初三数学练习(4)
中考数学试卷4(含答案解析).docx
中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. （3 分）（2019・广州）| - 6|=（ ）A. - 6B. 6C.-丄D.丄6 62. （3分）（2019・广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试 点建设的长度分别为（单位：千米）：5, 5.2, 5, 5, 5, 6.4, 6, 5, 6.68, 48.4, 6.3,这 组数据的众数是（ ） 3. （3分）（2019•广州）如图，有一斜坡AB,坡顶B 离地面的高度BC 为30,”，斜坡的倾 斜角是"AC,若taS 送，则此斜坡的水平距离AC 为（的切线条数为（ ）6. （3分）（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120 个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的 是（A. 120 = 150B. 120 ==150Xx-8 x+8XC. 120= 150D. 120 ==150 x-8XXx+87. （3分）（2019・广州）如图，口ABCD 中，对角线AC, BD 相交于点O, 且E, F, G, H 分别是AO, BO, CO, DO 的中点，则下列说法正确的是（）A. 5B. 5.2C. 6D. 6.4B. 50mC. 30mD. 12m4. （3分）（2019•广州）下列运算正确的是（ A. - 3 - 2= - 1C. x 3*x 5=x 15B. 3X （-丄）2=-丄335. （3分）（2019・广州） 平面内，OO 的半径为1,点P 到O 的距离为2,过点P 可作OOA. 0条B. 1条C. 2条D.无数条A. 75mA.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC±BDD.AABO的面积是△EFO的面积的2倍& （3分）（2019•广州）若点A （ - 1, yi）, B（2,加，C（3,加在反比例函数■的x 图象上，则yi, y2,丁3的大小关系是（）A. y3<j2<yiB. yi<yi<y3C. yi<y3<j2D. yi<j2<j39.（3分）（2019•广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC, AD于点E, F,若BE=3, AF=5,则AC的长为（）10.（3分）（2019・广州）关于x的一元二次方程（^ - 1）x-k+2=0有两个实数根xi,XI,若（M1 - X2+2）（XI - X2 - 2）+2X1X2= - 3,则斤的值（）A. 0 或2B. - 2 或2C. - 2D. 2二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.（3 分）（2019・广州）如图，点A, B, C 在直线/上，PBM, PA^6cm, PB=5cm, PC=7cm,则点P到直线/的距离是_________ cm.12.（3分）（2019・广州）代数式丿=有意义时，x应满足的条件是________ .13.（3 分）（2019・广州）分解因式：x2y+2xy+y= ____ .14.（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a （0°B 重合），ZDAM=45°，点F 在射线AM 上，且CF 与AD 相交于点G, 连接EC, EF, EG,则下列结论：①ZECF=45° ； @/\AEG 的周长为（1+V2） a ；③BEZ+DG^EG 2；（4）A£AF 的面2 「 积的最大值丄#.8其中正确的结论是 _______ •（填写所有正确结论的序号）三、解答题（共9小题，满分102分）17. （9分）（2019・广州）解方程组：JxVFl .Ix+3y=918. （9 分）（2019・广州）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E, DE=FE, FC//AB, 求证：/\ADE 竺 CFE.点E 在边AB ±运动（不与点A,角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为 _______ .（结果保留“）正方形ABCD 的边长为a,A（1）化简P;（2）若点（a, b）在一次函数的图象上，求P的值.20.（10分）（2019・广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.频数分布表组别时间/小时频数/人数A组OWrvi2B组1£V2mC组2Wt<310D组3WfV412E组4WrV57F组总54请根据图表中的信息解答下列问题:（1）求频数分布表中m的值；（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率: 从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生.扇形统计图AS21.（12分）（2019・广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座. （1） 计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率.22. （12分）（2019・广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点P （ - 1, 2）, AB Lx 轴于点E,正比例函数的图象与反比例函数丁=卫二1x的图象相交于A, P 两点. （1） 求m, n 的值与点A 的坐标； （2） 求证：△CPDsMEO ； （3）求 sinZCDB 的值.23. （12分）（2019・广州）如图，G ）O 的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.（1）尺规作图：作弦CD,使CD=BC （点D 不与B 重合），连接AD ；（保留作图痕迹, 不写作法）24. （14分）（2019・广州）如图，等边△ABC 中，AB=6,点D 在BC 上，BD=4,点、E 为 边AC 上一动点（不与点C 重合），关于DE 的轴对称图形为 （1） 当点F 在AC 上时，求证：DF//AB ；（2）设的面积为Si, AABF 的面积为S2,记S=Si-S2, S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由;求四边形ABCD 的周长.(3)当B, F, E三点共线时.求AE的长.25.(14分)(2019*广州)已知抛物线G：y-rm? -2mx-3有最低点.(1)求二次函数y—mx2 - 2mx - 3的最小值(用含，"的式子表示)；(2)将抛物线G向右平移加个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着加的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围.中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. （3 分）（2019•广州）|-6|=（ 【考点】绝对值.【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答. 【解答】解：-6的绝对值是| - 6|=6. 故选：B.2. （3分）（2019・广州）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各区完成碧道试 点建设的长度分别为（单位:千米）：5, 5.2, 5, 5, 5, 6.4, 6, 5, 6.68, 48.4, 6.3,这 组数据的众数是（ ） A. 5B. 5.2C. 6D. 6.4【考点】众数.【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个. 【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5 故选：A. 3. （3分）（2019•广州）如图，有一斜坡坡顶B 离地面的高度为30加，斜坡的倾 斜角是ZBAC,若tanZB4C=Z,则此斜坡的水平距离AC 为（）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC 的长，本题得以解 决.A. - 6B. 50mC. 30mD. 12mA. 75m【解答】解：•.•ZBC4=90° , tanZBAC=兰，BC=30m,55 "AC "AC解得，AC=75,故选：A.4.（3分）（2019-r州）下列运算正确的是（）A.- 3 - 2= - 1B. 3X（-丄）2=-丄3 3C. ^•^—x15D. Va*Vab=a，Vb【考点】实数的运算；同底数幕的乘法.【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幕的乘除运算法则分别化简得出答案.【解答】解：A、-3-2= -5,故此选项错误;B、3X （-丄）2=_,故此选项错误；3 3C、x i,x5—x s,故此选项错误；D、\/~a* V ab=fl Vb> 正确.故选：D.5.（3分）（2019・广州）平面内，OO的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作OO 的切线条数为（）A. 0条B. 1条C. 2条D.无数条【考点】切线的性质.【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案.【解答】解：•••O0的半径为1,点P到圆心0的距离为2,d>Y,.•.点P与OO的位置关系是：P在OO外，•.•过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C.6.（3分）（2019・广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A. 120 = 150B. 120 = 150C. 120 = 150D. 120=150x~8 x x x+8【考点】由实际问题抽象出分式方程.【分析】设甲每小时做乂个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可.【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：120丿50,x x+8故选：D.7.（3分）（2019・广州）如图，口ABCD中，AB=2, AD=4,对角线AC, BD相交于点O,且E, F, G, H分别是AO, BO, CO, DO的中点，则下列说法正确的是（）A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC1BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【考点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质.【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决.【解答】解:•:E, F, G, H分别是AO, BO, CO, DO的中点，在°ABCD中，AB=2,AD=4,:.EH=1-AD^2,:.EH^HG,故选项A错误；•:E, F, G, H分别是AO, BO, CO, DO 的中点，•'•EH专AD 今BC=FG，•••四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；•••点E、F分别为OA和OB的中点，:.EF=L^, EF//AB,:,Z\OEF<^/\OAB,...S AAEF _ .-EF）2 4,^AOAB 壮4即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B.& （3分）（2019・广州）若点A （ - 1, yi）, B（2,以），C （3, %）在反比例函数的X 图象上，则yi, y2, y3的大小关系是（）A. y3<y2<yiB. y2<yi<y3C. yi<y3<y2D. yi<y2<y3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出八％、为的值，比较后即可得出结论.【解答】解：•••点A （ - 1, yi）, B（2, 丁2）, C（3, y3）在反比例函数y=^-的图象上，X .-.ji=-^-= - 6, y2=—=3, j3=—=2,-1 2 3又T - 6<2<3,.'.yi<y3<y2.故选：C.9.（3分）（2019・广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC, AD于点E, F,若BE=3, AF=5,则AC的长为（）A. 4^5B. 4A/3C. 10D. 8【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质.【分析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA^OC, AE=CE,证明COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5, BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB =V A E2-BE2=4,再由勾股定理求出AC即可.【解答】解：连接AE,如图：TEF是AC的垂直平分线，・・・OA=OC, AE=CE,・・•四边形ABCD是矩形，:.ZB=90° , AD//BC,:.ZOAF=ZOCE f'ZAOF=ZCOE在ZvlOF和ACOE 中，OA=OCZOAF^ZOCE•••△AOF竺△COE (ASA),:.AF=CE=5f:.AE=CE=5f BC=BE+CE=3+5 = 8,/MB=V A E2-BE2=V52-32=4,A c=V A B2+BC2= V42 + 82=4^:10.(3分)(2019・广州)关于x的一元二次方程(^ - 1) x-k+2^0有两个实数根xi,Xi,若(xi - X2+2) (xi -池-2) +2x1x2= - 3,贝！］丘的值( )A. 0或2B. -2 或2C. - 2D. 2【考点】根的判别式；根与系数的关系.【分析】由根与系数的关系可得出X\+X2 — k - 1, X\X2— - k+2,结合(X1-X2+2)(XI - X2 -2) +2X1X2= - 3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△三0可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出)1的取值范围，进而可确定丘的值，此题得解.【解答】解：•••关于x的一元二次方程(^- 1) x-k+2=0的两个实数根为血，池，・*.X1+X2 —- 1, X1X2= ~ k+2....(XI - X2+2) (XI - X2 - 2) +2X1X2= - 3,即(X1+X2)2 - 2X1X2 - 4= - 3,(k- 1) 2+2斤-4-4= - 3,解得：k=±2.•••关于x的一元二次方程Ck- 1) x _ k+2=0有实数根，- (E-1) F-4X1X (-好2)三0,解得：k^2y/2 - 1 或kW - 2A/2 - 1 >.'.k=2.故选：D.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.（3 分）（2019・广州）如图，点A, B, C在直线/上，PBM, PA^Gcm, PB=5cm, PC【考点】点到直线的距离.【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案.【解答】解：TPB丄/, PB=5cm,■-.P到I的距离是垂线段PB的长度5cm,故答案为：5.12.（3分）（2019・广州）代数式卓=有意义时，x应满足的条件是x>8x-8【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件.【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围.【解答】解：代数式有意义时,x-8x - 8>0,解得：x>8.故答案为：x>&13.（3 分）（2019・广州）分解因式：A+2xy+y= y （x+1）2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式y,再利用完全平方进行二次分解即可.【解答】解：原式=y C+2x+l）=y（x+1）故答案为：y（x+1）2.14.（3分）（2019•广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转a （0°<a<90°）,使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为15°或【考点】角的计算.【分析】分情况讨论：®DE±BC ； @ADLBC. 【解答】解：分情况讨论：① 当 DELBC 时，ZBAD= 180° - 60° - 45° =75° , .*.a=90° - ZBAD= 15° ； ② 当 AD1BC 时，a=90° - ZC=90° - 30° =60° . 故答案为：15°或60°15. （3分）（2019-r 州）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三 角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为—2近 兀（结果保留“）【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长=底面圆的周长即可解决问题. 【解答】解：•••某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形， •••斜边长为2迈， 则底面圆的周长为2屈T,•••该圆锥侧面展开扇形的弧长为2妨， 故答案为2屈T.16. （3分）（2019・广州）如图，正方形ABCD 的边长为a,点E 在边AB 上运动（不与点A, B 重合），ZDAM=45°，点F 在射线AM 上，且AF=^E, CF 与AD 相交于点G, 连接EC, EF, EG,则下列结论：①ZECF=45° ； @AAEG 的周长为（1+返）a ；（3）BE 2+DG 2^EG 2；④△E4F 的面 积的最大值L A8其中正确的结论是①④.(填写所有正确结论的序号)弧长的计算；圆锥的计算；简单几何体的三视图；由三视图判断几何体.【考点】二次根式的应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质.【分析】①正确•如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△ FAE竺厶EHC(SAS), 即可解决问题.②③错误.如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,则厶CBE丝HCDH (SAS),再证明厶GCE竺厶GCH (SAS),即可解决问题.④正确.设BE=x,则AE=a-x, AF=^,构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.【解答】解：如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH.•:BE=BH, ZEBH=90° ,:.EH=y[2PE, '：AF=^2^E,:.AF=EH,'：ZDAM=ZEHB=45° , ZBAD=90° ,:.ZFAE=ZEHC= 135° ,\'BA=BC, BE=BH,:.AE^HC,.•.△FAE竺AEHC (SAS),:.EF=EC, ZAEF^ZECH,V ZECH+ZCEB=9Q° ,A ZAEF+ZCEB^90° ,A ZF£C=90° ,:.ZECF=ZEFC=45° ,故①正确，如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,则厶CBE竺“CDH (SAS),・•・ ZECB = ZDCH,:.ZECH=ZBCD=90° ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•・・CG=CG, CE=CH,:.AGCE^AGCH (SAS),・・・EG=GH,•：GH=DG+DH, DH=BE,・・・EG=BE+DG,故③错误，AAEG 的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD = 2a,故②错误，设BE=x,贝lj AE=a - x, AF=\[^c,・*.S/\AEF=—(a - x) Xx= -- —(x2 - ax+^-a1 - Az?)=-丄(兀-^)2+^2,2 2 2 2 4 4 2 2 8护时，△仙的面积的最大值为护故④正确,故答案为①④.\G三、解答题（共9小题，满分102分）17.（9分）（2019・广州）解方程组：（xVFl .Ix+3y=9【考点】解二元一次方程组.【分析】运用加减消元解答即可.【解答】解：$于I：,]x+3y=9②②-①得，4y=2,解得y=2,把y=2代入①得，x - 2=1,解得兀=3, 故原方程组的解为]x=3.1尸218.（9 分）（2019・广州）如图，D 是 AB 1.一点，DF 交AC 于点E, DE=FE, FC//AB,【考点】全等三角形的判定.【分析】利用AAS证明：△ ADE竺CFE.【解答】证明：TFC/AB,:.ZA=ZFCE, ZADE= ZF,在△ADE与△ CFE中：'ZA=ZFCF•二ZADE=ZF>卫E=EF.•.△ADE竺ACFE （AAS）.19.（10 分）（2019・广州）已知―至一--1（a^±b）a2-b2 a+b（1）化简P；（2）若点（a, b）在一次函数y=x-迈的图象上，求P的值.【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】（1）P=- 2a -丄= ____________ 2a ________ = 2a-a+b_=丄；2_^2 a+b （a+b）（a~b） a+b （a+b）（a~b） a~ba（2）将点（a, b）代入y=x-迈得到Q-Z?=伍，再将伍代入化简后的F,即可求解；【解答】解：(1) P= 2a -丄= _______________ 2a_ _=丄；a'-b? a+b (a+b) (a-b) a+b (a+b) (a-b) a~b(2) .点(a, b)在一次函数y—x - \[2的图象上，•• b=ci - ^2?.'.a - b—^f2,•p=.V20.(10分)(2019-r州)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查,由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图.请根据图表中的信息解答下列问题：(1)求频数分布表中Ml的值；(2)求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；(3)已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率: 从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生.扇形统计图【考点】频数(率)分布表；扇形统计图；列表法与树状图法.【分析】(1)用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出加的值；(2)分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图;(3)画出树状图，即可得出结果.【解答】解：(1)加=40-2-10- 12-7-4=5；(2)B组的圆心角=360° X旦=45° ,40C组的圆心角= 360°或丄。
数学4宫格练习题(A4纸直接打印)
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4×4初级第 13题
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4×4初级第 14题
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4×4初级第 15题
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4×4初级第 16题
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4×4初级第 17题
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4×4初级第 18题
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4×4初级第 19题
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4×4初级第 20题
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4×4初级第154题
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解方程超难初三练习题
解方程超难初三练习题初三学生在数学学习中，解方程是一个重要的内容。
然而，有些方程可能会让学生们感到困惑和挑战。
本文将介绍一些超难的初三解方程练习题，帮助读者提升解方程能力。
第一题：2x + 5 = 7x - 3要解决这个方程，我们首先要将方程中的x项移到一边，常数项移到另一边。
通过两边同减或同加，我们可以得到：2x - 7x = -3 - 5-5x = -8接下来，我们通过除以系数，来解出x的值：x = -8 / -5x = 8/5第二题：4(2x + 1) = 2(3x - 5)我们首先需要将方程中的括号展开，得到：8x + 4 = 6x - 10接下来，我们将x项移到一边，常数项移到另一边：8x - 6x = -10 - 42x = -14我们再通过除以系数，解出x的值：x = -14 / 2x = -7第三题：x^2 + 5x + 6 = 0这是一个二次方程，我们可以使用因式分解或者求根公式来解决。
首先，我们尝试通过因式分解来解决这个方程。
我们需要找到两个数，其和为5，乘积为6。
很明显，这两个数是2和3。
因此，我们可以将方程分解为：(x + 2)(x + 3) = 0根据零乘法，要使方程成立，其中一个因子必须为0。
因此，我们有两个可能的解：x + 2 = 0 或者 x + 3 = 0解这两个方程可得：x = -2 或者 x = -3第四题：3x^2 + 4x + 2 = 0对于这个二次方程，我们可以使用求根公式来解决。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a在这个方程中，a = 3，b = 4，c = 2。
代入公式，我们有：x = (-4 ± √(4^2 - 4 × 3 × 2)) / (2 × 3)接下来，我们计算方程的判别式，即b^2 - 4ac：判别式 = 4^2 - 4 × 3 × 2 = 16 - 24 = -8判别式为负数，这意味着方程没有实数解。
初三数学大题练习题
初三数学大题练习题1.简答题(1) 什么是整式？整式是由有限个单项式相加（或相减）所得的代数式，其中每个单项式的指数都是非负整数。
(2) 什么是多项式？多项式是由有限个整式相加（或相减）所得的代数式。
(3) 什么是最高次项和最低次项？多项式中次数最高的单项式称为最高次项，次数为0且系数不为零的单项式称为最低次项。
2.计算题(1) 计算：(2x^2 - 3x + 5) + (3x^2 + 2x - 4)。
解：将同类项相加，得到 (2x^2 + 3x^2) + (-3x + 2x) + (5 - 4) = 5x^2 - x + 1。
(2) 计算：(5y^3 + 2y^2 - y) - (3y^3 - 4y^2 + 2y)。
解：将同类项相减，得到 (5y^3 - 3y^3) + (2y^2 + 4y^2) + (-y - 2y) = 2y^3 + 6y^2 - 3y。
(3) 计算：(4x^3 + 2x^2 - 3x) × 2。
解：将多项式的每个项都乘以2，得到 8x^3 + 4x^2 - 6x。
(4) 计算：(2x^2 - 3x + 4) × (3x - 1)。
解：使用分配律展开乘积，得到 (2x^2 × 3x) + (2x^2 × -1) + (-3x ×3x) + (-3x × -1) + (4 × 3x) + (4 × -1) = 6x^3 - 2x^2 - 9x^2 + 3x + 12x - 4 = 6x^3 - 11x^2 + 15x - 4。
3.解答题(1) 将多项式x^3 + x^2 - 5x + 2除以x + 2，求商式和余式。
解：使用长除法进行除法运算。
-(x^2 + 3x + 1)x + 2 | x^3 + x^2 - 5x + 2-(x^3 + 2x^2)得到商式为 x^2 + 3x + 1，余式为 -2。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题4(附答案详解)
（2）关于 x 的一元二次方程 kx2+（k﹣1）x﹣3=0 有一个根为 3，求 k 的值及另一个根．
26．己知：负整数 a 是关于 x 的方程 x2 2bx a 0 的一个根． （1）则 a 2b = __________． （ 2 ）当 2a b 3 的值是非负数时，试说明方程 (a b)x2 2(m 1)x m(m 2) 0
28．已知一元二次方程 x2 2x m 1 0 ．
1 若方程有两个实数根，求 m 的范围； 2 若方程的两个实数根为 x1 ， x 2 ，且 x1 3x2 2m 8 ，求 m 的值．
29．已知关于 x 的方程 x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0 有两个不相等的实数根，试判断直线 y ＝(2m－3)x－4m＋7 能否经过点 A(－2，4)，并说明理由．
【分析】
根据根与系数的关系即可得出 α+β 的值．
【详解】
∵一元二次方程 x2﹣3x=1，即 x2﹣3x﹣1=0 的两个实数根为 α，β，
∴α+β=3．
故选 A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x1+x2=
﹣ ，x1•x2= ．
8．定义运算：a⋆ b=2ab．若 a，b 是方程 x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)⋆ a -(b+1)⋆ b
的值为（ ）
A．0 B．2 C．4m D．-4m
9．若关于 x 的一元二次方程 x2 mx m 4 0 有一根为 0，则 m 的值为
A．4
B． 4
C．2
D． 2
10．若关于 x 的一元二次方程 2x2 4x m 0 有两个相等实数根，则 m 的值是（ ）
初三数学第四章图形的相似章节练习题及答案
初三数学第四章图形的相似章节练习题及答案刚刚学习过图形的相似这一章节的学生们，大家都掌握了吗下面为大家带来一份初三数学上第四章图形的相似的章节练习题，文末附有答案，有需要的同学可以看一看，更多内容欢迎关注!知识点 1 平行线分线段成比例定理1. 如图，已知直线11 II 12 II 13 , AB=4 BC=6 DE=3 则EF为（）A.2B.4.5C.6D.82. 如图，已知11 II 12 II 13，如果DE： EF=3： 4, BC=8 那么AB 的长是（）A.323B.6C.3D.1633. （乐山中考）如图，1 1 I 12I 13，两条直线与这三条平行线分别交于点A B、C和D E、F.已知ABBC=32则DEDF勺值为（）A.32B.23C.25D.354. 如图，已知11 II 12 II 13 , AB=3 DE=2 EF=4,求AC的长.知识点 2 平行线分线段成比例定理勺推论5. （成都中考）如图，在厶ABC中, DE// BC AD=6 DB=3 AE=4 则EC的长为（）A.1B.2C.3D.46. 如图，在厶ABC中 , D, E分别在AB, AC上,且DE// BC,贝卩下列不成立的比例式是（）A.ADDB=AECEB.ADDB=DEBCC.ADAB=AEACD.ABDB=ACCE7. 已知线段a、b、c,求作线段x使ax二be，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（）8. 如图，已知EG/ BC GF// DC, AE=3 EB=2 AF=6 求AD的值.中档题9. （嘉兴中考）如图，直线11 // 12 // 13 ,直线AC分别交11 ,12 ,13 于点A, B，C;直线DF分别交11，12，13 于点D，E，F，AC与DF相交于点H,且AH=2 HB=1 BC=5则DEEF的值为（）A.12B.2C.25D.3510. （包头中考）如图，在厶ABC中，点D, E，F分别在边AB AC BC上,且DE// BC EF// AB.若AD=2BD 贝卩CFBF的值为（）A.12B.13C.14D.2311. （扬州中考）如图练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4cm 则线段BC= _______ cm.12. 如图已知AD/ BE/ CF 它们依次交直线11 、12 于点A、B、C和点D E、F,如果AB=6 BC=8 DF=21,求DE的长.13. 如图，F是口ABCD勺边CD上一点，连接BF并延长交AD的延长线于点 E. 求证：DEAE=DFDC.14. 如图，在厶ABC中 , DF// AC DE// BC.求证：AE?CB=AC?CF.综合题15. 如图，在矩形ABCD K E是边CB延长线上的点，且EB=ABDE与AB相交于点F, AD=2 CD=1求AE及DF的长.参考答案1.B2.B3.D4. v 11 // 12 // 13，二ABBC=DEEF卩3BC=24「. BC=6.••• AC=AB+BC=3+6=9. 5.B 6.B 7.A 8. v EG/ BCAEEB=AGG又v GF // DC 二AGGC=AFF D.AEEB=AFFD卩32=6FD.「. FD=4.「.AD=AF+FD=10.9.D 10.A 11.12 12. 设DE为x，贝S EF=21-x. v AD// BE// CF, • ABBC 二DEE即68=x21-x.解得x=9.经检验，x=9是原分式方程的解，•DE=9. 13.证明：v 四边形ABCD是平行四边形，• CD// AB AD// BC. •DEAE=EFE同理可得EFEB=DFDC. DEAE=DFDC. 14证明：v DE// BC • ADAB二AEAC.DF// AC • ADAB=CFCB. AEAC=CFCB.AE?CB二AC?CF.5. v 四边形ABCD^矩形，且AD=2CD=1 • BC=AD=2 AB=CD=1 / ABC M C=90°，AB// DC；. EB=AB=1 在Rt△ ABE中, AE 二AB2+BE2二在Rt△ DCE中, DE二DC2+CE2=12+32=T0.AB// DC • EFDF二EBBC=1 设EF二x,贝S DF=2x.v EF+DF=DE • x+2x=10. • x=103.•DF=2x=2310.。
2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》(四)及答案
2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》（四）1．如图，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OC＝2OA＝2，点D是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求出抛物线的解析式；（2）连接AD和BC，AD交BC于点E，当S△ABE ：S△BDE＝5：4时，求点D的坐标；（3）点F为y轴上的一点，在（2）的条件下，求DF+OF的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交y轴正半轴于点C，OC＝4OA，S△ABC＝24．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP交y轴于点E，过点E作EG⊥PD于点G，设点P的横坐标为t（t≤1），PG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作BF⊥EG交EG的延长线于点F，点Q在线段GF上，连接DQ、PQ，将△DGQ沿DQ折叠后，点G的对称点为点H，DH交BF于点M，连接MQ并延长交DP的延长线于点N，当∠DQM＝45°，tan∠PQN＝时，求直线PQ的解析式．3．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B 的最小值；（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．4．抛物线y＝﹣+bx+c交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，直线AB的解析式为y＝．（1）求b，c的值；（2）BA沿y轴翻折180°得到BA′，F为A′B上一点，BF的垂直平分线交y轴于点L，R为x轴上一点，BF+OR＝2，QR⊥FL于Q，求QR的长；（3）在（2）的条件下，直线LF交x轴于点D，E为抛物线第一象限上一点，BE＝BD，∠ABE+∠ABD＝180°，求点E的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；．并（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得＝＝S△ABC 求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．（1）求此抛物线的解析式和对称轴．（2）如图2，当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，当点A、C、D三点共圆时，请求出该圆圆心的坐标．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点横坐标是分式方程﹣2＝的解，若抛物线与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴的交点C（0，﹣6），（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若点D坐标为，连结DC，若点H是线段DC上的一个动点，求的最小值；（3）连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知PE＝CF．①求点P的坐标；②在抛物线上是否存在一点Q，使得∠QPC＝∠BPE成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，＝20．抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP ＝，求M点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点A，B，连接OA，OB，AB，直线AB交y轴于点C，点A到两坐标轴的距离相等．点B到两坐标轴的距离也相等．（1）求点A，B的坐标并直接写出△OAB的形状；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），连接PC，当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若点F为x轴上一动点，当△FAB是以AB为斜边的直角三角形时，求点F的坐标．10．已知：抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（m˃0）交x轴于A、B两点（其中A点在B点左侧），交y轴于点C．（1）若A点坐标为（﹣1，0），则B点坐标为．（2）如图1，在（1）的条件下，且am＝1，设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO ＝∠ABC，试求点M坐标．（3）如图2，在y轴上有一点P（0，n）（点P在点C的下方），直线PA、PB分别交抛物线于点E、F，若＝，求的值．参考答案1．解：（1）OC＝2OA＝2，则点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣2），则c＝﹣2，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣2， S △ABE ：S △BDE ＝5：4，则AE ：ED ＝5：4，分别过点A 、D 作y 轴的平行线分别交BC 于点M 、H ，∴AM ∥HD ，当x ＝﹣1时，y ＝x ﹣2＝﹣， ∵AM ∥HD ，∴AM ：HD ＝AE ：ED ＝5：4， ∴HD ＝2，设点D （x ，x 2﹣x ﹣2），则点H （x ，x ﹣2）， DH ＝x ﹣2﹣（x 2﹣x ﹣2）＝2，解得：x ＝2， 故点D （2，﹣3）；（3）作一条与y 轴夹角为α的直线AH ，使tan ∠HOF ＝＝tanα，则sin ，过点D 作DH ⊥AH ，交AH 于点H ，交y 轴于点F ，则点F 为所求点，DF +OF ＝FD +HF 最小，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点N ，则∠FDN ＝α， 则直线FD 的表达式为：y ＝﹣x +n ，将点D的坐标代入上式并解得：直线DF的表达式为：y＝﹣x﹣，故点F（0，﹣），则OF＝，DF+OF的最小值＝FD+HF＝+×＝．2．解：（1）设OA＝m，则OC＝4OA＝4m，∵B（4，0），所以OB＝4，∴AB＝OA+OB＝4+m，∴S＝AB•OC＝2m（4+m）＝24，△ABC解得m＝2，∴A（﹣2，0），C（0，8），将A、C两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c解得b＝2，c＝8，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．（2）∵P为抛物线上一点，且横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+8），∴PD＝﹣t22t+8，OD＝t，∵A（﹣2，0），∴AD＝t+2，∵EG⊥PD，∴△PEG∼PAD，且EG＝OD＝t，∴，所以，所以d＝﹣t2+4t．（3）∵PG＝﹣t2+4t，PD＝﹣t2+2t+8，∴GD＝PD﹣PG＝8﹣2t，∴OE＝BF＝GD＝8﹣2t，设∠QMF＝α，则∠MQF＝90°﹣α，∵∠DQM＝45°，∴∠GQD＝180°﹣∠DQM﹣∠MQF＝45°+α，∴∠DQH＝∠GQD＝45°+α，∴∠HQM＝∠DQH﹣∠DQM＝α，∴△QFM≌△MHQ，∴QH＝MF，MH＝QF，如图，作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，则∠KRM＝∠KMQ＝∠QFM＝90°，∵∠DQM＝45°，∴∠MKQ＝45°＝∠MQK，∴QM＝KM，∵∠QMF+∠KMR＝∠KMR+∠MKR＝90°，∴∠QMF＝∠MKR，∴△QFM≌△MRK，∴KR＝MF，MR＝QF，设QF＝m，则MR＝QF＝m，∴GQ＝QH＝FM＝EF﹣EG﹣QF＝4﹣t﹣m，∴FR＝FM+MR＝4﹣t﹣m+m＝4﹣t＝BF，∴R为BF中点，∴SK＝GQ，∵SK＝SR﹣KR＝GF﹣GQ＝QF，∴QF＝FM，∴tan∠QMF＝tanα＝，作PT⊥NQ于T，则tan∠N＝＝tanα＝，∴NT＝2PT，∵tan∠PQN＝＝，∴QT＝8PT，设PT＝n，则NT＝2n，QT＝8n，QN＝10n，PN＝n，∵＝tan∠N＝，∴GQ＝＝2n，NG＝2GQ＝4n，∴PG＝NG﹣PN＝3n，∴＝，∵GQ＝2SK＝2QF＝2m，∴，∴PG＝GF＝4﹣t，又∵PG＝﹣t2+4t，∴﹣t2+4t＝4﹣t，∴t2﹣5t+4＝0，解得t＝1或t＝5（舍），∴P（1，9），Q（3，6），∴PQ的解析式为y＝﹣x+．3．解：（1）因为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x＝＝2，由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，∴D（2，3），∴CD＝C'D'＝4．设E（m，﹣m2+m+5），则F（m，﹣m+5），∴EF＝y E﹣y F＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，EF取得最大值，此时E（，）．如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'（，）．作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，∴D'G＝D'B，∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，当且仅当E'、D'、G三点共线时，EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．（2）①如图2，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．②如图3，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方．∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．③如图4，△APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方．∴等边三角形的边长为AQ＝AC＝2．④如图5，△APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方．∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，∴直线BQ的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，解得或（舍），∴Q＝（﹣2，﹣7），∴AQ＝2，即等边△APQ的边长为2√．综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．4．解：（1）∵直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴将A、B两点坐标代入抛物线解析析得：﹣﹣2b+c＝0，c＝2，∴b＝，c＝2，∴抛物线的解析为y＝﹣x2+x+2．（2）由题意知A'（2，0），∴OA'＝2，∴tan∠A'BO＝＝，所以∠OBA'＝30°，∵L为BF垂直平分线上的点，∴LB＝LF＝m，∴∠LFB＝∠LBF＝30°，∴∠OLQ＝60°，BF＝m，∴OL＝OB﹣LB＝2﹣m，设LQ的延长线与x轴交于点D，则∠LDO＝30°，∴OD＝OL＝6﹣m，∵BF+OR＝2，∴OR＝2﹣BF＝2﹣m，∴RD＝OD﹣OR＝4，∵RQ⊥FL，∴QR＝RD＝2．（3）如图3，设G为AB延长上一点，作BP⊥AB交x轴于点P，连接EP，作EH⊥x轴于H．∵tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∴∠BPA＝30°，∵∠ABE+∠ABD＝∠ABE+∠GBE＝180°∴∠ABD＝∠GBE，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠ABD+∠DBE+∠GBE＝∠BDE+∠DBE+∠BED＝180°，∴∠ABD＝∠GBE＝∠BDE＝∠BED，∴AB∥DE，∴∠EDP＝∠BAO＝60°，∵BP⊥AB，∴BP⊥DE，∴PE＝PD，∴△EDP是等边三角形，∴PH＝DH＝DP，设D点坐标为（n，0），∵OP＝OB＝6，∴PD＝OP﹣OD＝6﹣n，∴DH＝PH＝，EH＝DH＝，OH＝，∴E（，），将E点坐标代入抛物线解析式解得n＝4或n＝，∴E点坐标为（5，）或（，）．5．解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵曲线N交y轴于点C，∴C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，∵Rt△BOC为等腰直角三角形，∴OO'＝OH＝O'H＝1，∵HB＝2，∴O'B＝，∵O'B是△ABC外接圆的半径，∴△ABC外接圆的面积＝5π；（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），∴m≥3或m≤﹣1；①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，＝，解得n＝2﹣或n＝2+，∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），∴﹣1≤m≤3，③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝0或m＝2，＝，解得n＝3或n＝1，∴Q（1，0）或Q（3，0），∵Q（3，0）与B（3，0）重合，∴Q（1，0）；④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）∵＝＝S，△ABC∴D1D2所在直线与直线BC平行，∵BC＝3，设A点到BC的距离为h，∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，∴h＝2，∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，∴b﹣3＝4，∴b＝7，∴y＝﹣x+7，联立，解得x＝或x＝，∴D1（，），D2（，）；联立，解得x无解；综上所述：D1（，），D2（，）；∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，∴|t﹣3|＝，∴t＝或t＝，∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，联立，解得x＝或x＝﹣，∴x＝﹣，∴T1（﹣，）；联立，解得x＝或x＝，∴T2（，）或T3（，）；当点在N上时，﹣1≤x≤3，联立，解得x＝（舍）或x＝，∴T4（，）；联立，解得x＝，∴T5（，）；综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．6．解：（1）把点A（﹣1，0）和B（3，0）代入，得解得：．∴抛物线的解析式为：∴对称轴；（2）存在，分三种情况讨论．①如图1 所示，∵四边形ACEF为平行四边形∴EF可由AC平移得到，点C的对应点为点E，点A的对应点为点F ∵，点E的横坐标为1∴向右平移了一个单位∵A（﹣1，0），∴点F的横坐标为0设直线AD的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．∴，把点A（﹣1，0）和代入，解得：∴直线AD的函数解析式为：∴当x＝0时，∴②如图2 所示，此时点F与点D重合，∴③如图3 所示，根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，∴综上所述：点F的坐标为或或．（3）设CD、AC的垂直平分线的交点为M点，则M点就是点A、C、D三点共圆的圆心．∵抛物线的对称轴x＝1是CD的垂直平分线，∴设M（1，m），由MA＝MC得，，解得，m＝﹣，∴M（1，﹣）．7．解：（1）解分式方程﹣2＝，1﹣2x+4＝﹣10x+1，x＝﹣，经检验，x＝﹣是原方程的解，∵抛物线对称轴与x轴交点横坐标是的解，∴抛物线对称轴为，∴a＝b，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0）、C（0，﹣6），∴∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣6；（2）作点O关于直线CD的对称点O'，过点O作O'G⊥y轴交CD与点H，交y轴与点G，如图1，∵OD＝2，OC＝6，则∠OCD＝30°，∴，∴＝GH+O'H＝GO'，此时为最小值，∵O'O⊥CD，∴∠OO'H＝∠OCD＝∠O'OD＝30°，∴OO'＝2OD•cos30°＝2×2×＝6，在Rt△OO'G中，GO'＝OO'•cos∠OO'G＝6cos60°＝3，即的最小值为；（3）①设点P的坐标为（m，n），n＝m2+m﹣6，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，，∴直线AC表达式为y＝﹣2x﹣6，则直线PE的一次项系数k的值为，设直线PE的表达式为：y＝x+b（k≠0），将点P坐标代入上式并解得：，∴直线PE的解析式为：y＝+n﹣，则点E的坐标为，点F的坐标为过点P作x轴的平行线交直线l于点M，过点F作y轴平行线交过C点作x轴的平行线于点S，如图2，∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC，∵PE＝CF，∴△PME≌△FSC（AAS），∴PM＝FS，∴，即2m2+3m﹣2＝0，解得：或﹣2（舍去），故点P坐标为（﹣2，﹣4）；②由上可得点E坐标为（2，﹣2），过点P作x轴的平行线交直线l于点M，交y轴于点R，作EN⊥PB于点N，如图3，则PM＝4＝BM＝4，EM＝BE＝2，∴∠MPB＝∠MBP＝45°，PE＝，EN＝BE•sin∠NBE＝，设∠QPC＝∠BPE＝α，则，则tanα＝，过点P作y轴的平行线交过C点与x轴的平行线于点L，延长PQ交CL于点H，过点H 作HG⊥PC于G，则PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四边形PRCL为正方形，∴∠PCH＝45°，设GH＝GC＝m，，，则，，即点H坐标为（﹣1，﹣6），则HP所在的直线表达式为：y＝﹣2x﹣8，解方程组得，或，∴点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．8．解：（1）如图①，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C．∴A（﹣5，0），C（5，0）．∴OC＝OA＝5．＝20，∵S△ABC∴AB＝8．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A，B两点，∴．解得．∴抛物线解析式为：；（2）如图②，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交AC于点G设点P的横坐标为3n，则纵坐标为：．∴E（0，﹣3n2﹣2n+5），F（﹣3n，0）．∴OE＝﹣3n2﹣2n+5，OF＝﹣3n在矩形PEOF中，PE＝OF，PF＝OE，∴PE＝﹣3n，PF＝﹣3n2﹣2n+5．∵OC＝OA＝5，∴AF＝5﹣3n，∠OAC＝∠OCA＝45°．∴∠PDE＝∠DPE＝45°．∴．∵PD＝3PH，∴．∵∠DPE＝45°，∴∠GPH＝45°．∵PH⊥AC，∴PG＝﹣2n．∵∠OAC＝45°，∴AF＝GF＝5+3n，∴PF＝﹣2n+5+3n＝n+5．∵PF＝﹣3n2﹣2n+5，∴n＝﹣1或n＝0（舍）∵点P在第二象限的抛物线上．∴n＝﹣1．∴；（3）∵M（m，7+m），∴点M在直线y＝x+7上．∵n＝﹣1，∴P（﹣3，4）．∴点P也在直线y＝x+7上．①如图③，当点M在点P上方时，过点M作MN⊥PE于点N∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴N（m，4）．∴PN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN＝7+m﹣4＝m+3．∴∠MPN＝∠PMN＝45．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝∠MPN+∠DPE＝90°．在直角三角形PMN中，PN＝m+3，MN＝m+3，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣2．∴M（﹣2，5）；②如图④，当点M在点P下方时，过点M作MK⊥EP延长线于点K，∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴K（m，4）．∴PK＝﹣3﹣m，MK＝4﹣（7+m）＝﹣3﹣m．∴PK＝MK．∴∠MPK＝∠PMK＝45°．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝180°﹣∠MPK﹣∠DPE＝90°．在直角三角形PMK中，PK＝﹣3﹣m，MK＝﹣3﹣m，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣4．∴M（﹣4，3）．∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣4，3）．9．解：（1）∵点A在第二象限，∴设点A的坐标是（﹣m，m）．∵点A在抛物线上，∴．解得m1＝1，m2＝0（舍去）．∴点A的坐标是（﹣1，1）．同理可得点B的坐标是（3，3）．∴OA2＝2，OB2＝18，AB2＝（3+1）2+（3﹣1）2＝20．∴OA2+OB2＝AB2．∴△OAB是直角三角形；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∴，解得，∴直线AB的解析式为．∴点C的坐标为．∵直线OB过点O（0，0），B（3，3），∴直线OB的解析式为y＝x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC＝OP或OP＝PC或OC＝PC．设P（x，x），①当OC＝OP时，．解得，（舍去）．∴．②当OP＝PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴．③当OC＝PC时，由，解得，x2＝0（舍去）．∴．∴P点坐标为或或．（3）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BH⊥x轴于点H．∵点F为x轴上一动点，∴设F（n，0），当∠AFB＝90°时，可得：∠NFA+∠HFB＝90°，∵∠HBF+∠HFB＝90°，则∠NFA＝∠HBF．又∵∠ANF＝∠FHB∴△AFN∽△FBH，∴，即，解得n1＝0，n2＝2．∴F1（0，0），F2（2，0）．10．解：（1）将（﹣1，0）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）得：1+2m﹣3m2＝0，解得：m＝1或m＝﹣（舍），∴y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝a（x+1）（x﹣3），∴B（3，0）．故答案为：（3，0）．（2）当am＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，如图1，M在y轴负半轴上，在y轴负半轴上截取OG＝OA＝1，连AG，则∠AGO＝45°＝∠ABC，AG＝，∴∠OCA+∠AMO＝45°，又∵∠OCA+∠GAC＝∠AGO＝45°，∴∠AMG＝∠GAC，又∵∠AGM＝∠CGA，∴△GMA∽△GAC，∴AG2＝MG•GC，又GC＝OC﹣OG＝2，设M（0，a）∴2＝（﹣1﹣a）•2，∴a＝﹣2，∴M的坐标为（0，﹣2）．根据对称性可知（0，2）也符合要求．综上所述，满足要求的M点的坐标有：（0，﹣2）、（0，2）．（3）由抛物线解析式可得：A（﹣m，0），B（3m，0）．∵，∴，如图2，作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，则△EAG∽PAO，△PFH∽△PBO，∴＝＝＝，∴AG＝AO＝m，OP＝2EG，∴x E＝﹣m，y E＝am2，即EG＝am2，∴OP＝am2，∴P（0，﹣am2），又∵B（3m，0），∴直线PB的解析式为：y＝amx﹣am2，∴amx﹣am2＝a（x2﹣2mx﹣3m2），∴2x2﹣7mx+3m2＝0，∴x1＝3m（舍），x2＝m，∴FH＝m，∴＝＝＝．。
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初三数学练习（4）
1．在二次根式a 5，a 8，
9
c
，22b a +，3a 中，最简二次根式共有（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．计算()()1212-+，正确结果是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是 （ ）
A ．2
112与 B ．2718与 C ．313与 D ．5445与
4．把a
a 1-根号外的因式移到根号内得 （ ）A ．a
B ．－a
C ．－a -
D ．a -
5．当0<b 时，化简∣b ∣＋2)1(-b 等于 （ ）
A ．12-b
B ．b 21-
C ．1-
D ．1
6．已知，x 、y
0 ）
A
B C D ．27．计算(
)
3218+÷
=__________；)3223)(3223(1
313+---+=_______________。
8．已知5的整数部分是a ，小数部分是b ，则b
a 1
-的值为__________。
9．若1
32-=
x ，则322+-x x 的值为______；
x
y y x xy y x y x --
--2=___________。
10．已知321-=
a ，3
21+=
b ，则22
3b ab a +-的值为__________。
11．化简与计算
（1）x
x x x x 502
2322
123-+ （2）
3
16
273
21-++
12．已知：3
21+=a ，3
21-=
b ，求b
a b a 222
2+-的值。
13．当3,2==y x 时，求代数式y
x y y
x x +
-
-的值。
14．已知：2
323-+=a ，2
323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。
15．细心观察图，认真分析各点，然后回答问题：
2
2
21
12,
OA S
=+==；
2
2
32
13,
OA S
=+==
2
2
43
14,
OA S
=+==；
……
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出
10
OA的长；
（3）求出2222
12310
S S S S
+++⋅⋅⋅+的值。
16
m、n，使22
m n a
+=
且mn=
将a±222
m n mn
+±，即变成2
()
m n
±
例如，5±
32
++
222
++，
请仿照上例解下列问题：
（1
（2
A1
A2
A4
O。