇒－3<m ≤－1. 综上，实数m 的取值集合是{m |－3<m <32}．。
集合的含义与表示练习题
集合的含义与表示练习题一、选择题1. 下列何者是集合的定义？A. 一些相同或相类似的元素的聚集。
B. 一些不同的元素的聚集。
C. 一些有序的元素的聚集。
D. 一些无序的元素的聚集。
2. 以下哪个符号表示“属于”关系？A. ∩B. ∪C. ∈D. ⊆3. 若集合A={1,2,3}，则A的基数为：A. 3B. 6C. 1D. 04. 下列哪个运算符表示两个集合的交集？A. ∩B. ∪C. ∈D. ⊆5. 若集合A={a,b,c}，集合B={b,c,d}，则A∪B等于：A. {a,b,c,d}B. {a}C. {b,c,d}D. {b,c}二、填空题1. 若集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B={ }。
2. 集合A的幂集的基数为{ }，其中集合A的基数为4。
3. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4,6,8}，则A∪B={ }。
三、解答题1. 请定义集合的并集、交集和补集，并举例说明。
2. 若集合A={a,b,c,d,e}，集合B={c,d,e,f,g}，找出满足以下条件的集合：a) A∪B的基数为6；b) A∩B的基数为2。
四、应用题1. 某班级有50名学生，其中30人会打篮球，20人会踢足球。
已知篮球队员中有10人同时会踢足球，问有多少人既会打篮球又会踢足球？2. 在某个购物网站上，有1000个用户喜欢购买手机，700个用户喜欢购买电脑，已知用户中有300人同时喜欢购买手机和电脑，问有多少人既喜欢购买手机又喜欢购买电脑？以上是关于集合的含义与表示的练习题，希望能帮助你更好地理解和掌握集合的概念与运算。
答案如下：一、选择题1. A2. C3. A4. A5. A二、填空题1. {2,3}2. 163. {1,2,3,4,6,8}三、解答题1. 并集：集合A∪B是包含A和B中所有元素的集合。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
交集：集合A∩B是包含A和B中共有元素的集合。
高中数学集合的含义及其表示练习题(含答案)
高中数学集合的含义及其表示练习题(含答案)数学必修1(苏教版)1．1 集合的含义及其表示一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？基础巩固1．下列说法正确的是()A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D．数1,0,5，12，32，64，14组成的集合有7个元素答案：C2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个答案：C3．下列四个关系中，正确的是()A．a{a，b} B．{a}{a，b}C．a{a} D．a{a，b}答案：A4．集合M＝{(x，y)|xy0，xR，yR}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．答案：D5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B6．集合M中的元素都是正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可知，集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个．答案：B7．下列集合中为空集的是()A．{xN|x2 B．{xR|x2－1＝0}C．{xR|x2＋x＋1＝0} D．{0}答案：C8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝() A．－3或－1或2 B－3或－1C．－3或2 D．－1或2解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}．a＝－3或2.答案：C9．集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x ＝4k＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()A．a＋bPB．a＋bQC．a＋bMD．a＋b不属于P、Q、M中任意一个解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.答案：B10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．①不超过2的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．答案：①④⑤11．若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________．解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n＋2N.答案：aA12．集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______．解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.答案：－313．一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M的元素个数最多为________．答案：7个14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}．答案：③能力提升15．已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值．解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，此时A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意．(2)若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，此时A ＝－34，符合题意．综上所述，a＝1或53.16．若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2019＋b2019的值．解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，a＝1，又a1，故a＝－1.a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝1.17．设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”．(1)试写出只有一个元素的集合A；(2)试写出只有两个元素的集合A；(3)这样的集合A至多有多少个元素？解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}．(2)若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地出现在A中．同理，2和8,3和7,4和6成对地出现在A 中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合．(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}．18．若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
集合的含义与表示高一数学总结练习含答案
§1集合的含义与表示1.集合的概念:一般地,指定的某些对象的①称为集合,集合常用大写字母A,B,C,D,…标记.集合中的每个对象叫作这个集合的②,元素常用小写字母表示.2.元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于若对象a在集合A中,就说a属于集合A ③a属于集合A不属于若对象a不在集合A中,就说a不属于集合A a∉A a④集合A3.常用数集的记号常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记号⑤N或N*Z ⑥R+4.集合中元素的性质集合中的元素具有⑦、⑧、⑨.5.集合的常用表示方法集合的常用表示方法有⑩和.6.集合的分类有限集含元素的集合无限集含元素的集合空集不含有任何元素的集合叫作空集,记作⌀一、集合中元素的特性及应用1.(2012课标全国,理1,5分,★☆☆)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10思路点拨本题构思新颖,解题的关键是根据集合中元素满足的条件,将其一一列举出来.2.(2013大纲全国,理1,5分,★☆☆)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M 中元素的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6思路点拨 将A 中元素与B 中元素分别相加可得M 中元素.3.(2012江西,理1,5分,★☆☆)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2思路点拨 根据集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}的特点,逐个求解其中的元素,当x+y 的结果相同时算作一个元素.二、集合问题中的分类讨论4.(2010福建,文12,5分,★★☆)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S 时,有x 2∈S.给出如下三个命题:①若m=1,则S={1}; ②若m=-12,则14≤l≤1; ③若l=12,则-√22≤m≤0. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3思路点拨 对各个命题中设定的条件,根据方程和不等式的知识进行分析判断.5.(高考预测,★★☆)已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a∈R},若集合A 中至多有一个元素,则实数a 的取值范围是( ) A.a=0 B.a≥98C.a=0或a≥98D.不能确定思路点拨 对于方程“ax 2-3x+2=0”应首先考虑其是否是一元二次方程,即x 2的系数是否为0.若为0,则此方程为一元一次方程,当然只有一个实根;否则,应通过Δ≤0求出a 的取值范围.三、集合中的探索性问题6.(高考预测,★★☆)已知集合A={x|x=a+b √3,a,b∈Z},x 1,x 2∈A,下列结论不正确的是( ) A.x 1+x 2∈A B.x 1-x 2∈AC.x1x2∈AD.当x2≠0时,x1x2∈A思路点拨判断一个元素是不是所给集合中的元素,就看这个元素是否符合所给集合中代表元素的特征.在集合中,当其代表元素的特征是确定的形式时,要判断一个元素是否是该集合中的元素,就要把这个元素按该集合代表元素的形式转化,如果转化的结果符合代表元素的形式,那么这个元素就是这个集合中的元素,否则不是这个集合中的元素.7.(高考预测,★★☆)设集合M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.(1)请推断任意奇数与集合M的关系;(2)关于集合M,你还可以得到一个什么样的结论?证明你的结论.思路点拨抓住集合中元素的构成特征检验或证明.一、选择题1.下列对象能构成集合的是( )A.大于6而小于9的整数B.长江里的大鱼C.某地所有高大建筑群D.√3的近似数2.给出四个关系式:①0∉{0};②0∈{(0,0)};③0∈{0};④0∉N+.其中表述正确的是( )A.①③④B.②③C.③④D.①②③④3.方程组{x+y=1,x-y=-1的解集是( )A.{x=0,y=1}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1}4.点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指( )A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集5.下列集合属于有限集的是( )①由不超过10的非负偶数组成的集合;②由大于10的所有自然数组成的集合;③方程x2-4=0的解集;④由在平面上到两定点A、B距离相等的点组成的集合;⑤方程x2+1=0的解集.A.①④⑤B.①③⑤C.①③D.③⑤6.设3-5√2,y=3+√2π,集合M={m|m=a+√2b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( ) A.x∈M,y∈M B.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD.x∉M,y∉M二、填空题7.用符号“∈”或“∉”填空:(1)0 N,√5N,√16N;(2)-12Q,√2+12Q.8.下列结论:①a∈{a};②⌀∈{⌀};③a∈⌀;④a∉⌀.其中不正确的序号是.一、选择题1.(2015安徽芜湖一中期中,★☆☆)集合A={x∈Z|-1<x<3}中的元素个数是( )A.1B.2C.3D.42.(2015广东广州培正中学期中,★☆☆)如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是( )A.0B.0或1C.1D.不能确定3.(2015云南富民一中期中,★★☆)已知集合A={1,2,3},B={2,4}.定义集合A,B之间的运算A*B={x|x∈A,且x∉B},则集合A*B等于( )A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}4.(2015浙江瑞安四校联考,★☆☆)方程组{x+y=2,x-y=0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}5.(2014广东揭阳一中期中,★☆☆)下列四个集合中,是空集的是( )A.{⌀}B.{0}C.{x|x>8或x<4}D.{x∈R|x2+2=0}6.(2014陕西西安电子科技中学期中,★★☆)定义集合A、B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x 1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为( )A.9B.14C.18D.217.(2013辽宁盘锦模拟,★☆☆)若集合A={(1,2),(3,4)},则集合A中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题8.(2015上海交通大学附中期中,★☆☆)用描述法表示由被5除余3的整数所组成的集合: .9.(2015广东深圳宝安中学期中,★★☆)集合M={m|m=a+b√2,a∈Q,b∈Q},如果x∈M,那么x2M(填“∈”或“∉”).知识清单①全体 ②元素 ③a∈A ④不属于 ⑤N ⑥Q ⑦确定性 ⑧互异性 ⑨无序性 ⑩列举法 描述法 有限个 无限个链接高考1.D 由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x 可取2,3,4,5,有4个;y=2时,x 可取3,4,5,有3个;y=3时,x 可取4,5,有2个;y=4时,x 可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10个,选D.2.B 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8,根据集合中元素的互异性可得集合M 中有4个元素.3.C 因为x∈A,y∈B,所以当x=-1,y=0,2时,z=x+y=-1,1;当x=1,y=0,2时,z=x+y=1,3.所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},其共有三个元素,选C.4.D ①中,若m=1,则S={x|1≤x≤l}.∵l∈{x|1≤x≤l},∴l 2∈{x|1≤x≤l},由于l≥1时l 2≥l,此时只能l=l 2,解得l=1,此时S={1},故①正确.②中,若m=-12,则S={x |-12≤x ≤l}. 若-12≤l<14,则0≤l 2≤14,此时14∉S;若l>1,则l 2>l,此时l 2∉{x |-12≤x ≤l};若14≤l≤1,此时对任意x∈{x |-12≤x ≤l},有0≤x 2≤l 2≤l,故14≤l≤1,故②正确.③中,若l=12,则S={x |m ≤x ≤12}.当x∈{x |m ≤x ≤12}时,若m>0,则m 2≤x 2≤14,要使x 2∈S,则m 2≥m,即m≥1,此时集合S 为空集;若m<-√22,则m 2>12,此时m 2∉S;若-√22≤m≤0,则0≤m 2≤12,此时m 2∈S,故③正确. 综上所述,选D.5.C 由题意知方程ax 2-3x+2=0有一个实根或有两个相等实根或没有实根. (1)当a=0时,方程ax 2-3x+2=0可化为-3x+2=0,解得x=23,符合题意;(2)当a≠0时,方程ax 2-3x+2=0是一元二次方程,由Δ=9-8a≤0得a≥98,此时方程无实根或有两个相等的实根,符合题意. 综上可知,a=0或a≥98.6.D 由于x 1,x 2∈A,故设x 1=a 1+b 1√3,x 2=a 2+b 2√3,a 1,a 2,b 1,b 2∈Z,则x 1±x 2=(a 1±a 2)+(b 1±b 2)√3,由于a 1,a 2,b 1,b 2∈Z,故a 1±a 2,b 1±b 2∈Z,所以x 1+x 2∈A,x 1-x 2∈A;x 1x 2=(a 1a 2+3b 1b 2)+(a 1b 2+a 2b 1)√3,由于a 1,a 2,b 1,b 2∈Z,故a 1a 2+3b 1b 2,a 1b 2+a 2b 1∈Z,所以x 1x 2∈A;由于x1x 2=11√3a +b √3=a 1a 2-3b 1b 2a 22-3b 22+a 2b 1-a 1b 2a 22-3b 22√3,但这里a 1a 2-3b 1b 2a 22-3b 22,a 2b 1-a 1b 2a 22-3b 22都不一定是整数,故当x 2≠0时,x1x 2不一定是集合A 中的元素.7.解析 (1)任意奇数都是集合M 中的元素.理由如下:令m=2k-1,k∈Z,则m=2k-1=k 2-(k-1)2∈M. (2)结论:对任意的p,q∈M,有pq∈M.证明过程如下:设p=x 2-y 2,q=a 2-b 2,x,y,a,b∈Z,则xa-yb∈Z,xb -ya∈Z,故pq=(x 2-y 2)·(a 2-b 2)=x 2a 2+y 2b 2-x 2b 2-y 2a 2=(xa-yb)2-(xb-ya)2∈M.基础过关一、选择题1.A 所给对象是否能构成集合关键是看该对象是否满足集合中元素的确定性,选项B 、C 、D 中的元素都是不确定的,故选A.2.C 0∉{0}是错误的;{(0,0)}是由点(0,0)构成的单元素集,而0是一个数,不是点,从而②错误;易知③④正确.3.C 方程组的解为{x =0,y =1,故其解集有一个元素,为一有序数对.选C. 4.D 第一、第三象限内及坐标轴上的点的坐标(x,y)均满足xy≥0,故选D. 5.C ①③为有限集,②④为无限集,其中④是一个点集,其元素有无限个,⑤是空集. 6.B x=3-5√2=-341-541√2,得x∈M.因为π∉Q,所以y ∉M.二、填空题7.答案 (1)∈;∉;∈ (2)∈;∉解析 (1)0是自然数,√5是无理数,不是自然数,√16=4是自然数;(2)-12是有理数,√2是无理数,无理数加有理数还是无理数. 8.答案 ③解析 根据元素与集合的关系进行判断,①中集合中的元素是a,故①正确;②中集合中的元素是空集,故②正确;由于空集是不含有任何元素的集合,故③不正确、④正确.三年模拟一、选择题1.C A={0,1,2},故选C.2.B 当a=0时,A={x|2x+1=0}={-12};当a≠0时,由题意得,方程ax2+2x+1=0只有一个实根,则Δ=4-4a=0,解得a=1,此时A={-1}.综上,a=0或1,故选B.3.C 由已知得,1,3∈A,且1,3∉B,故A*B={1,3}.4.A 由方程组的解构成的集合的元素是有序数对,故选A.5.D 显然D为空集.6.B 由题意知A*B={2,3,4,5},故A*B中的所有元素之和为14.故选B.7.B 由已知得,集合A中只有两个元素(1,2)和(3,4).二、填空题8.答案{x|x=5k+3,k∈Z}解析由被5除余3的整数所组成的集合为{x|x=5k+3,k∈Z}.9.答案∈解析∵x∈M,∴可设x=a+b√2,其中a∈Q,b∈Q,∴x2=(a+b√2)2=a2+2b2+2ab·√2,又易知a2∈Q,2b2∈Q,2ab∈Q,∴x2∈M.。
高中数学：1.1.1集合的含义与表示 (23)
题型四 方程的解集 例5 如果方程ax＋b＝0的解集为A，cx＋d＝0的解集为B， 利用A，B表示： (1)(ax＋b)(cx＋d)＝0的解集； (2)(ax＋b)(cx＋d)≠0的解集．
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【解析】 (1){x|(ax＋b)(cx＋d)＝0}＝{x|ax＋b＝0}∪{x|cx ＋d＝0}＝A∪B.
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3．已知A＝{x|x<－5或x≥4}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B ⊆A，则实数a的取值范围是________．
答案 a<－8或a≥3 解析 ∵B⊆A，∴a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
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4．设A，B为两个集合，下列四个命题： ①A B⇔对任意x∈A，有x∉B； ②A B⇔A与B没有公共元素； ③A B⇔A⊉B； ④A B⇔存在x∈A，使得x∉B. 其中真命题序号是________．(把符合要求的真命题序号都 写上)
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自助餐走向高考
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1．(2019·课标全国Ⅲ，理)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B
＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
答案 A 解析 集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．
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2．(2019·浙江)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝
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答案 ④
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5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝ 0}，若A∪B＝A，求a的值．
解析 A＝{1，2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A. ∴B＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当B＝∅时，无解． 当B＝{1}时，11＋ ×11＝ ＝aa， －1，得a＝2. 当B＝{2}时，22＋ ×22＝ ＝aa， －1，无解．
集合的含义及表示习题附答案50题(D套)-高中数学
1.已知全集为U＝R,集合，，则＝（）A．{} B．C．D．
2.；
3.已知﹑均为非零向量，条件条件的夹角为锐角，则是成立的
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
4.设全集，集合A={} ，则在直角平面上集
合内所有元素的对应点构成的图形的面积等于__ ___．
5.集合A满足：若实数a∈A，则∈A，已知a = 2∈A，则集合A中的元素个数至少有____个．
6.已知集合只有一个元素，则a的值
为（）
A．0 B．1 C．0或1 D．—1
7.设集合那么“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8.已知集合A="{x|" |x|<3,x Z},B={1,2,3,4},全集U=AUB，则集合C（A B）的子集个数为
( )
A．8 B．16 C．32 D．64
9.集合｛，｝的真子集个数是.
10.集合的元素个数有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
11.若集合，，则中元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个
12.集合的元素个数有个.。
(完整版)集合的概念及表示练习题及答案
新课标集合的含义及其表示姓名:、选择题:1.下面四个命题：(1)集合N中的最小元素是1:( 2)若a N，则a N (3) x2的解集为{2 , 2} ; ( 4) 0.7 Q，其中不正确命题的个数为 ( )4xA. 0B. 1C.2D.32.下列各组集合中，表示同一集合的是A. M 3,2 , N 2,3B. 3,2 , N 2,3C. M x, y x y 1 , N y 1D. M 1,2 ,N 1.23.下列方程的实数解的集合为-的个数为(1) 4x2 9y2 4x 12y 5 0；(2)6x20；⑶ 2x 1 23x 2 0；(4)6x2A.1B.2C.3D.44.集合A x 1 0 ,B 6x 10 0 , x Q 4x 5 解集含有3个元素；(3) 0 (4)满足1 x x的实数的全体形成的集合。
其中正确命题的个数是( )A.0B. 1C. 2D.3二. 填空题：一，2x 4 08. 用列举法表示不等式组2x 4 0的整数解集合为1 x 2x 19. 已知集合A x x N,里I N用歹0举法表示集合A为6 x10. 已知集合A a-_41有惟一解，乂列举法表示集合A为x a三、解答题：11. 已知A= 1,a,b , B a, a2,ab，且A=B,求实数a,b ;12. 已知集合A xax2 2x 1 0, x R , a为实数(1)若A是空集，求a的取值范围(2)若A是单元素集，求a的值(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围D xx为小丁2的质数，其中时空集的有A. 1 个B.2个C.3 个D.4 个5.下列关系中表述正确的是A. 0 x20B. 0 0,0C. 0D. 06.A. 下列表述正确的是(0 B. 1,2 2,1 C. D. 07. 卜面四个命题：(1)集合N中的最小元素是 1 : (2)方程13.设集合M a a x2 y2,a Z(1)请推断任意奇数与集合M的关系(2)关丁集合M你还可以得到一些什么样的结论参考答案：DBBBDBCa>1(2) a=0or1 (3) a=0-一一…- 178. 1,0,1,2 9 0,2,3,4,5 ; 10, 一，2,2 11,a= -1,b=0 ; 12, (1)4or a 113 (1)任意奇数都是集合M的元素(2)略。
高中数学必修一练习题(一)集合(详细答案)
高中数学必修一复习练习（一）班号姓名集合的含义与表示1．下面的结论正确的是( )A ．a∈Q ，则a∈NB ．a∈Z，则a∈NC．x2 －1＝0 的解集是{ －1，1} D ．以上结论均不正确2．下列说法正确的是( )A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B ．由1，2，3 和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20 的非负数组成一个集合D ．方程x2－4＝0 和方程|x－1|＝1 的解构成了一个四元集3．用列举法表示{( x，y)|x∈N＋，y∈N＋，x＋y＝4} 应为( )A ．{(1 ，3)，(3，1)}B ．{(2 ，2)}C．{(1 ，3)，(3，1)，(2，2)} D ．{(4 ，0)，(0，4)}4. 下列命题：(1) 方程x－2＋|y＋2|＝0 的解集为{2 ，－2} ；(2) 集合{ y|y＝x2－1，x∈R} 与{ y|y＝x－1，x∈R} 的公共元素所组成的集合是{0 ，1} ；(3) 集合{ x|x－1<0} 与集合{ x|x>a，a∈R} 没有公共元素．其中正确的个数为( )A ．0B ．1 C．2 D．35. 对于集合A＝{ 2，4，6，8}，若a∈A，则8－a∈A，则a 的取值构成的集合是．6．定义集合A*B＝{ x|x＝a－b，a∈A，b∈B} ，若A＝{1 ，2} ，B＝{0 ，2} ，则A* B 中所有元素之和为．7.若集合A＝{ －1，2} ，集合B＝{ x|x2＋ax＋b＝0} ，且A＝B，则求实数a，b 的值．8．已知集合A＝{ a－3，2a－1，a2＋1} ，a∈R .(1) 若－3∈A，求实数 a 的值；(2) 当a 为何值时，集合 A 的表示不正确．集合间的基本关系1．下列关系中正确的个数为( )①0∈{0} ；②? {0} ；③{(0 ，1)} ? {(0 ，1)} ；④{( a，b)} ＝{( b，a)} ．A ．1B ．2 C．3 D ．42．已知集合A＝{ x|－1<x<2} ，B＝{ x|0<x<1} ，则( )A ．A>B B ．A B C．B A D．A? B3．已知{1 ，2} ? M {1 ，2，3，4} ，则符合条件的集合M 的个数是( )A ．3 B．4 C．6 D ．84．集合M＝{1 ，2，a，a2－3a－1} ，N＝{ －1，3} ，若3∈M 且N M，则 a 的取值为( )A ．－1B ．4 C．－1 或－4 D．－ 4 或15. 集合 A 中有m 个元素，若在 A 中增加一个元素，则它的子集增加的个数是．6．已知M＝{ y|y＝x2－2x－1，x∈R} ，N＝{ x|－2≤x≤4} ，则集合M 与N 之间的关系是．7．若集合M＝{ x|x2＋x－6＝0} ，N＝{ x|(x－2)( x－a)＝0} ，且N? M，求实数 a 的值．8．设集合A＝{ x|a－2＜x＜a＋2} ，B＝{ x|－2＜x＜3} ，(1) 若A B，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在实数 a 使B? A?并集与交集1．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C 之间的关系必有( )A ．A? CB ．C? A C．A＝CD ．以上都不对2．A＝{0 ，2，a} ，B＝{1 ，a2} ，A∪B＝{0 ，1，2，4，16} ，则 a 的值为( )A ．0B ．1 C．2 D ．43．已知全集U ＝R ，集合M＝{ x|－2≤x－1≤2}和N＝{ x|x＝2k－1，k∈N*} 的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．2 个B ．3 个C．1 个 D ．无穷多个4．设集合M＝{ x|－3≤x＜7} ，N＝{ x|2x＋k≤0} ，若M∩N≠?，则k 的取值范围是( )A ．k≤3B ．k≥－3 C．k＞6 D．k≤65．已知集合M＝{ x|－3<x≤5} ，N＝{ x|－5< x<－2 或x>5} ，则M∪N＝，M∩N＝．6．已知集合A＝{( x，y)|y＝x2，x∈R} ，B＝{( x，y)|y＝x，x∈R } ，则A∩B 中的元素个数为．7．已知集合A＝{ x|x2＋px＋q＝0} ，B＝{ x|x2－px－2q＝0} ，且A∩B＝{ －1} ，求A∪B.8．已知A＝{ x|x<－2 或x>3} ，B＝{ x|4x＋m<0 ，m∈R} ，当A∩B＝B 时，求m 的取值范围．集合的补集运算1．已知全集U ＝{1 ，2，3，4，5，6，7，8} ，M＝{1 ，3，5，7} ，N＝{5 ，6，7} ，则?U (M∪N)＝( )A ．{5 ，7}B ．{2 ，4} C．{2 ，4，8} D．{1 ，3，5，6，7}2．已知全集U ＝{2 ，3，5} ，集合A＝{2 ，|a－5|} ，若?U A＝{3} ，则 a 的值为( )A ．0B ．10 C．0 或10 D ．0 或－103．已知全集U ＝R ，集合A＝{ x|－2≤x≤3} ，B＝{ x|x＜－1 或x>4} ，那么集合A∩(?U B)等于( )A ．{ x|－2≤x＜4} B．{ x|x≤3 或x≥4}C．{ x|－2≤x＜－1} D．{ x|－1≤x≤3}4．如图所示，U 是全集，A，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A∩B B ．A∪B C．B∩(?U A) D ．A∩(?U B)5．已知全集S＝R，A＝{ x|x≤1} ，B＝{ x|0≤x≤5} ，则(?S A)∩B＝．6．定义集合A*B＝{ x|x∈A，且x?B} ，若A＝{1 ，2，3，4，5} ，B＝{2 ，4，5} ，则A* B 的子集的个数是．5} ，7．已知全集U ＝R ，A＝{ x|－4≤x≤2} ，B＝{ x|－1< x≤3} ，P＝{ x|x≤0 或x≥2(1) 求A∩B；(2)求(?U B)∪P；(3)求(A∩B)∩(?U P)．8．已知集合A＝{ x|2a－2<x<a} ，B＝{ x|1<x<2} ，且 A ?R B，求a 的取值范围．参考答案集合的含义与表示1.选 C 对于 A ，a 属于有理数，则 a 属于自然数，显然是错误的，对于B，a 属于整数，则a 属于自然数当然也是错的，对于 C 的解集用列举法可用它来表示．故 C 正确．2.选 C A 项中元素不确定； B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等； D 项中两个方程的解分别是±2，0，2，由互异性知，可构成一个三元集．3．选 C x＝1 时，y＝3；x＝2 时，y＝2；x＝3 时，y＝1.4．选 A (1)?x－2＝0，?x＝2，故解集为{(2 ，－2)} ，而不是{2 ，－2} ；|y＋2|＝0 y＝－2.(2) 集合{ y|y＝x2－1，x∈R} 表示使y＝x2－1 有意义的因变量y 的范围，而y＝x2－1≥－1，故{ y|y＝x2－1，x∈R} ＝{ y|y≥－1} ．同理集合{ y|y＝x－1，x∈R} ＝R .结合数轴(图1)知，两个集合的公共元素所组成的集合为{ y|y≥－1} ；(3) 集合{ x|x－1<0} 表示不等式x－1<0 的解集，即{ x|x<1} ．而{ x|x>a，a∈R } 就是x>a 的解集．结合图2，当a≥1时两个集合没有公共元素；当a＜1 时，两个集合有公共元素，形成的集合为{ x|a<x<1} ．5．解析：当a＝2 时，8－a＝6∈A ；a＝4 时，8－a＝4∈A ；a＝6 时，8－a＝2∈A；a＝8 时，8－a＝0? A.∴所求集合为{2 ，4，6} ．答案：{2 ，4，6}6．解析：A*B ＝{1 ，－1，2，0} ，∴A*B 中所有元素之和为1－1＋2＋0＝2. 答案：27.解：由题意知－1，2 是方程2＋ax＋b＝0 的两个根，由根与系数的关系可知有1－a＋b＝0，4＋2a＋b＝0，故有a＝－1，b＝－2.8.解：(1)由题意知， A 中的任意一个元素都有等于－ 3 的可能，所以需要讨论．当a－3＝－3 时，a＝0，集合A＝{ －3，－1，1} ，满足题意；当2a－1＝－3 时，a＝－1，集合A＝{ －4，－3，2} ，满足题意；x当a2＋1＝－3 时，a 无解．综上所述，a＝0 或a＝－1.(2)若元素不互异，则集合 A 的表示不正确若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a2＋1，则方程无解；若2a－1＝a2＋1，则方程无解．综上所述，a＝－2.集合间的基本关系1.选 C ①、②、③均正确；④不正确．a≠b时，(a，b)与( b，a)是不同的元素．2. C3．选 A 符合条件的集合M 有{1 ，2} ，{1 ，2，3} ，{1 ，2，4} 共3 个．4．选 B (1) 若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1 ，2，3，－1} ，显然N? M ，不合题意．(2)若a2－3a－1＝3，即a＝4 或a＝－1(舍去)，当a＝4 时，M＝{1 ，2，4，3} ，满足要求．5．解析：由2m＋1－2m＝2·2m－2m＝2m. 答案：2m6．解析：∵y＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y|y ≥－2} ，∴N M. 答案：N M7．解：由x2＋x－6＝0，得x＝2 或x＝－3. 因此，M ＝{2 ，－3} ．若a＝2，则N＝{2} ，此时N? M；若a＝－3，则N＝{2 ，－3} ，此时N＝M；若a≠2且a≠－3，则N＝{2 ，a} ，此时N 不是M 的子集，故所求实数 a 的值为 2 或－3.8．解：(1)借助数轴可得， a 应满足的条件为a－2 >－2，或a＋2 ≤3，a－2 ≥－2，a＋2 < 3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得 a 应满足的条件为a－2 ≤－2，a＋2 ≥3，得a 无解，所以不存在实数 a 使B? A.并集与交集1．选 A A ∩B＝ A ? A ? B ，B ∪ C ＝ C? B ? C ，∴ A ? C.2．选 D ∵ A ＝ {0 ， 2， a} ， B ＝ {1 ，a 2} ， A ∪ B ＝{0 ，1， 2， 4， 16} ，则a ＝4，∴ a ＝ 4. a 2＝ 16. 3．选 A M ＝ {x| － 1≤ x ≤ ，3} N ＝ {x|x ＝ 2k －1， k ∈N*} ，∴ M ∩N ＝{1 ， 3} ．4．选 D 因为 N ＝ {x|2x ＋ k ≤ 0＝} {x|x ≤－ k } ，且 M ∩ N ≠? ，所以－ k≥－ 3? k ≤6. 2 25.解析：借助数轴可知： M ∪N ＝ {x|x> － 5} ，M ∩N ＝ { x |－ 3<x<－ 2} ．答案： { x|x>－5}{ x|－ 3<x<－2}6.解析：由 y ＝ x2， 得 y ＝ x ， x ＝ 0， 或 y ＝ 0x ＝ 1， y ＝1.答案： 27.解：因为 A ∩B＝ { － 1} ，所以－ 1∈A 且－ 1∈ B ，将 x ＝－ 1 分别代入两个方程，得1－p ＋ q ＝ 01＋p － 2q ＝0，解得 p ＝ 3. 所以 A ＝{ x|x 2＋3x ＋ 2＝0} ＝{ － 1，－ 2} ， q ＝ 2B ＝ { x|x 2－ 3x － 4＝0} ＝{ － 1， 4} ，所以 A ∪ B ＝ { －1，－ 2， 4} ．m8. 解：由题知， B ＝ {x|x< － 4，m ∈ R} ，因为 A ∩B＝ B ，所以 A ? B ，所以由数轴 (如图 )可得－ m42，所以 m ≥8，即 m 的取值范围是 m ≥ 8.集合的补集运算≤－21．选 C M ∪ N ＝ {1 ，3， 5， 6， 7} ．∴ ?U (M ∪ N) ＝ {2 ，4， 8} ．2．选 C 由?U A ＝ {3} ，知 3? A ， 3∈ U. ∴ |a － 5|＝ 5，∴ a ＝0 或 a ＝ 10.3．选 D 由题意可得， ?U B ＝ {x| － 1≤x ≤ 4}，A ＝{ x|－ 2≤x ≤ 3，}所以 A ∩(? U B)＝ { x|－ 1≤x ≤3} ．端点处的取舍易出错．4．选 C 阴影部分表示集合 B 与集合 A 的补集的交集．因此，阴影部分所表示的集合为B ∩(? U A)．5．解析：由已知可得 ?S A ＝ { x|x>1} ，∴ (?S A) ∩B ＝ { x|x>1} ∩{x|0 ≤x ≤ 5＝} { x|1<x ≤ 5．}答案： { x|1<x ≤5}6.解析：由题意知 A*B ＝ {1 ， 3} ．则 A*B 的子集有 22＝ 4 个．答案： 47.解：借助数轴，如图．(1) A ∩B ＝ { x|－ 1< x ≤2} ，5(2) ∵ ?U B ＝ { x|x ≤－ 1 或 x>3} ， ∴ (?U B)∪P ＝ { x|x ≤0 或 x ≥ } ．5 (3) ?U P ＝ { x|0<x<2} ． (A ∩B) ∩?(U P)＝ { x|－ 1<x ≤ 2} ∩x {|0＜ x ＜ 5} ＝ { x|0<x ≤2} ．8．解： ?R B ＝ {x|x ≤或1 x ≥ 2} ?≠，∵ A ?R B ，∴分 A ＝? 和 A ≠? 两种情况讨论．(1)若 A ＝ ?，此时有 2a － 2≥a ， ∴ a ≥2.2(2)若A≠?，则有2a－2<a或a≤12a－2＜a2a－2≥2. ∴a≤1.综上所述，a≤1 或a≥2.。
专题1 集合的含义与表示(解析版)
专题1 集合的含义与表示题组1 集合的概念1.对于以下说法：①接近于0的数的全体构成一个集合；②长方体的全体构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合；⑤0,0.5，，组成的集合含有四个元素.其中正确的是（）A.①②④B.②③⑤C.③④⑤D.②④【答案】D【解析】①③中的元素不能确定，⑤中的集合含有3个元素，②④中的元素是确定的，所以②④能构成集合.故选D.2.下列各组对象可以组成集合的是（）A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数【答案】B【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.3.下列说法中正确的是（）A.班上爱好足球的同学，可以组成集合B.方程x（x－2）2＝0的解集是{2,0,2}C.集合{1,2,3,4}是有限集D.集合{x|x2＋5x＋6＝0}与集合{x2＋5x＋6＝0}是含有相同元素的集合【答案】C【解析】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x（x－2）2＝0的所有解的集合可表示为{0,2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合{1,2,3,4}中有4个元素，所以集合{1,2,3,4}是有限集，选项C正确；集合{x2＋5x＋6＝0}不符合集合的表示形式，既不是列举法，也不是描述法，表示形式错误，选项D不正确.故选C.4.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（）A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合B.P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C.P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集【答案】A【解析】由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.题组2 集合中元素的特征5.数集{x2＋x,2x}中，x的取值范围是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，0）∪（0，＋∞）C.（－∞，1）∪（1，＋∞）D.（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）【答案】D【解析】根据题意，由集合中元素的互异性，可得集合{x2＋x,2x}中，x2＋x≠2x，即x≠0，x≠1，则x的取值范围是（－∞，0）∪（0,1）∪（1，＋∞）.故选D.6.数集{1,2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A.{2，}B.{－2，－}C.{±2，±}D.{2，－}【答案】C【解析】由x2－3≠1解得x≠±2.由x2－3≠2解得x≠±.∴x不能取得值的集合为{±2，±}.故选C.7.若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素，则a等于（）A.4B.2C.0D.0或4【答案】A【解析】当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故选A.8.若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为（）A.1B.0C.0或1D.以上答案都不对【答案】C【解析】k＝0时，适合题意；k≠0，由Δ＝0，可得k＝1.9.由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含（）A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素【答案】A【解析】由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.10.设集合A＝{－1,1,2，－2}，B＝{0,3，－3}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由集合中元素的互异性，可知集合M＝{0，－3,3,6，－6}，所以集合M中共有5个元素.题组3 元素与集合的关系11.由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则（）A.a∈AB.a2∈AC.∉AD.a＋1∉A【答案】A【解析】a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.a2＝（）2＋2·＋（）2＝5＋2>5.∴a2∉A.＝＝＝－<5.∴∈A.故选A.12.已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，N＝{y|y＝3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0与集合M，N的关系是（）A.x0y0∈M但x0y0∉NB.x0y0∉M且x0y0∉NC.x0y0∈N但x0y0∉MD.x0y0∈M且x0y0∈N【答案】C【解析】设x0＝3m＋1，y0＝3n＋2，m，n∈Z，则x0y0＝（3m＋1）（3n＋2）＝9mn＋6m＋3n＋2＝3（3mn＋2m＋n）＋2，∴x0y0∈N但x0y0∉M，故选C.13.集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，且a∈P，b ∈Q，则有（）A.a＋b∈PB.a＋b∈QC.a＋b∈RD.a＋b不属于P、Q、R中的任意一个【答案】B【解析】由P＝{x|x＝2k，k∈Z}可知P表示偶数集；由Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}可知Q表示奇数集；由R＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}可知R表示所有被4除余1的整数；当a∈P，b∈Q，则a为偶数，b为奇数，则a＋b一定为奇数，故选B.14.若集合A＝{x|0<x<7，x∈N*}，则B＝中元素的个数为（）A.3B.4C.1D.2【答案】B【解析】A＝{x|0<x<7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,6}，∵A∩B＝B，∴B＝中元素的个数为4.15.定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素数字之和为（）A.7B.9C.5D.6【答案】A【解析】∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B＝{1,2,4}，则A*B中的所有元素数字之和为1＋2＋4＝7，故选A.16.（1）设A表示集合{2,3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|,2}，若5∈A，且5∉B，求实数a 的值；（2）已知集合A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，若（2,3）∈A，且（2,3）∉B，试求m，n的取值范围.【答案】（1）∵5∈A，且5∉B，∴即解得a＝－4.（2）∵（2,3）∈A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1.∵（2,3）∉B，∴2＋3－n>0，∴n<5.∴所求m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}.17.已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，则（6－x）∈S”时回答下列问题：（1）试写出元素个数为2的全部集合S；（2）试写出满足条件的全部集合S.【答案】（1）∵S中有两个元素，且x∈S,6－x∈S，∴这两个元素的和为6，∴S可能为{1,5}，{2,4}.（2）当6－x＝x时，x＝3，∴S可能为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,5,3}，{2,4,3}，{1,5,2,4}，{1,5,2,4,3}.题组4 常用的数集及表示18.下列关系中正确的个数为（）①∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①③正确.19.下列四个说法中正确的个数是（）①集合N中的最小数为1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合；⑤π∈Q；⑥0∉N；⑦－3∈Z；⑧∈R.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】①错，因为N中最小数是0；②错，因为0∈N，而－0∈N；③错，当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错，小的正数是不确定的；⑤错，因为π不是有理数；⑥错，因为0是自然数；⑦正确，因为－3是整数；⑧正确，因为是实数.题组5 用列举法表示集合20.用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N*}为（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】B【解析】∵x－2<3，∴x<5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故选B.21.方程组的解构成的集合是（）A.{（1,1）}B.{1,1}C.（1,1）D.{1}【答案】A【解析】由得即方程组的解构成的集合为{（1,1）}，故选A.22.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（）A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}【答案】A题组6 用描述法表示集合23.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是（）A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}【答案】A24.用描述法表示一元二次方程的全体，应是（）A.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R}B.{x|ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0}C.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R}D.{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}【答案】D【解析】∵一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，a，b，c∈R，且a≠0.则描述法表示一元二次方程的全体构成的集合为：{ax2＋bx＋c＝0|a，b，c∈R，且a≠0}.故选D.25.集合{（x，y）|y＝2x－1}表示（）A.方程y＝2x－1B.点（x，y）C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合【答案】D【解析】集合{（x，y）|y＝2x－1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y＝2x－1}表示函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.26.第一象限的点组成的集合可以表示为（）A.{（x，y）|xy>0}B.{（x，y）|xy≥0}C.{（x，y）|x>0且y>0}D.{（x，y）|x>0或y>0}【答案】C27.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由于[k]＝，对于①，2 016除以5等于403余1，∴2 016∈[1]，∴①正确；对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5（n1－n2）能被5整除，∴a－b∈[0]，∴③正确；对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m ∈Z，k＝0,1,2,3,4，则a＝5n＋5m＋k＝5（m＋n）＋k，m∈Z，n∈Z，∴a，b属于同一“类”，∴④正确，则正确的有①③④，共3个.28.已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（）A.x0∈NB.x0∉NC.x0∈N或x0∉ND.不能确定【答案】A【解析】M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，∵2k＋1（k∈Z）是一个奇数，k＋2（k∈Z）是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.题组7 集合的表示综合29.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n ＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M ＝{（a，b）|a※b＝16}中的元素个数是（）A.18B.17C.16D.15【答案】B【解析】因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个，故选B.30.用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数}；（2）{能被3整除，且小于10的正数}；（3）{x|x＝|x|，x<5且x∈Z}；（4）{（x，y）|x＋y＝6，x，y均为正整数}；（5）{－3，－1,1,3,5}.【答案】（1）{－2，－1,0,1,2}；（2）{3,6,9}；（3）{0,1,2,3,4}；（4）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}；（5）{x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}.11/ 11。