参数方程极坐标(教师版本)

知识点整合1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位. 设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别 为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和 θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ －r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0) ，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θy ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．分类突破一、参数方程例1 (2010·课标全国)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．归纳拓展 有些题目用参数方程解决起来不方便，这时，我们一般将参数方程转化为熟悉的普通方程，再结合我们以前学过的知识来解决．这体现了从未知到已知，从不熟悉到熟悉的转化思想，同时会简化运算提高做题的准确率变式训练1 直线y ＝2x －12与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ(φ为参数)的交点坐标是______．解析⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φy ＝cos 2φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，①y ＝2cos 2 φ－1＝1－2sin 2φ，②①代入②得y ＝1－2x 2⇒2x 2＋y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12，2x 2＋y ＝1，解方程得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，∴交点坐标为(12，12)． 二、极坐标方程例2 (2010·江苏)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值． 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋ y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有 |3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝2或a ＝－8. 故a 的值为－8或2.归纳拓展 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验变式训练2 (1)(2011·江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为__________________.解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.(2)在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是__________．解析 将参数方程θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1，化为普通方程为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x ＋y ＝1，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，3－32. 所围成三角形的面积为S ＝12×1×3－32＝3－34. 三、综合应用例3 (2010·辽宁)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数变式训练3 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.规范演练一、填空题1．(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析 曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标系方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由ρcos θ＝－1可化为x ＝－1.将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得x ＝－1，y ＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.2．(2011·湖南)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．解析 曲线C 1化为普通方程为圆：x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 2化为直角坐标方程为直线：x －y ＋1＝0.因为圆心(0,1)在直线x －y ＋1＝0上，故直线与圆相交，交点个数为3．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们的交点坐标为__________．解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255. 4．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________． 解析将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)化为普通方程3x －y －2＝0，因此l 1与l 2间的距离为d ＝|4＋2|32＋12＝3105. 5．极坐标方程ρ＝32－4cos θ表示的曲线是________．解析 极坐标方程化为 2ρ＝3＋4ρcos θ.∴4x 2＋4y 2＝16x 2＋24x ＋9.可化为(x ＋1)214－y 234＝1，表示双曲线． 6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t (t 为参数)恒过定点________．7．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－π6；②⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6；③⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－7π6.其中可以作为点M 关于极点对称点的坐标的是______． (填序号) 二、解答题8．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方 程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数)，极点在直角坐标原点，极轴与x 轴正半轴重合．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解 (1)极点为直角坐标原点O ，∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，可化为直角坐标方程：x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程：x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)，半径r ＝2.∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.9．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋10cos θy ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线C 1，C 2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由． 解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋10cos θy ＝10sin θ得(x ＋2)2＋y 2＝10.∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10. ∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ， ∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10， ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.(2)∵圆C 1的圆心为(－2,0)，圆C 2的圆心为(1,3)， ∴C 1C 2＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32<210， ∴两圆相交．设圆C 1和圆C 2的公共弦长为d ，因为两圆的半径相等，所以公共弦平分且垂直线段C 1C 2，由勾股定理得(d 2)2＋(322)2＝(10)2， ∴d ＝22，∴公共弦长为22.10．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值． 解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1. C 1为圆心是(－4,3)，半径为1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)、Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d取得最小值85 5.。