高等数学自考3.3函数的单调性与极值

上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
2 实际问题中最值的求法
如图所示为稳压电源回路，电动势为e,内阻为 内阻为r, 例7 如图所示为稳压电源回路，电动势为 内阻为 负载电阻为R， 为多大时， 负载电阻为 ，问R为多大时，输出功率最大？ 为多大时 输出功率最大？ 解：由电学知道，消耗在负载电阻R上的功率 P = I 2 R 由电学知道，消耗在负载电阻 上的功率 I为回路中的电流 为回路中的电流. 为回路中的电流 又由欧姆定律知道
y
0 a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
b
x
函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义 在[a，b]上函数的在[a，b]上可以有许多极值， 且极大值有可能小于极小值。 从图中可以看出， 从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间 的分界点， 的分界点， 因此极值点只能是 f ′( x) = 0 和 f ′( x ) 不存在的点. 不存在的点
函数的不可导点为x = 0, ±1 . 函数的不可导点为
函数f 在区间端点 驻点以及不可导点处的函数值为： 在区间端点、 函数 (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：
f ( ±2) =
3
4−
Hale Waihona Puke 3f ( 0 ) = 1 , f ( ± 1) = 1
3 比较之，得最大值： 比较之，得最大值：
2 3 , f (± )= 2
当 x < 0时 , f ′( x ) < 0;
当 x > 0 ( x < 1)时 , f ′( x ) < 0
从而 x = 0 时,
f (x)
无极值. 无极值
三、最大值、最小值问题 最大值、 1 求连续函数 (x)在[a, b]上的最值： 求连续函数f 在 上的最值： 上的最值 （1）计算函数驻点与不可导点处的函数值； ）计算函数驻点与不可导点处的函数值； （2）计算区间端点处的函数值； ）计算区间端点处的函数值； （3）对以上两类函数值进行比较即得。 ）对以上两类函数值进行比较即得。 例6 求函数 f ( x) = x − ( x −1)
2 极小值点: 极小值点 x = 极小值 极小值: 5
定理3 极值存在的二阶充分条件） 定理3（极值存在的二阶充分条件） 设函数f 在点 处具有二阶导数， 在点x 设函数 (x)在点 0处具有二阶导数， 且f ′(x0) = 0，f ′′ 0) ≠ 0，则 ， ′′(x ， ′′(x 的极大值； （i）当f ′′ 0) < 0时，f (x0)是f (x)的极大值； ） 时 是 的极大值 ′′(x 的极小值。 （ii）当f ′′ 0) > 0时，f (x0)是f (x)的极小值。 ） 时 是 的极小值 的极值. 例5 求 f ( x) = 3x − 4 x + 5 的极值
3
4,
4
3 最小值： 最小值： 4− 3
3
注1： 一般地说，若函数f (x)的最大 小)值是在区间 ： 一般地说，若函数 的最大(小 值是在区间 的最大 (a, b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值 内取得， 值必为极大（ 内取得 则该最大（ 注2： 在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定 ： 在实际问题中，往往根据问题的性质， 可导函数f 在其区间内部确有最大值 或最小值）， 在其区间内部确有最大值（ 可导函数 (x)在其区间内部确有最大值（或最小值）， 此时，如果确定 在这个区间内部只有一个驻点x 此时，如果确定f (x)在这个区间内部只有一个驻点 0 在这个区间内部只有一个驻点 （或导数不存在的点）， 或导数不存在的点）， 那么， 那么，这个点就是函数的最值点
使导数f 等于零的点x 使导数 ′(x)等于零的点 0 通常称为函数 (x)的驻点 等于零的点 通常称为函数f 的驻点 可以证明：若函数φ(ξ)在ξ 0 处可导，且在ξ 0 处取得 可以证明：若函数φ(ξ)在 处可导， φ(ξ) 处的导数为零。 极值， 极值，则这个函数在ξ 0 处的导数为零。即 f ′( x0 ) = 0 因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点. 因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点 但驻点和导数不存在的点不一定是极值点. 但驻点和导数不存在的点不一定是极值点 y 例如，对函数 例如，对函数y = x 3, y ′= 3x 2,x = 0是驻点 是驻点 在点x 不取得极值。 但f (x)在点 = 0不取得极值。 在点 不取得极值
e I= R+r
e e2R P = P(R) = ( )2 R = 则有 R + r (R + r)2
r−R P′( R ) = e 3 (r + R)
2
令 P′( R)＝0，得R = r 此实际问题应有最大值， 此实际问题应有最大值，故当
2
R=r
2
e r e = 输出的功率最大， 输出的功率最大， R = 2 (r + r ) 4r
2 2 3 1 3
上的最大值与最小值。 在区间 [ − 2 , 2 ] 上的最大值与最小值。
解
f ′( x ) =
2 x 3
−
1 3
2 − x ( x 2 − 1) 3
2 2 3
−
2 3
2 ( x − 1) − x = ⋅ 3 3 x ( x 2 − 1) 2
2 得驻点 x = ± 2
4 3
令 f ′(x) = 0
上单调增加； ∴ 在[0,+∞ )上单调增加；Q f (0) = 0,
∴ 当x > 0时， x − ln(1 + x ) > 0, 即 x > ln(1 + x ).
二、函数的极值 定义 设函数f 在点 的某个邻域内有定义, 在点x 设函数 (x)在点 0的某个邻域内有定义 对于该邻域内异于x0的点 , 对于该邻域内异于 的点x 如果恒有f 如果恒有 (x) < f (x0)， 或（f (x) >f (x0)）， ， ）， 则称f 的极大值(或极小值 则称 (x0)为f (x)的极大值 或极小值） 为 的极大值 或极小值） 的极大（ 值点； 称x0为f (x)的极大（小）值点； 的极大 极大值与极小值统称为极值。 极大值与极小值统称为极值。
−∞ 单调区间为 (−∞ ,1]， [1,2]， [2,+∞ ).
例3 当x > 0时, 试证x > ln(1 + x )成立.
x . 证 设f ( x ) = x − ln(1 + x ), 则 f ′( x ) = 1+ x
Q f ( x )在[0,+∞ )上连续 , 且(0,+∞ )可导， f ′( x ) > 0, 可导，
第三节 函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值
一、函数的增减性判别法
y
y = f (x) B
y A
y = f (x)
O
α
A a x b ，曲线上升
O
B a b
α
x
(a) f ′(x) >0
(b) f ′(x) < 0 ，曲线下降
定理1 设函数f 在闭区间 在闭区间[a, 上连续 上连续， 内可导， 定理1 设函数 (x)在闭区间 b]上连续，在(a, b)内可导，则 内可导
在( −∞ ,0)内, y′ < 0,