2014--朝阳高三数学上期末文科
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷(带解析)
北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习文科数学试卷（带解析）1．已知集合|03}A x x =∈<<N ｛,1|21}x B x -=>｛,则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2【答案】C 【解析】试题分析：1|21}|1}x B x x x -=>=>｛｛，{}|13,}2A B x x x N =<<∈=｛．考点：集合运算．2．已知i 为虚数单位,复数2i1i-的值是（ ） （A ）1i -- （B ）1i + （C ）1i -+ （D ）1i -【答案】C 【解析】 试题分析：()212i 11i 2i i i +==-+-． 考点：复数运算．3．若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）6 【答案】D 【解析】试题分析：由约束条件,1,x y y x +⎧⎪+⎨≤3≤画出可行域，由可行域可知，在()3,0点取得最大值，j4．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”,q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）（A ）p q ∨ （B ）()p q ∨⌝ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】试题分析：“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为P q ∧，而P q ∧的否定是()()p q ⌝∨⌝．考点：逻辑量词．5．执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）（A ）10 （B ）17 （C ）26 （D ）28 【答案】Ｂ 【解析】试题分析：第一次运行后2,3S i ==；第二次运行后5,5S i ==；第三次运行后10,7S i ==；第四次运行后17,9S i ==；此时满足97>，终止运行，故输出17S =考点：算法框图．6．函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()f x 满足，()()22sin sin ()()11x xf x f x x x --==-=-+-+，故函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称可排除,C D ，当2x π=时,函数()02f π>，可排除B ，故选A ．考点：函数的奇偶性，函数图像．7．已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2A B A C -与CA 的夹角是（ ）（A ）30 （B ）60 （C ）90 （D ）120 【答案】C 【解析】试题分析：由题意1AB =，1AC =，1cos 602AB AC AB AC ⋅=︒=，222124444132AB AC AB AB AC AC -=-⋅+=-⨯+=，故23AB AC -=，()21222102AB AC CA AB CA AC ⎛⎫-⋅=⋅+=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以()2cos 2,02AB AC CA AB AC CA AB AC CA-⋅〈-〉==-，故2AB AC -与CA 的夹角是90︒．考点：向量的数量积． 8．如图，梯形ABCD 中，ADBC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠= ,将ABD∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.CBA其中正确命题的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④【答案】Ｂ 【解析】试题分析：①若A D BC '⊥，取BD 的中点O ，由''A D A B =得，'A O BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以'A O ⊥平面BCD ，即'A O BC ⊥，所以BC ⊥平面A BD '，得BC BD ⊥，而45DBC ∠=︒，故命题不成立；②三棱锥A BCD '-的体积为113226V =⨯=，故命题不成立；③因为45BCD ∠=，45DBC ∠=，所以CD BD ⊥，又因为平面A BD '⊥平面BCD ，CD ⊥平面A BD '，故命题成立；④由③知CD ⊥平面A BD '，故'CD A B ⊥，又因为''A D A B ⊥，所以'A B ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故命题成立；由此可得正确命题的序号是③④．182022242628303234C考点：立体几何中垂直问题．9．抛物线28y x =的准线方程是 . 【答案】2x =- 【解析】试题分析：由题意可知28p =，所以22p=，焦点在x 轴的正半轴，故准线方程是2x =-． 考点：抛物线的准线．10．在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分. 【答案】16 【解析】试题分析：设最高分与最低分分别为,x y ，则486490x y +⨯=+⨯，解得49048616x y -=⨯-⨯=．考点：统计，平均值．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =,2c =,60A ∠=，则a =；C ∠= .【答案】30 【解析】试题分析：由余弦定理得，222222cos 42242cos6012a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯︒=，所以a =，由正弦定理得，sin sin c a C A =，即sin 1sin 2c A C a ===，又因为c a <，所以30C =︒．考点：解三角形．12．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．【答案】12；3【解析】211211132S =⨯⨯⨯+⨯⨯+=+8101214161820222411考点：由三视图求面积、体积．13．已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥m 的取值范围是 .【答案】⎡⎣【解析】试题分析：设AB的重点为D ，由22144OD AB +=得，俯视图222211412344OD AB OD OD =+≥+⨯=+，从而得1OD ≤，由点到直线的距离公式可得1m OD =≤，解得m ≤≤考点：直线与圆相交的性质．14．将1，2，3， ，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ． 【答案】二；{}3,4,9【解析】试题分析：由题意，4不能写在第一张卡片上，因为541-=，4不能写在第二张卡片上，因为422-=，故4只能写在第三张卡片上；6不能写在第一张卡片上，因为651-=，6不能写在第三张卡片上，因为633-=，故6只能写在第二张卡片上；8不能写在第二张卡片上，因为862-=，8不能写在第三张卡片上，因为844-=，故8只能写在第一张卡片上；剩余7,9只能放到第二，三张卡片上，7不能写在第三张卡片上，因为743-=，故7只能写在第二张卡片上，剩余9只能放到第三张卡片上，故6应该写在第二张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是{}3,4,9． 考点：逻辑推理．15．已知函数()2sin cos f x x x x =. （1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）(0)f =)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）()fx 取得最小值()f x 取得最大值2． 【解析】试题分析：（1）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间，首先对函数()f x 进行化简，将他化为一个角的一个三角函数，由已知()2sin cos f x x x x =，可用二倍角公式将函数()f x 化为π()2sin(2)3f x x =-，即可求出()2f π的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，由（1）知π()2sin(2)3f x x =-，由π0,2x ≤≤得，ππ2π2333x --≤≤，可利用sin y x =的图像可得，函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．试题解析：（1）因为π()sin 222sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤,k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 8分 （2）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤. 所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x取得最小值当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2. 13分考点：三角函数化简，倍角公式，三角函数的单调性与最值．16．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（1）求a ，b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．【答案】（1）2a =，4b =；（2）3()5P B =．【解析】试题分析：（1）求a ，b 的值，由题意，从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人，可由21()205a P A +==，解出a 的值，从而得b 的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率，这显然是古典概型，由题意，运动协调能力为优秀的学生共有6位，列出从6人中任意抽取2人的方法，得方法数，找出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的方法数，由古典概型，可求出至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．试题解析：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． 5分（2）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ,2324,,M M M M2526,M M M M ,343536,,M M M M M M ,454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ,2526,M M M M ,3536,M M M M ,454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． 13分考点：古典概型． 17．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=.（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ；（2）求证：AO ∥平面1BC D ；（3）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）M 点在线段1C E 上，OM的最小值min 7OM =．【解析】试题分析：（1）求证：11AC ⊥平面11B BDD ，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面11B BDD 找两条相交直线与11AC 垂直，由于底面1111A B C D 为菱形，则1111ACB D ⊥，又1AA ⊥底面ABCD ，得1BB ⊥底面1111A BCD ，即1BB ⊥11AC ，从而得证；（2）求证：AO ∥平面1BC D ，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到O 是11AC 的中点，连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E ，证得四边形1AOC E 是平行四边形，从而得AO ∥1C E ，从而可证AO ∥平面1BC D .；（3）连接OE ，则BD OE ⊥，又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ，得BD ⊥平面1C EO ，由已知可知，BD ∥11B D ，由OM ⊥11B D ，得OM BD ⊥，故M 点一定在线段1C E 上，这样就得到点M 的轨迹，进而可得OM 的最小值.试题解析：（1）依题意, 因为四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以1BB ⊥底面1111A B C D .又11AC ⊂底面1111A B C D ,所以1BB ⊥11AC .因为1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥.而1111BB B D B =，所以11AC ⊥平面11B BDD .4分（2）连接AC ,交BD 于点E ，连接1C E .依题意，1AA ∥1CC ,且11AA CC =，1AA AC ⊥,所以11A ACC 为矩形.所以1OC ∥AE .又11112OC AC =,12AE AC =,11AC AC =, 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形，则AO ∥1C E .又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ,所以AO ∥平面1BC D . 9分（3）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点.分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥.由于BD ∥11B D ,故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥,从而需ME BD ⊥.又在1BC D ∆中，11C D C B =,又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E .故M 点一定在线段1C E 上.当1OM C E ⊥时，OM 取最小值.在直角三角形1OC E 中，1OE =,12OC =,12C E =,所以1min 17OC OE OM C E ⋅==. 14分考点：线面平行的判定，线面垂直的判定．18．设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-. （1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （2）求函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）曲线()y f x =在e x =处的切线方程1e y x =；（2）当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞；（3）实数a 的取值范围为21(,)e +∞.【解析】试题分析：（1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数()f x 求导得1()f x x '=，既得函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =，又(e)1f =，得切点(),1e ，由点斜式可得切线方程；（2）求函数()F x 的单调区间，由题意得，()ln 1F x x ax =--，求函数()F x 的单调区间，先确定函数的定义域为()0,+∞，由于含有对数函数，可对函数()F x 求导得，11()axF x a x x -'=-=，由于含有参数a ，需对a 讨论，分0a ≤，0a >两种情况，从而得函数()F x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解，由（2）可知，当0a >时，函数()F x 的最大值为1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只要1F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭小于零即可，由此可得a 的取值范围．试题解析：(1)1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1e k =.又(e)1f =，所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-,即1e y x= 4分 （2）()ln 1F x x ax =--，11()ax F x a x x -'=-=，（0x >）.①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a <<.综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a +∞. 9分（3）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解.由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数,区间1(,)a +∞上为减函数， 由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a =-⋅-=--<，解得2e a ->.所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞. 13分考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,)2，一个焦点为． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．【答案】（1）椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）||||AB PQ的取值范围为．【解析】试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得c =利用过点，可得221314a b +=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求||||AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2222(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求||PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得||PQ 的长，这样就得||||AB PQ 的取值范围．试题解析：（1）由题意得2222=3,131,4a b a b ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． 4分（2）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14k k +，又点(1,0)P ，所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++．因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为． 14分考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．20．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>. （1）若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==.（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）.【答案】（1）22a b >，（2）10b 是{}n a 中的一项，正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或．【解析】 试题分析：（1）记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠，比较2a 与2b 的大小关系，由已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>，且33a b =，得1313222a a b b a ++==，2b =，当2b =22a b >，当2b =132b b +，从而可比较2a 与2b 的大小关系；（2）若2244,a b a b ==，可得2q =-，(1)3d a q a =-=-，（ⅰ）令10k a b =，由等差数列，等比数列的通项公式，建立方程，解出k ，若是正整数，10b 为数列{}n a 中的某一项，若不是正整数，10b 不是数列{}n a 中的一项，（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合，可由（ⅰ）的方法写出． 试题解析：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（1）2310b b q =>，1313222a a b b a ++==，2213b bb =，2b =当2b =22a b >；当2b =由平均值不等式132b b +，当且仅当13b b =时取等号，而13b b ≠，所以132b b +>即22a b >.综上所述，22a b >． 5分（2）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-.令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =，所以10b 是{}n a 中的一项.（ⅱ）假设mk b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=-当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N .正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N 或. 13分考点：基本不等式，等差数列与等比数列的通项公式．。
北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试数学文试题含答案
北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学试卷（文史类）2014.1（考试时间120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题 共 40分）一、选择题 ：本大题共 8 小题，每题5 分，共 40 分 ．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知会合 Ax log 2 x 0 , 会合 Bx 0 x 1 , 则 A B =A. x x 0B.x x 1 C.x 0 x 1或 x 1D.2.为了获得函数 y2x 2 的图象，能够把函数y 2x 的图象上全部的点A. 向右平行挪动 2 个单位长度开始B ．向右平行挪动1个单位长度C. 向左平行挪动2 个单位长度k=1D. 向左平行挪动 1个单位长度3. 履行以下图的程序框图，输出的 k 值为i=2A. 6B. 24C. 120D. 720k=k ×ii=i+1否i>5?是输出 k结束2x ,x 0, 2 是 f ( a) 4 建立的4.已知函数 f ( x)x则 ax , 0,A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件x y 35. 若实数 x, y 知足2x y 0 ，则 z y x 的最小值为x 0A.B.1C.2D.36. 已知 0π 4 π，且 cos，则 tan() 等于2543A.7B.1C. D.747. 若双曲线 C ： 2x 2y 2m (m 0) 与抛物线 y 216 x 的准线交于 A, B 两点，且 AB 43，则 m 的值是A.116B.80C.52D. 208. 函数 f ( x)x 2 3x 的图象为曲线 C 1 ，函数 g( x) 4 x 2 的图象为曲线 C 2 ，过 x 轴上的动点 M (a,0)(0a 3) 作垂直于 x 轴的直线分别交曲线C ， C 于 A, B 两点，则线段AB 长度的最12大值为A ． 2B ． 4C ． 541D ．8第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5分，共 30 分 . 把答案填在答题卡上 .9.已知数列a n 为等差数列，若 a 1 a 3 a 5 8 ， a 2 a 4 a 620 ，则公差 d．10.已知三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积是；表面积是 .111正视图侧视图俯视图11. 某校为认识高一学生寒假时期的阅读状况，抽查并统计了100 名同学的某一周阅读时间，绘制了频次散布直方图（以下图），那么这100 名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．频次 /组距0.150.140.120.050.0424681012小时12.直线 l ：3x y60 被圆C : x2( y2)2 5 截得的弦 AB 的长是. 113.在△ ABC 中，A120 ， AB AC1，则AB AC； | BC | 的最小值是.14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的（.写出知足条件的图形序号）（ 1）正三角形（ 2）梯形（3）直角三角形（4）矩形三、解答题：本大题共 6 小题，共80分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（此题满分 13 分）已知函数 f ( x)3sin 2x2sin x cos x cos2 x 2 .（Ⅰ）求 f () 的值；4（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最小正周期及单一递加区间.16. （此题满分13 分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在同样的测试条件下，两人 5 次测试的成绩（单位：分）以下表：甲乙第 1 次5865第 2 次5582第 3 次7687第 4 次9285第 5 次8895（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你以为选派谁参赛更好？说明原因（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行剖析，求抽到的两个成绩中起码有一个高于 90 分的概率 .17. （此题满分14 分）如图，在三棱锥 P ABC 中，平面 PAC平面PABC , PA AC，AB BC．设 D ，E分别为 PA，AC 中点 .D（Ⅰ）求证：DE ∥平面 PBC ；E（Ⅱ）求证：BC 平面 PAB;C A （Ⅲ）试问在线段 AB 上能否存在点 F ，使得过三点BD ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点 F 的地点并证明；若不存在，请说明原因．18.（此题满分13 分）已知函数 f (x) x3ax2a2 x ，此中a0 .（Ⅰ）若 f (0) 4 ，求 a 的值，并求此时曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间0,2上的最小值 .19.（此题满分14 分）已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F (2,0), F (2,0) ，一个极点为A(0, 1).12（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）能否存在斜率为k(k0)的直线 l ，使直线l 与椭圆 C 交于不一样的两点M ,N ，知足AM AN .若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明原因.20. （此题满分13 分）n 19n已知数列a n的通项 a n， n N .210(Ⅰ )求a1, a2；（Ⅱ）判断数列a n的增减性,并说明原因；(Ⅲ ) 设b n an 1b n1的最大项和最小项 .a n，求数列b n北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学答案（文史类）2014.1一、：号12345678答案A B C A B D D D二、填空：号91011121314答案4 1 ， 3354102,6（ 1）（ 2）（ 4）62三、解答：15.解：（Ⅰ）依意 f ( x)2sin 2 x sin 2x1sin 2x cos2 x2 sin(2 x) .4f ( ) 2 sin(24)1.⋯⋯⋯⋯ .7 分44（Ⅱ） f ( x) 的最小正周期Τ.当 2kππ2kπππ3πf ( x) 增函数.2x，即 kπx kπ,24288函数 f (x) 的增区kππ3πZ .⋯⋯⋯⋯ .13 分8, kπ, k816 .解：（Ⅰ）茎叶如右所示，由可知，乙的均匀成大于甲的均匀成，且乙的方差小于甲的方差，所以派乙参更好.⋯⋯⋯.6分（Ⅱ）事件 A ：抽到的成中起码有一个高于90 分.从甲、乙两人5次的成中各随机抽取一个成，全部的基本领件以下：58,65 , 58,82 , 58,87 , 58,85 , 58,95 ,55,65 , 55,82 , 55,87 , 55,85 , 55,95 , 76,65 , 76,82 , 76,87 , 76,85 , 76,95 , 88,65 , 88,82 , 88,87 , 88,85 , 88,95 , 92,65 , 92,82 , 92,87 , 92,85 , 92,95 ,甲乙5 8565共 25个.6788275事件 A 包括的基本领件有29558,95 , 55,95 , 76,95 , 88,95 , 92,65 , 92,82 , 92,87 , 92,85 , 92,95共 9个.9，即抽到的成中起码有一个高于90 分的概率9所以 P( A).⋯⋯⋯.13分252517. 明：（Ⅰ）因点 E 是 AC 中点，点 D PA 的中点，所以 DE∥PC．又因 DE面PBC，PC面PBC，所以 DE ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯.4分（Ⅱ）因平面PAC面ABC,平面PAC平面ABC=AC,又PA平面PAC，PA AC ，所以 PA面ABC.所以 PA BC．又因 AB BC ，且 PA AB= A，所以 BC面PAB．⋯⋯⋯.9分（Ⅲ）当点 F 是段 AB 中点，点 D , E , F 的平面内的任一条直都与平面PBC 平行．P 取AB中点F，EF，DF.由（Ⅰ）可知DE ∥平面 PBC ．因点E是AC中点，点F AB的中点，D 所以EF∥BC ．又因 EF平面 PBC ， BC平面 PBC ，C E A所以 EF ∥平面 PBC ．F又因 DE EF= E，B所以平面 DEF ∥平面 PBC ，所以平面 DEF 内的任一条直都与平面故当点F是段 AB中点，点D,E行．PBC 平行．,F 所在平面内的任一条直都与平面 PBC 平⋯⋯⋯.14 分18. 解：（Ⅰ）已知函数 f (x)x3ax2a2 x ，所以 f (x) 3x22ax a2， f(0)a2 4 ，又 a 0 ，所以 a 2 .又 f (1)5, f (1) 5 ，所以曲 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切 方程 5xy 0. ⋯⋯⋯⋯ .⋯..⋯5 分（Ⅱ） x 0,2 ， f ( x)3x 22ax a 2( x a)(3 xa)令 f ( x)0 ， xa, x2 a .13（ 1）当 a 0 ， f (x)3x 20 在 0,2 上恒建立，所以函数f (x) 在区 0,2 上增，所以 f ( x)min f (0) 0 ；（2）当 0a 2 ，在区 [0, a) 上， f( x) 0 ，在区 (a, 2] 上， f (x)0，所以函数 f (x)在区 [0, a) 上 减，在区 (a, 2] 上 增，且 x a 是 0,2上独一极 点，所以 f (x)minf (a)a 3 ；（ 3）当 a2 ，在区 0,2 上， f ( x) 0（ 有当 a 2 f (2) 0 ），所以 f ( x) 在区 0,2 上 减所以函数 f ( x) min f (2)8 4a 2a 2 .上所述，当0 a 2 ，函数 f (x) 的最小 a 3 ，a2 ，函数 f (x) 的最小 84a2a 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分19.解：（Ⅰ） 方程x 2y 2 1( a b0) . 依 意a 2b 2c2 ， b 1，所以 a 2b 2c 23于是 C 的方程x 2y 2 1⋯⋯⋯ .4 分3（Ⅱ）存在 的直l . 依 意，直 l的斜率存在直 l 的方程 ykxm ，x 2y 2 1222由31)x 6kmx得(3k3m 3y kx m因36k 2 m 2 4(3k 2 1)(3m 2 3) 0 得 3k 2 m 21 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①x 1 x 26km2 1 M (x 1, y 1 ), N (x 2 , y 2 ) ， 段 MN 中点 P( x 0 , y 0 ) ，3k233m x 1x 2213k于是 x 03kmm m 3k 2 , y 0 kx 03k 211因 AM AN ，所以 APMN .若 m0 ， 直 l 原点， P(0,0) ，不合 意 .若 m0 ，由 k0 得，y 01 k1 ，整理得 2m 3k 21 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯②x 0由①②知， k 21，所以 1k 1又 k 0 ，所以 k( 1,0) (0,1) .⋯⋯⋯ .14 分20．（Ⅰ） a 1 0.45 , a 2 1.215 .⋯⋯⋯ .2 分（Ⅱ） a n 1 a n(n 0.5)0.9n 1 (n 0.5) 0.9n0.9n (0.9 n 0.45 n 0.5)0.1 0.9n (n 9.5) .当 1 n 9 ， a n 1an0 ， 1n 10 ，数列a n 增数列， n N ;当 n10 ， a n 1a n0 ，数列 a n减数列， nN .⋯⋯⋯ .7 分(Ⅲ )由上 可得， b n an 1a n0.1 0.9n (n9.5) ， nN .令 c nb n 1 ，即求数列c n 的最大 和最小 .b nc nb n 1 0.9 n 8.50.9(11 ) .b nn 9.5 n 9.5数列c 在 1 n 9 减，此 c 9c n 0.9 ，即0.9 c n 0.9 ；n数列 c n 在 n 10 减，此 0.9c n c 10 ，即 0.9c n 2.7 .所以数列c n 的最大 c 102.7 ，最小 c 90.9 .⋯⋯⋯ .⋯ .13 分。
北京市朝阳区2014届高三二模数学(文)试题含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）-、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若全集U a,b,c,d , A a,b , B c，则集合d等于o（3）已知抛物线x2y ,则它的焦点坐标是(A) -,04(B) 0,12(C) 0—4(D) 1,022014. 5(A) e u(AUB) (B) AU B (C) AI B (D) e u(AI B)（2）下列函数中，既是奇函数又在区间（0,）上单调递增的函数为(A) y sin x (B) y ln x (C) y x3(D) y 2x（4）执行如图所示的程序框图•若输入a3,则输出i的值是(A) 2(B) 3(C)(5)由直线x y 1 0 , x y 5 0和x 1 0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为x y 10,x y 1 0,x y 10,x y 1 0, (A) x y 50,(B) x y 5 0,(C) x y 50, (D) x y 5 0x 1.x 1.x 1.x 1.(6)在区间［-,］上随机取一个数x，则事件: a cosx”的概率为1 (A) 14(B)(C) 23(D)-2项和为S n若a1 d, S n 8(7)设等差数列r r. r x _、/■，前nd 的最小值为的公差为d1，则an(A) 10(B) 97(C)- (D)12/2 222(8 )已知平面上点P(x,y)(x x。
)22(y y°) 16,其中2 2 .x0 y0 4当i x0, y变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是(A) 4n (B) 16 n ( C) 32 n (D) 36n第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上•1 2i9•计算1 iuur 1 nm10•已知两点A 1,1 , B 1,2，若BC - BA，则C点坐标是______________ .11.圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x 5相切的圆的方程是___________ •12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是_______ ;表面积正视图侧视图—2俯视图(第12题图)服务时间/小时13•设一列匀速行驶的火车， 通过长860 m 的隧道时，整个车身都在隧道里的时间是 22s .该列 车以同样的速度穿过长 79o m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时 33s ，则这列火车的长度为—m .15.(本小题满分13分)在V ABC 中，a , b , c 分别是角A, B , C 的对边.已知a(I )若b 2 ■■一 2，求角C 的大小;(n)若c 2，求边b 的长.16.(本小题满分13分)某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80小时的社区服务才合格.某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示.(I)求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数；(n)从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取 2人， 求所选学生的参加社区服务时 间在同一时间段内的概率.14.在如图所示的棱长为2的正方体ABCDA i BIC I D I 中，作与平面ACD i平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是 截得的平面图形中面积最大的值是三、解答题：本大题共 6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程C频率服务时间/小时17.(本小题满分14分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 PAD 底面ABCD(I)若 E , F 分别为PC , BD 中点，P求证： EF //平面 PAD ；(n)求证： PA CD ；B E • A(川)若PAPD2AD ,2CJD求证：平面PAB 平面PCD .18.(本小题满分13分)xa e已知函数f(x)( a R ,a 0)x(i)当a 1时，求曲线f (x)在点1, f (1)处切线的方程； (n)求函数f(x)的单调区间；(川)当x 0, 时，若f (x) 1恒成立，求a 的取值范围列｛a n ｝满足：a n f(n) , n N(I)求f (0)及f (1)的值; (n)求数列｛a n ｝的通项公式；1 1(川)若b n ( )an ( )3 an ，试问数列｛b n ｝是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大 4 2项和最小项；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分14分)1已知椭圆C 的中心在原点 0,焦点在x 轴上，离心率为1,右焦点到右顶点的距离为2(I)求椭圆C 的标准方程； (n )若直线| ： mx y 10与椭圆C 交于A, B 两点，是否存在实数m ,uuu uur OA OBuuu uuu .................. OA OB 成立？若存在，m 的值；若不存在，请说明理由20.(本小题满分13分)已知函数f(x)对任意x, y R 都满足f(x y) 1f(…1，且 f (-), 1.使数北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案2014.515.（本小题满分13分）2 3 2、2得 3 sin B ，解得 sin B22品 2彳ac1 由于，所以3 sinC ，解得sinC .sin A sin C22n由于B 为三角形内角， b a ，则 B -,所以C....... 6分43 412（n ）依题意，cos A2 2 2b c a,即 1b 24 12 2.整理得b 2 2b 80 ,2bc24b另解：（I ）解：由正弦定理a bsin A sin B又b 0，所以b 4. ........ 13分由于a c，所以C .6n n 由A —,得B -.3 2由勾股定理b c2 a2，解得b 4.13分16.（本小题满分13分）解：（I）由题意可知，参加社区服务在时间段［90,95）的学生人数为20 0.04 5 4 （人），参加社区服务在时间段［95,100］的学生人数为20 0.02 5 2 （人）•所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2 6 （人）•..... 5分（n）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A •由（I）可知，参加社区服务在时间段［90 ,95）的学生有4人，记为a,b,c,d ；参加社区服务在时间段［9 5,100］的学生有2人，记为A, B •从这6人中任意选取 2 人有ab,ac,ad ,a代aB, bc, bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB, AB 共15种情况.事件A包括ab,ac,ad,bc, bd,cd, AB共7种情况.所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率17.（本小题满分14分）证明：（I）如图，连结AC .因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分.又因为F是BD中点，所以F是AC中点.在厶PAC中，E是PC中点，F是AC中点,所以EF // PA.又因为EF 平面PAD , PA 平面PAD ,所以EF //平面PAD .(n)因为平面PAD 底面ABCD , 且平面PAD I平面ABCD=AD ,又CD AD,所以CD 面PAD .又因为PA 平面PAD ,所以CD PA .即PA(川)在厶PAD中，因为PA PD -2 AD , 2所以PA PD •由(n)可知PA CD ,CDI PD=D ,所以PA平面PCD •又因为PA 平面PAB ,所以面PAB 平面PCD •14分18.(本小题满分13分)f (x)x xax e ae2xae^,x 0.x1时, f (x)e x(x 1)依题意f (1) 即在x 1处切线的斜率为0.把x 1代入f(x)x—中，得f(1) e. x则曲线f (x)在x 1处切线的方程为y e..4分f (x)的定义域为x x 0 .由于f (x)ax e ae2 x(1 )若a0,当f (x)0 , 即x 1时，i当f (x)0 , 即x0和0ae x(x 1)函数f (x)为增函数;x 1时，函数f (x)为减函数•函数x x (2)若a 0,当f (x) 0,即x 0和0 x 1时，函数f(x)为增函数;当f (x)0,即x 1时，函数f (x)为减函数.综上所述，a 0时，函数f (x)的单调增区间为 1, ;单调减区间为,0 , 0,1 .a 0时，函数f (x)的单调增区间为，0 , 0,1 ；单调减区间为1,. (9)xa ex(川)当x 0, 时，要使f(x)1恒成立，即使a x 在x 0, 时恒成xe、 x 1 x立•设g(x) x ，则g (x) x .可知在0 x 1时，g (x)0 , g(x)为增函数；e e11x 1 时，g (x)0 , g(x)为减函数则 g(x)max g(1)•从而 a . e e另解：(1)当a 0时，f(a) e a 1，所以f (x) 1不恒成立•⑵当a 0且x 0, 时，由(i)知，函数 f(x)的单调增区间为1, 0,1 .所以函数f (x)的最小值为f ⑴ ae ，依题意f ⑴ ae 1,1解得a — •e1 综上所述，a . (13)e19.(本小题满分14分)2x (i)设椭圆C 的方程为r2y 21 ab 2b 0，半焦距为c .ac 1e,a 2解得 a c 1.所以 b 2 a 2 c 2 3依题意c 1 , a2,2 2所以椭圆C 的标准方程疋1.43 (4)uuu uuu uuu(n)不存在实数 m ，使I OA OB | | OAmx 1代入椭圆C ：3x 2 4y 212 中，整理得(3 4m 2)x 2 8mx 80.由于直线I 恒过椭圆内定点0, 1，所以判别式0.单调减区间为uuuOB |，证明如下:当f (x) 0,即x 0和0 x 1时，函数f(x)为增函数;设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2)，则 ％ uuu uuu uuu 依题意，若|0A OB| |OA 8m 即 X 1X 2 y i y 2 x-i X 2 ( mx j X 2 2 必 X 2 4m 3 uuu uuu uuu OB |，平方得OA OB 1)( mx 2 1) 0, 2 整理得(m 1)x 1x 2 m(x 1 x 2) 1 0, 4m 2 3 0. 2 8 8 m 2 所以(m 2 1) 2 2 1 0, 4 m 2 3 4m 2 3 2 5 整理得m 2 —，矛盾. 12uuu umr mu uuu 所以不存在实数 m ，使|OA OB||OA OB |. ............. .14分 解：（I ）在 f(x y) f(x) f (y) 1 中，取 x y 0 ,得 f (0) 1 , 在f (X y) f(x) f (y) 1 中, 1 取 x y ｛，得 f(1) 1, ........ 2 分 (□)在 f(x y) f(x) f(y) 1 中，令 x n , y 1, 得f(n 1) f(n) 2，即 a n 1 a n 2. 20.(本小题满分13分)所以｛a n ｝是等差数列，公差为2,又首项C f （1） 1，所以a n 2n — N （川）｛b n ｝存在最大项和最小项 令 t (1)an (1)2n 1，则 b n t 2 ft 2 2 8 1 显然0 t 2，又因为n N ,(t 1 256 13 所以当t 1，即n 1时，g ｝的最大项为b 石 1 当t 32，即n 3时，｛b n ｝的最小项为b 3 3 1024 13分。
2014北京市朝阳区高三二模文科数学试题和答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为（A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．22俯视图侧视图正视图13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．A17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若PA PD AD ==， 求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N . （Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值; （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.A北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案 2014.5二、填空题（满分30分）三、解答题（满分80分） 15. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a bA B=，=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. ………13分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，A所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． ………9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． ………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x-'=. 依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()e xxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数；1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． ………………….13分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三第二次综合练习 文科数学 Word版含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð （2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2x y = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为 （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .22俯视图侧视图正视图（第12题图）14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =.（Ⅰ）若b =C 的大小；（Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，AA求证：平面PAB ⊥平面PCD ．18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()na f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习15. （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，得=，解得sin 2B =. 由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =.由勾股定理222b c a =+，解得4b =. …13分 16. 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，APA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ， 所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． …9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==，所以PA PD ⊥． 由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CDPD D ，所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． …14分18. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠.当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.（2）若0a <， 当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1xa x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)eg x g ==.从而1e a ≥.另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1e a ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 19. （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. 解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
【2014朝阳二模】北京市朝阳区2014届高三二模数学(文)试题
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2014．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于 （A ）()U AB ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U A B ð（2）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（A ） sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ） 2xy = （3）已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（A ）1,04⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5（5）由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩（6）在区间ππ[-,]上随机取一个数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为 （A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12（7）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n nS a +的最小值为 （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+ ( 8 )已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是(A) 4π (B) 16π ( C) 32π （D ）36π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.计算12i1i+=- . 10.已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点坐标是 . 11.圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ． 12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，其体积是 ；表面积是 ．22俯视图侧视图正视图（第12题图）13.设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m .14.在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中面积最大的值是___； 截得的平面图形中面积最大的值是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =，π3A =.（Ⅰ）若b =，求角C 的大小； （Ⅱ）若2c =，求边b 的长. 16. （本小题满分13分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．A17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若PA PD AD ==， 求证：平面PAB ⊥平面PCD ． 18.（本小题满分13分）已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，若()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使OA OB OA OB +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N . （Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;A（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅲ）若311()()42n naa nb +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试文史类答案 2014.5一、选择题（满分40分）三、解答题（满分80分） 15. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a bA B=， =，解得sin B =由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. ………6分 （Ⅱ）依题意，222cos 2b c a A bc +-=，即2141224b b+-=.整理得2280b b --=， 又0b >，所以4b =. ………13分另解：由于sin sin a cA C=2sin C =，解得1sin 2C =. 由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. ………13分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． ………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =．………13分 17. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．A因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ………4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． ………9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以面PAB ⊥平面PCD ． ………14分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. ………………….4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.由于22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.………………….9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x ⋅≥恒成立，即使ex xa ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()exxg x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥. 另解：(1)当0a <时，()e 1af a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． ………………….13分 19. （本小题满分14分）（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c .依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ………………….4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=. 即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=, 整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ………………….14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，…………2分 （Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . …………6分 （Ⅲ）{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na n t -==，则22111()816256nb t t t =-=--， 显然102t <≤，又因为N n *∈， 所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =. 当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-. …………13分。
2013—2014学年高三上学期期末考试数学(文)试题含答案解析
2013—2014学年高三上学期期末考试数学（文）试题本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文宇信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.第I 卷参考公式： 样本数据的标准差锥体体积公式其中为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S 为底面面积，h 为髙 其中R 为球的半径—、选择题 (毎小题5分,共60分）1. 设函数的定义域为M,集合，则=A. B. NC.D.M 2. 计箅的结果等于A. B.C.D.3. 三边长分别为1,1，的三角形的最大内角的度数是A.600 B 90C 120°D 1350已知向量，若，则向量m 与向量n 夹角的余弦值为A.B.C.D.5.下列命题说法的是A. 命题“若a>b ，则”的否命题为：“若，则”B. “a>b ”是“”的充要条件C. 对于命题P,Q ，若P Q 为假命题,则命题P 、q 至少有一个为假命题D. 对于命题，使得”,则，均有”6（ ）A ．2正(主)视图 侧B ．1C ．23D ．137.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）50408.设22)1(则,305满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-的最大值为 （ ）A ． 80B ．C ． 25D ．1729.已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π410.已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题：①函数y f x =()是周期函数；②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么的最大值为4；④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有 （ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11. 设)0(25)(,12)(2>-+=+=a a ax x g x x x f ，若对于任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则a 的取值范围是（A ）[)+∞,4 （B ）⎥⎦⎤⎝⎛25,0 （C ）]4,25[ （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2512.数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷 （非选择题 ，共 90 分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13. 若复数（i 为虚数单位)为实数,则实数___________.14. 设抛物线的焦点为F ，则点F 的坐标为______.15. 甲、乙两名同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图所示，请你根据茎业图判断谁的平均分高______(填“甲”或“乙”）16. 设是R 上的奇函数,且，当x>0时，，则不等式的解集为______.三、解答翅(共70分）17. (本小题满分12分）已知数列满足，且.(I )求数列{a n }的通项公式(I )若，求数列的前n 项和.18. (本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解，训练对提髙‘数学应用题得分率作用”的试验,其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学,无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后,统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.(I )试分别估计两个班级的优秀率；(II)由以上统计数据填写下面2 X 2列联表，并问是否有"5匁的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提商‘数学应用题’得分率”有帮助.参考公式及数据：，19.（本小题满分12分）某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？20.（本小题满分12分）设函数f(x)＝ax2＋bx＋k(k>0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝e xf(x)，讨论g(x)的单调性．21. (本小题满分12分〉在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)为动点，已知点I,直线PA与PB 的斜率之积为定值.(I)求动点P的轨迹E的方程；(I I)若F(1,0),过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程.22. 选修4_1:(本小题满分10分)几何证明选讲如图，在厶ABC中，为钝角，点是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM.(I )求证:E、H、M、K四点共圆；（II）若KE=EH,CE=3求线段 KM的长.文科数学参考答案一、选择题1-12 BACDB CBAAD CD二、填空题 二、填空题 13.； 14.1(0,)16； 15.乙； 16.(,1)(0,1)-∞-⋃. 三、解答题17.解：⑴由112(2)n n n a a a n -++=≥知，数列{}n a 是等差数列， 设其公差为d ，------------------- 2分则5371()92a a a =+=， 所以5124a a d -==，----------- 4分1(1)21n a a n d n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．------------------- 6分 ⑵1(21)2n n c n -=-⋅，1230121 =123252(21)2.n nn T c c c c n -=++++⨯+⨯+⨯++-⨯1212 1232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，相减得 123112(2222)(21)2n n n T n --=+++++--⋅ ，------------ 9分整理得 2212(21)2(23)2312nn n n T n n --=+⨯--⋅=--⋅--，所以(23)23n n T n =-⋅+．------------------- 12分 18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，------------------- 1分甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50=，----------- 2分 乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50=，----------- 4分所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．------------------- 5分 ⑵---------- 7分注意到22100(30252025)1001.0105050554599K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，---------------- 11分所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. ------------------- 12分 ＝275＋2.75＝277.75.(2)第一种：年平均盈利为y x ，y x ＝－2x －98x ＋40≤－22x ·98x ＋40＝12，当且仅当2x ＝98x，即x ＝7时，年平均利润最大，共盈利12×7＋26＝110万元．第二种：盈利总额y ＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102＋8＝110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．20.解：(1)因f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k >0)， 故f ′(x )＝2ax ＋b ， 又f (x )在x ＝0处取得极值， 故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0相互垂直， 可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，有2a ＝2，从而a ＝1. (2)由(1)知，g (x )＝e xx 2＋k (k >0)，g ′(x )＝e x (x 2－2x ＋k )(x 2＋k )2(k >0)．令g ′(x )＝0，有x 2－2x ＋k ＝0(k >0)．①当Δ＝4－4k <0，即k >1时，g ′(x )>0在R 上恒成立，故函数g (x )在R 上为增函数． ②当Δ＝4－4k ＝0，即k ＝1时，有g ′(x )＝e x (x －1)2(x 2＋1)2>0(x ≠1)，从而当k ＝1时，g (x )在R上为增函数，21.12=-，----------- 2分整理得2212xy+=，所以所求轨迹E的方程为221(0)2xy y+=≠，------ 4分⑵当直线与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线与x轴垂直时，:1l x=，此时(1,M N，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±，不合题意；--------------- 6分当直线与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)l y k x k=-≠，1122(,),(,),M x y N x y MN的中点1212(,(1))22x x x xQ k++-，由22(1),1,2y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y得2222(21)4220k x k x k+-+-=，由12xx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得212221224,2122,21kx xkkx xk⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩-------------------8分所以2222(,)2121k kQk k-++，则线段MN的中垂线m的方程为：22212()2121k ky xk k k+=--++，整理得直线2:21x km yk k=-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k +，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥,即112222(,)(,)02121kkRM RN x y x y k k ⋅=-⋅-=++，----------------10分 2121212222()021(21)kk x x y y y y k k +-++=++， ① 由22121212212122[()1],212(2),21k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎪⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩② 将②代入①解得 1k =±，即直线的方程为(1)y x =±-，综上，所求直线的方程为10x y --=或10x y +-=．------------12分 选做题22.证明：⑴连接CH ，,AC AH AK AE == ， ∴四边形CHEK 为等腰梯形， 注意到等腰梯形的对角互补，故,,,C H E K 四点共圆，----------- 3分同理,,,C E H M 四点共圆，即,,,E H M K 均在点,,C E H 所确定的圆上，证毕．--------------- 5分⑵连结EM ，由⑴得,,,,E H M C K 五点共圆，----------- 7分 CEHM 为等腰梯形，EM HC ∴=， 故MKE CEH ∠=∠，由KE EH =可得KME ECH ∠=∠， 故MKE CEH ∆≅∆，即3KM EC ==为所求． -------------------10分。
北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷(带解析)
北京市朝阳2014届高三二模文科数学试卷（带解析）1．若全集{},,,U a b c d =，{},A a b =，{}B c =，则集合{}d 等于（ ）（A ）()U A B ð （B ）A B （C ）A B （D ）()U AB ð 【答案】A 【解析】 试题分析：因为{,,}A B a b c =,所以()U A B ð{}.d =而A B .φ=()U AB ð.U =所以选A.考点：集合运算2．下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）3y x = （D ）2x y = 【答案】C【解析】试题分析：sin y x =是奇函数但在区间0,+∞（）上不是单调函数．ln y x =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数，3y x =既是奇函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数，2xy =在区间0,+∞（）上单调递增但不是奇函数.考点：函数奇偶性及单调性3．已知抛物线22x y =,则它的焦点坐标是（ ）（A ）1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0,),2p 所以抛物线22x y =的焦点坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：抛物线焦点4．执行如图所示的程序框图．若输入3a =,则输出i 的值是（ ）（A ）2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5 【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环，9,1,a i ==第二次循环，21,2,a i ==第三次循环，45,3,a i ==第四次循环，93,4,a i ==结束循环，输出 4.i = 考点：循环结构流程图5．由直线10x y -+=，50x y +-=和10x -=所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为（ ） （A ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （B ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ （C ）10,50,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩ （D ）10,50,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩【答案】A 【解析】试题分析： 由题意得：所围成的三角形区域在直线10x y -+=的上方，直线50x y +-=的下方，及直线10x -=的右侧，所以10x y -+≤，50x y +-≤，10.x -≥ 考点：不等式组表示平面区域6．在区间ππ[-,]上随机取一个实数x ，则事件：“cos 0x ≥”的概率为（ ）（A ）14 （B ） 34 （C ）23 （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：由cos 0x ≥，x ∈ππ[-,]得：[,]22x ππ∈-，所以事件：“cos 0x ≥”的概率为()122.()2ππππ--=-- 考点：几何概型概率7．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若11a d ==，则8n n S a +的最小值为（ ） （A ）10 （B ）92 （C ）72 （D）12+【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：(1),2n n n n a n S +==，所以8n n S a+1819.222n n +=+≥+=当且仅当4n =时取等号.因此8n n S a +的最小值为92.考点：基本不等式求最值8．已知平面上点{2200(,)()()16,P x y x x y y ∈-+-=其中}22004x y +=，当0x ，0y 变化时，则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是（ ）(A ）4π (B ）16π ( C ）32π （D ）36π 【答案】C 【解析】试题分析：圆心00(,)x y 在圆224x y +=上运动 一周，点P 在平面上所组成图形为以坐标原点为圆心，6为半径的实心圆减去以坐标原点为圆心，2为半径的实心圆的一个圆环，面积是226232πππ-=.考点：圆的方程，动点轨迹9．计算12i1i +=- . 【答案】13i 22-+【解析】 试题分析：12i (12i)(1+i)13.1i (1i)(1+i)2i++-+==-- 考点：复数运算10．已知两点()1,1A ，()1,2B -，若12BC BA =，则C 点的坐标是 . 【答案】30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：设C 点的坐标是(,)x y ，则由12BC BA =得1(1,2)(11,12),2x y +-=+-即30,.2x y ==C 点的坐标是30,2⎛⎫⎪⎝⎭.考点：向量坐标运算11．圆心在x 轴上，半径长是4，且与直线5x =相切的圆的方程是 ．【答案】()22116x y -+=和()22916x y -+=【解析】试题分析：设圆心为(),a b ，因为与直线5x =相切，所以|5|4,1a r a -===或9.a =因此圆的方程是()22116x y -+=和()22916x y -+=考点：圆的标准方程12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．【答案】3, 【解析】2的正方形．因此体积为21223⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图 13．设一列匀速行驶的火车，通过长860m 的隧道时,整个车身都在隧道里的时间是22s .该列车以同样的速度穿过长790m 的铁桥时，从车头上桥，到车尾下桥，共用时33s ，则这列火车的长度为___m . 【答案】200 【解析】试题分析：设这列火车的长度为xm ，则由题意得：860790,200.2233x xx -+==.考点：实际问题应用题14．在如图所示的棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，作与平面1ACD 平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是___；截得的平面图形中，面积最大的值是___.AC【答案】【解析】试题分析：截得的三角形中，面积最大的是三角形11ACB ，面积为2=的平面图形中，面积最大的是正六边形，如图，面积为26=考点：空间想象15．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A B C ，，的对边.已知a =π3A =. （1）若b =C 的大小； （2）若2c =，求边b 的长. 【答案】（1）,125π（2）4b =. 【解析】 试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由正弦定理由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=.（2）由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得2141224b b +-=整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =.本题也可由正弦定理sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =.由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =.（1由于B 为三角形内角，b a <，则4B π=，所以3412C ππ5π=π--=. 6分（2）依题意，222cos 2b c a A bc+-=，即2141224b b +-=.整理得2280b b --=，又0b >，所以4b =. 13分另解： 由于sin sin a c A C =2sin C=，解得1sin 2C =.由于a c >,所以π6C =. 由π3A =，得π2B =. 由勾股定理222b c a =+，解得4b =. 13分考点：正余弦定理16．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段75,80),80,85),[85,90),[90,95),[95,100][[（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【答案】（Ⅰ）6,（Ⅱ）7.15【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人），参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）．（Ⅱ）解概率应用题，要注意“设、列、解、答”. 设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ；参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B .从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,a b ac ad a A a B b c b d b A b B c d共15种情况．事件A 包括,,,,,,a b a c a d b c b d c d AB 共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90,95)的学生人数为200.0454⨯⨯=（人）， 参加社区服务在时间段[95,100]的学生人数为200.0252⨯⨯=（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+26=（人）． 5分 （Ⅱ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件A ． 由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段,95)[90的学生有4人，记为,,,a b c d ； 参加社区服务在时间段5,100[9]的学生有2人，记为,A B ．从这6人中任意选取2人有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 共15种情况．事件A 包括,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率7()15P A =． 13分 考点：频率分布直方图,古典概型概率17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）若E ，F 分别为PC ，BD 中点，求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；（Ⅲ）若2PA PD AD ==，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．A【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为PC ，BD 中点，在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PBC ，PA ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ，又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直. 在△PAD中，因为2PA PD AD ==，所以PA PD ⊥．由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=C D P D D ， 所以PA ⊥平面PCD ．又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PC 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PA ．又因为EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 4分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面=ABCD AD ， 又CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥面PAD ． 又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥．即PA ⊥CD ． 9分（Ⅲ）在△PAD 中，因为PA PD AD ==， 所以PA PD ⊥． 由（Ⅱ）可知PA ⊥CD ，且=CD PD D ，所以PA ⊥平面PCD ． 又因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 14分 考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理与判定定理18．已知函数e ()xa f x x⋅=（a ∈R ,0a ≠）.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()f x 1≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）e y =,（Ⅱ）0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1.0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞.（Ⅲ）1ea ≥ 【解析】试题分析：（Ⅰ））利用导数的几何意义，在1x =处切线的斜率为0即为(1).f '因为22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==，所以当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.(1)0f '=，又(1)e f =，则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. （Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域{}0x x ≠，再导数值的符号确定单调区间. （1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数.若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. 当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x ⋅≥恒成立，即使e x xa ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e xx g x =，易得max 1()(1)e g x g ==，从而1ea ≥. （Ⅰ）22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==,0x ≠. 当1a =时，2e (1)()x x f x x -'=.依题意(1)0f '=，即在1x =处切线的斜率为0.把1x =代入e ()xf x x=中，得(1)e f =.则曲线()f x 在1x =处切线的方程为e y =. .4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠.22e e e (1)()x x x ax a a x f x x x ⋅--'==.（1）若0a >，当()0f x '>，即1x >时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即0x <和01x <<时，函数()f x 为减函数. （2）若0a <，当()0f x '>，即0x <和01x <<时，函数()f x 为增函数；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 为减函数.综上所述，0a >时，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞；单调减区间为(),0-∞，()0,1. 0a <时, 函数()f x 的单调增区间为(),0-∞，()0,1;单调减区间为()1,+∞. .9分（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，要使()f x =e 1x a x⋅≥恒成立，即使e x x a ≥在()0,x ∈+∞时恒成立. 设()e x x g x =，则1()ex x g x -'=.可知在01x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数； 1x >时，()0g x '<，()g x 为减函数.则max 1()(1)e g x g ==.从而1ea ≥. 另解：(1)当0a <时，()e 1a f a =<，所以()f x 1≥不恒成立.(2)当0a >且()0,x ∈+∞时，由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1.所以函数()f x 的最小值为(1)e f a =，依题意(1)e 1f a =≥，解得1ea ≥. 综上所述，1ea ≥． .13分 考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l 10mx y ++=与椭圆C 交于,A B 两点，是否存在实数m ，使O A O B O A O B +=-成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=,（Ⅱ）不存在. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由..及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=.整理得2512m =-，矛盾． （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意1,21.c e a a c ⎧==⎪⎨⎪-=⎩ 解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. .4分 （Ⅱ）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-，证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. 由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+,122843x x m -⋅=+. 依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=.即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=,整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+, 整理得2512m =-，矛盾． 所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. .14分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且1()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*n ∈N .（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值;（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）若311()()42n n a a n b +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）(0)1f =-,(1)1f =,（Ⅱ）21na n =-,（Ⅲ）当12t =，即1n =时，{}nb 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-.【解析】试题分析：（Ⅰ）对应抽象函数，一般方法为赋值法. 在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =，（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N .（Ⅲ）研究数列{}nb 是否存在最大项和最小项，关键看通项公式的特征.令2111()()22n a n t -==，则22111()816256n b t t t =-=--，显然102t <≤，又因为N n *∈，所以当12t =，即1n =时，{}n b 的最大项为1316b =.当132t =，即3n =时，{}n b 的最小项为331024b =-解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-，在()()()1f x y f x f y +=++中，取12x y ==，得(1)1f =， 2分（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =，得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=. 所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*n ∈N . 6分（Ⅲ）数列{}n b 存在最大项和最小项令2111()()22na nt-==，则22111()816256nb t t t=-=--，显然12t<≤，又因为Nn*∈，所以当12t=，即1n=时，{}n b的最大项为1316b=.当132t=，即3n=时，{}n b的最小项为331024b=-. 13分考点：等差数列，赋值法研究抽象函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}2log 0A x x =≥,集合{}01B x x =<<,则A B =A.}{0x x >B. }{1x x >C. }{011x x x <<>或 D. ∅ 2.为了得到函数22y x =-的图象，可以把函数2y x =的图象上所有的点 A. 向右平行移动2个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C. 向左平行移动2个单位长度 D. 向左平行移动1个单位长度3. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A. 6B. 24C. 120D.7204.已知函数2,0,()0,xx f x x ⎧≥⎪=<则2a =是()4f a =成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若实数,x y 满足3200x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最小值为A. 0B. 1C. 2D. 3 6. 已知π02α<<，且4cos 5α=，则πtan()4α+等于 A. 7- B. 1- C. 34D. 77. 若双曲线C ：222(0)x y m m -=>与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，且AB =m 的值是A. 116B. 80C. 52D. 208. 函数2()3f x x x =-的图象为曲线1C ，函数2()4g x x =-的图象为曲线2C ，过x 轴上的动点(,0)(03)M a a ≤≤作垂直于x 轴的直线分别交曲线1C ，2C 于,A B 两点，则线段AB 长度的最大值为A ．2B ．4C ． 5D ．418第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知数列{}n a 为等差数列，若1358a a a ++=，24620a a a ++=，则公差d = ． 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 .11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．12.直线l：360x y --=被圆:C ()221(2)5x y -+-=截得的弦AB 的长是.俯视图侧视图正视图0.040.05 0.1213.在△ABC 中， ︒=∠120A ，1AB AC ⋅=- ，则A B A C =；||BC的最小值是 .14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形 （2）梯形 （3）直角三角形 （4）矩形三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本题满分13分）已知函数22()3sin 2sin cos cos 2f x x x x x =++-. （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.16. （本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试.在相同的测试条件下，两人5次测试（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于90分的概率.17. （本题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，平面PAC ⊥平面ABC ,PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ;（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．18.（本题满分13分）DEBAPC已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.（Ⅰ）若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最小值. 19.（本题满分14分）已知椭圆C两焦点坐标分别为1(F,2F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.20. （本题满分13分）已知数列{}n a 的通项19210nn a n ⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n *∈N .(Ⅰ)求12,a a ；（Ⅱ）判断数列{}n a 的增减性,并说明理由； (Ⅲ) 设1n n n b a a +=-，求数列1n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项和最小项.北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类） 2014.1参考答案 一、选择题：二、填空题：9、4；10、 16，32+；11、54；12、13、；14、（1）（2）（4）；三、解答题：15.解：（Ⅰ）依题意2()2sin sin 21f x x x =+-=sin 2cos2x x -=)4x π-.则())1444f πππ=⨯-=. ………….7分（Ⅱ）()f x 的最小正周期Τ2π==π2.当ππ2π22242k x k ππ-≤-≤+时，即π3πππ88k x k -≤≤+时,()f x 为增函数.则函数()f x 的单调增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………….13分 16 . 解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好. ……….6分 （Ⅱ）设事件A ：抽到的成绩中至少有一个高于90分.从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}58,65,58,82,58,87,58,85,58,95,55,65,55,82,55,87,55,85,55,95,76,65,76,82,76,87,76,85,76,95,88,65,88,82,88,87,88,85,88,95,92,65,92,82,92,87,92,85,92,95,共25个.事件A 包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}{}{}{}58,95,55,95,76,95,88,95,92,65,92,82,92,87,92,85,92,95共9个. 所以9()25P A =，即抽到的成绩中至少有一个高于90分的概率为925. ……….13分 17. 证明：（Ⅰ）因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以DE ∥PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ． ………….4分 （Ⅱ）因为平面PAC ⊥面ABC , 平面PAC 平面ABC =AC ,又PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，所以PA ⊥面ABC .所以PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，且PA AB=A ，所以BC ⊥面PAB ． ……….9分8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． 取AB 中点F ，连EF ，连DF . 由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点， 所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ． 又因为DE EF =E ， 所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．故当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 所在平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． ……….14分 18. 解：（Ⅰ）已知函数322()f x x ax a x =--，所以22()32f x x ax a '=--，2(0)4f a '=-=-， 又0a ≥，所以2a =. 又(1)5,(1)5f f '=-=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为50x y +=. ………….…..…5分（Ⅱ）[]0,2x ∈，22()32()(3)f x x ax a x a x a '=--=-+令()0f x '=，则12,3ax x a =-=. （1）当0a =时，2()30f x x '=≥在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在区间[]0,2上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==；（2）当02a <<时，在区间[0,)a 上，()0f x '<，在区间(,2]a 上，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[0,)a 上单调递减，在区间(,2]a 上单调递增，且x a =是[]0,2 上唯一极值点，所以3min ()()f x f a a ==-；（3）当2a ≥时，在区间[]0,2上，()0f x '≤（仅有当2a =时(2)0f '=），所以()f x 在区间[]0,2上单调递减所以函数2min ()(2)842f x f a a ==--.综上所述，当02a ≤<时，函数()f x 的最小值为3a -，2a ≥时，函数()f x 的最小值为2842a a -- ………………13分19.解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>.则依题意c =，1b =，所以2223a b c =+=于是椭圆C 的方程为2213x y += ……….4分（Ⅱ）存在这样的直线l . 依题意，直线l 的斜率存在设直线l 的方程为y kx m =+，则由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(31)6330k x kmx m +++-= 因为2222364(31)(33)0k m k m ∆=-+->得22310k m -+>……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)P x y ，则12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000223,3131km mx y kx m k k =-=+=++ 因为AM AN =，所以AP MN ⊥.若0m =，则直线l 过原点，(0,0)P ，不合题意.若0m ≠，由0k ≠得，0011y k x +=-，整理得2231m k =+………………② 由①②知，21k <， 所以11k -<<又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈- . ……….14分 20．（Ⅰ）10.45a =,2 1.215a =. ……….2分 （Ⅱ）11(0.5)0.9(0.5)0.9n n n n a a n n ++-=+⋅--⋅0.9(0.90.450.5)nn n =+-+ 0.10.9(9.5)nn =-⨯⨯-.则当19n ≤≤时，10n n a a +->，则110n ≤≤时，数列{}n a 为递增数列，n *∈N ;当10n ≥时，10n n a a +-<，数列{}n a 为递减数列，n *∈N . ……….7分(Ⅲ)由上问可得，10.10.9(9.5)nn n n b a a n +=-=-⨯⨯-，n *∈N .令1n n nb c b +=，即求数列{}n c 的最大项和最小项. 则18.50.99.5n n n b n c b n +-==⋅-=10.9(1)9.5n +-. 则数列{}n c 在19n ≤≤时递减，此时90.9n c c ≤<，即0.90.9n c -≤<； 数列{}n c 在10n ≥ 时递减，此时100.9n c c <≤，即0.9 2.7n c <≤.因此数列{}n c 的最大项为10 2.7c =，最小项为90.9c =-. ……….….13分。