【医学统计学】第9章 方差分析(27-29)
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医学统计学之方差分析(pdf 10页)
回顾t检验、秩和检验 t检验应用条件及特 点： 小样本 正态性 方差齐性 秩和检验应用条件及 特点： 不符合t检验条件时•多组之间的样本均数比较例：有身高发育低下的儿童20名，应用 五种不同膳食进 行治疗，每组4名，一个疗程后各组儿童身高增加值如下 表，问五种不同膳食组身高增长的平均数间有无差别？膳食 X 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组3.3 5.1 5.5 8.3 8.5在不同的 个体间值 存在差异6.8 6.3 7.3 7.7 7.82.2 3.2 7.6 6.2 10.4 5.5 3.1 7.2 9.1 6.8X ＝6.395X i 4.450 4.425 6.900 7.825 8.375同一种膳食（组内） 的四个儿童值不同膳食组间身高增长 值平均数存在不同能否将五组分别进行t检验呢？ 按排列组合5组两两比较，共进行10次t检验。
若每次t检验犯第1类错误的概率为0.05，则不犯 第1类错误的概率为0.95，10次检验独立进行， 10次都不犯第1类错误的概率应为 0.9510=0.5987 ，故在10次t检验中至少有一次犯 第1类错误的概率为：•P：1-0.9510=0.4013>>0.05不能将五组分别两两进行t检验！方差分析!第九章 方差分析1.方差分析的基本思想和应用条件 2.完全随机设计 3.随机区组设计资料的方差分析 4.多个均数间的两两比较 5.交叉设计资料的方差分析 6.析因设计的方差分析 7.重复测量资料的方差分析 8.多个样本的方差齐性检验第一节 方差分析的基本思想和应用条件1第一节 完全随机设计的方差分析1. 方差分析的概念 方差分析（ANOVA）又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相 同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计 学意义。
应用条件： • 各样本相互独立 • 均来自总体方差具有齐性的正态分布方差分析的基本思想 将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸 因素分解为若干变异，构造出反映各部分变 异作用的统计量（SS），之后构造假设检验 统计量（F），实现对总体均数的推断。
★卫生统计学专题九：方差分析
专题九 方差分析方差分析（ANOV A ），又称F 检验，是一种以分析数据的变异为基础，以F 值为统计量的计量资料的假设检验方法。
用较不同变异来源的均方，借助F 分布做出统计推断。
⑴方差分析的应用条件：①各观察值相互独立，且每一水平下的观察值均服从正态分布。
②各总体方差相等，即具有方差齐性。
⑵对于不满足方差分析应用条件的资料，可采用以下两种方式进行处理：①变量变换，是指满足方差分析的基本假定。
②应用非参数统计分析方法。
⒉完全随机设计的ANOV A各组样本均数各不相等，这种差异可能由两种原因引起：①随机误差；②处理因素。
⑴完全随机设计的变异分解：完全随机设计（成组设计）资料的总变异可以分解为组间变异和组内变异。
①总变异：SS 总，用所有观察值与均数的离均差平方和表示。
SS 总=∑∑-ij2ijx x ）（，υ总=N-1（N 为总例数）②组间变异：SS 组间，用各组均数与总均数的离均差平方和表示。
SS 组间=∑-i2ii x xn ）（，υ组间=k-1（k 为处理组数）③组内变异：SS 组内，用各组内每个测量值xij 与该组均数得离均差平方和表示，仅反映随机误差，又称误差变异。
SS 组内=∑∑-ij2i ij x x ）（，υ组内=N-k⑵三种变异及相关自由度的关系为：SS 总=SS 组间+SS 组内，υ总=υ组间+υ组内均方MS 组间=SS 组间／υ组间；MS 组内= SS 组内／υ组内⑶方差分析的统计量F ：F=MS 组间／MS 组内⑷F 界值表：纵标目为组间自由度υ1，横标目为组内自由度υ2，表中给出了α=0.05和α=0.01时供方差分析用的单侧F 界值，用F α，（υ1，υ2）表示。
若F ≥F α，（υ1，υ2），则P ≤α，按α水准拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，可以认为总体均数不等或不全等（处理因素有效应）；反之，则差别无统计学意义，尚不能认为总体均数不等或不全等（尚不能认为处理因素有效应）。
(卫生统计学)第九章 方差分析
对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计 值。若用t检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个 S x1x2 ，故使得各 次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估 计的精确性降低，从而降低检验（推断正确）的灵敏性。如上例试验有10个 处理（因素），每个处理重复20次，共有200个观测值。进行t检验时，每次 只能利用两个处理共40个观测值估计试验误差，误差自由度为2(20-1)=38； 若利用整个试验的200个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误 差自由度为10(20-1)=190。可见，在用t检法进行检验时，由于估计误差的精 确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低。
由于ANOVA是根据试验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多， 变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易。同时由于变异 划分精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。
方差分析的基本思想是：按造成数据变异的来源分解离均差平方和与自由度，然后借助F 分布作统计推断。
S 处 1 S 2 . 理 5 0 3 . 2 8 2 1 4 0 2 . 9 0 2 0 3 . 2 7 0 2 1 4 6 4 . 1 0 2 0 3 . 2 7 0 2 4 1 0 . 7 2 3 0 0 0 1
S 区 S 3 组 3 .1 2 3 .2 3 4 2 3 3 3 2 .10 7 3 .2 3 4 2 3 . 2 .3 . 3 .5 0 0 3 .2 3 4 2 3 1 .5 05 077
( i1
xij)2
j1
N
S总 SS组 S 间 S组 S 内
ni
k ni
k ni
(
k
xi)j2
由于ANOVA是根据试验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多， 变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易。同时由于变异 划分精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。
方差分析的基本思想是：按造成数据变异的来源分解离均差平方和与自由度，然后借助F 分布作统计推断。
S 处 1 S 2 . 理 5 0 3 . 2 8 2 1 4 0 2 . 9 0 2 0 3 . 2 7 0 2 1 4 6 4 . 1 0 2 0 3 . 2 7 0 2 4 1 0 . 7 2 3 0 0 0 1
S 区 S 3 组 3 .1 2 3 .2 3 4 2 3 3 3 2 .10 7 3 .2 3 4 2 3 . 2 .3 . 3 .5 0 0 3 .2 3 4 2 3 1 .5 05 077
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xij)2
j1
N
S总 SS组 S 间 S组 S 内
ni
k ni
k ni
(
k
xi)j2
医学统计学：方差分析课件
H1：
各组样本的总体均数不等或不全相等；
如果H0 成立，即各处理组的样本来自相同的总体，无 处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反
映随机误差作用的大小。
F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大， 拒绝H0的理由越充分。
数理统计理论证明，当H0成立时，F统计量服从F分布。
F 分布曲线
方差分析步骤
单因素方差分析
1. 建立检验假设，确定检验水准 H0：4组家兔的血清ACE浓度总体均数相等，
H1：4组家兔的血清ACE浓度总体均数不等或不 全相等，各 不等或不全相等
2. 计算统计量 F 值
单因素方差分析 计算步骤
方差分析步骤
单因素方差分析 计算步骤
方差分析表
3. 确定P值，并做出统计推断
设计方法
拉丁方设计
（四）优缺点
Байду номын сангаас
拉丁方设计
❖ 优点 1、精确性高
拉丁方设计在不增加试验单位的情况下，比随机 单位组设计多设置了一个单位组因素，能将横行和 直列两个单位组间的变异从试验误差中分离出来， 因而试验误差比随机单位组设计小，试验的精确性 比随机单位组设计高。
2、试验结果的分析简便
拉丁方设计
两因素方差分析
配伍组设计资料的方差分析
例 某医师研究A、B和C 3种药物治疗肝炎的效果， 将32只大白鼠感染肝炎后，按性别相同、体重接 近的条件配成8个配伍组，然后将各配伍组中4只 大白鼠随机分配到4个组。对照组不给药物，其余3 组为实验组，分别给予A、B和C药物治疗。一定 时间后，测定大白鼠血清谷丙转氨酶浓度(IU/L)， 见下表。问4组大白鼠的血清谷丙转氨酶浓度是否 相同？
7
方差分析基本思想
医学统计学第九章方差分析课件PPT
17.40
25.61 19.12
21.36
19.53 15.31
21.75
12.65
19.47
18.48
15.51
19.83
10.86
23.12
27.81
19.22
21.65
19.22
16.32
16.72
20.75
27.90
22.11
11.74
13.17
24.66
17.55
14.18
19.26
16.52
SS组间 SS B ni ( X i X )
i 1
k
2
组间 k 1
2.组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和，反
映处理因素的作用和随机误差的影响
SS组间 21(9.1952 6.8650)2 19(5.8000 6.8650)2 20(5.4300 6.850)2 176.7612
MS 909.8723 / 57 15.9627
三种变异的关系：
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
检验统计量：
MS组间 F , 1 组间 , 2 组内 MS组内 如果 1 2 k ，则 MS 组间 ,MS 组内 都为
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率： 1－(1－)k 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
第九章 方差分析
analysis of variance, ANOVA
1412ff100806040200?1?1?2?5?1?5?2?5?1?10?2?1012f34f分布曲线0变异分解c??xn2完全随机设计资料的方差分析表变异来源总变异自由度n1k1ssms2f?x?c2组间?nixi?xiss组间?组间ss组内ms组间ms组内组内nkss总?ss组间?组内引例某医生为研究一种四类降糖新药的疗效以统一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患者按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床试验
卫生统计学课程第九篇方差分析
添加标题
原假设和备择假设，并进行假设 检验。
结果解释：根据方差分析的结果， 解释各组之间的差异是否具有统 计学显著性。
05
方差分析的实例解析
实例选择与数据来源
实例选择：选择具有代 表性的数据集
数据来源：确保数据真 实可靠，避免数据污染
数据量：样本量要足够 大，以提高分析的准确
模型建立
确定研究因素和水平
收集数据并整理
确定实验设计和样本量
建立方差分析模型并进行 统计分析
模型检验
方差分析的前提假设 模型拟合度检验 模型诊断与检验 模型预测与评估
结果解释与推断
描述性统计：对数据进行描述性 统计，包括平均数、标准差等。
方差分析：利用方差分析的方法， 比较不同组之间的差异。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
农业试验：分析不同品种、肥料 等对农作物产量的影响
市场调研：比较不同地区、不同 营销策略对销售额的影响
03
方差分析的数学模型
方差分析的数学表达
方差分析的基本思想是通过数学 模型将不同组别的数据转化为可 比较的形式，从而进行统计分析。
在方差分析中，因变量的变异被分 解为组间变异和组内变异，组间变 异反映了不同组别之间的差异，组 内变异则反映了随机误差。
方差分析与相关分析的比较
目的：比较方差分析和相关分析的异同点
方差分析：用于比较不同组之间的差异，要求数据满足独立性、正态性和方差齐性
相关分析：用于研究变量之间的相关关系，不要求数据满足独立性、正态性和方差 齐性
适用范围：方差分析适用于组间比较，相关分析适用于变量间关系研究
感谢您的观看
汇报人：XX
方差分析的基本假设 方差分析的数学模型 方差分析的数学推导过程 方差分析的数学意义
(卫生统计学)第九章 方差分析
( i1
xij)2
j1
N
S总 SS组 S 间 S组 S 内
ni
k ni
k ni
(
k
xi)
k
S组 S 内 (xijxi)2 xi2j
i 1j 1
i 1j 1 i 1
j 1
ni
ni1Si2
i 1
v总 N 1 v组间 k 1 v组内 N k
MS组间 SS组间 v组间
MS组内 SS组内 v组内
两两比t检 较验 的的比较次 mC 数 120为 45： 次
若0.0， 5 45次中恰 5次有 有统计学意义的结果
比较组 t P
1与3 2.601 0.013
1与6 2.329 0.025
1与7 2.372 0.023
1与9 2.272 0.029
1与10 2.918 0.006
实际上犯第一类错误的概率为5/45≈0.11>0.05。
表9-2 从已知总体N（10，52）随机抽取10个样本（ni=20）的结果
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
12.61 10.85 9.23 9.11 10.90 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
S
4.29 5.44 3.93 6.55 4.83 4.86 3.88 3.89 5.38 4.08
由于ANOVA是根据试验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多， 变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易。同时由于变异 划分精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。
方差分析的基本思想是：按造成数据变异的来源分解离均差平方和与自由度，然后借助F 分布作统计推断。
医学统计学(课件)方差分析
要点二
原理
通过将因变量和协变量之间的关系线 性化，进行线性回归分析，并控制其 他因素的影响。
要点三
应用
医学研究中用于研究疾病与基因型、 环境因素之间的关系，社会科学中用 于研究收入和教育水平的关系等。
多重比较方法
01
定义
多重比较方法是方差分析的一种补充 方法，用于比较多个组之间的差异。
02
原理
通过比较每个组与对照组或其他组之 间的差异，推断各组之间的差异是否 具有统计学显著性。
重复测量方差分析
定义
重复测量方差分析是方差分析的另一种拓展，用于比较多次测量或重复观测的差异。
原理
通过将多次测量视为不同的观察对象，对测量误差进行控制和调整。
应用
医学研究中常用于比较不同治疗方案的效果，以及社会科学中研究时间序列数据的变化等。
协方差分析
要点一
定义
协方差分析是方差分析与其他统计方 法的结合，通过控制一个或多个协变 量对因变量的影响。
偏度检验
检查数据分布的偏斜程度。
峰度检验
检查数据分布的峰态。
正态性检验
通过图形和统计量判断数据是否符合正态分布。
方差齐性检验
• 方差齐性检验：通过Levene's Test或Bartlett's Test检验各组方差是否相等。
主效应检验
将数据按照分组变量进行分组，并 对每个分组变量的平均值进行计算 。
方差分析还可以与其他统计方法结合 使用，例如与回归分析结合可进行协 方差分析和混合线性模型分析等。
02
方差分析基本原理
数学模型
数学模型的假设
假定每个总体均数之间有差异，且每个总体均数与模型中其他变量的关系已知。
医学统计学方差分析
方差分析基于以下假设：观察值之间相互独立；每个组内的观察值服从正态分布；每个组内的观察值具有相同的方差。
定义与原理
方差分析适用于多个组间的均值比较。当数据不符合正态分布或方差不齐时，可以经过适当的转换或采用非参数方法进行比较。
方差分析可以用于实验设计中的多因素分析，例如研究不同药物、剂量、时间等因素对生物指标的影响。
方差分析的数学模型与假设
02
线性模型
方差分析常用于处理一个或多个分组间的均值差异，因此需要构建线性模型来描述数据。线性模型中，每个组的观察值与该组的均值呈线性关系。
随机误差项
在方差分析中，每个观察值被认为是由固定效应（组均值）和随机效应（随机误差项）组成的。随机误差项是随机变量，且独立同分布，服从正态分布。
《医学统计学方差分析》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
方差分析概述方差分析的数学模型与假设方差分析的步骤与实例方差分析的优缺点与注意事项方差分析在医学中的应用与案例方差分析的发展趋势与未来展望
方差分析概述
01
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多组数据的均值差异。其原理是通过将数据的总变异分解为组间变异和组内变异，然后比较这两部分的变异是否具有显著性。
要点一
要点二
精度高
方差分析通过将每个观察值与各组均值进行比较，能够更准确地确定组间差异。
适用于多因素分析
方差分析可以同时考虑多个因素对实验结果的影响，适用于多因素的研究设计。
要点三
缺点
对数据正态性和独立性要求较高
方差分析要求数据符合正态分布，且各组观察值独立，否则可能导致分析结果的偏差。
对样本含量要求较高
方差分析对样本含量要求较高，样本含量过小可能导致统计效能较低。
定义与原理
方差分析适用于多个组间的均值比较。当数据不符合正态分布或方差不齐时，可以经过适当的转换或采用非参数方法进行比较。
方差分析可以用于实验设计中的多因素分析，例如研究不同药物、剂量、时间等因素对生物指标的影响。
方差分析的数学模型与假设
02
线性模型
方差分析常用于处理一个或多个分组间的均值差异，因此需要构建线性模型来描述数据。线性模型中，每个组的观察值与该组的均值呈线性关系。
随机误差项
在方差分析中，每个观察值被认为是由固定效应（组均值）和随机效应（随机误差项）组成的。随机误差项是随机变量，且独立同分布，服从正态分布。
《医学统计学方差分析》
xx年xx月xx日
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目录
方差分析概述方差分析的数学模型与假设方差分析的步骤与实例方差分析的优缺点与注意事项方差分析在医学中的应用与案例方差分析的发展趋势与未来展望
方差分析概述
01
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多组数据的均值差异。其原理是通过将数据的总变异分解为组间变异和组内变异，然后比较这两部分的变异是否具有显著性。
要点一
要点二
精度高
方差分析通过将每个观察值与各组均值进行比较，能够更准确地确定组间差异。
适用于多因素分析
方差分析可以同时考虑多个因素对实验结果的影响，适用于多因素的研究设计。
要点三
缺点
对数据正态性和独立性要求较高
方差分析要求数据符合正态分布，且各组观察值独立，否则可能导致分析结果的偏差。
对样本含量要求较高
方差分析对样本含量要求较高，样本含量过小可能导致统计效能较低。
医学统计学方差分析ppt课件
24
25
方差分析步骤 ：提出检验假设，确定检验水准
26
第二节 随机区组设计的方差分析
方差分析步骤 ：计算检验统计量F 值
27
方差分析步骤 ：确定P值，做出推断结论 对于处理因素A F0.05(2，18) =3.55 F=245.79
F> F0.05(2，18) ，P<0.05，拒绝H0
方差分析
1
方差分析由英国统计 学家R.A.Fisher在1923 年提出，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析又 称 F 检验
2
方差分析的用途 单因素多水平组间效应分析 多因素多水平组间效应分析 回归效应分析 方差齐性分析
3
完全随机设计的方差分析 随机区组设计的方差分析 多个样本均数的两两比较 方差齐性检验
20
基本思想：各变异的平均变异，即均方
处理均方：
MS处理
SS处理
处理
区组均方：
MS区组
SS区组
区组
组内（误差）均方：
MS误差
SS误差
误差
21
基本思想：统计量F值
F处理
MS处理 MS误差
F处理>Fα （k-1,(k-1)(m-1)），P<α ，认为比较组总体均值不 全相同
F处理<Fα （k-1,(k-1)(m-1)），P>α ，尚不能认为比较组总体 均值不同
4
例 拟探讨枸杞多糖（LBP）对酒精性脂肪肝大鼠GSH （mg/gprot）的影响，将36只大鼠随机分为甲、乙、丙 三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌 胃10周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为 2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组）12只，8周 后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否 相同？
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方差分析步骤 ：提出检验假设，确定检验水准
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第二节 随机区组设计的方差分析
方差分析步骤 ：计算检验统计量F 值
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方差分析步骤 ：确定P值，做出推断结论 对于处理因素A F0.05(2，18) =3.55 F=245.79
F> F0.05(2，18) ，P<0.05，拒绝H0
方差分析
1
方差分析由英国统计 学家R.A.Fisher在1923 年提出，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析又 称 F 检验
2
方差分析的用途 单因素多水平组间效应分析 多因素多水平组间效应分析 回归效应分析 方差齐性分析
3
完全随机设计的方差分析 随机区组设计的方差分析 多个样本均数的两两比较 方差齐性检验
20
基本思想：各变异的平均变异，即均方
处理均方：
MS处理
SS处理
处理
区组均方：
MS区组
SS区组
区组
组内（误差）均方：
MS误差
SS误差
误差
21
基本思想：统计量F值
F处理
MS处理 MS误差
F处理>Fα （k-1,(k-1)(m-1)），P<α ，认为比较组总体均值不 全相同
F处理<Fα （k-1,(k-1)(m-1)），P>α ，尚不能认为比较组总体 均值不同
4
例 拟探讨枸杞多糖（LBP）对酒精性脂肪肝大鼠GSH （mg/gprot）的影响，将36只大鼠随机分为甲、乙、丙 三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌 胃10周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为 2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组）12只，8周 后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否 相同？
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X • 组间变异（ between group variation ） 各组的均数 与总均 数 间的差异
• 组内变异（within group variation )每组的10个测量值（观察值） 与该组均数 的差异
Xi
X
Xi
2021/2/8 Monday
18
1.总变异
• 24只大鼠全肺湿重大小各不相等，它们之间的变 异称为总变异。 • 用每个观察值与总均数的离均差平方和来表示， 称为总离均差平方和SS总
方差分析
2
第一节
方差分析的基本思想和 应用条件
方差分析
3
• 例9-0：某医生为研究一种降糖新药的疗效，以统一 的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患者， 按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床 试验。其中，降糖新药高剂量组21人、低剂量组19 人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治 疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)， 结果如表9-1所示。问治疗4周后，餐后2小时血糖下 降值的三组总体平均水平是否不同？
2021/2/8 Monday
4
2021/2/8 Monday
5
不不能能用用tt检检验验分分析析两两组组以以上上多多个个均均数数的的比比较较
• 1、与资料最初的设计要求不符 • 2、增加犯第一类错误的概率
2021/2/8 Monday
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2021/2/8 Monday
7
实例演示
从已知正态总体N(10,52)随机抽取10个样本（ni=10）的结果
SS总
(xij x)2
ij
v总 N 1
2021/2/8 Monday
19
2. 组间变异
SS组间反映了各组均数X i 间的变异程度 组间变异＝①随机误差+ ②处理因素效应
SS组间 ni (xi x)2
i
mi mj v组间 k 1
3. 组内变异
Байду номын сангаас
在同一处理组内，虽然 每个受试对象接受的处 理相同，但测量值仍各 不相同，这种变异称为 组内变异。 SS组内仅仅反映了随机 误差的影响。也称SS误 差
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
均方之比＝F 值
X ij
X
• 总变异（Total variation）：全部测量值与总均数 间的差别
X • 组间变异（ between group variation ） 各组的均数 与总均数 间的差异
• 组内变异（within group variation )每组的8个测量值（观察值）
与该组均数 的差异
Xi
SS组内
(xij xi )2
ij
mi
v组内 (ni 1) N k
i
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS ： 组内
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为:
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•方差分析的含义 • 方差是描述研究对象变异程度的一种指标 • 方差分析是一种假设检验的方法，就是对变 异的分析 • 用于两组或两组以上多个均数之间的比较
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例9-1:某研究者为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将24只 Wistar 大鼠随机分到甲、乙、丙三个组，每组8只， 分别在地面 办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠全肺湿重,三 组大鼠的全肺湿重有无差别？
样本
编号 1 2 3
4
5
6
7
8
9 10
X 12.61 10.85 9.23 9.11 10.9 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
S 4.29 5.44 3.93 6.55 4.83 4.86 3.88 3.89 5.38 4.08
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45次比较中5次有统计学意义的结果
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概念：
• 方差分析（analysis of variance, ANOVA）亦称变异 数分析或F检验，是推断两个或多个总体均数 是否 相同的一种统计分析方法
• 应用条件 • 各样本是相互独立的随机样本 • 各个样本均来自正态总体 • 各个样本的总体方差齐性
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•方差分析的基本思想:
• 将所有观察值之间的变异（称总变异）根据 离均差平方和划分的原理，按设计和需要分 解成两个或多个部分。每一部分变异都反映 了研究工作中某种特定的内容（如某种处理 因素的作用、随机误差的影响等），通过对 平均变异的比较，做出相应的统计判断。
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• 总变异（Total variation）：全部测量值与总均数 间的差别
第九章 方差分析 Chapter9： Analysis of Variance
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主要内容
• 方差分析的基本思想和应用条件** • 完全随机设计的方差分析* • 多个样本均数的两两比较 • 方差齐性检验 • 交叉设计的方差分析 • 析因设计的方差分析 • 重复测量设计的方差分析
X
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Xi
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• 样本均数的差异，可能有两种原因所致: • 1、可能由随机误差所致，随机误差包括两 种成分－个体间的变异和测量误差两部分；
• 2、可能是由于各组所接受的处理不同，不 同的处理引起不同的作用和效果，导致各处 理组之间均数不同。
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比较组 1与3 1与6 1与7 1与9 t 2.061 2.329 2.372 2.272 P 0.013 0.025 0.023 0.029
1与10 2.918 0.006
实际犯第一类错误的概率：5/45=0.11
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Analysis of Variance （ ANOVA）由英国统计学 家R.A.Fisher首创，为纪 念Fisher，以F命名，故方 差分析又称F 检验 （F test）。用于推断多个总 体均数有无差异.