北京市东城区2011-12年度高三第一学期期末文科数学试题及答案

北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B 第，则（A ）B A ⊆ （B ）A B ⊆ （C ）B B A = （D ）∅=B A （2）复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（A ）)1,1( （B ）)1,1(- （C ）)1,1(-- （D ）)1,1(- （3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）32a （B ） 36a（C ） 312a （D ）318a（4）下列命题中正确的是（A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（5）设0>x ，且xx a b <<1，则（A ）01b a <<< （B ）01a b <<< （C ） a b <<1 （D ） b a <<1 （6）在平面直角坐标系内，若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为 （A ）()2,-∞- （B ） ()1,-∞- （C ）()+∞,1 （D ）()+∞,2aaa正 （ 主 ） 视图俯视图侧 （ 左 ） 视图（7）函数()sin()f x x =+ωϕ（其中2π<ϕ）的图象如图所示， 为了得到()sin g x x =ω的图象，则只要将()f x 的图象（A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度（8）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于y 轴对称，向量)0,1(=a ，则满足不等式20OA AB +⋅≤a 的点),(y x A 的集合用阴影表示为第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知向量(3,-2)a =, (31,4)m m =--b ，若⊥a b ，则m 的值为 ． (10) 已知sin 2cos =αα，则tan 2α的值为 ．（11）已知函数⎩⎨⎧>-≤=,0),1(,0,3)(x x f x x x f 则)65(f 的值为 ．（12）在等差数列{}n a 中，若475=+a a ，286-=+a a ，则数列{}n a 的公差等于 ；其前n 项和n S 的最大值为 ．(13) 对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：①)2(+x f 是偶函数；②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数； ③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）(14) 在平面内，已知直线1l ∥2l ，点A 是21,l l 之间的定点，点A 到1l ，2l 的距离分别为 --2FEDBA PC3和2，点B 是2l 上的一个动点，若AB AC ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则△ABC 面积的最小值为____．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin cos 1B B -=．（Ⅰ）若125π=A ，1b =，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求A ．（16）（本小题共13分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设数列{}nc 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ．（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥；（Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD ，并说明理由.（18）（本小题共13分）已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ）(0)m >. （Ⅰ）若1=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点()0,2M 是椭圆的一个顶点，△21MF F 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ， 2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点（2,21--）．（20）(本小题共14分)已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意M x f ∈)(，①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ． （Ⅰ）判断函数4sin 2)(xx x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[]D n m ⊆,，都存在()n m x ,0∈，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立．试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根.东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）34-（11）21- （12）3- 57 （13）①② （14）6 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知1cos sin 3=-B B ，整理得21)6sin(=π-B ． ……………………3分 因为π<<B 0， 所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3π=B . ……………4分由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由BbC c sin sin =，即3sin 14sin π=πc ， 解得36=c . ………………7分 （Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，又32π==B c a ，, 所以21442222⨯-+=c c c b ，解得c b 3=. ………………10分 由此得222c b a +=，故△ABC 为直角三角形，2π=A ．………………13分EDC BAFOP（16）（共13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． ……………8分（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以n c =)111(32)33(21+-=+=n n n n S n ． ………11分故=n T 211111212(1)()()(1)32231313(1)n n n n n ⎡⎤-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦． ………………13分（17）（共14分）证明（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又四边形ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，A AC PA = ， 所以BD ⊥平面PAC , 又EF ⊂平面PAC ,所以EF BD ⊥. ………………7分（Ⅱ）：设AC 与BD 交于O ，当F 为OC 中点，即AC AF 43=时，EF ∥平面PBD ． 理由如下：连接PO ，因为EF //平面PBD ，⊂EF 平面PAC ，平面PAC 平面PBD PO =，所以EF ∥PO ．在△POC 中,E 为PC 的中点， 所以F 为OC 中点．在△POC 中,E ，F 分别为PC ，OC 的中点， 所以EF ∥PO ．又EF ⊄平面PBD , PO ⊂平面PBD ,故EF //平面PBD . ………………14分（18）（共13分） 解：（Ⅰ）当1=m 时，1331(23+-+=x x x x f ），35164382(=+-+=）f . 32('2-+=x x x f ），53442('=-+=）f ． ………3分所以所求切线方程为)2(535-=-x y 即025315=--y x ． ……5分 （Ⅱ）2232('m mx x x f -+=）. 令0('=）x f ，得m x m x =-=或3. ………7分由于0>m ，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：x)3,(m --∞m 3-),3(m m -m),(+∞m)('x f+ 0 — 0 + )(x f单调增极大值单调减极小值单调增所以函数)(x f 的单调递增区间是(,3)m -∞-和(,)m +∞. …………9分 要使)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，应有 1+m ≤m 3- 或 12-m ≥m ，解得m ≤41-或m ≥1． …………11分 又 0m > 且121m m +>-， …………12分所以 1≤2m <．即实数m 的取值范围 {}21<≤m m ． …………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知可得 ()222,28b a b===，所求椭圆方程为22184x y +=． ………5分 （Ⅱ）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2±≠m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,14822m kx y y x 得 ()222124280k x kmx m +++-=． ………7分 则2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++． 由已知1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． ………10分 所以42mk k m -=+，整理得 122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即k y =（21+x ）2-．所以直线AB 过定点（2,21--）． ………12分若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设00(,)A x y ，00(,)B x y -， 由已知0000228y y x x ---+=， 得012x =-．此时AB 方程为12x =-，显然过点（2,21--）． 综上，直线AB 过定点（2,21--）． ………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为①当0=x 时，0)0(=f ，所以方程0)(=-x x f 有实数根0； ②x x f cos 4121)(+='， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈'43,41)(x f ，满足条件1)(0<'<x f ；由①②，函数4sin 2)(xx x f +=是集合M 中的元素. …………7分 （Ⅱ）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根βαβα≠(,），则0)(,0)(=-=-ββf ααf .不妨设βα<，根据题意存在),(βα∈c ， 满足)()()()(c f αβαf βf '-=-.因为αα=)(f ，ββ=)(f ，且βα≠，所以1)(='c f . 与已知1)(0<'<x f 矛盾.又0)(=-x x f 有实数根，所以方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根. …………14分。