函数的单调性、极值和最值(1)
函数的单调性与极值 最值
例8
判断函数 y = x − ln x 的单调性
解
函数的定义域为 (0,+∞ ) x −1 1 Q y′ = 1 − = x x 当 0 < x < 1 时数在 ( 0,1) 内单调减少。 单调减少。
内单调增加。 在 (1, +∞ ) 内单调增加。
x >1
时， y′ > 0,
y
f ( x1 )
( 2)
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
f ( x2 )
y = f ( x)
o
x1
x2
x
I
一、函数的单调性
y
2.判别方法 判别方法
y A y = f (x) B
y = f (x)
A
B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
在区间(a,b)上单调上升 若 y = f (x)在区间 上单调上升 在区间(a,b)上单调下降 若 y = f (x)在区间 上单调下降
y
间断
∴ 单增区间为 (−∞, −2) , ( 2, +∞ ) 单减区间为 (−2, 0) , (0, 2)
x < ln(1 + x ) < x . 复习 证明当 x > 0 时, 1+ x 课本P124 课本 证法一设 f ( t ) = ln(1 + t ) t ∈ [0, x ]
足拉格朗日中值定理的条件. 则 f ( x ) 在 [0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件. 故
∴ 在(−∞ ,1]上单调增加； −∞ 上单调增加；
f ′( x ) < 0, ∴ 在[1,2]上单调减少； 上单调减少；
大学高等数学上册：4-1单调性与极值
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
函数的单调性,极值与最值
（4）确定 f ( x ) 的间断点、 f ' ( x ) 不存在的点xk；
（5）用 xi、xk把函数的定义域划分为单调区间； （6）把以上结果制成表格。
5
3 2 例4 确定f x 2 x 9 x 12 x 3的单调区间
解 定义域 ,
f x 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
2x1 1, x 2 3时，y 0
法1
3x在 1的左侧附近时， x 0 f f 1 10为极大值。 x在 1的右侧附近时， x 0 f
. f 3 22为极小值 x在3的右侧附近时， x 0 f
a x1
o
x2 x3
x4
x5
x6
b
x
设 f f 定理1（必要条件） f x 在x 0点可导， x 0 为极值，则 x 0 0.
驻点：使导数为零的点（即方程 f ' ( x ) 0的实根）。 可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。
问题：怎样才能从驻点中找出极值点？
令y 0, 得x 15km.
y
x0
400k , y x 15 380k ,
sin x x
只有一个实根
是一个根
f ( x ) sin x x , x 0
函数单调性和最大值最小值
考点二 求函数的单调区间 1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性． (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定 义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象给出的，或 者 f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性 写出它的单调区间． (4) 导数法：利用导函数取值的正负确定原 函数的单调区间．
②由 x2－3x＋2≥0 得 x≥2 或 x≤1 设 u(x)＝x2－3x＋2，则 y＝1－ u x∈(－∞，1]时，u(x)为减函数 x∈[2，＋∞)时，u(x)为增函数 而 u≥0 时，y＝1－ u为减函数 ∴y＝1－ x2－3x＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区 间为[2，＋∞)． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令 y′>0 得 x>1 或 x<－1，
5．(2010 年江苏省苏北四市期末联考模拟试题)函数 y＝ x2＋2x－3的单调减区间是________．
解析：∵y＝ x2＋2x－3，∴x2＋2x－3≥0，∴x∈(－∞， －3]∪[1，＋∞)， ∴y＝ x2＋2x－3的单调减区间为(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
考点一 函数单调性的判断与证明
由 y′<0 得－1<x<1，
∴y＝x3－3x 的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间 为(－1,1)．
1 变式迁移 2 (2010 年天津模拟)求函数 y＝log (－x2－2x 2 ＋3)的单调区间．
解析：由－x2－2x＋3>0，得－3<x<1， 1 所以函数 y＝log (－x2－2x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}． 2 又函数 μ＝－x2－2x＋3 在区间(－3，－1)上单调递增，在 区间(－1,1)上单调递减，由复合函数单调性的判定方法知函数 1 y＝log (－x2－2x＋3)的单调递减区间是(－3，－1)，单调递增 2 区间是(－1,1)．
导数与函数的单调性、极值、最值
导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性与导数在(a ，b )内的可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.)(x f '≥0 ⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．)(x f '≤0 ⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充要条件．(×)(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)(6)开区间上的单调连续函数无最值．(√)(7)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)(8)闭区间上的连续函数一定有最大值，也有最小值．(√)(9)函数f (x )＝3x ＋b ，在[m ，n ]上的极大值点为m .(×)(10)函数f (x )＝x 2－1，其极值点为)0,21(.(×)考点一 利用导数研究函数的单调性[例1] (1)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f ′(x )＝1－cos x ＞0恒成立，∴f (x )在R 上递增，在(0,2π)上为增函数． 答案：A(2)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数；当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．答案：(2,2a )(3)函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( )A ．a ≤0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ＞0解析：函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是f ′(x )＝3x 2－a ＞0在R 上恒成立，所以a ＜(3x 2)min .因为(3x 2)min ＝0，所以a ＜0.故选B. 答案：B[方法引航] (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.1．若将本例(2)改为已知函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a .(a ∈R )，求f (x )的单调区间．解：x ∈R ，f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝2a ，x 2＝2，当2a ＞2，即a ＞1时由f ′(x )＞0得x ＞2a 或x ＜2；由f ′(x )＜0得2＜x ＜2a .当2a ＝2，即a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立；当2a ＜2，即a ＜1时，由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜2a ；由f ′(x )＜0得2a ＜x ＜2. 综上所述，当a ＞1时，增区间为(2a ，＋∞)，(－∞，2)；减区间为(2,2a )．当a ＝1时，增区间为(－∞，＋∞)，无减区间．当a ＜1时，增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)，减区间为(2a,2)．2．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.答案：－4考点二利用导数求函数的极值[例2](1)求函数f解：由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为m＜0，则)(xf'＝2(x＋－m)(x－－m)x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：的单调递减区间是单调递增区间是(－m，＋∞)．∴当x＝－m时，f(x)极小值＝(－m)2＋2m ln－m＝－m＋m ln(－m)．(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解：①由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0.解得a＝0，b＝－3.②由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[方法引航] 1.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导函数)(xf'(2)求方程)(xf'＝0的根；(3)用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检查在方程根的左右)(x f '的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．2．已知极值求参数时，要注意检验所求是否有极值的条件．1．若本例(1)中函数不变，m 变为“m ≥0”，其极值如何．解：当m ＝0时，f (x )＝x 2，∴在(－∞，0)，f (x )为减函数，(0，＋∞)为增函数， ∴当x ＝0时，f (x )极小值为0，无极大值．当m ＞0时，f ′(x )＝2x ＋2m x ＞0恒成立．∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值．2．若本例(2)改为已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18解析：选C.∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.考点三 利用导数求函数的最值[例3] (1)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln x ＋1，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2e －1 D ．e 2－1解析：设f (a )＝g (b )＝t ，即e a ＝ln b ＋1＝t (t ＞0)，所以a ＝ln t ，b ＝e t －1，则b －a ＝e t －1－ln t ＝h (t )，h ′(t )＝)e('te －1t ＝e t －1－1t ，令h ′(t )＝0，得t ＝1，可判断t ＝1为函数h (t )的极小值点，所以所求的最小值为h (1)＝1.答案：A(2)设函数f (x )＝x e x －x )12(+x a ＋2. ①若a ＝1，求f (x )的单调区间；②当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．解：①∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x )121(+x ＋2＝x e x －12x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1≤x ≤0时，f ′(x )≤0；当x ≤－1或x ≥0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[－1,0]上单调递减，在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增．②由f (x )≥x 2－x ＋2，得x 0)22(≥+-x a e x≥0，即要满足e x ≥a ＋22x ， 当x ＝0时，显然成立；当x ＞0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得 a ≤2(e －1)．[方法引航] 设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，则求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的极值，若函数f (x )中含有参数，则需要讨论参数的范围，从而决定极值存在的位置；(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较，得出函数f (x )在[a ，b ]上的最值.1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A.f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103.故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.2．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f )32(-＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7， 故f (x )min ＝72，∴a ＜72. 答案：)27,(-∞[规范答题]用导数研究函数单调性和极值[典例] (2017·山东济南模拟)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值；并求此时f (x )在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋a ，1分f ′(0)＝e 0＋a ＝0，∴a ＝－1.2分∴f ′(x )＝e x －1，∵在(－∞，0)上f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在(0，＋∞)上f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取极小值．∴a ＝－1.3分易知f (x )在[－2,0]上单调递减，在(0,1]上f (x )单调递增，且f (－2)＝1e 2＋3，f (1)＝e ，f (－2)＞f (1).4分∴f (x )在[－2,1]的最大值为1e 2＋3.5分(2)f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x ＞0.①当a ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，7分且当x ＞1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)＞0.8分当x ＜0时，取x ＝－1a ，则f )1(a -＜1＋a )11(--a＝－a ＜0， ∴函数f (x )存在零点，不满足题意.9分②当a ＜0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，x ＝ln(－a )．在(－∞，ln(－a ))上f ′(x )＜0，f (x )单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上f ′(x )＞0，f (x )单调递增，∴x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值.11分函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )＞0，解得－e 2＜a ＜0.综上所述，所求的实数a 的取值范围是－e 2＜a ＜0.13分[规范建议] (1)正确求导和f ′(0)．(2)通过极值并检验a 的值．(3)利用单调变化求最大值．(4)讨论a ，确定单调变化与最值，构建关于a 的不等式．(5)注意(1)与(2)两问无关系．[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.]31,1[- C.]31,31[- D.]31,1[-- 解析：选 C.f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在[－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13，故选C. 2．(2014·高考课标卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x )1(aa x --(x －1)． (ⅰ)若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f ′(x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜a a －1，解得－2－1＜a ＜2－1.(ⅱ)若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈)1,1(a a -时，f ′(x )＜0；当x ∈),1(+∞-aa 时，f ′(x )＞0.f (x )在)1,1(a a -上单调递减，在),1(+∞-aa 上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f )1(aa -＜a a －1. 而)1(aa f -＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． (ⅲ)若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1. 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．3．(2013·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2))21(-x e 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，)(x f '＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．课时规范训练A 组 基础演练1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)解析：选A.∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x ＞0)． ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C.∵f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.∴f (x )在[－1,0)上是增函数，f (x )在(0,1]上是减函数．∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2.3．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )解析：选C.根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.4．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A.)23,2(ππ B ．(π，2π) C.)25,23(ππ D ．(2π，3π) 解析：选C.y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈)25,23(ππ时，恒有x cos x ＞0.故选C.5．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0＜a ≤3解析：选A.∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，当x －9x ≤0时，有0＜x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.6．函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2， 令f ′(x )＜0，解得－3＜x ＜0或0＜x ＜3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)． 答案：(－3,0)和(0,3)7．函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.答案：a ≥－38．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是______．解析：转化为f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立， 即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．已知函数f (x )＝1＋ln x kx (k ≠0)．求函数f (x )的极值．解：f (x )＝1＋ln x kx ，其定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝－ln x kx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当k ＞0时，若0＜x ＜1，则f ′(x )＞0；若x ＞1，则f ′(x )＜0，∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x ＝1时，函数f (x )取得极大值1k .当k ＜0时，若0＜x ＜1，则f ′(x )＜0；若x ＞1，则f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x ＝1时，函数f (x )取得极小值1k .10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得)(x f '＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则)(x f '＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，)(x f '＜0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，)(x f '＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.B 组 能力突破1．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2解析：选D.由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：处取得极小值，则2．已知函数f (x )＝e x x 2－k )ln 2(x x+，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A.f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k )12(2xx +-＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x ＞0)．设g (x )＝e x x ， 则g ′(x )＝(x －1)e xx 2，则g (x )在(0,1)内单调减，在(1，＋∞)内单调增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx 与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e ，选A.3．已知函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，则下列选项正确的是( ) A ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数f (x )有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数f (x )有极大值f (1)＝1，无极小值解析：选A.由f ′(x )＝)212(2'++x x ＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0，故x＝－2是函数f (x )的极小值点，且f (－2)＝－12，x ＝1是函数f (x )的极大值点，且f (1)＝1.4．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－(x－1)(x－3)x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.答案：(0,1)∪(2,3)5．已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解：f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a＞0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a＞0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2＜x＜3，∴e－2＜e x＜e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．。
导数的单调性极值最值
第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．考向一 单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析【解析】（1）由题意得2()63f x x '=-.令2()630f x x '=->，解得2x <-或2x >.当(,2x ∈-∞-时，函数为增函数；当,)2x ∈+∞时，函数也为增函数.令2()630f x x '=-<，解得22x -<<当()22x ∈-时，函数为减函数.故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,-∞和)+∞，单调递减区间为(.（2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.1()2f x x x '=-=.令()0f x '>，解得2x >；令()0f x '<，解得02x <<. 故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为(,)2+∞，单调递减区间为(0,)2. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]． f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x 2x －x 2 .令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x 2＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)． 令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)． 【举一反三】1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【套路总结】用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间 ①求函数的定义域D ②求导'()f x③解不等式'()f x ＞()<0得解集P④求DP ,得函数的单调递增（减）区间。
-函数的单调性、极值与最值
（
2 ， 0） 2
+ ↑
（ 0， 2 2 ）
不存在 无
2 2
+ ↑
0
极大
－
↓
（ 1 ， ）
－
（
2 2
，1 ）
1
不存在
+ ↑
0
－
极小
极大
↓
无
↓
所以，f(x)的极大值为 f (
2 3 2 3 ) 4 ， f ( ) 4 . 2 2 0 )1 . f(x)的极小值为 f(
练习
求下列函数的极值.
注2：Th1中的“>”和“<”号也可改为“≥ ”和“≤ ” 号，
2、分段单调函数： Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子
区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.
结论同样成立.
3、驻点： 导数 f '(x)在区间内部的零点称为 f (x)驻点 . Def 2：
即： f ' ( x ) 0 ，则 x 为驻点 . 0 0
2 2 例3：证明 1 x ln( x 1 x ) 1 x ( x 0 ).
2 2 证：令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x ) 1 x
2 则 f ' ( x ) ln( x 1 x ) 0
( x 0)
当 x （ 0 , ）时， f( x ) 为严格单调递
a
x0
0
b
x
2、极值的必要条件 定理 2 设函数 f(x) 在 I 内连续，点 x0 不是 I 的断点 ，若函数在 x0 处取得极值，则 x0 或是函数的不可导 点，或是可导点；当 x0 是 f(x) 的可导点，那么 x0 必 是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0. 推论：设函数 f(x)在点 x0可导，则函数 f(x)在点 x0 取得极值的必要条件是 f ( x0 ) = 0 . 注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.
函数的单调性、奇偶性与最值
函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在 区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。
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)函数的单调性、极值和最值（1）
【复习目标】
1.会用导数求函数的单调区间
2.会用导数求函数在给定区间上的极值
【考试说明要求】
使用导数研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题；在高考中考查形式多种多样，常以选择题或者填空题形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式与其他数学仅仅结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题
【知识点】
1、函数的单调性与导数
(1)
如果在某个区间上f ′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的
如果在某个区间上f ′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的
(2)利用导数确定函数单调区间的一般步骤.
2、函数的极值与导数
（1）观察图象，不难发现，函数图象在
点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下
降”（由单调增函数变为减函数）这时在
点P附近，点P的位置最高，即1
()
f x比
它附近的函数值都大，我们称1
()
f x为
函数()
f x的一个
类似地，图中2
()
f x为函数()
f x的一个，极大值与极小值统称为函数
的。
(2)求极值的一般步骤：
【例题分析】
例1 利用导数确定下列函数单调区间
3
(1)6
y x x
=-2
1
(2)ln
2
y x x
=-
x
()0
x>
变题：利用导数确定函数
3()3()f x x ax a R =-∈的单调区间 例2 已知函数
32()263,f x x x x R =-+∈ (1)求()f x 的极值；
(2)若关于x 的方程
()f x a =有3个不同的根，求实数a 的取值范围。
变题：已知条件改为以下几种情况，试求实数a 的取值范围。
①方程
()f x a =有2个不同的根； ②方程()f x a =有1个不同的根 ；
③试讨论函数()()h x f x a =
-的零点个数。
例3 如果函数y=f （x ）的导函数 ()y f x '=的图象如图所示，
给出下列判断：
①函数y=f （x ）在区间（－3，12-）内是单调增函数；
②函数y=f （x ）在区间1(,3)2
-内是单调减函数； ③函数y=f （x ）在区间（4，5）内是单调增函数；
④当x=-2时，函数y=f （x ）有极小值；
⑤当12
x =- 时，函数y=f （x ）有极大值.； ⑥当3x = 时，函数y=f （x ）有极小值.
则上述判断中准确的是________.
【附加例题】 1、函数
()(3)x f x x e =-的单调增区间是 2、函数
()ln f x x x =的单调减区间是 3、函数24()2f x x x =-的极大值与极小值分别是
【拓展延伸】 已知函数
322()f x x ax bx a =+++在x ＝1处有极值 10，则 f(2)等于
《导数应用》说课稿
高三数学备课组：吴广
一、说教材
导数是高中数学新增内容的第三章，它在解决数学相关问题中起到工具的作用。
在每年的高考题都有导数的身影，它主要在解决函数的一类问题中出现，难度不是很大，但能在解题的方法中起到四两拨千斤的作用。
本节课重点是如何利用导数解决函数的相关问题。
因为导数在研究函数单调性、极值和最值等方面有广泛的应用。
二、说教学目标
通过本节课的学习让学生建立利用导数解决与函数相关问题的思想。
并要掌握相关导数试题的三个层次：
第一层次：导数的概念，求导公式和求导法则。
第二层次：导数的简单应用，包括求函数的极值、最值、单调区间和判断函数的单调性等
第三层次：综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中相关不等和函数的单调性等结合在一起。
三、说教学方法
诱导教学法，在教学过程中与学生实行互动式教学
四、说重点与难点
在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提升分析问题和解决问题的水平，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。
那对本节课的四道例题，重点都是导数在解决函数相关问题的应用。
例1主要是从导数的概念出发，找出相关的量通过建立方程来解决相关的参数。
例2-4则是对导数与函数相关结论的应用，重点在函数求导上。
那解决这两个重点就要对导数的基础知识一定要理解透彻。
难点都是在对题意的把握上，要学生在审题、读题这个方面多努力。
例2-4要求较高不但要读懂题目，还要学会转化思想的水平，把复杂的问题经过度析化归为我们常见的问题来解决。
五、说学情：
本专题是高考的热点并且知识点较多，所以学生容易在知识点掌握不全和理解不清的情况下会出现一些错误。
高三（6）班的学生整体成绩较差在课题的引入、复习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验自己学到的知识学有所用，增强学生的学习主动性和有效提升学习效果。
六、说考情：
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考查的是函数的基础知识，只不过用导数这个工具来解决。
在这类题目中注意分类讨论的思想，转化化归的思想与数形结合的思想等。
七、说教学过程：
根据教学目标，我采用互动式教学，引导学生自主探究，所以第一步通过问题，引导学生很快让学生进入状态，然后通过学生回答，使学生明白函数的单调性、极值、最值之间的联系与区别。
作为导数的概念很重要，但体现它的工具性一般就在解答题中，所以重点学习四个例题和练习。
八、说板书设计：
根据教学过程，通过教师板书的形式展示。
以训练学生的规范性。
《导数应用》教学反思
高三数学备课组：吴广
[设计理念]：针对学生实际。
让学生掌握导数解决函数单调性、极值、最值的一般方法。
强化解题规范化操作。
[教学效果]：课堂上学生积极参与，在师生合作交流中完成知识的建构和水平的提升，课堂教学效果良好。
[教后反思]：本节课围绕“核心”知识点及学生的易错点设计、变换问题，引导学生思考讨论，锻炼学生独立解决问题的水平和合作学习的水平，形成自已的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新课改的课堂理念，以培养学生水平为主，学生是课堂的主体，也突出了数学复习课的特点：梳理知识，强化应用。
本设计中的问题对中上等的的同学比较适合，对部分学困生学起来有一定的难度，尤待进一步改进。