山西省朔州市怀仁县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题

山西省朔州市怀仁县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个三视图完全相同的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．①④ 2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是（ ）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱 3．点()sin ,cos θθ与圆2212x y +=的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不能确定 4．半径为R 的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（ ）A B C R D R 5．已知点()1,3A ，()2,1B --，若直线():21l y k x =-+与线段AB 没有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．12k <C ．12k >或2k <- D ．122k ->< 6．已知直线()()12:3453,:258l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（ ）A ．7-B ．1-C ．1-或7-D ．1337．过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为（ ）A．2 B．2 C．2 D8．若圆22C :120x y +---=上有四个不同的点到直线:0l x y c -+=的距离为2，则c 的取值范围是（ ）A ．[]22-，B．⎡-⎣ C ．()22-， D．(- 9．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )AB1 C．6-D．410．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为A．B．C．D．11．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（0a >）的公共弦长为a 为（ ）A ．1B ．2 CD．12．已知实数x ，y 满足约束条件38408400,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则91a b +的最小值为（ ） A ．4312 B ．4912 C ．2512 D ．8512二、填空题13．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''= ，则原ABC 的面积为______.14．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是()5,6，()3,4-，则这个圆的方程是____________.15．若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 16．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的两个实数根，且12(0,1),(1,2)x x ∈∈，则21b a --的取值范围是_________三、解答题 17．分别求满足下列条件的直线方程.（1）过点()2,1A -且与直线31y x =-垂直；（2）倾斜角为60°且在y 轴上的截距为3-.18．若,x y 满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）2z x y =+的最小值；（2）22z x y =+的范围；（3）y x z x+=的最大值. 19．已知圆22:240C x y x y m +--+=.（1）求m 的取值范围.（2）当4m =时，若圆C 与直线40x ay +-=交于M ，N 两点，且CM CN ⊥，求a 的值.20．已知直线l 的方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）求证：直线l 恒过定点；（2）当m 变化时，求点()3,1P 到直线l 的距离的最大值；21．已知圆22:4630C x y x y ++--=，过点()1,3N 作直线与圆C 交于A 、B 两点，求ABC 的最大面积及此时直线AB 的斜率.22．在平面直角坐标系xoy 中，设圆2240x y x +-=的圆心为M .（1）求过点()0,4P -且与圆M 相切的直线的方程；（2）若过点()0,4P -且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点,A B ，设直线OA OB 、的斜率分别为12,k k ，问12+k k 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.参考答案1．B【分析】试题分析：对于①，正方体的三视图形状都相同，均为正方形，故错误；对于②，主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图圆形，故正确；对于③，如图所示的正三棱柱的三视图各不相同，故错误；对于④，正四棱锥的主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图正方形（含对角线），故正确．综上所述，有且仅有两个视图完全相同的是②④，故选B ． 考点：简单空间图形的三视图．2．C【分析】根据棱台、圆台、棱柱、棱锥的几何结构特征判断即可.【详解】图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台； 图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥；图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：C.【点睛】本题主要考查了棱台、圆台、棱柱、棱锥的判断，属于基础题.3．C【分析】直接利用点与圆心的距离与半径的大小关系判断.【详解】 因为221sin cos =1>2θθ+， 所以点()sin ,cos θθ在圆外，故选：C【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题.4．C【解析】易知圆锥底面半径为22R R r ππ==，所以高为2h R ==，故选C ． 5．C【分析】由已知条件画出图像并求出直线l 与线段AB 相交的条件，进而即可求出答案.【详解】如图所示：由已知可得31212PA k -==--，111222PB k --==--， 由此可知直线l 若与线段AB 没有交点， 则斜率k 满足的条件为12k >或2k <-. 故选：C【点睛】本题考查了直线与线段的位置关系，熟练掌握直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键，考查了数形结合的思想，属于基础题.6．A【分析】对x ，y 的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x +y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x ﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m ≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=34m +-x+534m -，y=25x m -++85m+， ∵两条直线平行，∴3245m m +-=-+，534m -≠85m +，解得m=﹣7． 综上可得：m=﹣7．故选：A ．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．7．C【分析】根据当直线上的点与圆心的连线与该直线垂直时，切线长最小求解.【详解】圆22670x y x +-+=的标准方程为()2232x y -+=， 若切线长的最小，则直线y x =上的点P 与圆心的连线与该直线垂直， 圆心到直线的距离为：d ===， 故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及切线长的最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.8．D【解析】依题意，圆的圆心为，半径为4，要使圆上有4个不同的点到直线的距离为2，则需圆心到直线的距离小于2，即2d =<，解得c -<<9．D【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得||||PM PN +的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4),，半径为3，由图象可知，当,,P M N 三点共线时，||||PM PN +取得最小值，且||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径之和，即23144AC --==，故选D ．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．10．B【解析】试题分析：将圆的方程22680x y x y +--=化为标准方程得()()222345x y -+-=，过点(35)，的最长弦为直径，所以2510AC =⨯=；最短的弦为过点(35)，且垂直于该直径的弦，所以BD ==AC BD ⊥，四边形ABCD 面积111022S AC BD =⋅=⨯⨯=，故选B ． 考点：1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．11．A【详解】圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径r =2.圆22260x y ay ++-=的圆心为(0, −a ),半径r ==两个圆的公共弦的方程为：()2222264x y x y ay +-++-=解得：1y a =∴有2214a ⎛=⎫- ⎪⎝⎭，又a >0，解得：a =1或−1(舍去)故选A点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及两个圆心的距离，利用两个圆的公共弦的方程和勾股定理即可求出a 的值12．B【分析】作出可行域，根据平移法即可得到最优解，从而得到,a b 的关系式，再根据“1”的代换，即可求出91a b+的最小值． 【详解】 作出可行域，如图所示：．由z ax by =+可得，a z y x b b =-+．由3840840x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得，4,1x y ==． 因为0,0a b >>，所以当直线a z y x b b=-+平移至经过点()4,1A 时，max 412z a b =+=，即1312a b +=．因此9191373374912431312212b a a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭， 当且仅当23,412a b a b =+=，即1812,77a b ==时取等号． 故选：B ．【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解，以及基本不等式中的“1”的代换应用，属于基础题．13【分析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：且1BO CO ==，222A O AO '='⨯==所以11222ABC S BC AO ∆=⋅=⨯=【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题．14．()()224126x y -+-=；【分析】先求出圆的圆心和半径，即得圆的方程.【详解】 由题得圆心的坐标为5364(,)22+-，即(4,1).=所以圆的方程为()()224126x y -+-=.故答案为：()()224126x y -+-=【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.15．8【分析】 由直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=， 因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4a b b a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题16．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：利用二次方程根的分布，建立不等式关系，利用线性规划以及21b a --的几何意义求21b a --的取值范围． ∵12x x ，是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的两个实数根，∴设函数22f x x ax b =++（），∵120112x x ∈∈（，），（，）．∴()()()00{1020f f f ><>，即20{2102240b a b a b >++<++>， 作出不等式组对应的平面区域如图：设21b z a -=-，则z 的几何意义是区域内的点P （a ，b ）到定点A （1，2）两点之间斜率的取值范围， 由图象可知当P 位于点B （﹣3，1）时，直线AB 的斜率最小，此时121314AB k -==--， 可知当P 位于点D （﹣1，0）时，直线AD 的斜率最大，此时02111AD k -==--， ∴114z <<， 则21b a --的取值范围是1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭． 考点：二次方程根的分布；线性规划；二次函数；目标函数的几何意义． 17．（1）()1123y x +=--；（2）3y =-. 【分析】（1）设所求直线的斜率为k ，根据两直线垂直，利用斜率乘积等于-1求解.（2）由斜率与倾斜角的关系得到斜率，再根据直线在y 轴上的截距为3-，写出直线的方程.【详解】（1）已知直线的斜率为3，设所求直线的斜率为k ，由题意，得31k =-，∴13k =-. 故所求的直线方程为()1123y x +=--. （2）由题意，所求的直线的斜率tan 60k =︒=又因为直线在y 轴上的截距为3-，所以直线的方程是3y =-. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及斜率与倾斜角的关系和两直线的位置关系，属于基础题. 18．（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3.【解析】 试题分析：作出约束条件1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，利用目标函数的几何意义：（1）平移直线可对直线的截距求解最值即可；（2）转化为可行域内的点与原点距离的平方，根据可行域内的点到原点的距离范围求解；（3）转化为可行域内的点与原点直线的斜率与1 的和求解即可.试题解析：作出满足已知条件的可行域为ABC ∆内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C .（1）目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =.（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离2d ==且垂足是33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （3）目标函数1y z x =+，记y k x=. 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =，即max max3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭. 19．（1）5m <；（2）1a =或177a =. 【分析】（1）根据圆的一般方程只需2240D E F +->即可求解.（2）由题意可得圆心到直线的距离2d r =，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）22441640D E F m +-=+->，∴5m <（2）∵4m =，∴()()22121x y -+-=，圆心():1,2C ，半径1r =∵CM CN ⊥，圆心到直线的距离d =，2= 化简：2724170a a -+=∴1a =或177a =. 【点睛】本题考查了圆的一般方程、直线与圆的位置关系求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20．（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）将直线方程化为()()24230x y m x y +++-++=，则满足240230x y x y ++=⎧⎨-++=⎩即可求出定点；（2）可知点()3,1P 与定点()1,2--间的距离，就是所求点()3,1P 到直线l 的距离的最大值，求出即可.【详解】（1）证明：直线l 方程()()221340m x m y m -++++=可化为()()24230x y m x y +++-++=该方程对任意实数m 恒成立，所以240230x y x y ++=⎧⎨-++=⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2-； （2）点()3,1P 与定点()1,2--间的距离，就是所求点()3,1P 到直线l 的距离的最大值，即5=.【点睛】 本题考查直线的方程的理解，属于基础题.21．最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±.【分析】当直线AB 的斜率不存在时，易得 ABC 的面积，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程30kx y k -+-=，求得圆心()2,3-到直线AB 的距离，线段AB 的长，代入ABC 的面积12S AB d =，再利用基本不等式求解. 【详解】当直线AB 的斜率不存在时，1x =，3y =±，ABC 的面积S =当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心()2,3-到直线AB的距离d =AB 的长度2216AB d =-，∴ABC 的面积()22161822d d S AB d +-===， 当且仅当28d ==解得k =±所以，OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式,三角形面积最值问题以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）344y x =-或0x =，（2）-1 【分析】试题分析：()1设切线方程为4y kx =-，利用圆心到直线的距离等于半径求出k ，即可求过点()04P -，且与圆M 相切的直线的方程； ()2联立22440y kx x y x =-⎧⎨+-=⎩得()()22184160k x k x +-++=，利用韦达定理，即可求出结论．解析：（1）由题意知，圆心M 坐标为()20，，半径为2， 当切线斜率存在时，设切线方程为：4y kx =-，所以，由d= 2=解得34k =， 所以切线方程为344y x =-，0.x =当切线斜率不存在时，，满足已知 （2）假设存在满足条件的实数k ，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立224{40y kx x y x =-+-=得()()22184160k x k x +-++=()()2216216410k k =+-+>，34k ∴>（或由（1）知34k >） 则1212228416.11k x x x x k k++=⋅=++， 于是()()12211212211212121244kx x kx x y y y x y x k k x x x x x x -+-++=+== ()121242x x k x x +=- ∴ ()128424116k k k k ++=-⋅=-定值 点睛：在求圆的切线的情况时，要注意当斜率不存在的情况是否成立，要算斜率之和是定值就要先表示出斜率，这里设而不求，设出点坐标，用点坐标来表示斜率，然后再求定值．。