2018大二轮高考总复习文数文档：自检3 平面向量
2018高考试题分类汇编——平面向量(2021年整理精品文档)
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2018高考分类汇编 —-平面向量1、【北京理】6．设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ；解析：33-=+a b a b 等号两边分别平方得0⋅=a b 与⊥a b 等价，故选C 。
考点：考查平面向量的数量积性质及充分必要条件的判定; 备注：高频考点.2、【北京文】设向量(,),(,)101==-a b m ，若()⊥-a ma b ，则=m答案：1-【解析】因为(,),(,),101a b m ==- 所以(,)(,)(,).011ma b m m m m -=--=+- 由()⊥-a ma b 得()0a ma b ⋅-=，所以()10a ma b m ⋅-=+=，解得.1m =-【考点】本题考查向量的坐标运算,考查向量的垂直。
3、【1卷文7理6】6.在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC - B 。
1344AB AC - C 。
3144AB AC + D 。
1344AB AC + 答案:A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．4、【2卷理】4．已知向量a ，b 满足||1=a ,1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【解析】2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．5、【2卷文】4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B解析：向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-,则2(22213a a b a a b ⋅-=-⋅=+=），故选B ．6、【3卷文理】13．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=,解得12λ=． 点评：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 7、【上海】8．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则AE BF ⋅的最小值为 ． 答案：3-解析:设(0,),(0,2)E m F m +,则(1,),(2,2)AE m BF m ==-+，2(2)AE BF m m ⋅=-++2222(1)3m m m =+-=+-，最小值为3-．解法2：()()2AE BF AO OE BO OF AO BO AO OF OE BO OE OF OE OF ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅-取EF 中点G ,则21OE OF OG ⋅=-．显然20OG ≥(当E F 、关于原点对称）． 所以1OE OF ⋅-≥．则3AE BF ⋅-≥．8、【天津理】8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥,AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为( ） A ．2116 B ．32 C ．2516D ．3BCDE【答案】A【基本解法1】连接AC ,则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒所以BC CD ==(01)DE DC λλ=<<， 则()()()()(1)AE BE AD DE BC CE AD DC BC DC λλ⋅=+⋅+=+⋅--2(1)AD BC DC BC DC λλλ=⋅+⋅--2cos30cos 60(1)AD BC DC BC DC λλλ=⋅︒+⋅︒--22331213322416λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当14λ=时,AE BE ⋅取得最小值，最小值为2116．【基本解法1】连接AC ,则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒， 所以BC CD ==D为坐标原点，,DA DC 所在方向为,x y 轴正方向 建立如图所示平面直角坐标系，过B 作BF x ⊥轴于点FBD则1cos 60,sin 602AF AB BF AB =︒==︒=32B ⎛ ⎝⎭, BCDE设(0DEλλ=<<，则(1,0),(0,)A Eλ，223321(1,),2222416AE BEλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-+=-+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当4λ=时,AE BE⋅取得最小值，最小值为2116．9、【天津文】8．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON==∠=︒，2,2BM MA CN NA==,则BC OM⋅的值为（ )A．15-B．9- C．6- D．0ABCMNO【答案】C解析:)(333-=+-=+=)(33-==，则633)(32-=-⋅=⋅-=⋅．10、【浙江卷】9．已知a b e，，是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为3π,向量b满足2430b e b-⋅+=，则a b-的最小值是（）A1 B1 C．2 D．2【答案】A解析：解法1:（配方法）由2430b e b-⋅+=得22441b e b e-⋅+=,即()221b e-=，因此21b e-=．如图，OE e=，2OF e=，3POEπ∠=，则向量b的终点在以F为圆心,1为半径的圆上,而a的终点A在射线OP上，a b AB-=,问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为1．H解法2:(向量的直径圆式)由2430b e b -⋅+=，得22430b e b e -⋅+=，所以()()30b e b e -⋅-=， 如图，,3,OE e OH e OB b ===,则0EB EH ⋅=，即终点B 在以EH 为直径的圆上,以下同解法1． 解法3:(绝对值性质的应用）由2430b e b -⋅+=，得22441b e b e -⋅+=，即()221b e -=， 因此21b e -=,而由图形得23a e -≤，所以()()222231a b a e b e a e b e -=------=-≥，所以a b -的最小值为1．解法4：（坐标法）设a b e ，，起点均为原点，设(1,0)e =,(,)b x y =，则a 的终点A 在射线(0)y x =>上，由2430b e b -⋅+=，得22430x y x +-+=,即22(2)1x y -+=,所以向量b 的终点在圆22(2)1x y -+=上，a b -的最小值即为求圆上一点到射线(0)y x =>上一点的最小距离，1．。
平面向量-2018年高考数学(文)--精校解析Word版
【母题原题1】【2018新课标1，文7】在△中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．【答案】A，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题原题2】【2017新课标1，文13】已知向量a=（﹣1，2），b =（m，1），若向量a+ b与a 垂直，则m=_________．【答案】7【解析】由题得()1,3a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以()1230m --+⨯=，解得7m =． 点睛:如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0． 【母题原题3】【2016新课标1，文13】设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝______________. 【答案】－23【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得，解得，故填：.考点：向量数量积【考点一：平面向量基本定理】1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底 表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、 相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 【考点二：平面向量的坐标运算】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择．1．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（六）】若在中，，其外接圆圆心满足，则（ ）A. B. C.D.【答案】A点晴：注意区分向量三角形法则和平行四边形法则之间的关系，注意区分向量积运算俩公式的区别。
2018年高考数学(文)二轮复习：1.4-平面向量题专项练ppt课件(含答案)
-6一、选择题 二、填空题
3.(2017 北京海淀一模,文 6)在△ABC 上,点 D 满足������������ =2������������ − ������������ ,则
B. ������������
解析:因为D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,
所以������������ + ������������=- (������������ + ������������)- (������������ + ������������ )=- (������������ + ������������)= (������������ + ������������ )= ×2������������ = ������������ ,故选 A.
1.4 平面向量题专项练
-2-
1.平面向量的两个定理及一个结论 (1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实 数λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底. (3)三点共线的充要条件:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,使
( D ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上
解析:������������ =2������������ − ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������,如图, 作������������' = ������������,连接 AD',则������������ + ������������ = ������������ + ������������' = ������������' = ������������ ,
高中数学高考二轮复习：平面向量解析版(精炼基础,链接高考)
平面向量解析版（精炼基础，链接高考）例题讲解在ABC △中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN分别交,AB AC 于点,M N ，若,A M xA B A N yA C == ，则4x y +的最小值是（ ） A ．94B ．2 CD ．1【解析】若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系．由,,M H N 共线可想到“爪”字型图，所以AH m AM n AN=+，其中1m n +=，下面考虑将,m n 的关系转为,x y 的关系．利用条件中的向量关系：12A H A D = 且()12AD AB AC =+ ，所以()14A H AB AC =+，因为,AM x AB AN y AC== ，所以AH mxAB nyAC =+，由平面向量基本定理可得：11441144m mx x n ny y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以111144m n x y +=⇒+=，所以()11144414444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而44y x x y +=≥，所以944x y +≥．【答案】A近年高考中几乎每年高考都会有一题考察平面向量，平面向量作为一个解题工具，在高考中也是不可忽视的一个考点．平面向量位于必修4． 规范训练 一、选择题1．若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c === ，则a b c++ 等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D【解析】首先由,,a b c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c 同向（此时夹角均为0），则a b c ++为5，另一种情况为两两夹角2π3，以1a b == 为突破口，由平行四边形法则作图得到a b + 与,a b 夹角相等，1a b a +== （底角为60︒的菱形性质），且与c反向，进而由图得到2a b c ++=，选C ．【答案】C2．已知()2,6,2a b a b a ==⋅-= ，R λ∈，则a b λ-的最小值是（ ）A ．4 B ．C ．2 D 【解析】由条件可得()2226a b a a b a ⋅-=⇒⋅=+= ，所以考虑将a b λ- 模长平方，从而转化为数量积问题，代入,,a b a b ⋅的值可得到关于λ的二次函数，进而求出最小值．∵()222a b a a b a ⋅-=⇒⋅-= ，∴226a b a ⋅=+= ，∴()()22222222361246133a b a b a a b b λλλλλλλ-=-=-⋅+=-+=-+ ≥，∴mina bλ-=【答案】D3．若,,a b c 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅- ≤，则a b c +-的最大值为（ ） A1B ．1CD ．2【解析】()()200a c b c a b b c a c c -⋅-⇒⋅-⋅-⋅+ ≤≤······①∵0,1a b c ⋅== ，∴①转化为101b c a c b c a c -⋅-⋅+⇒⋅+⋅≤≥，∴()()222222221112a b c a b ca b c a b a c b c b c a c+-=+-=+++⋅-⋅-⋅=++-⋅+⋅ 321-=≤， ∴1a b c +-≤．【答案】B4．如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE △内（包括边界）的一个动点，设()AP AB AF λμλμ=+∈R，，则λμ+的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]2,3C ．[]2,4D ．[]3,4FC【解析】因为P 为动点，所以不容易利用数量积来得到,λμ的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，可得：()((33131,,1,3,2222B D E ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，则()11,0,2AB AF ⎛==- ⎝⎭，所以设(),P x y ，则由AP AB AF λμ=+可得：12P λμ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为P 在CDE △内，且:3,CE x CD y +=+=所以P所满足的可行域为3x y y ⎧⎪⎪⎨+≥≤，代入可得：322λμμλ+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，通过线性规划可得：[]3,4λμ+∈．【答案】D5．如图，在ABC △中，13A N N C =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．211【解析】观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN=+ ，且1m n +=，由13A N N C = 可得14A N A C =，所以14AP mAB nAC =+ ，由已知211AP mAB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =． 【答案】C6．在ABC △中，π,66B AB BC ∠===，设D 是AB 的中点，O 是ABC △所在平面内的一点，且320OA OB OC ++=，则DO的值是（ ）A ．12B ．1CD ．2【解析】本题的关键在于确定O 点的位置，从而将DO与已知线段找到联系，将320OA OB OC ++= 考虑变形为()323OA OB OC OA OB OB OC CB +=-⇒+=-=，即13O A O B C B += ，设O E O A O=+，则,,O D E 三点共线，且OE BC ∥，所以由平行四边形性质可得：11126OD OE CB ===．【答案】B7．如图，在ABC △中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==，点F 为DE 中点，则BF DE ⋅ 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】在本题中已知,AB AC 及两个向量的夹角，所以考虑将,AB AC作为一组基底．则考虑将,BF DE 用,AB AC 进行表示，再做数量积即可，则：()11111111132222223264BF BD DF BA DE BA AE AD AB AC AB AC AB⎛⎫=+=+=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，且1132DE AE AD AC AB =-=-，所以有：22131111364321838BF DE AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由已知可得：2216,36,cos 12AB AC AB AC AB AC BAC ==⋅=⋅∠=，∴4BF DE ⋅=．【答案】C8．菱形ABCD 边长为2，120BAD ∠=︒，点,E F 分别在,BC CD 上，且,BE BC DF DCλμ== ，若31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=- ，则λμ+=（ ） A ．12B ．32C ．54D ．712【解析】本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的31,2AE AF CE CF ⋅=⋅=-所涉及的向量用菱形的边和,λμ进行表示，进而列出关于,λμ的方程，解出方程便可求出λμ+．AE AB BE AB BCλ=+=+ ，AF AD DF AD DC μ=+=+，()1CE CB λ=- ，()1CF CD μ=- ，∴()()AE AF AB BC AD DC AB AD BC AD DC AB BC DC λμλμλμ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅2442λμλμ=-++-，()()()()1121CE CF CB CD λμλμλμ⋅=--⋅=--++，∴()()()()()3242152243121124λμλμλμλμλμλμλμλμλμλμ⎧-++-=⎧+-=⎧⎪+=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--++=-⎪⎪⎪=-+=-⎩⎩⎪⎩． 【答案】C9．如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC的中点，点P 是ABC △内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______．B【解析】直角三角形直角边已知，且P 为图形内动点，所求MP不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理．设(),P x y，从而可得1524AN MP x ⋅=-+ ，而P 所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解，以,AC BC 为轴建立直角坐标系，(()11,1,0,,,,0222A B M N ⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭，设(),P x y ，∴11,,,22AN MP x y ⎛⎛==-- ⎝⎝⎭，∴11152224AN MP x y x ⎛⎫⋅=-=+ ⎪⎝⎭⎭ ， 数形结合可得：77,44AN MP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ ．【答案】77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则A DB E ⋅=__________．【解析】观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：11,,0,,022A B C ⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令(),E x y，∴11,,22CE x y CA ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 由3CA CE =，可得：111322332x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴13E ⎛ ⎝⎭，∴50,,6AD BE ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭，∴14AD BE ⋅=- ．【答案】14。
2018全国卷高考复习 平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a |a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λaλ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .【基础练习】1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( )(5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →).( )2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①B.③C.①③D.①②3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( ) A.2B.3C.－2D.－34.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.考点一 平面向量的概念【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号).①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.答案 ③考点二 平面向量的线性运算【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC.若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( ) A.13a ＋13b B.－13a ＋13b C.13a －13bD.－13a －13b【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD → C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.【训练3】已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线第二部分 平面向量基本定理与坐标表示1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【基础练习】1.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)2.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)3.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D 的坐标为________.考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC →【训练1】如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y)，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)D.(－7，0)【训练2】 (1)已知点A(－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)D.(5，14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点P 的坐标为________.【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35(2)若三点A(1，－5)，B(a ，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a 的值为________.第三部分 平面向量的数量积及其应用1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.(1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y2x 21＋y 21·x 22＋y22.(4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律：(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). 【基础练习】1.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1B.0C.1D.22.(2017·湖州模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________. 5.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.6.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________. 【考点突破】考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A.20B. 15C.9D.6(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58B.18C.14D.118【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC的中点，点E 满足BE →＝13BC →，则AE →·BD →＝________.(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6C.6D.8(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 考点三 平面向量的模及其应用【例3】 (2017·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )。
2018大二轮高考总复习理数文档：自检3 平面向量
自检03：平面向量 A 组 高考真题集中训练平面向量的线性运算1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则阿凡题1083920( ) A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A ．答案：A2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →解析：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A ．答案：A3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：124．(2014·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°．答案：90°平面向量的数量积及应用1．(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝阿凡题1083921( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：因为BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32．又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32， 所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°． 答案：A2．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， 所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8．法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8．答案：D3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：因为|a ＋b |＝10，所以|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.①又因为|a －b |＝6，所以|a －b |2＝6， 即a 2－2a ·b ＋b 2＝6.②由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1． 答案：A4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：图①方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)． 设P 点的坐标为(x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋y －322－34≥2×－34＝－32． 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B ． 方法二 (几何法)图②如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤|P A →|＋|PD →|22＝322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B ．答案：B5．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2解析：建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． 设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ． ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A ．答案：A6．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________． 解析：方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝23．方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝23．答案：2 37．(2016·全国乙卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________． 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2，∴a ·b ＝0． 又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2． 答案：－28．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________． 解析：选向量的基底为AB →，AD →，则BD →＝AD →－AB →，AE →＝AD →＋12AB →，那么AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝2． 答案：29．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2． 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2．所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33． 答案：3310．(2017·浙江卷)已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：设a ，b 的夹角为θ． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2 ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ． 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ．∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]， ∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]． 答案：4 2 511．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：方法一 因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)． 因为A (－12,0)，B (0,6)，所以P A →＝(－12－x ，－50－x 2)或P A →＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)． 因为P A →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算， 所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20， 即2x ＋5≤50－x 2．当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5) 2≤50－x 2，解得－52≤x ≤1，故x ≤1．同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5． 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1． 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．方法二 设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x,6－y )．∵P A →·PB → ≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0．如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1， 又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]． 答案：[－52，1]B 组 高考对接限时训练(三)(时间：35分钟 满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·东北三校联考)在△ABC 中，A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A ．2 B ．2 C ． 6D ．6解析：在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a .因为AB →·AC →＝－1，所以bc cos 120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，所以a ≥6，即|BC →|的最小值是6．答案：C2．(2017·钦州一模)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的余弦值为( )C ．12D ．－12解析：设向量a 、b 的夹角为θ，由a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，得a 2＋a ·b ＝3，即22＋2×1×cos θ＝3，解得cos θ＝－12.故选D ．答案：D3．(2017·濮阳一模)若向量BA →＝ (1,2)，CA →＝(4,5)，且CB →·(λBA →＋CA →)＝0，则实数λ的值为( )A ．3B ．－92C ．－3D ．－53解析：向量BA →＝(1,2)，CA →＝(4,5)，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →－BA →＝(3,3)，λBA →＋CA →＝(λ＋4,2λ＋5)，又且CB →·(λBA →＋CA →)＝0，所以3(λ＋4)＋3(2λ＋5)＝0，解得λ＝－3.故选C ． 答案：C4．(2017·焦作二模)已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，P A ＝5，PC ＝25，则PB →·PD →＝( )A ．－5B ．－5或0C ．0D ．5解析：P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，∴AC ＝5，∵P A ＝5，PC ＝25，∴P A 2＋PC 2＝AC 2，∴P A →⊥PC →，∴PB →⊥PD →，∴PB →·PD →＝0，故选C ．答案：C5．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3．答案：B6．若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形解析：由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C ．答案：C7．(2017·清远一模)已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－18解析：∵向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为s in 17π3＝sin(－π3)＝－32， ∴a ·b ＝1×23×(－32)＝－3，∴b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝2·(－3)－12＝－18，故选D ． 答案：D8．(2017·广元二诊)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A ．53B ．54C ．109D ．158解析：∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，∴根据余弦定理可知BC ＝3，由AB ＝2，AC ＝1，BC ＝3，满足勾股定理可知∠BCA ＝90°，以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系，∵AC ＝1，BC ＝3，则C (0,0)，A (1,0)，B (0，3)，又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E (0，233)，F (0，33)，则AE →＝(－1，233)，AF →＝(－1，33)，∴AE →·AF →＝1＋23＝53，故选A ．答案：A9．(2017·武汉模拟)非零向量a ，b 满足a ⊥(2a ＋b )，且a 与b 的夹角为2π3，则|a ||b |＝( )A ．12B ．14解析：∵a ⊥(2a ＋b )，且<a ，b >＝2π3；∴a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝2|a |2－12|a ||b |＝0；又|a |≠0，|b |≠0；∴2|a |＝12|b |，∴|a ||b |＝14.故选B ．答案：B10．(2017·湖南十三校联考)已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[－2,6]C ．[0,2]D ．[－2,2]解析：以△ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示：设A (2,0)，B (－1，3)，P (2cos θ，2sin θ)，则P A →＝(2cos θ－2,2sin θ)，PB →＝(2cos θ＋1,2sin θ－3)；∴P A →·PB →＝(2cos θ－2)(2cos θ＋1)＋2sin θ(2sin θ－3)＝2－2cos θ－23sin θ＝2－4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6； ∵－1≤sin(θ＋π6)≤1，∴－2≤P A →·PB →≤6，则P A →·PB →的取值范围是[－2,6]．故选B ．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)， ∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0， 即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5． 答案：－512．(2017·河南六市一模)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(1，x －1)，若(a －2b )⊥a ，则|a －2b |＝________．解析：∵a －2b ＝(－1,2－x )，且(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝－1＋x (2－x )＝－x 2＋2x －1＝0，∴x ＝1，∴a －2b ＝(－1,1)，∴|a －2b |＝2． 答案： 213．设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________．解析：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，如图，即PC →＋P A →＝0．答案：014．(2017·上饶一模)已知在Rt △AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°；设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围________．解析：以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (0,2)，∴OP →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋(0,2y )＝(x,2y )，则x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤00≤y ≤1x 2＋y 2≤4，作出可行域如图所示，令z＝x＋y，化目标函数为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值1；当直线y＝－x＋z过点(－2,0)时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值－2；则x＋y的取值范围是[－2,1]．答案：[－2,1]。
2018届高考数学二轮复习第三讲平面向量课件(全国通用)
方法结论
2．夹角公式 x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1· x2＋y2 3．模 |a|＝ a2＝ x2＋y2. 4．向量a与b垂直⇔a· b＝0.
解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－ 1)×(－1)＋3×2＝0，证“首尾相接”，结果向量 是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量； 在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方 向是指向被减向量．
方法结论
2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表 示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合λ1e1＋ λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四 边形法则及向量共线定理来破解；二是利用待定系数法， 即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a· b＝0，a⊥b， 选A.
2．(2015· 高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则 (2a＋b)· a＝( A．－1 C． 1 ) B．0 D． 2
解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，a· b＝－3， 从而(2a＋b)· a＝2a2＋a· b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a＋b)· a＝(1,0)· (1，－1)＝1，故选C.
题组突破
法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形 → 1 → 1 的边长为1，则AM＝(1， )，BN＝(－ ，1)， 2 2 → → → → 1 λ AC＝(1,1)，∵AC＝λAM＋μBN＝(λ－ μ， ＋μ)， 2 2 1 λ－2μ＝1 ∴ 1λ＋μ＝1 2 6 λ＝5 ，解得 μ＝2 5 8 ，∴λ＋μ＝ ，故选D. 5
最新-2018届高考数学二轮复习 专题二 3平面向量课件
→ → 解析：选 C.∵BC2＝16，∴ |BC|＝ 4. → → → → → 又 |AB－AC|＝ |CB|＝ 4，∴ |AB＋ AC|＝ 4. → 1 → → ∵ M 为 BC 中点，∴AM＝ (AB＋ AC)， 2 → 1 → → ∴ |AM|＝ |AB＋AC|＝ 2 2
题型二 例2
平面向量的数量积
已知 |a|＝ 4， |b|＝3，(2a－3b)· (2a＋ b)＝61.
(1)求 a 与 b 的夹角； (2)求 |a＋b|； → → (3)若AB＝ a，AC＝ b，求△ ABC 的面积．
【解】
(1)由(2a－3b)· (2a＋b)＝61，
得 4|a|2－4a· b－3|b|2＝61， ∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式得 a· b＝－6， －6 a· b 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝－ . |a||b| 4×3 2 又 0° ≤θ≤180° ，∴θ＝120° . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a· b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝ 13. (3)由(1)知∠BAC＝θ＝120° ，
3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
热点突破探究
典例精析 题型一 平面向量的线性运算
→ → → → 如图，平面内有三个向量 OA ， OB ， OC ，其中 OA 例1 → → → → 与 OB的夹角为 120° ，OA与 OC的夹角为 30° ，且 |OA | → → → → → ＝ |OB|＝1，|OC|＝ 2 3，若OC＝ λOA＋ μOB(λ，μ∈ R)， 则 λ＋ μ 的值为________．
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自检03：平面向量A 组 高考真题集中训练平面向量的线性运算1．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .故选A ．方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在□ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A ． 答案：A2．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4) 解析：AB →＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A ． 答案：A3．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →解析：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A ．答案：A4．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6.平面向量的数量积及应用1．(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：因为BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°. 答案：A2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C ． 答案：C3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：因为|a ＋b |＝10，所以|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.①又因为|a －b |＝6， 所以|a －b |2＝6， 即a 2－2a ·b ＋b 2＝6.②由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1. 答案：A4．(2017·山东卷)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________. 解析：∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2. 答案：26．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.答案：77.(2016·全国乙卷)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0， ∴x ＝－23.答案：－238．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 解析：选向量的基底为AB →，AD →，则BD →＝AD →－AB →，AE →＝AD →＋12AB →，那么AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝2. 答案：29．(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．解析：方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2，cos θ＝AQAP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 答案：610．(2017·浙江卷)已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：设a ，b 的夹角为θ. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2 ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]， ∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]． 答案：4 2 5B 组 高考对接限时训练(三)(时间：35分钟 满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·东北三校联考)在△ABC 中，A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A ．2 B ．2 C ．6D ．6解析：在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a .因为AB →·AC →＝－1，所以bc cos 120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，所以a ≥6，即|BC →|的最小值是 6.答案：C2．(2017·钦州一模)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的余弦值为( )A ．32B ．－32C ．12D ．－12解析：设向量a 、b 的夹角为θ，由a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，得a 2＋a ·b ＝3，即22＋2×1×cos θ＝3，解得cos θ＝－12.故选D ．答案：D3．(2017·濮阳一模)若向量BA →＝(1,2)，CA →＝(4,5)，且CB →·(λBA →＋CA →)＝0，则实数λ的值为( )A ．3B ．－92C ．－3D ．－53解析：向量BA →＝(1,2)，CA →＝(4,5)，所以CB →＝CA →＋AB →＝CA →－BA →＝(3,3)，λBA →＋CA →＝(λ＋4,2λ＋5)，又且CB →·(λBA →＋CA →)＝0，所以3(λ＋4)＋3(2λ＋5)＝0，解得λ＝－3.故选C ． 答案：C4．(2017·焦作二模)已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，P A ＝5，PC ＝25，则PB →·PD →＝( )A ．－5B ．－5或0C ．0D ．5解析：P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，∴AC ＝5，∵P A ＝5，PC ＝25，∴P A 2＋PC 2＝AC 2，∴P A →⊥PC →，∴PB →⊥PD →，∴PB →·PD →＝0，故选C ．答案：C5．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：(a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，可得cos 〈a ，b 〉＝12，又因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：B6．若平面四边形A BCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形解析：由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C ．答案：C7．(2017·清远一模)已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－18解析：∵向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为 sin17π3＝sin(－π3)＝－32， ∴a ·b ＝1×23×(－32)＝－3，∴b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝2·(－3)－12＝－18，故选D ． 答案：D8．(2017·广元二诊)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A ．53B ．54C ．109D ．158解析：∵在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，∴根据余弦定理可知BC ＝3，由AB ＝2，AC ＝1，BC ＝3，满足勾股定理可知∠BCA ＝90°，以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系，∵AC ＝1，BC ＝3，则C (0,0)，A (1,0)，B (0，3)，又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E (0，233)，F (0，33)，则AE →＝(－1，233)，AF →＝(－1，33)，∴AE →·AF →＝1＋23＝53，故选A ．答案：A9．(2017·武汉模拟)非零向量a ，b 满足a ⊥(2a ＋b )，且a 与b 的夹角为2π3，则|a ||b |＝( )A ．12B ．14C ．32D ．2解析：∵a ⊥(2a ＋b )，且<a ，b >＝2π3；∴a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝2|a |2－12|a ||b |＝0；又|a |≠0，|b |≠0；∴2|a |＝12|b |，∴|a ||b |＝14.故选B ． 答案：B10．(2017·湖南十三校联考)已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[－2,6]C ．[0,2]D ．[－2,2]解析：以△ABC 外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示：设A (2,0)，B (－1，3)，P (2cos θ，2sin θ)，则P A →＝(2cos θ－2,2sin θ)，PB →＝(2cos θ＋1,2sin θ－3)；∴P A →·PB →＝(2cos θ－2)(2cos θ＋1)＋2sin θ(2sin θ－3)＝2－2cos θ－23sin θ＝2－4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6； ∵－1≤sin(θ＋π6)≤1，∴－2≤P A →·PB →≤6，则P A →·PB →的取值范围是[－2,6]．故选B ． 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0， 即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. 答案：－512．(2017·河南六市一模)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(1，x －1)，若(a －2b )⊥a ，则|a －2b |＝________.解析：∵a －2b ＝(－1,2－x )，且(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝－1＋x (2－x )＝－x 2＋2x －1＝0，∴x ＝1，∴a －2b ＝(－1,1)，∴|a －2b |＝ 2. 答案： 213．设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________. 解析：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，如图，即PC →＋P A →＝0.答案：014．(2017·上饶一模)已知在Rt △AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°；设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围________．解析：以OA 所在直线为x 轴，以OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (0,2)，∴OP →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋(0,2y )＝(x,2y )， 则x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤00≤y ≤1x 2＋y 2≤4，作出可行域如图所示，令z＝x＋y，化目标函数为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值1；当直线y＝－x＋z过点(－2,0)时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值－2；则x＋y的取值范围是[－2,1]．答案：[－2,1]。