傅里叶变换对之间的不确定关系_单筱攸
傅里叶变换对之间的不确定关系_单筱攸
(12 )
∫∫ ∫∫ 运用公式 (8), 公式 (12)并利用
g(ξ, η) 2 dξdη = G(μ, γ) 2 dμdγ, 即完备性 ,有
-∞
-∞
+∞
+∞
+∞
+∞
x2 gg＊ dx γ2 GG＊ dγ
xgxg′dx g′g＊ ′dx
(8 )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞
-∞
γ2 G(γ)＊
G(γ)dγ
=
+∞ -∞
dγ
+∞
γ-∞
g(x)＊
exp(i2πγx)dx
+∞
+∞
γ-∞ g(ξ)＊ exp(i2πγξ)dξ = -∞ I1 (γ)I2 (γ)dγ
(9 )
式中的 I1 可用分步积分方法来改写
∫ ∫ +∞
+∞
I1 (γ)
=γ
-∞
g(ξ)exp(-i2πγξ)dξ=-i21π -∞
∫ ∫ +∞
+∞
I2 (γ) =-i21π -∞ g′＊ (x)d[ exp(i2πγx)] =-i21π -∞ g′＊ (x)exp(i2πγx)dx
(11 )
以公式 (10),公式 (11)代入公式 (9)交换积分顺序 , 并用 δ函数的积分表达式就 证明了公式 (8) 再引用下面形式 的 Schwarz不等式 [ 1]
∫+∞
g(x) = G(γ)exp(i2πγx)dγ
-∞
以上两式可得
∫+∞
G(0) = g(x)dx[ 1]
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
䋓䇱ᷛ
³
f
f
f ( x ) g * ( x ) dx
³
f
f
F ( P ) G * ( P ) dP
˄ ˅ڵ䟼ਦ〟࠶ᇊ⨶˖൘࠭ᮠ g x,y Ⲵ њ䘎㔝⛩кᴹ
F -1 F ^g x,y ` FF
-1
^g x,y ` g x,y
FF ^g x,y ` F -1 F -1 ^g x,y ` g x, y
F.T.
g( x ) ∗ δ ( x ) = g( x )
F.T. F.T.
G( u) • ∆ ( u) = G( u)
即：
∆ ( u) = 1
F [δ ( x )] = 1
（1-55）
F [1] = δ ( x )（1-56）
物理意义
一个
光脉冲
的傅氏变换
是一束 空间频率为 0 的 单位振幅平面波 反之亦然
F [cos（2πu0x） ]
∞
其中 u0 = 1 / Τ
Τ 为周期
=
−∞
∫ [cos2πu
0
x ] • exp[− j 2πux ]dx
1 = ∫ [exp( j 2πu0 x ) + exp(- j 2πu0 x ) ] 2 F (u) −∞ 1/2 • exp[− j 2πux ]dx
∞
1 = [δ ( u − u0 ) + δ ( u + u0 )] 2
H fx
˄˅լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` ˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅ 1 § fx · F ^g ax ` G¨ ¸ ࡉᴹ a © a ¹ ˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
G f x
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` G f x ࡉᴹ F ^g x a ` G f x exp j 2Sf x a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ〫
傅里叶变换的说明
傅里叶变换的说明傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学等领域中都有广泛的应用。
它的原理是将一个信号分解成一系列基础频率的正弦波，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换的概念可以追溯到18世纪末，由法国数学家傅里叶提出。
他发现，任何周期信号都可以表示为一系列正弦波的叠加。
这就像是将复杂的音乐分解成各个音符的组合一样，通过傅里叶变换，我们可以将信号分解成不同的频率成分。
傅里叶变换的数学表示形式是一个积分表达式，但在这里我们不使用数学公式来描述。
相反，我们用通俗易懂的语言来解释它的原理。
想象一下，你正在演奏一首美妙的钢琴曲。
你每按下一个键，琴弦就会振动，发出特定的频率。
通过傅里叶变换，我们可以将这个复杂的振动信号分解成许多不同频率的正弦波。
每个正弦波都有不同的振幅和相位，它们的叠加就形成了你演奏的音乐。
傅里叶变换的优点之一是它可以帮助我们理解信号的频率特性。
通过分析信号的频谱，我们可以确定信号中的主要频率成分。
这对于音频处理、图像处理和通信系统设计非常重要。
例如，在音频中，我们可以通过傅里叶变换找到音乐的主旋律和和声部分，从而更好地进行音频合成和音频压缩。
除了频率分析之外，傅里叶变换还可以在信号处理中进行滤波操作。
通过选择特定的频率范围，我们可以去除杂乱的信号成分，从而改善信号的质量。
这在图像处理中尤为重要，可以帮助我们去除图像中的噪声和干扰，提高图像的清晰度和对比度。
虽然傅里叶变换在数学上可能有些复杂，但它的应用却非常广泛。
从音频处理到图像处理，从物理学到通信系统，傅里叶变换都扮演着重要的角色。
它帮助我们理解和处理各种信号，使得我们能够更好地了解和利用自然界中的各种波动现象。
傅里叶变换是一种强大而有用的数学工具，它在各个领域中都有广泛的应用。
通过将复杂的信号分解成简单的正弦波，我们可以更好地理解和处理各种信号。
傅里叶变换的原理虽然有些抽象，但它的应用却非常实际。
无论是在科学研究中还是在工程实践中，傅里叶变换都为我们提供了强大的工具，帮助我们更好地理解和利用信号。
傅里叶变换基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换拉氏变换Z变换三者之间的关系
初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换，拉氏变换，Z 变换三者之间的关系一 傅里叶级数展开与傅里叶变换之所以要将一个信号f (t)进行傅里叶级数展开或傅里叶变换是因为一般自然界信号都非常复杂，且表面上并不能直观的表现出频率与幅值的关系，而一个信号的大部分有效信息恰藏于其频谱上，即其幅频关系和相频关系上。
通过傅里叶级数展开或傅里叶变换，可将自然界中复杂的信号分解成简单的，有规律的基本信号之和或积分的形式，并且可以明确表达出周期信号的离散频谱和非周期信号的连续频谱函数。
傅里叶级数展开是对于周期信号而言，如果该周期信号满足狄利克雷条件（在电子和通讯中大部分周期信号均满足），周期信号就能展开成一组正交函数的无穷级数之和，三角函数集在一个周期内是完备的正交函数集，使用三角函数集的周期函数展开就是傅里叶级数展开，而欧拉公式是将三角函数和复指数连接了起来，所以傅里叶级数可展开成三角函数或复指数两种形式，此时就可画出信号的频谱图，便可直观的看到频率与幅值和相位的关系。
既然是级数和展开，则上述频谱图中横轴表示n 倍的角频率，是一个离散频谱图，那么由离散频谱的间隔与周期的反比关系知当f(t)的周期T 趋近于无穷大时，周期信号变成了非周期信号，谱线间隔趋近于无穷小，谱线无限的密集而变成为连续频谱，该连续频谱即为频谱密度函数，简称频谱函数，该表达式即是我们熟悉的傅里叶变换，傅里叶变换将信号的时间函数变为频率函数，则其反变换是将频率函数变为时间函数，所以傅里叶变换建立了信号的时域与频域表示之间的关系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号的时域变换相应地引起频域变换的关系。
傅里叶变换 不确定度
傅里叶变换与不确定度1. 引言傅里叶变换（Fourier Transform ）是数学中一种重要的工具，用于将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
它在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
不确定度（Uncertainty ）是指对某个物理量的测量结果的不确定程度，它是实验测量中不可避免的存在。
本文将介绍傅里叶变换与不确定度之间的关系。
首先我们会简要介绍傅里叶变换及其基本性质，然后探讨傅里叶变换对信号频谱分析的重要性。
接着我们会介绍不确定度原理以及在频域中如何描述不确定度。
最后我们会讨论傅里叶变换与不确定度之间的一些应用。
2. 傅里叶变换基础2.1 傅里叶级数傅里叶级数（Fourier Series ）是傅里叶变换的基础。
它表示一个周期函数可以由一组正弦和余弦函数构成。
一个周期为T 的函数f(t)可以表示为以下级数形式：f (t )=a 0+∑(a n cos (2πnt T )+b n sin (2πnt T ))∞n=1 其中a 0、a n 和b n 是系数，可以通过积分求解。
2.2 连续傅里叶变换傅里叶级数适用于周期函数的表示，而对于非周期函数，我们需要使用连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform ）。
连续傅里叶变换将一个函数f(t)映射到频域，得到其频谱表示F(ω)。
其定义如下：F (ω)=∫f ∞−∞(t )e −iωt dt其中ω是角频率。
2.3 离散傅里叶变换在实际应用中，我们通常处理的是离散信号，而不是连续信号。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ）将离散信号映射到频域。
对于N 个采样点的离散信号x (n )，其离散傅里叶变换表示为：N−1(n)e−i2πkn NX(k)=∑xn=0其中k是频域上的采样点。
3. 傅里叶变换与信号频谱分析傅里叶变换在信号处理中有着重要的应用，特别是在频谱分析中。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号从时域转换到频域，得到其频谱表示。
傅里叶变换
所以当对周期函数这样的含有纯频率的函数进行傅立叶变换时就会出现冲击函数了。
如果理解数字信号处理中傅里叶变换的周期性？
悬赏分：100 - 解决时间：2008-6-10 22:20
最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。
有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform),它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。
傅立叶级数和傅立叶变换是什么关系？
悬赏分：20 - 解决时间：2007-11-13 22:20
傅立叶级数表示的是任意一个函数由时域到频域的转换，一般给定函数后，可以通过傅立叶级数的公式将其展开，从而由时域到频域。
而傅立叶变换的定义是对f(t)乘个因子后积分，哪位高人给讲讲这个定义的物理意义，和前面的级数的关系。谢了
一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。
离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来接偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
最佳答案傅立叶级数是用来对周期函数进行展开的，如果原函数的频率为w，则展开的各项中，除了常数项，其他的都是w的整数倍。
傅里叶变换(FFT)详解
关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：/pdfbook.htm要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
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(责任编辑 :陈 欣 )
h,通过测量 , 只能获得 h所包含的信息 , 无法直接得到被测点本身 ,所有测量系统的 等效带宽 w都是有限的 ,从而 δ函数
的脉冲响应 h就有一定弥散 w, 它表示了误差的大小 .而公式 (6)表示了光学 系统的测不准关系 ,它与量子力学中的测不 准关系实质是一致的 .
3 傅里叶变换对的不确定关系的推导
下面证明信号空 域宽度 Δx和频域宽度 Δγ之积有一个下限 ,即
20
鞍山师范学院学报
第 7卷
首先证明下面关系式 [ 3]
ΔxΔγ≥ 1/4π
(7 )
∫ ∫ +∞
-∞
γ2 G(γ)＊
G(γ)dγ
=4π1 2
+∞
g(x)′＊ g(x)′γ
-∞
上式左边积分内的 G(γ)＊ 和 G(γ)可以用傅里叶变换表示
∫+∞
g(x) = G(γ)exp(i2πγx)dγ
-∞
以上两式可得
∫+∞
G(0) = g(x)dx[ 1]
-∞
∫+∞
g(0) = G(γ)dγ
-∞
(3 )
进一步设信号在空域 和频域中 不显 著为 零的 分量 都集 中在 原点 附近 的有 限区 域内 , 用下 面的 方法 近似 度量 g(x)和
G(γ)的弥散程度 ,为此引入 s和 w.
傅里叶变换对是 当代信息技术发展的理论基础 ,对傅里叶变换对的关 系的分析能加深对信息弥散的理解 , 因此下面 从理论上对傅里叶变 换对的不确定关系进行严格的推导 .
1 傅里叶变换对
对于一维情况下
∫+∞
G(γ) = -∞ g(x)exp(-i2πγx)dx
∫+∞
g(x) = G(γ)exp(i2πγx)dy
JournalofAnshanNormalUniversity
鞍山 师范 学院 学报
2 0 05-12, 7(6):1 8 -20
物 理
傅里叶变换对之间的不确定关系
单筱攸 , 姜良广
(鞍山师范学院 物理系 , 辽宁 鞍山 114005) 摘 要 :主要是从傅里叶变换的关系出发 , 研究傅立叶变换对 之间的不 确定关 系 , 先 从信息 学的角 度来讨 论不确定关系 的意义 , 然后通过理论的严格推导得出傅立叶变换对 之间的不确定关系 . 关键词 :傅立叶变换对 ;不确定关系 ;空域 中图分类号 :O43 文献标识码 :A 文章篇号 :1008-2441(2005)06-0018-03
(8 )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞
-∞
γ2 G(γ)＊
G(γ)dγ
=
+∞ -∞
dγ
+∞
γ-∞
g(x)＊
exp(i2πγx)dx
+∞
+∞
γ-∞ g(ξ)＊ exp(i2πγξ)dξ = -∞ I1 (γ)I2 (γ)dγ
(9 )
式中的 I1 可用分步积分方法来改写
∫ ∫ +∞
+∞
I1 (γ)
=γ
-∞
g(ξ)exp(-i2πγξ)dξ=-i21π -∞
收稿日期 :2004 -07 -14 作者简介 :单筱攸 (1963 -), 女 , 辽宁鞍山人 , 鞍山师范学院物理系副教授 .
第 6期
单筱攸 :傅里叶变换对之间的不确定关系
19
仅考虑一维情况 ,函数 g(x)和它的频谱 G(γ)的关系为
∫+∞
G(γ) = -∞ g(x)exp(-i2πγx)dx
Abstract:ThisthesisbeginwiththerelationshipofFourier' stransformation.Inordertostudythe indeterminationrelationshipofFourier' stransformationpairswestartwiththeangleofinformationtodiscusstheindeterminationrelationship, thenfrom thestrictlydeducingoftheoreticalwe cangettherealindeterminationrelationshipofFourier' stransformationpairs. Keywords:Fourier' stransformationpairs;Indeterminationrelationship;Spacearea
∫∫ ∫∫ G(vx, vy) = g(x, y)exp{-i2π(vxx+vyy)}dxdy, g(x, y) = G(vx, vy)exp{i2π(vxx+vyy)}dvxdvy
2 不确定关系的意义
在信息学中入射 信号相当于函数 ,而 g(x)表示信号在空域的表象 , G(γ)相当 于信号在 频域的表象 , 下 面讨论信号 在这两个表象里弥散 程度的不确定关系 .
首先 , 定义一个信号 g(x)空域分布中心 [ 2]
+∞
∫ xc
=((gg((xx)),,xgg((xx)))) =
g(x)＊ xg(x)dx
-∞ +∞
g(x)＊ g(x)dx
∫ -∞
式中 (·, ·)表示函数 g和 h的内积 , 信号 g(x)的空域宽 度 Δx定义为
+∞
∫ (Δx)2
=(g(x)(g, ((xx)-, gx(c)x2)g)(x)) = -∞
∫+∞
s= g(x)dx/g(0)
-∞
∫+∞
w = G(γ)dγ/G(0)
-∞
(4 ) (5 )
w有明显的意义 :如一矩形高度高于 G(0),面积与曲线 G(γ)下的面积相同 ,则 它的宽度为 w, G(γ)越宽 , w越大 .s的意
义与 w类同 .将公式 (4)和公式 (5)交叉相除得到
sw =1
-∞
(1 ) (2 )
公式 (1)和公式 (2)叫做傅里叶变 换对 ,由 g(x)得 G(Vx)叫做傅里叶变换 , 称 G(vx)为 g(x)的频谱函数或简称频
谱 , 简记为 G(vx) =F{g(x)}.g(x)为 G(vx)的原函数 .通过 公式 (2)求原函数 的运算叫逆 傅里叶变 换 ,记 为 g(x) = F-1 {g(x)}.而光学中常用二维傅里叶变换对公式 (1)和公式 (2)加以变形得
TheUncertainRelationshipofFourierTransformationand ItsReverseTransformation
SHANXiao-you, JIANGLiang-guang
(DepartmentofPhysice, AnshanNormalUniversity, AnshanLiaoning114005, China)
(6 )
表示信号在空域的弥 散 ,意味着信号在空域和频域领域中的展宽是相互制 约的 ,即等效带宽和测不准问题的关系 .
假设对信号进行 长度或位置测量 ,测量系统可以看成是对被测对象的 一个变换 .在位置测量时 , 必须使系统首先 “对
准 ” 空间的一个定点或长度的一个端点 ,该点可以用脉冲 δ函数表示 ,它就是 系统的输入 ,而输出恰恰是系统的脉冲响应
∫ ∫ ∫ 4 gg＊ dxhh＊ dx≥ (g＊ h+gh＊ )dx 2
(12 )
∫∫ ∫∫ 运用公式 (8), 公式 (12)并利用
g(ξ
-∞
-∞
+∞
+∞
+∞
+∞
x2 gg＊ dx γ2 GG＊ dγ
xgxg′dx g′g＊ ′dx
g(ξ)d[ exp(-i2πγξ)]
=
∫ ∫ - 1 i2 π
g(ξ)exp(-i2 πγξ)∞ -∞
-
+∞ -∞
g′(ξ)exp(-i2 πγξ)dξ
=i21π
+∞ -∞
g′(ξ)exp(-i2 πγξ)dξ
(10 )
在推导中已假设 g(ξ)exp(-i2πγξ)在 ξ※ ∞时为 0,类 似地 ,有
∫ ∫ ∫ ∫ (Δx)2 (Δγ)2
=
-∞ +∞
-∞ +∞
= -∞
-∞ +∞
≥
gg＊ dx GG＊ dγ
4 π2
gg′dx
∫ ∫ ∫ -∞
-∞
-∞
∫+∞
2
(xg＊ g′+xgg＊′)dx
-∞
∫+∞
16π2 ( gg＊ dx)2
-∞
(13 )
其中分子中的积分可 化为
∫ ∫ ∫ +∞ xd(gg＊ )dx=xgg＊
∫ ∫ +∞
+∞
I2 (γ) =-i21π -∞ g′＊ (x)d[ exp(i2πγx)] =-i21π -∞ g′＊ (x)exp(i2πγx)dx
(11 )
以公式 (10),公式 (11)代入公式 (9)交换积分顺序 , 并用 δ函数的积分表达式就 证明了公式 (8) 再引用下面形式 的 Schwarz不等式 [ 1]
g(x)＊ (x-xc)2 g(x)dx
+∞
g(x)＊ g(x)dx
∫ -∞
信号 g的傅里叶频谱 G(γ)的频率中心 γc及频谱宽度 Δγ可以仿此定义
+∞
∫∫ γc
=((GG((γγ)), ,γGG((γγ)))) =
G(γ)＊ γG(γ)dx
-∞ +∞
-∞ G(γ)＊ G(γ)dx
+∞