第十四章 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组表达式及物理意义
麦克斯韦方程组表达式及物理意义麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程组，包含了电场和磁场的生成、传播和相互作用的规律，被广泛应用于电磁学的研究和应用中。
麦克斯韦方程组共有四个方程式，分别是高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和安培定律。
下面将对麦克斯韦方程组的表达式和物理意义进行介绍。
## 1. 麦克斯韦方程组的表达式### 1.1 高斯定律高斯定律描述了电场的生成和分布规律，其数学表达式为：$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} =\frac{Q}{\epsilon_{0}}$$其中，$\vec{E}$表示电场强度，$d\vec{S}$表示任意面元的面积分，$Q$表示该面元内的电荷量，$\epsilon_{0}$为真空介电常数。
### 1.2 安培环路定理安培环路定理描述了磁场的生成和分布规律，其数学表达式为：$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{enc}$$其中，$\vec{B}$表示磁场强度，$d\vec{l}$表示任意回路的线积分，$\mu_{0}$为真空磁导率，$I_{enc}$表示该回路内的电流总量。
### 1.3 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的影响，以及磁场和电场的相互作用规律。
其数学表达式为：$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$$其中，$\mathcal{E}$表示感应电动势，$\Phi$表示磁通量，$t$表示时间。
### 1.4 安培定律安培定律描述了电流对磁场的影响，以及磁场和电流的相互作用规律。
其数学表达式为：$$\nabla \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J} + \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$其中，$\vec{J}$表示电流密度，$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$表示电场随时间的变化率。
麦克斯韦方程组
设极板面积为S´， 某时刻极板上的
S2 L S'
S1
自由电荷面密度
为，则 D
I
j
R
I
S´面电位移通量： D DS S
dD d (S) dq I
dt
dt dt
----电位移通量随时间的变化率
等于导线中的传导电流
充放DI引t电电D 入：：--d-位-dD位Dt移tD移电00电流与与流S：电电密DtI场场度D同反djSD向d向dtIDjjj DDR与与SS2'jj同同L I向向S1 t
D 0r E , B 0r H , j E
根据麦克斯韦方程组、电磁场量之 间关系式、初始条件及电磁场量的 边界条件，可以确定任一时刻介质 中某一点的电磁场
放 电
I过
电路中电流仍可视
R
程
为保持连续。
任取一环绕导线的闭
合曲线L，以L为边界
可以作S1和S2 两 个曲
面
对S1曲面
H dl I L
对S2曲面
H dl 0
L
S2 L
S1
I
j
I
R
----稳恒电流磁场的安培环路定律
对于非稳恒情形不再适用
dS
----全电流定律
H dl
j dS
D
L
s
s t
对前述的电容器：
dS
I
j
S2 L
S'
I
S1
R
L
H
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组求助编辑百科名片关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
目录麦克斯韦方程组 Maxwell's equation麦克斯韦方程组的地位历史背景积分形式微分形式科学意义编辑本段麦克斯韦方程组 Maxwell's equation麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。
麦克斯韦方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
编辑本段麦克斯韦方程组的地位麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
编辑本段历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
场概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，描述了电场和磁场的变化规律。
其推导过程可以从麦克斯韦方程的几个组成部分出发，依次推导得到。
首先，我们考虑电场的变化规律。
根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们的距离成反比。
以这个定律为基础，我们可以得到电场的高斯定律。
高斯定律表示电场通量与电场源的关系，即被电场穿过的表面上电场通量等于其所围体积内的电荷量的比例。
接着，我们考虑磁场的变化规律。
磁场的变化可以通过安培定律来描述。
安培定律表明，磁场的闭合环路积分等于通过该环路的电流的代数和的倍数。
这个定律描述了电流对磁场产生的影响。
然后，我们考虑电磁感应现象。
法拉第电磁感应定律是描述磁场变化对电场产生影响的基本定律。
该定律表示，当一个闭合线圈中的磁通量发生变化时，线圈的产生感应电动势。
最后，我们考虑变化电场对磁场的影响。
根据法拉第电磁感应现象，我们可以得到法拉第-楞次定律。
该定律表示，磁场变
化率与闭合回路内电场的环路积分之比等于该回路内的感应电流。
综上所述，我们可以得到麦克斯韦方程组的推导过程，包括电场的高斯定律、磁场的安培定律、磁场对电场的法拉第电磁感
应定律，以及变化电场对磁场的法拉第-楞次定律。
这些方程
描述了电场和磁场的变化规律，并建立了电磁学的基本理论。
总结起来，麦克斯韦方程组的推导过程涉及了电场的高斯定律、磁场的安培定律、电磁感应现象以及变化电场对磁场的影响。
这些定律和现象的综合运用和推导，得出了麦克斯韦方程组的表达式，为电磁学的研究提供了重要的理论基础。
麦克斯韦方程组的内容
麦克斯韦方程组是描述电磁场和电荷之间关系的四个基本方程，它们分别是高斯定律、法拉第定律、安培定律和麦克斯韦-亨利定律。
这些方程组成了电磁学的基石，对于理解和解释电磁现象有着至关重要的作用。
高斯定律，又称电通量定律，是描述电场与电荷之间关系的一个基本定律。
它说明了一个封闭表面内的电荷量与穿过该封闭表面的电场线通量之间的关系。
在实际应用中，高斯定律常常用于求解具有对称性的电场问题。
法拉第定律，又称法拉第电磁感应定律，是描述变化的磁场中产生的电动势与磁通量变化率之间关系的基本定律。
它是电磁感应现象的基本规律，由英国科学家迈克尔·法拉第首次发现。
安培定律是描述电流产生磁场的现象的基本定律。
麦克斯韦对安培定律进行了修正，引入了位移电流的概念，得到了包含位移电流的安培-麦克斯韦定律。
麦克斯韦方程组的出现，使得人们开始认识到光是一种电磁波，并且光的传播速度等于媒质中的光速，而不是像牛顿力学所说的那样可以超过媒质中的光速。
这一革命性的理论为后来赫兹的实验证实提供了理论基础。
随后，爱因斯坦进一步将时间和空间统一在狭义相对论中，由此得出光的传播速度在每个惯性参考系中都是常数，且不会因为光源的运动而改变。
麦克斯韦方程组
应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式
变化的电场能产生磁场。 变化的电场也看成一种电流。
麦克斯韦方程组
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理
有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流 电流密度为
完整的全电 流定律的微 分形式应为
麦克斯韦方程组
全电流定律表明，除传导 电流、运流电流产生磁场 外，位移电流也产生磁场。 传导电流和运流电流都是 电荷的运动。但位移电流 却不是电荷的运动，而只 是电场的变化。
在静止媒质中 e l Ei dl
lE id ls( E i)d S B td S
Ei
B t
图 变化的磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 B
是产生 E
的涡旋源，故又称涡旋电场。
i
t
麦克斯韦方程组
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理
若空间同时存在库仑电场, 即 EEC Ei ,则有
位移电流：
Sd u d u idSJd Sd(d t)C d tic
麦克斯韦方程组
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电磁场理论
时变电磁场的基本原理
电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并 不就是等于断开了电路。 电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体现 在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在电 容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场通 过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。 如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发 现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率 的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就 可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电 流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个 等效的电流就是位移电流。
大学物理 麦克斯韦方程组
S
S
M dS L M dl 斯托克斯公式 S E dS L E dl S B 环路定理 d S L E dl s t B 比较上两式，可得 E t D 同理由公式 d S L H d l t s D 可得 H t
L
R Q Q P P R dydz dzdx dxdy y z z x x y S R Q Q P P R cos cos cos dS y z z x x y S N dS M dS
D H t
B E t
高斯公式
(P cos Q cos R cos )dS
S
P Q R dxdydz x y z V 设矢量 M Pi Qj Rk dS (dS cos )i (dS cos ) j (dS cos )k
S
N i j k y z z x x y
矢量乘法： A Ai x A y j Ak z
B Bi x B y j Bk z
Ax Ay Az AB Bx By Bz (Ay Bz Az By )i (Az Bx AxBz ) j (AxBy Ay Bx )k i j k
s
B dS 0
s
v
( 2) D d S L H d l t S
大学物理第14章麦克斯韦方程组
完全等效
位移电流激发的磁场的高斯定理、环路定理？ 位移电流激发的磁场的高斯定理、环路定理？r r r r r ∂D r ∫ s B⋅ dS = 0 ∫ l H ⋅ dl = ∑ID = ∫S ∂t ⋅ dS 任意磁场 由传导电流与位移电流组成的全电流产生的总磁场） 磁场（ 任意磁场（由传导电流与位移电流组成的全电流产生的总磁场） 的高斯定理、环路定理？ 的高斯定理、环路定理？ r r ∫ s B⋅ dS = 0 r r ∂D r r r ∫ L H ⋅ dl = ∑Ii + ∑ID = ∫S ( j + ∂t )⋅ dS
B = µ0 H =
a2 ∴ H = jD 2r
µoωQo cosωt 2π r
r
第2节 麦克斯韦方程组 节
一、麦克斯韦方程组的积分形式
课堂练习：写出静电场与稳恒磁场的高斯定理、 课堂练习：写出静电场与稳恒磁场的高斯定理、环路定理 r r r r D⋅ dS = ∑qi = ∫ ρdV ∫ s B⋅ dS = 0 ∫ s r r 稳恒 V 静电场 r r 磁场 E ⋅ dl = 0 ∫ H ⋅ dl = ∑Ii
∫
s
L
与感应电场作类比猜测，有无感应磁场？ 有 感应电场作类比猜测，有无感应磁场？ 作类比猜测 感应磁场 感应磁场由什么产生？ 感应磁场由什么产生？ 由什么产生 麦克斯韦： 麦克斯韦： 变化的电场
变化的电场产生感应磁场 变化的磁场产生感应电场
第1节 位移电流 节
什么是电流？ 什么是电流？ 单位时间内通过截面的正电荷的多少 按此定义，电容极板之间有无电流？ No！ 按此定义，电容极板之间有无电流？ ！ 回路电流是否连续？ 回路电流是否连续？ No！ ！ S1
解决了电流连续性问题 解决了相同边界不同曲面环路定理的应用问题
麦克斯韦方程组
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必 再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律 是较为方便的。 注记 采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同 的常数会出现在方程内部不同位置。 国际单位制是最常使用的单位制，整个工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使 用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、 洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生 的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。洛伦兹-赫维 赛德单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位 制，其单位都是根据自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非 常有用的工具，能够给出很大的启示。在本页里，除非特别说明，所有方程都采用国际单位 制。 这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述。第一种表述如下：
注意： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程组有同样的形式。 (2)应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在均匀各向同 性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用 t=0时场量的初值条件， 原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即 E(x,y,z,t)和 B(x,y,z,t)。
1855年至 1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的 基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 方程组成 麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：[1] 高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。 计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。 更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初 始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场 线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个 无源场。 法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是制造许多发电机的理论 基础。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭 合电路因而感应出电流。 麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的 安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。 在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变 磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。 麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为： ①几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传 递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 ③导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全 电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 ④磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 ⑤光波也是电磁波。 麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1.积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式 为：
麦克斯韦方程组公式及其物理意义
麦克斯韦方程组公式及其物理意义麦克斯韦方程组，这可是物理学中的大宝贝！咱们先来瞧瞧这几个公式到底长啥样。
麦克斯韦方程组包含四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律。
高斯定律说的是，电场的散度等于电荷密度除以介电常数。
这就好比在一个大房间里，电荷就像一群调皮的小孩子，如果孩子多了，电场向外扩散的趋势就会更强烈。
高斯磁定律呢，它表明磁场的散度总是零。
想象一下，磁场就像是一条首尾相接的绳子，没有开头也没有结尾，不会有地方突然“冒出来”或者“消失不见”。
法拉第电磁感应定律讲的是，变化的磁场会产生电场。
这就好像你在骑自行车，车轮快速转动的时候，会带动链条让后面的小齿轮也跟着转起来。
磁场的变化就像是转动的车轮，带动了电场这个“小齿轮”。
安培-麦克斯韦定律说，电流和变化的电场都会产生磁场。
这好比是一条热闹的街道，来来往往的车辆（电流）和人群的流动（变化的电场）都会让周围的气氛（磁场）发生变化。
我还记得有一次，在给学生们讲解麦克斯韦方程组的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我笑了笑，从兜里掏出一块磁铁和一根导线，当场做起了实验。
当我快速移动磁铁的时候，导线里居然产生了电流！小家伙们都惊呆了，我告诉他们，这就是麦克斯韦方程组在起作用。
麦克斯韦方程组的物理意义那可真是太重要啦！它把电学和磁学统一了起来，让我们知道电和磁并不是孤立的现象，而是相互关联、相互影响的。
这就像是找到了一把神奇的钥匙，打开了电磁世界的大门。
在现代生活中，麦克斯韦方程组的应用无处不在。
从我们每天用的手机、电脑，到卫星通信、电力传输，都离不开它的功劳。
没有麦克斯韦方程组，我们可能还生活在一个通信不畅、电力匮乏的世界里呢。
而且，麦克斯韦方程组不仅仅是一些公式，它更是一种思维方式，教会我们如何去理解和探索自然界中复杂的电磁现象。
它让我们明白，看似毫无关联的事物之间，可能隐藏着深刻的内在联系。