高三文科数学选填限时训练(三)
高三数学限时训练(文科)
高三数学限时训练（文科）一．选择题 1.)12(log 1)(5.0+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A.)0,5.0(-B.]0,5.0(-C.),5.0(+∞-D. ),0(+∞2. 若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则=a（A ）21（B ）32（C ）43（D ）13. 函数11-+-=x x y 是( )A ．奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数4.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x fx x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 25. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．22- C ．22 D ．06.函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（ ）7. 函数)(x f 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与x e y =关于y 轴对称,则)(x f =A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --8. 将函数3cos sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π69.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.010. 设函数)(x f 在R 上的导函数为)(x f ',且x x f x x f 3)()(2>'+下面的不等式在R 内恒成立的（ ）A.0)(>x f B.0)(<x f C.x x f >)( D.x x f <)(二．填空题11. 设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.12.已知cos2α＝cos α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．13. 方程1313313x x -+=-的实数解为________ 14. 数()f x 对任意∈x R 都有(6)()2(3)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且4)4(=f ，则(2012)f =15. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为___________.16. 函数11-+=x x y 的图像与函数)42(1sin 2≤≤-+=x x y π的图像所有交点的纵坐标之和等于 17. 若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值是______三解答题18. 已知函数21()1x x f x e x -=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．。
高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】令f x =e x -ln x +1 -1,x >0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac <b 2B.a +c <2b ，ac >b 2C.a +c >2b ，ac <b 2D.a +c >2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。
高考数学复习《30分钟选填》 (文科版) 限时训练(4)
限时训练（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数()i 12i -的点位于（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）.A. 139,,a a a 成等比数列B. 236,,a a a 成等比数列C. 248,,a a a 成等比数列D. 369,,a a a 成等比数列3.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）. A. πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.sin 2cos 2y x x =+D.sin cos y x x =+4.已知向量()()(),3,1,4,2,1k ===a b c ，且()23-⊥a b c ，则实数k =（ ）. A. 92- B. 0 C. 3 D. 1525.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）.A ．12s > B. 35s > C. 710s > D.45s >6.已知命题是否k=k-1kk =9,s =1结束开始s=s ∙kk+1:p 对x ∀∈R ，总有20x >；:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是（ ）.A. p q ∧B. p q ⌝∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧⌝7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）.A. 54B. 60C. 66D. 728.设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）. A.43 B. 53 C. 94D. 3 9. 如图所示，在矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为()1,0，且点C 与点D 在函数()1,011,02x x f x x x +⎧⎪=⎨-+<⎪⎩…的图像上． 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）.A ．16 B ．14 C ．38 D ．1210. 在ABC △中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是（ ）. 俯视图左视图正视图3254AB ．34C11.已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）.A ．12B ．23C ．34D ．4312.设函数()()e 21x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）. A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n n A B =∈==N 剟，则()U AB =ð______.14.函数()()2log 2f x x =的最小值为_________.15.设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，则0x 的取值范围是 .16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是边BC 的中点.点P 在直线1BD （除 B ，1D 两点）上运动的过程中，平面DEP 可能经过的该正方体的顶点是 （写出满足条件的所有顶点）.EA B CDA 1B 1C 1D 1。
高考数学复习《30分钟选填》 (文科版) 限时训练(3)答案
限时训练（三）答案部分一、选择题二、填空题13.1214. 5 15. 2解析部分1. 解析 集合{}1A x x =-…，{}10B x x =-<<<，()1,0A B =-.故选A .2. 解析 由()11i z z -=+，得()1i 1i z -=+，即1ii 1iz +==-. 故选C .3. 解析 双曲线221kx y -=的渐近线方程为y =.若双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，()21-=-，所以14k =，故双曲线方程为2214x y -=，此双曲线的离心率c e a ==.故选A . 4.解析 由15511C C 22rrr r r r T x x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2r =，得2x 项的系数为22515C 22⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选B.5. 解析 对于选项A ：若//αβ，m α⊂，n β⊂， 则mn =∅，但不一定//m n ，m 与n 也可能异面；对于选项B ：若,m n α⊂，//m β，//n β，不一定推出//αβ， 如果前提附加mn O =，则//αβ；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，因此选项D 错误.故选C. 6. 解析 依题意，当弦AB 取最大值时，直线l 过圆心()2,0C -，则直线l 的斜率34k =，方程为()324y x =+，即3460x y -+=.故选A. 7. 解析 依题意，函数()2sin 0y x ωω=>的周期2π3T =，即2π2π3ω=，得3ω=.故选C.8. 解析 据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ， 底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，112PAB PAC S S ==⨯=△△，122PBC S =⨯=△22PAB PAC ABC PBC S S S S +++=+++=△△△△.故选C.9. 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有如下10种情况：{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,3,4，{}1,3,5，{}1,4,5，{}2,3,4，{}2,3,5，{}2,4,5，{}3,4,5.其中，这3数构成一组勾股数，则{}3,4,5满足条件.因此，这3个数构成一组勾股数的概率为110.故选C. 10. 解析 依题意，当6i =时输出S 的值.则π3π4π5πcoscos πcos cos cos 02222S =++++=.故选C. 11. 解析 由21cos cos 222A b c A c ++==，即11cos b A c +=+，得cos b A c=. 解法一（正弦定理）：由正弦定理，得sin cos sin BA C=，所以()sin sin cos sin πB C A A C ==-+=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，因此sin cos 0A C =，得cos 0C =，π2C =. 所以ABC △是直角三角形.故选A.2111P CB A解法二（余弦定理）：由余弦定理，得2222b b c a c bc+-=，整理得222c a b =+，所以ABC △为直角三角形.故选A. 12. 解析 设函数()323f x x x =-上任意一点()()00,x f x ，在点()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-， 即()()()3200002363y x x x x x --=--.若过点()1,t ，则()()()()32320000002363146 3 t x x x x x x =-+--=-+-*依题意，方程()*有三个不等实根.令()32463g x x x =-+-，()()212121210g x x x x x '=-+=--=，得10x =，21x =.当()(),0,1,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，函数()g x 在()(),0,1,-∞+∞上单调递减； 当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增. 因此()g x 的极小值为()03g =-，极大值为()11g =-. 若()t g x =有三个不等实根，则31t -<<-.故选B.13. 解析 由()f x 的反函数为2log y x =，得()2xf x =，则()11122f --==. 14. 解析 不等式组表示的区域，如图所示. 当直线z x y =+过点()2,3A 时，z 取得最大值5.15. 解析 依题意，OA OB =，且OA OB ⊥，得0⋅=⎧⎪⎨=⎪⎩a b a b，12OAB S OA OB =△，又(2OA OB =====a ，所以12222OAB S =⨯⨯=△.16. 解析 设椭圆的左焦点为()1,0F c -，依题意1OF OQ OF ==. 又点O 为12F F 的中点，所以112OQ FF =， 则1QFF △为直角三角形，得1FQ FQ ⊥.又直线:bl y x c=垂直于FQ ，故1//FQ l ， 所以直线1F Q 的斜率为bc，可得直角顶点()0,Q b ，且π4FQO ∠=，故b c =.所以椭圆的离心率2c e a ===.。
高三文科数学限时训练(三)
高三文科数学限时训练（三）时量：60分钟 满分：100分 姓名： 号数：一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分1．(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α=（ ） A ．513 B ．513- C ． 512 D ．512- 2.(全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角3、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ）A ．α一定是锐角B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角4.（陕西卷1）sin 330︒等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 5、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54- 6．（山东卷）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B C ．2 D ．4 7.（天津卷9）设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<8.（辽宁卷8）将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分.9、（北京卷9）若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 10、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．11、若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________________。
2020届数学文科高考模拟汇编卷(三)(可编辑修改word版)
A. π
π
B.
6
6
7、函数 f (x) (ex ex ) cos x 的部分图象大致是( x2
C. π 3
)
π
D.
3
A.
B.
C.
D.
8、已知 f x 1 x3 ax2 b 4x 1a 0,b 0在 x 1 处取得极值，则 2 1 的最
3
ab
小值为（ ）
32 2
A.
3
B. 3 2 2
2020 届数学文科高考模拟汇编卷（三）
1、若集合 A {0,1, 2} ， B {x | x2 3x 0}，则 A B 为( )
A. {1, 2}
B. {0,1, 2}
C. {0,1, 2,3} D. {x | 0 x 3}
2、已知： x yi 1 ( x R, x R,i 为虚数单位)，则 x y ( ) i
19、如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ，
AB / /CD, AB BC, AB BC 4,CD 2CE 2 .
（1）证明：平面 PAD 平面 PDE ；
（2）若△PAB 的面积为 2 21 ，求三棱锥 P ADE 的体积.
20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x2 y2 1 的左顶点为 A，右焦点为 43
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（1）求 an 的通项公式；
（2）设数列 bn 满足
bn
1 n(an
7)
，求 bn 的前
n
项和
Sn
.
18、
△ABC
的内角
A,
B, C
的对边分别为
a,
b,
c
全国新高考数学文科二轮复习作业精练精析专题限时集训(三)A(含答案详析)
专题限时集训(三)A[第3讲 不等式与线性规划](时间：30分钟)1．函数f(x)＝3－x 2x －1的定义域是( )A ．[－3，3]B ．[－3，3]C ．(1，3]D ．[－3，1)∪(1，3]2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，x ∈N ，B ＝{x|1≤2x ≤16，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2) B ．[0，2] C ．{0，1，2} D ．{1，2}3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x －y ≤2，x ＋y ≤2，则z ＝2x －3y 的最大值是( )A ．－6B ．－1C ．6D ．44．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当实数a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中部分的区域的面积为( )A.34B.12C ．2D ．1 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋b>0(a ≠0)的解集是错误!，且a>b ，则错误!的最小值是( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1 6．在如图X3－1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______m.7．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤－∞，18C.⎝⎛⎦⎤0，14D.⎝⎛⎦⎤0，188．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为( )A ．－6B ．－4C ．2D ．49．已知点P(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2，则点Q(x ＋y ，y)构成的图形的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1，则点(x ，y)在圆面x 2＋y 2≤12内部的概率为( )A.π8 B.π4 C.3π4D.π211．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不能多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元12．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥0，y ≤x －1表示的平面区域的面积是________．13．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．14．设常数a>0，若9x ＋a 2x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．专题限时集训(三)A1．D [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x －1≠0，所以－3≤x ≤3且x ≠1.2．D [解析] 集合A ＝{x⎪⎪⎪⎪ )x －2x ≤0，x ∈N }＝{1，2}，B ＝{x|1≤2x ≤16，x ∈Z }＝{0，1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，2}．3．C [解析] 画图可知，四个角点分别是A(0，－2)，B(1，－1)，C(1，1)，D(0，2)，可知z max ＝z A ＝6.4．D [解析] A 区域为(－22，则直线x ＋y ＝a 从(－2，0)开始扫过，扫到区域一半时停止，所以扫过A 中部分的区域的面积为1.5．A [解析] 由已知可知方程ax 2＋2x ＋b ＝0(a ≠0)有两个相等的实数解，故Δ＝0，即ab ＝1.a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab （a －b ）＝(a －b)＋2（a －b ），因为a>b ，所以(a －b)＋2（a －b ）≥2 2. 6．20 [解析] 如图所示，利用所给的图形关系，可知△ADE 与△ABC 相似，设矩形的另一边长为y ，则S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40－y 402＝x （40－y ）402，所以y ＝40－x ，又有xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400成立，当且仅当x ＝40－x x 为20 m.7．B [解析] 依题意知直线ax －(－1，2)，即a ＋2b ＝1，由1＝a ＋2b ≥2 2ab ab ≤18，故选B.8．B [解析] 作出不等式组对应的可行域如图所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z2.由图像可知当直线y ＝32x －z2经过点C(0，2)时，直线的截距最大，而此时z ＝3x －2y 最小，最小值为－4.9．B [解析] 令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q(u ，v)满足⎩⎪⎨⎪0≤u －v ≤1，0≤u ≤2，在uOv 平面内画出点Q(u ，v)所构成的平面区域如图所示，易得其面积为2，故选B.10．B [解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1表示的可行域是边长为2的正方形，所以S正＝2.x 2＋y 2≤12恰好在正方形的内部，且圆的面积为πr 2＝12π，所以点(x ，y)在圆面x 2＋y 2≤12内部的概率为12π2＝π4. 11．C [解析] 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ≥0，y ≥0，36x ＋60y ＝900，画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6)，目标函数(租金)为k ＝1600x ＋2400y ，如图所示，将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值，即k ＝1600×5＋12.12 [解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影所示，故面积为12×1×1＝12.13．5 [解析] z ＝x ＋y 在点C14.⎣⎡⎭⎫15，＋∞ [解析] 6a ≥a ＋1a ≥15.。
2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(三) 解析版
12020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2}A x x =<，{|ln }B x y x ==，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{|0}x x >C ．{|20}x x -<<D ．2{|0}x x <<【答案】D【解析】因为{}{}2222A x x x x =<=-<<，{}{}ln 0B x y x x x ===>，所以{|02}x x A B <<=I ．2．设复数i(i 1)z =-，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】i i(1i)1i(1i)(1i)(1i)2z +-+===--+，所以z 在复平面内对应的点在第二象限． 3．已知:tan 3p α=，π:3q α=，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】tan 3α=，则ππ3k α=+；而π3α=，则tan 3α=， 故p 是q 的必要不充分条件．4．执行如图所示的程序框图，其输出结果是（ ）A ．14B ．41C ．122D ．365 【答案】C【解析】当1a =满足条件，执行循环；2a =，满足条件，执行循环；5a =满足条件，执行循环；14a =满足条件，执行循环； 41a =满足条件，执行循环；122a =不满足条件，输出122．5．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则221()()f e f e -⋅=（ ） A ．2-B ．12-C ．4-D ．14-【答案】C【解析】结合奇函数的概念，可知22()()2f e f e -=-=-，21()2f e =， 所以221()()4f e f e -⋅=-． 6．要得到π2sin(2)6y x =+的图象，可由sin y x =经过（ ）的变换得到． A ．向左平移π6个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍， B ．向左平移π6个单位，横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12， C ．向左平移π12个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍， D ．向左平移π12个单位，横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12， 【答案】A此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2【解析】由sin y x =图象经过向左平移π6个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍的变换得到π2sin(2)6y x =+的图象，所以选项A 正确．7．函数(1)sin ()1x xe xf x e -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】(0)0f =，排除A 、D ；(1)sin (1101)e e f ->+=，排除B ；故选C ．8．已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ）A ．223B ．63C ．32D ．33【答案】B【解析】该()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，222121212222121212()()()()y y y y y y b a x x x x x x --+=-=---+，结合12121y y x x -=-， 1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，2222613c b e a a ==-=，故选B ． 9．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积是（ ）A ．824246++B ．40246+C ．832246++D ．1612246++【答案】A【解析】由题可得该几何体是一个正四棱柱，截去了一个三棱柱所剩的几何体（如下图），下底面面积122228S =⨯=，上底面是长为22(22)223+=，宽为22， 面积2222346S =⨯=，侧面两梯形的面积312(24)221222S =⨯⨯+⨯=， 侧面两个矩形的面积4222422122S =⨯+⨯=，所以846122122824246S =+++=++．10．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且有11a =，12nn n a a +=+，则8S =（ ）A ．255B ．256C ．502D ．511【答案】C【解析】依题意可得112n n n a a ---=，3则有121112211()()()222121n n nn n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=++++=-L L ，8718(21)(21)(21)502S =-+-++-=L ．11．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，则λμ-的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】C【解析】以A 为原点，直线AB ，AD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则(1,0)B ，(1,3)C ，(0,3)D ，直线:33BD l x y +=，圆C 与直线BD 相切，所以圆C 的半径3r d ==，圆C 的方程为223(1)(3)4x y -+-=， 设点33(1cos ,3sin )22P θθ++，则有31cos 2333sin 2λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以3131π1cos (1sin )cos sin cos()1226λμθθθθθ-=+-+=-=+≥-． 12．已知a 为常数，函数2()ln f x x x ax x =-+有两个极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)2e B ．(0,)e C ．(,)2e eD ．2(,)2e e【答案】A【解析】()ln 22f x x ax '=+-，函数()f x 有两个极值点，则()f x '有两个零点，即函数ln y x =与函数22y ax =-的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导1(ln )x x'=，则有00000ln 2212y xy ax ax ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得00112y x e e a ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，要使函数图象有两个交点，则02a e <<，即02e a <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量,2(2)x =+a ，)3(1,=b ，若+=⋅a b a b ，则x =________． 【答案】3- 【解析】22(3)5x +=++a b 26x ⋅=++a b ，222(3)5(8)x x ++=+，解得3x =-． 14．已知集合()()(){}22,|324,,M a b a b a b =-+-=∈∈R R ，则a b +的最大值为________．【答案】52【解析】结合题意M 为以(3,2)为圆心，2为半径的圆，所以3cos 2sin a b αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），5cos sin 52sin()4a b πααα+=++=+，最大值为52．15．已知10a >公差不为0的等差数列{}n a ，满足416a a a ,,成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，当0n S >时，n 的值最大为________． 【答案】18【解析】结合416a a a ,,成等比数列，得到1426a a a =，而{}n a 为等差数列，设公差为d ，代入得到()()111253a d a a d =++，解得19a d =-，所以0d <，1(1)(1)19(9)222n n n d n n d n S na nd nd ---=+=-+=-， 当0n S >时1902n --<，解得19n <，所以n 的值最大为18． 16．用一个边长为2a 的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为2a 的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆柱与圆锥的体积之比为__________．4【答案】223π【解析】由题，圆柱的底面圆的周长为2a ，设底面圆的半径为1r ，可得12π2r a =，1πa r =， 圆柱的高为2a ，所以体积为3211112ππa V s h r h ===，用一个半径为2a 的半圆卷成一个圆锥的侧面，易知半圆弧为圆锥的底面圆的周长：π2πC R a ==， 设圆锥下底面圆半径2r ，可得22π2πr a =，2r a =， 圆锥的高2222(2)3h a r a =-=，所以圆锥的体积32222113ππ333a V s h a a ==⋅=，所以312322233πππa V V a ==， 故答案为223π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，若满足(sin sin )b A B +(sin sin sin )sin a A B C c C -+-=．（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC △面积的取值范围． 【答案】（1）π3；（2）(0,93]． 【解析】（1）根据正弦定理有2()()b a b a a b c c +-+-=，整理可得222a cb ac +-=，结合余弦定理有2221cos 22a c b B ac +-==，所以π3B =． （2）根据（1）的222a cb ac +-=，所以22362a c ac ac +=+≥，36ac ≤，113sin 3693222S ac B =≤⨯⨯=， 即ABC △面积的取值范围为(0,93]．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且112AD DC PC AB ====，E ，F 分别为AB ，PD 的中点．（1）求证：DE PA ⊥；（2）求点C 到平面DEF 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）217． 【解析】（1）底面四边形ABCD 为等腰梯形，且112AD DC PC AB ====， 易得60ABC ∠=︒，AC BC ⊥，PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，PC AC C =I ，所以BC ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以PA BC ⊥，E 为AB 的中点，易得DE BC ∥，所以DE PA ⊥．（2）取DC 中点H ，在等腰梯形ABCD ，易求得HE DC ⊥，32HE =， 在PCD △中易得HF PC ∥，HF DC ⊥，12HF =， 易得1EF =，1222DF DP ==， 在等腰梯形ABCD 中易得1DE =，DEF △为等腰三角形，面积为212271()24S =-=，设点C 到平面DEF 的距离为h ，则173C DEF DEF V S h -=⨯⨯=△， 又1133224C DEF F CDE V V DC HE HF --==⨯⨯⨯⨯=，所以有732424h =，217h =． 所以点C 到平面DEF 的距离217．519．（12分）某中学高三年级，在男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加抽考测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的22⨯列联表：（1）确定a ，d 的值；（2）试判断能否有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关；（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成学习小组．从这6人中随机抽取2名进行奖励，求受到奖励2名同学中至少有1名是男生的概率． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()20P k χ≥0．250．15 0．10 0．05 0．025 0．0100k1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635【答案】（1）15a =，40d =；（2）没有90%的把握认为；（3）35． 【解析】（1）3550a +=，3070d +=，解得15a =，40d =． （2）由题知总数120n =，得到()212015403530 2.0575*******k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，2.7 2.057>，所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与性别有关．（3）结合15a =，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人设为,a b ， 女生抽取4人设为1，2，3，4，则从6人中抽取2人，总的情况有(,)a b ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共15种，如果2人全部都是女生，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，所以63155P ==． 20．（12分）已知双曲线C 3，且过3,0)点，过双曲线C 的右焦点2F ，做倾斜角为π3的直线交双曲线于A B ,两点，O 为坐标原点，1F 为左焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求AOB △的面积．【答案】（1）22136x y -=；（2）36AOB S =△． 【解析】（1）过3,0)点，所以3a =3ce a==，所以3c =， 又222a b c +=，所以6b =所以双曲线的方程为22136x y -=．（2）结合题意可得直线AB 的方程为3(3)y x =-，设11()A x y ,，22()B x y ,，联立方程223(3)136y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得230183x x +=-．∴1218x x +=，1233x x ⋅=，∴2212121212()4163AB k x x x x x =+-=+-= 直线AB 3330x y --=． ∴原点O 到直线AB 的距离为22|33|33(3)1d -==+， ∴1133||16336222AOB S AB d =⋅=⨯=△． 21．（12分）已知函数22()3ln f x x a x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：()4ln 3f x a a ≥-+．6【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）222323(23)(1)()2(0)a x ax ax ax f x a x a x x x x-+-+-'=++==>，当0a >时，在1(0,)x a∈时，()0f x '<，()f x 为单调减函数； 在1(,)x a∈+∞时，()f x 为单调增函数． 当0a =时，()0f x '<，()f x 为单调减函数． 当0a <时，在3(0,)2x a ∈-时，()0f x '<，()f x 为单调减函数；在3(,)2x a∈-+∞时，()f x 为单调增函数．（2）由（1）知，当0a >时，22min 1111()()3ln()23ln f x f a a a aa a a==-+⨯+⨯=+，1()(4ln 3)ln 1f a a a a a--+=-+-， 令ln 1(0)y t t t a =-++=>，则110y t'=-+=，解得1t =， ∴y 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， ∴min 1|0x y y ===，∴0y ≥，即min ()4ln 3f x a a ≥-+，∴()4ln 3f x a a ≥-+．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）若π3α=，求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程； （2）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）22:(5)25C x y +-=，30l y -+=；（2）【解析】（1）曲线C 可化为210sin ρρθ=，将222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩代入可得22(5)25x y +-=，把π3α=代入得11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消掉t30y -+=．（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程有22(1cos )(3sin 5)25t t αα+++-=， 整理可得22(cos 2sin )200t t αα+--=，有122(cos 2sin )t t αα+=--，1220t t ⋅=-，12AB t t =-=当cos 2sin αα=，即1tan 2α=时，AB取得最小值 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()123f x x x =++-． （1）解不等式()5f x ≤；（2）若21()52f x m m <---的解集为空集，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）11x -≤≤；（2）(,4][1,)-∞--+∞U ．【解析】（1）32,31()4,32132,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩， 即解3253x x -≤⎧⎨≥⎩或45132x x +≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩或32512x x -+≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得11x -≤≤． （2）由（1）知()f x 在12x =-处取得最小值，且最小值为72， 使21()52f x m m <---的解集为空集， 即217522m m ---≤成立，解集为4m ≤-或1m ≥-， 所以m 的取值范围为(,4][1,)-∞--+∞U ．7。
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高三文科数学选填限时训练（三）时量：50分钟 满分：80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝m 1－i＋1－i 2(i 是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22．设集合A 满足{a}⊆A {a ，b ，c ，d}，则满足条件的集合A 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( ) A ．2 2 B ．4 C ．－22或2 2 D ．－4或44．已知在平面中，A (1，0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，若，则λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－25．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C ．2 D.3556．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.13πB.23πC.43πD.53π 7．定义[x ]为不超过x 的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x 为4.7时，输出的y 值为( )A ．7B ．8.6C ．10.2D ．11.88.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0，若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12x C ．2－x D ．－2x9．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14，设(x ＋2)2＋(y ＋1)2的最小值为ω，则函数f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωt ＋π6的最小正周期为( ) A.2π3 B ．π C.π2 D.2π510．已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2 011)，则{a n }的前2 016项之和为( )A ．0B ．1 008C ．2 016D ．4 03211.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)及圆O ：x 2＋y 2＝a 2，如图过点B (0，a )与椭圆相切的直线l 交圆O 于点A ，若∠AOB ＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.12 C.32 D.1312．定义在(－1，1)上的函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－…－x 2 0162 016，设F (x )＝f (x ＋4)，且F (x )的零点均在区间(a ，b )内，其中a ，b ∈Z ，a ＜b ，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．某学校对该校参加第二次模拟测试的2 100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查，可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30)，则采取________抽样方法抽取一个容量为________的样本进行调查较为合适．14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．15．已知A ，B ，C 为球O 表面上的三点，这三点所在的小圆圆心为O 1，且AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，球面上的点P 在平面ABC 上的射影恰为O 1，三棱锥P -ABC 的体积为36，则球O 的表面积为________．16．已知数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n，n∈N*，b n＝a1＋2a2＋3a3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n}是公差为2的等差数列，则数列{a n}的通项公式为________．参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：选C 由已知z ＝m 1－i＋1－i 2＝m （1＋i ）2＋1－i 2＝（m ＋1）＋（m －1）i 2，则m ＋12＋m －12＝1，得m ＝1，故选C. 2．解析：选D 根据子集的定义，可得集合A 中必定含有元素a ，而且含有a ，b ，c ，d 中的至多三个元素．因此，满足条件{a }⊆A {a ，b ，c ，d }的集合A 有{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ，c }，{a ，c ，d }，{a ，b ，d }，共7个．3．解析：选A ∵a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，∴a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，因此a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8，∴a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A. 4．解析：选C 由已知得，＝(1，3)，＝(1，0)，则＝(λ－2，3λ)，又点C 在第二象限，故λ－2＜0，3λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC ＝120°，所以cos ∠AOC ＝λ－2（λ－2）2＋3λ2＝－12，解得λ＝1，故选C. 5．解析：选A 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，代入抛物线方程得，x 2±b a x ＋1＝0，∴Δ＝b 2a2－4＝0，故e 2＝c 2a 2＝b 2a 2＋1＝5，∴e ＝5，故选A.6．解析：选C 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2×13×π×12×1＝43π，故选C.7．解析：选C 当输入的x 为4.7时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y ＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，输出的值为10.2，故选C.8.解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0，选D.9．解析：选D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14作出可行域如图中阴影部分所示，(x ＋2)2＋(y ＋1)2的几何意义为可行域内的点与定点C (－2，－1)之间的距离的平方，其最小值为5，故f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫5t ＋π6，其最小正周期T ＝2π5，故选D. 10．解析：选C ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上单调，且数列{a n }的公差不为0，f (a 6)＝f (a 2 011)，∴a 6＋a 2 011＝2，∴a 1＋a 2 016＝a 6＋a 2 011＝2，∴S 2 016＝2 016（a 1＋a 2 016）2＝2 016. 11.解析：选A 由已知，显然直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋a ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 2c 2＝0， ∴Δ＝4a 6k 2－4a 2c 2(b 2＋a 2k 2)＝0，结合图形解得k ＝c a ，即直线l 的方程为y ＝c ax ＋a . 故直线l 的斜率为c a＝e ，由于∠AOB ＝60°，设AB 与x 轴交于点C ，则在Rt △OBC 中，∠OCB ＝30°，因而e ＝tan ∠OCB ＝33，故选A. 12．解析：选A f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…－x 2 015＝1－x 2 0161＋x＞0，因而f (x )在(－1，1)上单调递增，f (－1)＝(1－1)－12－13－…－12 016＜0，f (0)＝1＞0，因而函数f (x )仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F (x )＝f (x ＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b －a 的最小值为1，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．解析：因为样本容量较大，且考生情况按照每考场抽取没有明显的层次性，又2 10030＝70，所以可以采用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本．答案：系统 7014．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝a x＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，1215．解析：由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，知圆O 1的半径r ＝1，且S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设PO 1＝h ，球O 的半径为R ，因而V P -ABC ＝13×34×h ＝36，得h ＝2，R 2＝(h －R )2＋r 2，即R 2＝4－4R ＋R 2＋1，R ＝54，则球O 的表面积为4πR 2＝4π×2516＝25π4. 答案：25π416．解析：法一：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式，因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2.又由已知得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝12n (n ＋1)b n ， a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1， 则(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1－12n (n ＋1)b n ， ∴a n ＋1＝b n ＋1＋n .a n ＋1－a n ＝b n ＋1－b n ＋1＝3，则2p ＝3，a 1＝－12. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －72. 法二：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式，因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2，a n ＋1－a n ＝2p ，因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2，b 1＝a 1＝p －2，b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2，得2p ＝3，a 1＝－12. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72. 答案：a n ＝3n －72。