弹性力学第三章极坐标
弹性力学极坐标72页
( r )ra qa , ( r )rb qb
图4-5
由边界条件得到:
A a2
B(1
ln
a)
2C
qa
A b2
B(1 ln
b)
2C
qb
在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体
的位移单值条件补充一个方程。
在环向位移表达式：
u
4Br
E
Hr I
sin
K
cos
中，第一项是多值的，在同一r处， θ=θ1和θ=θ1+2π时，环
rd
ur r
径向线段 PA 的转角为： 0
环向线段 PB 的转角为：
可见剪应变为：
(ur
ur
d ) ur
1
ur
rd
r
r
1 r
ur
（2）假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。
径向线段 PA的正应变为：
o r 0
环向线段 PB的正应变为：
(u
u
d ) u
rd
1 u
r
径向线段 PA 的转角为：
2
(
y 2
) 0
1 r
r
1 r2
2 2
(
y ) 0
2 ( x2
) 0
2 r 2
r
( xy ) 0
(
2 xy
)
0
r
(1 r
)
可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。
由（a）+（b），得：
2 2 2 1 1 2 x2 y2 r 2 r r r 2 2
压力隧洞47曲梁的纯弯曲48圆盘在匀速转动中的应力及位移410楔形体在楔顶或楔面受力411半平面体在边界上受法向集中力习题课41极坐标中的平衡微分方程在处理弹性力学问题时选择什么形式的坐标系统虽不会影响对问题本质的描绘但却直接关系到解决问题的难易程度
第3章 弹性力学基础知识-1弹性力学的平衡
Z
σz τzy τzx τxy τxz τyz τxz τyx τxy τzy τzx σx dz σy Y dx
σy τyz
τyx
O σx
z X O x y
dy
σz
2.单元体上的应力分量 单元体上的应力分量 角标规定： （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 ）应力分量的角标规定 第一角标表示应力作用面， 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 ）
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )],γ xy =
五、边界条件(应力,位移) 边界条件(应力,位移) 应力
Φ x = σ xl + τ xy m + τ yz n Φ y = τ yxl + σ y m + τ yz n Φ z = τ zxl + τ zy m + σ z n
四、协调方程
三、应力状态分类(按主应力)
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面； 主平面：单元体上剪应力为零的面； 主单元体：各面均为主平面的单元体， ②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面； 主平面；
z σz τzx τxz σx τxy τyx z' τzy τyz σy y 旋转 σ2 y' x' σ1 σ3
σ X τ YX τ ZX
τ XY τ XZ σ Y τ YZ τ ZY σ Z
应力符号规定： 应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一 则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。 致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
含圆孔平面板的弹性力学分析理论
含圆孔平面板的弹性力学分析理论1 弹性力学基本方程（平面应力）图1-1 微元体应力分量1.1 平衡微分方程（1）极坐标系10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕστσσρρϕρσττρϕρρ∂∂-⎫+++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪+++=⎪∂∂⎭(0.1)（2）直角坐标系00yxx x y xxy f x y f y x τσστ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭(0.2)1.2 几何方程（1）极坐标系11u u u u u u ρρρϕϕρϕϕρϕερερρϕγρϕρρ∂⎫=⎪∂⎪⎪∂⎪=+⎬∂⎪⎪∂∂=+-⎪∂∂⎪⎭(0.3)（2）直角坐标系x y xy u x v y v u x y εετ⎫∂=⎪∂⎪⎪∂=⎬∂⎪⎪∂∂=+⎪∂∂⎭(0.4)1.3 物理方程（1）极坐标系()()()1121EE E ρρϕϕϕρρϕρϕεσμσεσμσμγτ⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪+=⎪⎭(0.5)（2）直角坐标系()()()1121x x y y y x xy xy EE E εσμσεσμσμγτ⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪+=⎪⎭(0.6)1.4 相容方程（1）极坐标系222222110Φρρρρϕ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (0.7)（2）直角坐标系444422420x x y y ΦΦΦ∂∂∂++=∂∂∂∂ (0.8)2 含圆孔平面板的弹性力学分析平面板的尺寸远大于圆孔半径，由此可以假设应力函数只是径向坐标ρ的函数：()ΦΦρ=(0.9)由此可得应力分量：221d 1d 0d d ρρρϕΦΦσστρρρρ===(0.10)相容方程可简化为：222d 1d 0d d Φρρρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (0.11)该方程的通解为：22ln ln A B C D Φρρρρ=+++(0.12)假定有一半径b 的大圆，且b 远大于a ，则在大圆周b 处，应力状态与无孔时相同，即：()()()0x y xy b bbqρρρσστ====== (0.13)将应力边界条件转换为极坐标系，则有：()()cos sin 222bbq qqρρϕρρσϕτϕ===+=-(0.14)将该面力分解为两部分，即：()()()()20cos 22sin 22b bb b q qqρρρϕρρρρϕρστσϕτϕ====⎫=⎪⎬⎪=⎭⎫=⎪⎪⎬⎪=-⎪⎭(0.15)第一部分面力引起的应力解，可根据课本中圆环受均布压力的算例获得，即：222211022q a q a ρϕρϕσστρρ⎛⎫⎛⎫=-=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0.16)第二部分采用半逆解法，假设应力函数为：()cos2f Φρϕ=(0.17)代入相容方程后化简得：422cos 2D A B C Φρρϕρ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭(0.18)代入到应力分量的公式后，得：2424224462cos 26122cos 22662sin 2C D B D A B C D A B ρϕρϕσϕρρσρϕρτρϕρρ⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=++⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=+-- ⎪⎪⎝⎭⎭(0.19)应用小孔处的应力边界条件：()()0aaρρϕρρστ==== (0.20)结合大圆周处的应力边界条件式(0.15)，可得到下列方程：2422424224462226622462026620C D q B b b C D qAb B b b C D B a aC D Ab B a a ⎫++=-⎪⎪⎪+--=-⎪⎬⎪++=⎪⎪⎪+--=⎭(0.21)令a /b =0，联立求解得：4210424q qa A B C qa D ==-==-(0.22)则应力函数的极坐标表达式与直角坐标表达式分别如下：42221cos 2424q qa qa Φρϕρ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭(0.23)()()()2222222224q x ya x yx y Φ--++=-+ (0.24)将各系数代入，可得到应力分量：222222242422221113cos 222113cos 222113sin 22q a q a a q a q a q a a ρϕρϕσϕρρρσϕρρτϕρρ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪=--+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭(0.25)将应力分量转换为直角坐标系，则有：()()()()42244224422264224623625713x q x y a x x y y x ya x x y x y y σ⎡=++-+⎢⎣+⎤+-+++⎦(0.26)()()2642246422242241193236y qa x x y x y yx ya x x y y σ⎡=--+⎣+⎤--+⎦(0.27)()()242242224225236xy qa xyx x y y a x y xyτ⎡⎤=--++-⎣⎦+ (0.28)对直角坐标系下的应力分量代入式(0.6)和式(0.4)，得到位移分量：()()()()()()4222223222221351322a x y x y qx u a E x y x y μμμ⎡⎤+-++-⎢⎥=-+⎢⎥++⎣⎦(0.29)()()()()()()4222223222221315322a x y x y qy v a E x y x y μμμμ⎡⎤+-+++-⎢⎥=-++⎢⎥++⎣⎦。
弹性力学课件
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
河南理工弹性力学-极坐标中的应力函数法
第四章平面问题的极坐标解答第4讲极坐标中的应力函数法
1
2
在第三章“平面问题的直角坐标解答”中我们已经充分了解到，当体力为常量时，应力函数法是求解弹性力学平面问题的一种有效方法。
当采用极坐标研究问题时，我们希望还能继续使用这种方法，那么就需要知道极坐标中应力函数法的相关公式。
同学们回顾一下，在第二章，我们是从基本方程出发引入Airy 应力函数Φ，并得到Φ在弹性体内所应满足的相容方程的。
在极坐标中也可以这么做，但是过程极其繁琐。
现在我们直接从直角坐标中的相关公式出发，利用坐标转换关系，来推导极坐标中应力函数法的相关公式。
4.4极坐标中的应力函数法
O x
cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x y x y xy x y x y xy x y xy。
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学公式
1 / 1第一章 绪论 弹性力学基本假设： 1、连续性假设指组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。
2、均匀性假设物体内的每一点都具有相同的力学性质3、各向同性假设。
指物体内一点的各个方向上的力学性质相同。
4、完全弹性假设指物体在载荷作用下发生变形，当这些荷载拆除以后物体能完全恢复到原来的形状和大小，而没有任何残余变形。
5、小变形假设假定物体内各点在载荷作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。
6、无初应力假设假定物体的初始状态为自然状态，即载荷作用以前物体内没有应力。
第二章 弹性力学的基本方程 平衡微分方程：000yx x zxx xy y zy y yz xz zz F x y z F xyzF x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂边界条件：()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++=斜面应力公式（Cauchy 公式）：x x xy zx y xy y zy z xz yz z T l m n T l m n T l m nστττστττσ=++=++=++ 斜截面上的全应力：T υ斜截面上的正应力：x y z T l T m T n υσ=++斜截面上的总剪应力：222T υυυτσ=-几何方程：;;;x yz y xy z xy u w vx y z v u w y z x w v u z x yεγεγεγ∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂物理方程：()()()2(1)1;2(1)1;2(1)1;x x y z xy xy y y x z yzyz z z y x zx zxv v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦+=-+=+=-+=+=-+=体积应变：x y z θεεε=++x =()y z σσσΘ++12Evθ-=Θ 第三章 平面问题的直角坐标解法 平衡方程：00yxx x xy yy F x yF x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 几何方程：;;x y xy u v u v x y y xεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ 边界条件：;x yx x xy y yl m T l m T σττσ+=+=位移边界条件：;xx y yu u u u ==平面应变：22222y xyx xy y xετε∂∂∂+=∂∂∂平面应力：222220;0;0z z zxy x yεεε∂∂∂===∂∂∂ 平面问题应力解：22222x x y y xy F xy F y x x yϕσϕσϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-∂∂相容方程：444422420y x x y ϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂∂ 第四章 平面问题的极坐标解法 平衡微分方程：10210r r r r r r F r r r F r r rθθθθθθτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂几何方程：1;1r r r r r u u u r r r u u u r r rθθθθθεεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂物理方程：()()r 11;2(1)r r r rv v E E v Eθθθθθεσσεσσγτ=-=-+=相容方程：22222211()0r r r r ϕθ∂∂∂++=∂∂∂ 第五章 应力张量=0x xy xzyx y yz zx zy z σστττσστττσσ---。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
1
0
的系数均应等于0。由此得三个常微分方程,
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
从而解出: f Ay 3 By 2 cy D,
3 2 f1 Ey Fy Gy, A y 5 B y 4 Hy 3 Ky 2 . f 2 10 6 式(b)中已略去 Φ 的一次式。
(b)
将式(b)代入式(a)，即得Φ 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由 Φ 求应力。
在无体力下，应力公式如书中式( f ),
(g),(h)所示。 对称性条件─由于结构和荷载对称于
y轴，∴ Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数， xy 为 x的奇函数，故 E F G 0 。
(e)
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解
答，就是上述 Φ 和应力。
逆解法没有针对性，但可以积累基
本解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例1 一次式 Φ =ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 2 例2 二次式 Φ ax2 bxy cy，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
2a b b
o
2a
x
b
o
y b
x
2c
o
y
2c
x
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
F 察应力函数 Φ 3 xy (3h 2 4 y 2 )能解决什么 2h
样的受力问题？ o
h/2 h/2
x ( l >>h)
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ 2. 由Φ 求出应力分量,
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
思考题
1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条
件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条
件的？
2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2
矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩 /单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯 曲问题。 o
3.待定的刚体位移分量 u0 ,v0 ， ,
须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：从应力求位移的步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u0 , v0 , 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
纯弯曲问题的讨论： 1. 弯应力 σ x与材力相同。 u M x 故在任一 2. 铅直线的转角 y EI 截面x 处，平面截面假设成立。
第一节 第二节
逆解法与半逆解法 矩形梁的纯弯曲
多项式解答
第三节
第四节
位移分量的求出
简支梁受均布荷载
第五节
例题
楔形体受重力和液体压力
习题的提示与答案 教学参考资料
第三章 平面问题的直角坐标解答
按
Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解答
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 Φ0. ⑵ S = S 上应力边界条件,
σ y 0,
yx 0 。
因此，在y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 fx f y 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
x 0(负x面),
f x (σ x ) x 0 0, 3F y f y ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl f x (σ x ) x l 3 y , h 2 3F y f y ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
2. 代入几何方程求位移,
u M x y, x EI v M y y, y EI v u xy 0。 x y
(a) (b) (c )
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑴ 对式(a)两边乘 d x ,积分得
σ x M q(l x) 1 q(l x) 2 , 2 可假设 σ x x 2 f1 ( y) xf2 ( y) f 3 ( y );
xy Fs ql q(l x),
可假设 xy xf1 ( y ) f 2 ( y );
σ y q 常数,
σ y xy 0.
(a)
第三章 平面问题的直角坐标解答
边界条件
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必 须精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不
能精确满足应力边界条件，则应用圣维南
原理，用积分的应力边界条件代替。
第三章 平面问题的直角坐标解答
主要边界
2
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .
第三章 平面问题的直角坐标解答
主要边界
⑸ 考察边界条件。
主要边界
y h / 2,
(σ y ) yh/2 0, ( σ y ) y h / 2 q , ( τ xy ) y h/ 2 0.
2Φ 12Fxy, σx 2 y h3 σ y Φ 0, x 2
2
y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
2
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界）y h / 2 上，
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-3
位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
σ x M y, I
σ y xy 0,
试求解其位移。
第三章 平面问题的直角坐标解答
求形变
1. 由物理方程求形变,
1 M x (σ x σ y ) y, E EI 1 M y ( σ y σ x ) y , E EI 2(1 ) xy xy 0。 E
σ y xy 0.
(e)
当 l h 时，即使在 x 0, l 边界上面力 不同于σ x的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
思考题
如果区域内的平衡微分方程已经满足， 且除了最后一个小边界外，其余的应力边 界条件也都分别满足。则我们可以推论出， 最后一个小边界上的三个积分的应力边界 条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满 足的，因此可以不必进行校核。试对此结 论加以说明。
2 x y
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题
§3-4
。
简支梁受均布荷载
简支梁 2l h 1 ，受均布荷载 q 及两端 支撑反力 ql 。 q
ql
o
h/2 h/2
x
ql
l
y
l
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。由材力σ x M , τ Fs , σ y q,
h / 2 h/2 h / 2 (σ x ) x0,l y d y 1 M。
h/2
(σ x ) x 0,l d y 1 0,
(d )
第三章 平面问题的直角坐标解答
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出
a 2M / h 。
3
最终得应力解 σ x 12 M y M y, 3 I h
书中采用假设,
可假设 σ y f ( y)。
σ y q 常数.
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由
Φ σ f ( y), y 2 x
2
Φ 对 x 积分， xf ( y ) f1 ( y ), x 2 x 对x再积分，Φ f ( y) xf1 ( y ) f 2 ( y)。 (a) 2
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体， 若按 Φ 求解， 应满足相容方程及 s s Φ 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ ay ，且满足
3
Φ 0.
4
⑵ 求应力
σ x 6ay,
主要边界 y h/ 2,
(σ y ) y h/2 0, ( xy ) y h/2 0 .
(b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界x=0,l,
( xy ) x0,l 0,
满足。
(c)
σ x 的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界
∴用两个积分的条件代替