10-最大流问题解析
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运筹学最小费用最大流流问题
第五节 最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
[全]中考物理高频考点详解：电路安全问题
![[全]中考物理高频考点详解：电路安全问题](https://img.taocdn.com/s3/m/c47ab8dedb38376baf1ffc4ffe4733687e21fc7c.png)
中考物理高频考点详解：电路安全问题考点扫描☆名师点拨一、考点解析中学物理电学内容中还涉及到电路安全问题，如用电器的额定值问题、元件接入电路安全问题、安全用电问题。
中考中，电路安全问题占有一定比例，出现频率较高。
电路安全试题主要以选择题、填空题出现。
电路安全考题多以选择题形式出现，尤其是多选题，具有一定难度。
解答时需要照顾到电路中各个元件都要在额定值范围内工作。
在分析问题时常常会因为需要考虑的因素过多而出现选择题漏选的问题，导致答案不准确。
一、电路安全的含义1.测量仪表安全问题：电压表、电流表在使用中，被测值不能超过仪表的量程。
2.滑动变阻器：通过滑动变阻器的电流不能超过其允许通过的最大电流。
3.额定值：所有用电器工作时，其电压和通过的电流不能超过其额定值。
二、解题思路1.串联电路中，取单个元件的正常电流的电流最小值作为电路最大电流。
2.并联电路中，取单个元件的正常电压的电压最小值作为电路最大电压。
1.测量仪表的安全问题常用测量仪表有电流表、电压表和电能表。
电流表在使用时必须与被测电路或元件相串联，电压表使用时必须和被测元件并联，这是测量仪表安全的首要问题。
其次是测量仪表的量程问题，电路中的电流和电压不能超过仪表的量程，否则会烧坏仪表或者损坏仪表，使其不能正常工作，也无法进行测量。
2.额定值问题额定电压、额定电流和额定功率是电器设备常见的额定值，它表示用电器正常工作时所需的电压和通过的电流。
用电器如果实际电压比额定电压高，就会烧坏电器，如果低很多，用电器就不能正常工作，有时还会损坏用电器。
二、考点复习1.欧姆定律：导体中的电流与导体两端的电压成正比，与导体的电阻成反比。
2.公式：，其中：U为电源电压，I为通过导体的电流R为导体的电阻。
注意：应用欧姆定律的公式进行计算时，一定要统一到国际制单位后再进行计算。
欧姆定律公式中的各个物理量具有同一性，即I,U,R是对同一段导体、同一时刻而言的。
3.额定电压：用电器正常工作时所需的电压，叫做额定电压。
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
5-5 最小费用最大流问题-xfj
v2
v3
(10, 0) ①流量调整量 总流量v(f 总流量v(f(1))=5
v2
v3
=min{8-0,5-0,7ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5 ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+2+1=4 ③新的可行流为f(1),总费 新的可行流为f =4× 用b1=4×5=20
vs →v2 →v1 →vt
2、最小费用流 对于一个费用容量网络，具有相同 对于一个费用容量网络， 流量 v(f) 的可行流中，总费用b(f)最小的 的可行流中，总费用b(f)最小的 可行流称为该费用容量网络关于流量 v(f) 的最小费用流，简称流量为 v(f) 的最小 的最小费用流，简称流量为 费用流。 费用流。
3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 f 进行调整，得到新的可行流 f 进行调整， 称 b( f ) − b( f ) 的增广 ，则 链（流量修正路线）µ，以修正量 流量修正路线） ，以修正量ε=1 增广链µ的费用。 为增广链µ的费用。
v2
v3
即是f 的最小费用增广链。 即是f(1)的最小费用增广链
第3次迭代
-4 4
v1
-2 6
பைடு நூலகம்
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
vt
2 (8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非 零流弧保持原边， 零流弧增添后向弧， 零流弧增添后向弧，饱和弧去 掉原边增添后向弧 ②用列表法求得最短路
增广费用网络图的 增广费用网络图的构造方法 将流量网络中的每一条弧（ 将流量网络中的每一条弧（vi,vj）都看 作一对方向相反的弧，并定义弧的权数如 作一对方向相反的弧， 下： vi (cij,fij) c vj
一类流量增减最大值可预见的不确定网络最大流的模型与算法
０≤ 一 ， ｏ＞ ｄ ｄ
—
的最大量为定值 ， 流的最大增加和减少最多 只能进 行一次 ， 给发点 以一定的初始流量 ， 求收点的流量最
大值 ．
１ 定义与模型
在有 向 图 Ｄ 一 （ Ａ）中 ， 表 示 发 点 ， 表 示 ，
≤ ， ＞ ｄ ≤ ｄ — ｄｄｄ ｄ ， ＞ ｄ
一
收点 ， 其余为中间点． 对于每个弧（ ） Ａ， ， ∈ 对应 有 Ｃ ≥ ０称为弧的容量 ， 表示弧 （ ） 由ｉ ｄ ， ， 上 点 的流出量 ， 表 示弧 （ ） 进入 ．点 的流量． ， 上
０≤ 一 ， ＞ ｄ ｄ
ｄ —ｄ ≤ Ｃ 一 ， ＜ ｄ ｄ
一
一
ｄ —ｄ ｄ ＜ ｄ ，
（） ， 称为可行流的发端输入量， ， 称 为可行流 ∥（ ）
的收端输入量． ０ ｄ 表示弧上流的还需要减 少量 ， ｄｄ
表 示 弧上 流 的增加量 ． 网络 中不 允许 出现 负 流量 ， 即
收 稿 日期 ：０ ７０— １ ２ ０ —３２
一 ｌｄ ， ｏ— ｄ ≥ ０ ≥ ０ （ｉ ）∈ Ａ ， ，ｖ ，
（ 兰州交通 大学 交通运输学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要： 不确定 网络最 大流 问题是现 实中普遍存在 的一种 网络 流 问题 ， 针对 该 问题 中的流在传输 过程 中增减 并存
的特征 给 出了一种模 型及 算法． 将其 网络上增加 弧上 的增加量作 为初 始输入 量之 一， 经过 特定运 算将其 转化 为只 损耗 网络 ， 用有损耗 网络最 大流 问题 的算 法进行 最终求解． 运 最后 ， 通过 实例 验证 了其正确性．
Ｖｏ． ６Ｎｏ ４ １２ ．
—
的最大量为定值 ， 流的最大增加和减少最多 只能进 行一次 ， 给发点 以一定的初始流量 ， 求收点的流量最
大值 ．
１ 定义与模型
在有 向 图 Ｄ 一 （ Ａ）中 ， 表 示 发 点 ， 表 示 ，
≤ ， ＞ ｄ ≤ ｄ — ｄｄｄ ｄ ， ＞ ｄ
一
收点 ， 其余为中间点． 对于每个弧（ ） Ａ， ， ∈ 对应 有 Ｃ ≥ ０称为弧的容量 ， 表示弧 （ ） 由ｉ ｄ ， ， 上 点 的流出量 ， 表 示弧 （ ） 进入 ．点 的流量． ， 上
０≤ 一 ， ＞ ｄ ｄ
ｄ —ｄ ≤ Ｃ 一 ， ＜ ｄ ｄ
一
一
ｄ —ｄ ｄ ＜ ｄ ，
（） ， 称为可行流的发端输入量， ， 称 为可行流 ∥（ ）
的收端输入量． ０ ｄ 表示弧上流的还需要减 少量 ， ｄｄ
表 示 弧上 流 的增加量 ． 网络 中不 允许 出现 负 流量 ， 即
收 稿 日期 ：０ ７０— １ ２ ０ —３２
一 ｌｄ ， ｏ— ｄ ≥ ０ ≥ ０ （ｉ ）∈ Ａ ， ，ｖ ，
（ 兰州交通 大学 交通运输学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要： 不确定 网络最 大流 问题是现 实中普遍存在 的一种 网络 流 问题 ， 针对 该 问题 中的流在传输 过程 中增减 并存
的特征 给 出了一种模 型及 算法． 将其 网络上增加 弧上 的增加量作 为初 始输入 量之 一， 经过 特定运 算将其 转化 为只 损耗 网络 ， 用有损耗 网络最 大流 问题 的算 法进行 最终求解． 运 最后 ， 通过 实例 验证 了其正确性．
Ｖｏ． ６Ｎｏ ４ １２ ．
10n06场效应管参数 -回复
10n06场效应管参数-回复中括号内的主题是"10n06场效应管参数"。
那么，让我们一步一步回答这个问题，以便更好地理解和掌握该主题。
第一步：介绍场效应管（MOSFET）场效应管（MOSFET）是一种常见的半导体器件，通常由金属氧化物半导体（MOS）结构组成。
根据其工作原理和结构，MOSFET可以分为N沟道型和P沟道型两种类型。
本文主要关注N沟道型的10n06场效应管。
第二步：解析型号中的"10n06"在"10n06"中，"10"代表了阻控型场效应管的阈值电压（Vth），通常表示为Vgs(th)。
它是指在给定的温度下，当漏极源极之间的电压（Vds）为零时，需要加在栅极源极之间的电压（Vgs）才能使场效应管的导通电流（Id）达到特定值（一般为1mA）。
对于"10n06"，阈值电压Vth约为10V。
接下来的"n"代表了场效应管的沟道型，即N沟道型场效应管。
最后的"06"表示了10n06场效应管的封装规格或特定参数编码，对于不同制造商的产品可能会有所不同。
第三步：解析场效应管的参数1. 阈值电压（Vth）：如前所述，阈值电压指的是在特定的条件下，使场效应管导通所需的栅极-源极之间电压。
2. 漏极-源极电压（Vds）：这是场效应管的漏极与源极之间的电压。
3. 栅极-源极电压（Vgs）：这是应用在栅极和源极之间的电压。
4. 最大漏极电流（Id）：这是场效应管能够承受的最大漏极电流。
5. 最大功率（Pd）：这是场效应管能够承受的最大功率，通常由包括漏极-源极电压和最大漏极电流的乘积计算得出。
6. 工作温度范围：这是场效应管可以正常工作的温度范围。
第四步：10n06场效应管参数的具体值具体的10n06场效应管参数值可能因制造商和具体产品而异。
以下是一些可能的参数范围：- 阈值电压（Vth）：约为10V- 漏极-源极电压（Vds）：常见值为60V- 栅极-源极电压（Vgs）：通常在0~10V之间可控- 最大漏极电流（Id）：通常为10A- 最大功率（Pd）：常见值为40W- 工作温度范围：通常为-55C至+150C需要注意的是，以上参数仅供参考，实际的10n06场效应管参数可能会有所不同。
16.网络最大流问题
l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
5. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方 向是从vs到vt 。 v2 v4 5.2
10.5 3.2 4.1 5.1 3.3 11.6
v1
8.3
已检查 标号点 网络中的点 未检查 未标号点
标号：（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量） 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(vi ，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。 （2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(- vi, l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0
关于求网络最大流问题的另一种图解法
Ｍａ Ｆ １ ＋ １ ｘ ｆ ２ ｆ ４；
ｌ ２
ｌ
３
５
。 卜Ｖ 、 ｌ —２ ＿『 — 呻 ◆
ｌ
Ｔ Ｖ ． ｔ ｔ ５ ｜
ｌ 一
Ｖ’ ｕ ｆ
Ｉ
ｌ ｌ
ｌ ３
ｌ ０
ｌ ０
ｌ ｌ
约束条件：ｆ２ ｆ３ ｆ５ １Ｔ２＋２ ， Ｍ
丹络 最 大漉问题 是 丹络 问题 中的一 类经典 问
题 ，对于 这类 问题 ，可以根据 题 意建 立 线性 规 划模型 ，运 用运筹 学软件 求解 ，也 可以 用
综 上 ，我 们 可 以 得 到 这 种 解 法 的 一 般 步骤 ： ｌ 、按 照 流 量 从 低级 流 向高 级 的 原 则 将 不同节 点 划分 为不 同等级 ， 不宜划分 者 ，可以按标 号由４ Ｎ大的顺序排 列成由 － ， 低到 高 。 ２、按 原 题 意标 画出 各 个支 路 及流
校管 理运筹学 教材 （ 管理运 筹学 高等 教育 出版社 ，韩 伯棠 ）给最大流问题的定
义是 ：给 了一个带收发点的网络 ，其每条 弧的赋权称之为容量 ，在不超过每条弧容 量 的 前 提 下 ，求 出从 发 点 到 收 点 的 最 大 容
量 。
Ｌ
， 。
【】 １， 韩伯棠． 管理运筹学． 高等教育 出版杠
Ｌ
对这类问题 ，可以对系统建立线性规 划模型 ，利用软件求解 ；亦可用教材提供 的 网络 图论 解 法 求 解 。 笔 者 在 练 习 过 程 中，发现 了另外一种 图解法 ，下面进行简 单 说 明 ，以教 材提 供 例题 为例 。 例题 某石油公司拥 有一个管道网络 ， 使用这 个网络可以把石油从采地运送到一 些 销售 点 。这 个网络 的 一部分 如 图 ｌ所 示 ，由于管道的直径的变化 ，它的 各段管 道 （ ， ）的流 量 （ Ｖｉ Ｖｊ 容量 ）Ｃｉ 也是 不 ｊ
ｌ ２
ｌ
３
５
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ｌ
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丹络 最 大漉问题 是 丹络 问题 中的一 类经典 问
题 ，对于 这类 问题 ，可以根据 题 意建 立 线性 规 划模型 ，运 用运筹 学软件 求解 ，也 可以 用
综 上 ，我 们 可 以 得 到 这 种 解 法 的 一 般 步骤 ： ｌ 、按 照 流 量 从 低级 流 向高 级 的 原 则 将 不同节 点 划分 为不 同等级 ， 不宜划分 者 ，可以按标 号由４ Ｎ大的顺序排 列成由 － ， 低到 高 。 ２、按 原 题 意标 画出 各 个支 路 及流
校管 理运筹学 教材 （ 管理运 筹学 高等 教育 出版社 ，韩 伯棠 ）给最大流问题的定
义是 ：给 了一个带收发点的网络 ，其每条 弧的赋权称之为容量 ，在不超过每条弧容 量 的 前 提 下 ，求 出从 发 点 到 收 点 的 最 大 容
量 。
Ｌ
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【】 １， 韩伯棠． 管理运筹学． 高等教育 出版杠
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对这类问题 ，可以对系统建立线性规 划模型 ，利用软件求解 ；亦可用教材提供 的 网络 图论 解 法 求 解 。 笔 者 在 练 习 过 程 中，发现 了另外一种 图解法 ，下面进行简 单 说 明 ，以教 材提 供 例题 为例 。 例题 某石油公司拥 有一个管道网络 ， 使用这 个网络可以把石油从采地运送到一 些 销售 点 。这 个网络 的 一部分 如 图 ｌ所 示 ，由于管道的直径的变化 ，它的 各段管 道 （ ， ）的流 量 （ Ｖｉ Ｖｊ 容量 ）Ｃｉ 也是 不 ｊ
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在可增广路径的基础上计算最大流
• 最大流算法的核心是计算可增广路径
可增广路径的基本概念
• 退流的概念和弧的分类
• 若p是网络中连接源点s和汇点t的一条路，且路的方向是从 s到t的，则路上的弧有前向弧和后向弧两种。 • 前向弧：弧的方向与路的方向一致。前向弧的全体记为p+ • 后向弧：弧的方向与路的方向相反。后向弧的全体记为p-
• 流的容量限制：对于每条弧（u,v）∈E来说，弧流量为一个不大于弧容量的 非负数，即0<=f(u,v)<=C(u,v)。 • 流的平衡条件：除源点和汇点外的任意中间点u，流入u的“流量”与流出u 的“流量”相等。
（3）网络的流量V(F)：指源点的净流出流量和汇点的净流入流量。
寻找网络G上可能的最大流量即为网络G上的最大流问题
在可增广路径p上改进流量
•
残留网络
• 按照上述方法对弧进行分类，初始流图中的每条弧既有容 量又有前向弧流量和后向弧流量，因此不够简洁，不方便 寻找可增广路径。 • 所谓残留网络，就是将初始流图上的前向弧的容量调整为 “剩余容量”=C(u,v)-f(u,v)；后向弧的容量调整为“可退流 量”=f(v,u)；去除“剩余流量”为0的弧。在这样的图上找 可增广路经变得更加容易。
可增广路径的定义
• 设F是一个可行流，p是从s到t的一条路，若p满足下述两个 条件，则称p是关于可行流F的一条可增广路径，亦称可改 进路径： • 在p+的所有前向弧（u,v）上，0<=f(u,v)<C(u,v)。 • 在p-的所有后向弧（u,v）上，0<f(u,v)<=C(u,v)。
增广路径SACBDET
最大流问题
• 在一个单源单汇的简单有向图引入流量因素，且要求计算 满足流量限制和平衡条件的最大可行流时，就产生了最大 流问题。
基本概念
（1）网络的定义：设D是一个简单有向图D=(V,E)。在V中指定了一个源点 （记为Vs）和一个汇点（记为Vt），对于每一条弧（Vi，Vj）∈E，对应有 一个Cij>=0，称为弧的容量。也记为D=（V，E，C）。 （2）网络的可行流F。满足下述条件的流F称为网络的可行流。
Dinic算法
• Dinic算法的基本思路是分阶段地在层次图中改进流量。层 次图是在残留网络的基础上对每个节点加一个层次标记 level，标出该节点到源点的距离。显然，源点的level为0。
• 由节点的层次引出了层次图D3=（V3，E3）的概念：对于 残留网络D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当 level（u）+1=level（v）时，边（u,v）∈E3；V3=｛v|E3中 边与u相连｝。也就是说，在程序实现的时候，层次图并 不是构建出来的，而是对每个节点标记层次，扩展可增广 路径时只需判断边（u,v）是否满足约束条件level（u） +1=level（v）即可。
procedure add(a,b,c:longint); begin inc(tot); g[tot].y:=b; g[tot].r:=c; g[tot].next:=h[a]; h[a]:=tot; g[tot].op:=tot+1; inc(tot); g[tot].y:=a; g[tot].r:=0; g[tot].next:=h[b]; h[b]:=tot; g[tot].op:=tot-1; end;
function bfs:boolean; var i,f,r,tmp,v,u:longint; begin fillchar(level,sizeof(level),0); f:=1; r:=1; q[f]:=vs; level[vs]:=1; repeat v:=q[f]; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; if (g[tmp].r<>0) and (level[u]=0) then begin level[u]:=level[v]+1; inc(r); q[r]:=u; if u=vt then exit(true); end; tmp:=g[tmp].next; end; inc(f); until f>r; exit(false); end;
Dinic递归版
program maxflow_Dinic; type edge=record y,r,next,op:longint; end; var g:array[1..400] of edge; level,q,h:array[1..200] of longint; n,m,i,ans,a,b,c,tot,vs,vt:longint;
基于最大流定理上的最大流算法
• 如果残留网络上找不到可增广路径，则当前流为最大流； 反之，如果当前流不为最大流，则残留网络上一定有可增 广路径。
初始化一个可行流：对所有u,v∈V f(u,v)←0 现有网络流的残留网络上有增广路径吗？
按上面方法对增广路径进行改进
F为最大流
• 计算最大流的关键在于怎样找出可增广路经。寻找一条可 增广路径的常用方法有3种：DFS，BFS，标号搜索（PFS）
function dfs(v,a:longint):longint; var ans,flow,tmp,u,value:longint; begin if (v=vt) or (a=0) then exit(a); ans:=0; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; value:=g[tmp].r; if (level[u]=level[v]+1) then begin flow:=dfs(u,min(a,value)); if flow<>0 then begin g[tmp].r:=g[tmp].r-flow; g[g[tmp].op].r:=g[g[tmp].op].r+flow; ans:=ans+flow; a:=a-flow; if a=0 then break; end; end; tmp:=g[tmp].next; end; exit(ans); end;
Dinic算法的基本流程
初始化网络流图 根据残留网络计算层次图 汇点不在层次图内
否 是
Байду номын сангаас
在层次图内用一次DFS过程改进流量
算法结束
由流程图可以看出，算法呈循环结构。每一次循环为一个阶段。在 每个阶段中，首先根据残留网络建立层次图（一般采用BFS算法建立层次 图），然后用DFS过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。增广完毕 后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不在层次图内出现为止。 汇点不在层次图内意味着残留网络中不存在从源点到汇点的路径，即没有 可增广路径。对于有n个节点的网络流图，Dinic算法最多有n个阶段。