信号与系统第四章-傅里叶变换的性质

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信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II

信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意:冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱,负频率 ( n 1 ) ,只有数学意义,而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数,分解成虚指 数,必须有共轭对
e
j n 1
和e
-j n 1
,才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例:周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T,基波角频率Ω,画出它的单 边频谱图,并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式,即
cos( w1t )
T1 4 T1 4

取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )

第6页
从上面例子看出: (1) n愈大,则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时,其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿;低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈,所含的高频分量愈丰富;f(t)变化愈缓慢,所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时,输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24,基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式,其功率为 P= 1 1

信号与系统重点概念公式总结

信号与系统重点概念公式总结

信号与系统重点概念公式总结Last updated on the afternoon of January 3, 2021信号与系统重点概念及公式总结:第一章:概论1.信号:信号是消息的表现形式。

(消息是信号的具体内容)2.系统:由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章:信号的复数表示:1.复数的两种表示方法:设C 为复数,a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jba 为实部,b 为虚部;或C=|C|e j φ,其中,22||b a C +=为复数的模,tan φ=b/a ,φ为复数的辐角。

(复平面)2.欧拉公式:wt j wt e jwt sin cos +=(前加-,后变减) 第三章:正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义:设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n =如果满足:n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集如果n i K i ,2,11==,则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为:ni K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义:一个正交函数集可以类比成一个坐标系统;正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴;在该坐标系统中,一个函数可以类比成一个点;点向这个坐标系统的投影(体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积)就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义:如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出,我们就称该正交集是完备的,否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外,不存在函数x (t )()∞<<⎰2120t t dt t x ,满足等式:()()⎰=210t t i dt t g t x ,则此函数集称为完备正交函数集。

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质
பைடு நூலகம்
由于 满足绝对可积条件,其傅里叶变换不含冲激函数,故
10) 频谱如图 5.4-8(d)所示。
(5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导,可得频域微分性质:
(d) (5.4-11)
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质,有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上, 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的,重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化,或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换,不仅计算过程简单,而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性,若


(5.4-1)
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算,相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若

如图 5.4-1 所示,其中


图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
(5.4-8)
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换,可求得阶跃函数的变换。由于
故有
(5.4-9)
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
,在 处为

例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数,波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得

第四章 离散傅立叶变换(DFT)

第四章 离散傅立叶变换(DFT)


x ( n )W N
kn
n0
X ( k ) DSK [ x ( n )] N 点

x ( n )W N
k=0, 1, …, N-1
n0
式中的周期序列 ~ N 是有限长序列x(n)的周期延拓 x 序列,其定义为
~ (n ) xN

m

x ( n mN )
(4.2.3)
X(N-k)=X*(k) k
0 ,1, 2 , N 2 1
共需要N2/2次复数乘法,比直接按定义计算少一半。 对一般的复序列,DFT也有共轭对称性。
4.3.5 循环卷积定理 1) 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点
循环卷积定义为
1 e
8k
1 e
j
k

2
k
j

2
k

e
j
(e
k j
e e
j

2
k
)
k

16

16
k
j

16
e
j
(e
k
)
7 16
sin( sin(

2
k)
e
k=0, 1, 2, …, 15
k)
16
x(n)的幅频特性函数曲线、 8点DFT、 16点DFT和 32点DFT的模分别如图4.2.1(a)、 (b)、 (c)和(d)所示。
通常又定义周期序列的主值序列为
x N ( n ) ~N ( n ) R N ( n ) x
比较以上四种变换的计算式可得到:

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现,也是求解信号傅里叶变换的基本手段。

傅里叶变换具有唯一性。

傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。

讨论傅里叶变换的性质,目的在于:1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。

§3.7.1对称性质1.性质2.意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§3.7.2 线性1.性质2.说明§3.7.3 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。

1.证明:由定义可以得到2.若,则证明:设f(t)是实函数(为虚函数或复函数情况相似,略)显然§3.7.4 尺度变换性质1. 性质:2. 证明:综合上述两种情况3.意义(1) 0<a<1 时域扩展,频带压缩。

脉冲持续时间增加a倍,信号变化减缓,信号在频域的频带压缩a倍。

因此高频分量减少,幅度上升a倍。

(2) a>1 时域压缩,频域扩展a倍。

持续时间短,变化加快。

信号在频域高频分量增加,频带展宽,各分量的幅度下降a倍。

此例说明:信号的持续时间与信号占有频带成反比,有时为加速信号的传递,要将信号持续时间压缩,则要以展开频带为代价。

§3.7.5 时移特性性质幅度频谱无变化,只影响相位频谱,例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。

解:由对称关系求,又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。

幅度频谱无变化,只影响相位频谱§3.7.6 时移+尺度变换1.性质:2. 证明:(仿的证明过程)当时,设,则例3-7-9方法一:先标度变换,再时延方法二:先时延再标度变换§3.7.7 频移特性1.性质2.证明3.说明4.应用通信中调制与解调,频分复用§3.7.8 频移特性1.性质2.证明3.说明4.应用通信中调制与解调,频分复用§3.7.9 时域微分性质2. 证明即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量,应先取出直流分量单独求傅里变换,余下部分再用微分性质。

信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解:变量n用k替代
反转,并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是,由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
,得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移,圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N,则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致,否则短序列须补 零,使两序列等长后,才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
(4.9)
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时,则可通过将较 短序列补零,使两序列长度一致,此时,式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移:圆周时移指长度为N的序列x(n),以N 为周期做周期延拓生成xp(n),位移m位后,得序 列xp(n-m),在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
(4.3)
k
k
式(4.3)两边同乘
e
j 2 N
nm
,再取合式
N 1
,得
n0

连续时间系统傅里叶变换的性质

连续时间系统傅里叶变换的性质

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2

0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0

1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号,试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)

信号与系统教案第4章FT的性质

信号与系统教案第4章FT的性质

可见An是n的偶函数, n是n的奇函数。 an = Ancosn, bn = –Ansin n,n=1,2,… 上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中, A0/2为直流分量;
A1cos(t+1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周期信号相同;
A2cos(2t+2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍; 一般而言,Ancos(nt+n)称为n次谐波。
信号与系统 电子教案
第四章 连续系统的频域分析
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
点击目录
第4-1页
信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理
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©西安电子科技大学电路与系统教研中心
a0 f (t ) a n cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
2 an T
第4-10页
可见, an 是n的偶函数, bn是n的奇函数。

T 2 T 2
f (t ) cos(nt ) d t
2 bn T
信号与系统 电子教案
4.2
傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波 分量,而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
0 f(t)
T/2
T
t
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运算不便,因
而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出:利用 欧拉公式:cosx=(ejx + e–jx)/2
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② X(ω)是ω的奇函数,因为sinωt是ω的奇函数。
如果f(t)是t的实奇函数,即偶分量fe(t)=0,则
F( jω)=R(ω)+j X(ω)=j X(ω)= 是ω的虚奇函数。
j f (t) sintdt 2 j f (t) sintdt
0
反之,如果F( jω)=j X(ω)是ω的虚奇函数,则F( jω)对应的原函数f(t)一定是t实奇函 数。
② 尺度变换特性的特例——翻转特性
如果a=-1,由尺度变换特性, 有:f(-t) ↔F(-jω) ——翻转特性
天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
例7 试求单位直流信号f(t)=1,-∞< t <+∞的频谱
解:不满足绝对可积
f(t)=1=ε(t)+ε(-t)
ε(t)

F1(
jω)=πδ(ω)+
证明:设a>0,
F f (at) f (at) e jtdt
f
j
( ) e a
d
1
a j f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
令at ,则 t ,dt d
a
a
t:-∞~+ ∞, :-∞~+ ∞
天津大学电子信息工程学
Байду номын сангаас
刘安
第四 连续系统的频域分析
类似地,若a<0,
第四 连续系统的频域分析
4、对称性
如果f(t) ↔F( jω),则F( jt) ↔2π f(-ω) (注意变量代换,证明参见p144)
特殊情况:
如果f(t)是t的实偶函数,且f(t) ↔F(ω)(ω的实偶函数), 则F(t) ↔2π f(-ω)=2π f(ω),或者 F1(t) ↔ f(ω)。
2
理解:若偶函数f(t)的频谱函数是F(ω),则与F(ω)形式相同的时间函数F(t)的频 谱与f(t)形式相同,此处2π只影响坐标尺度,而不影响函数的基本特性。
1 j
,
ε(-t)

F2(
jω)=F1(-jω)=πδ(-ω)-j
1
=πδ(ω)-
1 j
f(t) ↔ F( jω)=F1( jω)=+F2( jω)=2πδ(ω)
即:
1↔2πδ(ω)
δ(t) ↔1
f(t)
1

t
2πδ(ω) 2π
ω 0
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刘安
第四 连续系统的频域分析
例8 试求符号函数Sgn(t)的频谱。(教材p141,式(4.4-28))
五、傅立叶变换的性质(properties of the Fourier transform)
信号的时域描述和频域描述之间的关系:f(t)与F( jω) 是对同一信号的 两种不同的描述,只要其中一个确定,另一个也随之唯一的确定。
1、线性(linearity)特性(齐次性+可加性,或者均匀性+迭加性 )
| a | < 1,时域扩展a倍(变慢),各频率分量的幅度增大为 1 ,频带宽度压缩a倍,频
a
带变窄。
天津大学电子信息工程学
刘安
第四 连续系统的频域分析
讨论: ① 意义:
f(t)=gτ(t) gτ(t)
1
0
-
2
2

↔ t
F( jω)= Sa 2 F(jω)
τ
ω
- 4 - 2
2
4
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刘安
第四 连续系统的频域分析
f(2t)=gτ(2t)= g t
2
gτ(2t)
1
↔ 1 F j = Sa 2 2 2 4
1 F j 2 2
2
t
-
4
0
4
ω
- 4
4
总结:若要压缩信号的持续时间,即提高信号传输速度,则必须以展宽 频带为代价,如何恰当的处理这一矛盾是通信技术的主要课题。
1,t 0
Sgn(t
)
0,
t
0
1,t 0
解:不满足绝对可积 Sgn(t)=ε(t)-ε(-t)
ε(t)

πδ(ω)+
1 j
ε(-t)

πδ(ω)-
1 j
所以Sgn(t) ↔
2 j
注:Sgn(t)不满足绝对可积条件,但其频谱函数中不包含冲激,原因是被
±πδ(ω)消掉了。
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刘安
F f (at) f (at) e jtdt
令 at
t:-∞~+
∞,,则:+t∞~a-,
dt

d a
f
j
( ) e a
d
a
1
j
f ( ) e a d
a
1 a
F
j
a
综合二者:f (at) 1 F j
a a
总结:
1
| a | > 1,时域压缩a倍(变快),各频率分量的幅度下降为 a ,频带宽度扩展a倍。
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刘安
第四 连续系统的频域分析
3、尺度变换(比例性,反比特性) 如果 f(t) ↔F( jω),则 f(at) ↔ 1 F j ,a 为实常数(a≠0)
a a
分两种情况表示,即:① f(at) ↔ 1 F j ,a > 0 a a
② f(at) ↔ 1 F j ,a < 0 a a
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刘安
第四 连续系统的频域分析
讨论:① R(ω)是ω的实偶函数,因为cosωt为ω的实偶函数。
如果f(t)是t的实偶函数,即f(t)=f(-t),则F( jω)=R(ω)是ω的实偶函数。
反之,如果f(t) ↔F( jω)=R(ω),则f(t)一定是t的实偶函数,即f(t)=f(-t)。
F( jω)= f (t) e jt dt

fe (t)
fo (t) cost
j sintdt

fe
(t)
costdt
+j
fo (t) sintdt
=R(ω)+j X(ω) =|F( jω)|∙e jφ(ω)
其中,R(ω)=
fe
(t)
costdt
,X(ω)=
fo (t) sintdt
如果f1(t) ↔F1( jω),f2(t) ↔F2( jω), 则: af1(t) ↔aF1( jω),其中为任意常数,称之为齐次性或均匀性
f1(t)+f2(t) ↔F1( jω)+F2( jω),称之为可加性或迭加性 af1(t)+bf2(t) ↔aF1( jω)+bF2( jω),线性特性 2、奇偶、虚实性 (f(t)=fo(t)+fe(t))
③ 幅频特性,|F( jω)|= R2() 2() 是ω的偶函数。

相频特性: ( )
tg
1
() R()
是ω的奇函数。
作业(2011年期末考试题):f(t)为虚函数,F( jω)=R(ω)+j X(ω),证明: ①R(ω)=- R(-ω), X(ω)= X(-ω) ②F( jω)=- F*( jω)
记忆:δ(t) ↔1,1↔2πδ(ω) 例9 试求抽样函数Sa(t)= sin t 的频谱函数。
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