函数的极值和单调性
函数与方程的单调性与极值
函数与方程的单调性与极值随着数学的发展，函数与方程的研究也逐渐深入，其中一个重要的概念就是函数的单调性与极值。
函数的单调性与极值对于数学研究和实际问题的解决都具有重要意义。
本文将着重探讨函数的单调性与极值。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增减变化规律。
通常将单调递增与单调递减作为两种基本类型。
如果对于任意的自变量x₁与x₂且满足x₁<x₂，都有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)在定义域上就是单调递增的；如果对于任意的自变量x₁与x₂且满足x₁<x₂，都有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)在定义域上就是单调递减的。
函数的单调性可以通过导数的正负性来判断。
如果函数f(x)在定义域上处处可导且导函数f'(x)>0，那么f(x)就是单调递增的；如果函数f(x)在定义域上处处可导且导函数f'(x)<0，那么f(x)就是单调递减的。
为了更好地理解函数的单调性，我们可以通过具体的例子进行说明。
例如，考虑函数f(x)=x²，在定义域上可以观察到对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则f(x₁)=x₁²<x₂²=f(x₂)，因此函数f(x)在整个定义域上是单调递增的。
类似地，可以通过导数的计算验证。
二、函数的极值函数的极值是指函数在一个局部区间内取得的最大值或最小值。
极大值即为在局部区间内取得的最大值，极小值即为在局部区间内取得的最小值。
在函数表达式中，极值点对应的自变量的取值称为极值点的横坐标，而函数在该点的取值称为极值点的纵坐标。
函数的极值点通常出现在函数的导数为0或不存在的点处。
我们可以通过求导数来确定函数极值点的位置。
具体而言，对于函数f(x)，首先求导得到导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，解方程可以得到极值点的横坐标，再通过函数表达式求出纵坐标即可确定极值点。
需要注意的是，极值点并不一定就是函数的最大值或最小值。
函数的单调性与极值 最值
例8
判断函数 y = x − ln x 的单调性
解
函数的定义域为 (0,+∞ ) x −1 1 Q y′ = 1 − = x x 当 0 < x < 1 时数在 ( 0,1) 内单调减少。 单调减少。
内单调增加。 在 (1, +∞ ) 内单调增加。
x >1
时， y′ > 0,
y
f ( x1 )
( 2)
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
f ( x2 )
y = f ( x)
o
x1
x2
x
I
一、函数的单调性
y
2.判别方法 判别方法
y A y = f (x) B
y = f (x)
A
B
o
a
f ′( x ) ≥ 0
b
x
o a
f ′( x ) ≤ 0
b x
在区间(a,b)上单调上升 若 y = f (x)在区间 上单调上升 在区间(a,b)上单调下降 若 y = f (x)在区间 上单调下降
y
间断
∴ 单增区间为 (−∞, −2) , ( 2, +∞ ) 单减区间为 (−2, 0) , (0, 2)
x < ln(1 + x ) < x . 复习 证明当 x > 0 时, 1+ x 课本P124 课本 证法一设 f ( t ) = ln(1 + t ) t ∈ [0, x ]
足拉格朗日中值定理的条件. 则 f ( x ) 在 [0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件. 故
∴ 在(−∞ ,1]上单调增加； −∞ 上单调增加；
f ′( x ) < 0, ∴ 在[1,2]上单调减少； 上单调减少；
函数的单调性与极值问题
函数的单调性与极值问题函数的单调性和极值问题是数学分析中的重要概念和研究重点。
理解函数的单调性和极值问题对于解决实际问题、优化函数以及求函数的最大值和最小值都具有重要意义。
本文将对函数的单调性和极值问题进行探讨和讲解。
一、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域上的递增和递减情况。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上是递增的；如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
在进行函数单调性的研究时，我们常常通过函数的一阶导数来进行分析。
根据导数的定义和性质，当函数单调递增时，导函数f'(x)大于零，当函数单调递减时，导函数f'(x)小于零。
因此，我们可以通过导函数的正负来判断函数的单调性。
二、函数的极值问题函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值，分别称为极大值和极小值。
找到函数的极值对于实际问题的优化以及求解最优解非常重要。
对于连续的函数，在闭区间[a, b]上的极值一定是在函数的驻点（导数为零或者导数不存在的点）或是区间的端点上取得。
因此，我们可以通过求解函数的导数方程来找到函数的驻点，然后通过将驻点和区间端点代入函数来求解极值。
需要注意的是，在求解极值时，仅仅找到函数的驻点还不足以判断其是否为极值点。
还需要通过二阶导数的正负来判断此驻点是否为极大值、极小值或拐点。
当二阶导数大于零时，为极小值；当二阶导数小于零时，为极大值；当二阶导数等于零时，需进行其他方法的判断。
三、应用实例函数的单调性与极值问题在实际中有广泛的应用。
以下举例说明：1.经济学中的生产成本分析。
通过分析生产成本与产量之间的函数关系，可以确定产量范围内的最小成本和最大成本，为企业的生产决策提供参考依据。
2.物理学中的最速降线问题。
通过分析物体在重力作用下的运动状态，可以确定物体在斜面上的最速降线问题，为物体的运动设计提供最优解。
函数的单调性及极值
函数的单调性及极值一、函数单调性的判别法如果函数)(x f y =在],[b a 上单调增加（单调减少），那么，它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线。
这时，曲线上各点处的切线斜率非负（非正），即()0(()0)y f x y x '''=≥≤。
由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
我们可以用导数的符号来判别函数的单调性。
定理1 设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则有（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；（２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少．讨论可导函数)(x f 的单调性可按下列步骤进行 ：（1）求出函数)(x f 的定义域；（2）求出)(x f '，并令0)(='x f ，解此方程求出驻点； （3）用驻点把定义域分割成若干个部分区间，在每个部分区间内判定)(x f '的符号 若0)(>'x f ，则)(x f 在该区间单调增加；若0)(<'x f ，则)(x f 在该区间单调减少．例1 判定函数()sin [02]f x x x π=-在，上单调性。
解 因为在02π（，）内，()1cos 0f x x '=->所以由定理1可知，函数()sin [02]f x x x π=-在，上单调增加。
例２ 讨论396)(23++-=x x x x f 的单调性．解 该函数的定义域为 （),+∞∞-， )3)(1(39123)('2--=+-=x x x x x f令0)('=x f ，解得3,1==x x ，用它们把定义域分成),3[],3,1[],1,(+∞-∞三部分．列表讨论如下表示在)1,(-∞和),3(+∞内，0)('>x f ；“－”表示在)3,1(内0)('<x f ．由上述讨论可知 函数)(x f 在),3[]1,(+∞-∞和上单调增加，在]3,1[上单调减少．例３ 确定函数32)(x x f =的单调区间。
函数的极值点与函数的单调性分析
函数的极值点与函数的单调性分析函数的极值点以及函数的单调性是数学中重要的概念，在数学问题中经常出现。
了解和掌握函数的极值点和单调性的分析方法对于解决问题和优化函数至关重要。
在本文中，我们将介绍函数极值点和函数单调性的定义、理论基础以及常用的分析方法。
首先，我们来定义函数的极值点。
在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在某个点 a，函数在其邻近范围内的取值都小于等于 f(a)，则称该点为函数的极大值点；如果在某个点 b，函数在其邻近范围内的取值都大于等于 f(b)，则称该点为函数的极小值点。
极大值点和极小值点都统称为函数的极值点。
要判断一个函数的极值点，可以通过求导数来实现。
对函数 f(x) 求导数并令导数等于零，求得的解即为函数的极值点。
具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并令导数等于零，得到方程 f'(x) = 0；2. 解方程 f'(x) = 0，得到函数的极值点。
接下来，我们来讨论函数的单调性。
在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断增加，则称该函数在该区间上是递增的；如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断减少，则称该函数在该区间上是递减的。
同样地，要判断一个函数的单调性，可以通过导数的正负来确定。
具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并找到导数存在的区间；2. 在导数存在的区间，确定导数的正负情况；- 如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；- 如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减；- 如果导数既大于零又小于零，则函数在该区间上不具备单调性。
函数的极值点和单调性分析在实际问题中有着广泛的应用。
以最简单的一次函数 y = kx + b 为例，我们来具体分析一下。
对于一次函数 y = kx + b，它是一个斜率为 k 的直线。
对于这种函数，它不存在极值点，因为它是一条直线且不存在拐点。
而单调性的分析则取决于斜率 k 的正负情况。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点函数的单调性和极值点是数学中重要的概念，它们用于描述函数在定义域内的增减关系和取得最大值或最小值的点。
本文将详细介绍函数的单调性和极值点的概念，并探讨它们的性质及应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，函数值f(x1)<f(x2)，则称函数为递增函数；当x1<x2时，函数值f(x1)>f(x2)，则称函数为递减函数。
为了判断函数的单调性，我们可以计算函数的导数。
对于定义在区间(a, b)上的可导函数，如果在该区间内导函数始终大于零，则函数为递增函数；如果在该区间内导函数始终小于零，则函数为递减函数。
当导函数在某一点处等于零时，该点可能是函数的极值点。
二、函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点。
如果在某一点的邻域内，函数在该点处的值大于（或小于）邻域内其他点的函数值，则该点为极大值点（或极小值点）。
为了确定函数的极值点，我们需要计算函数的导数。
首先求得函数的导函数，然后找到导函数为零的解，即导函数的根。
根据极值点的性质，导函数在极大值点或极小值点处的值为零。
因此，将导函数等于零的解代入原函数中，即可求得极值点的值。
需要注意的是，虽然导函数为零的点可能是函数的极值点，但并不是所有导函数为零的点都是极值点。
还需要进一步分析函数的横截点和导函数的符号变化，以确定这些点是否为极值点。
三、函数的单调性与极值点的应用函数的单调性和极值点在各个科学领域中有广泛的应用。
在经济学中，函数的单调性用于分析供需关系以及市场的变化趋势。
在物理学中，函数的单调性和极值点可以用于描述物体的运动规律和力学问题。
在统计学中，函数的单调性和极值点被用于拟合数据和分析数据的趋势。
此外，在优化问题中，函数的单调性和极值点也扮演着重要的角色。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件，并在实际问题中应用这些条件进行优化。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点在数学的广袤天地中，函数的单调性与极值点是两个极为重要的概念。
它们就像是函数世界里的指南针和高峰低谷，指引着我们深入理解函数的行为和性质。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数值随着自变量增大或减小的变化趋势。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那这个函数在对应的区间上就是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减的。
想象一下，你正在沿着一条路往前走，这条路的高度可以用一个函数来表示。
如果越往前走，路越来越高，那这就是单调递增；要是越往前走，路越来越低，这就是单调递减。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋1 就是单调递增的。
当 x 从 1 增加到 2 时，y 就从 3 增加到 5。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到导数这个强大的工具。
对于一个可导函数，如果它的导数大于零，那么函数在这个区间上就是单调递增的；如果导数小于零，就是单调递减的。
举个例子，函数 y ＝ x²，它的导数是 y' ＝ 2x 。
当 x ＞ 0 时，导数大于零，所以函数在区间（0, ＋∞）上单调递增；当 x ＜ 0 时，导数小于零，函数在区间（∞， 0) 上单调递减。
接下来，咱们再说说极值点。
极值点可是函数的“关键点”，在这些点上，函数值有着特殊的表现。
极值点分为极大值点和极小值点。
极大值点就是在某个局部范围内，函数值最大的点；极小值点则是在某个局部范围内，函数值最小的点。
但要注意，极大值不一定是整个函数的最大值，极小值也不一定是最小值，它们只是在局部的“小天地”里称霸。
比如说，函数 y ＝ x³ 3x ，对它求导得到 y' ＝ 3x² 3 。
令导数等于零，解得 x ＝ ±1 。
当 x ＜－1 时，导数大于零，函数单调递增；当－1 ＜ x ＜ 1 时，导数小于零，函数单调递减；当 x ＞ 1 时，导数大于零，函数又单调递增。
-函数的单调性、极值与最值
（
2 ， 0） 2
+ ↑
（ 0， 2 2 ）
不存在 无
2 2
+ ↑
0
极大
－
↓
（ 1 ， ）
－
（
2 2
，1 ）
1
不存在
+ ↑
0
－
极小
极大
↓
无
↓
所以，f(x)的极大值为 f (
2 3 2 3 ) 4 ， f ( ) 4 . 2 2 0 )1 . f(x)的极小值为 f(
练习
求下列函数的极值.
注2：Th1中的“>”和“<”号也可改为“≥ ”和“≤ ” 号，
2、分段单调函数： Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子
区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.
结论同样成立.
3、驻点： 导数 f '(x)在区间内部的零点称为 f (x)驻点 . Def 2：
即： f ' ( x ) 0 ，则 x 为驻点 . 0 0
2 2 例3：证明 1 x ln( x 1 x ) 1 x ( x 0 ).
2 2 证：令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x ) 1 x
2 则 f ' ( x ) ln( x 1 x ) 0
( x 0)
当 x （ 0 , ）时， f( x ) 为严格单调递
a
x0
0
b
x
2、极值的必要条件 定理 2 设函数 f(x) 在 I 内连续，点 x0 不是 I 的断点 ，若函数在 x0 处取得极值，则 x0 或是函数的不可导 点，或是可导点；当 x0 是 f(x) 的可导点，那么 x0 必 是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0. 推论：设函数 f(x)在点 x0可导，则函数 f(x)在点 x0 取得极值的必要条件是 f ( x0 ) = 0 . 注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.
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x (–∞, –3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
1 12
.
列表:
x
( , 1 )
1
12
12
( 1 , ) 12
f (x)
–
0
+
f (x) 单调递减
49
单调递增
24
所以, 当 x 1 时, f (x)有极小值 f ( 1 ) 49.
12
12 24
练习2
求下列函数的极值:
( 1 )f( x ) 6 x 2 x 2 ; ( 2 )f( x ) x 3 2 x ;7
函数的极值与导数
【复习与思考】
y
已知函数 f(x)=2x3-6x2+7
7
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;
(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值 与这两点附近的函数值有什么关系?
2 o -1
解析（1）f'(x)=6x(x-2)
由 f'(x)>0得增区间： （ -， 0） ， （ 2， +） ；
x x2
(2)导函数 y f(x)有极小值?
x x1或 x x4
(3)函数 y f (x)有极大值?
x x3
(4)函数 y f (x)有极小值?
x x5
题型 1：图像与函数的极值
1.函 数 f(x)的 定 义 域 为 开 区 间 (a， b)， 导 函 数 f'(x)在 (a， b)内 的 函 数 图 像 如 图 ， 则 函 数
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4)令 f(x)33x20 ,解得 x11,x21.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
习题 A组 4
下图是导函数 y f(x)的图象, 在标记的点中, 在哪一点处 (1)导函数 y f(x)有极大值?
例1 求 函 数 f(x)1x34x4 的 极 值 3
解: ∵ f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得 x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2
f(x) +
0
-
0
(2,+∞) +
f(x)
极大值28/3
极小值- 4/3
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
练习2
求下列函数的极值:
( 1 )f( x ) 6 x 2 x 2 ; ( 2 )f( x ) x 3 2 x ;7 ( 3 )f( x ) 6 1 x 2 x 3 ; ( 4 )f( x ) 3 x x 3 . 解: (3 )令 f(x) 1 2 3x20 ,解得 x12,x22.
由 f'(x)<0得减区间： （ 0， 2）
（2）函数f (x)在x=0处的函数值比其附近的函 数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函 数值都小
y
a ob
x
y=f(x)
函数f (x)在x=a处的函数值f(a)比其附近的函数值都小， f/(a)=0,而且在点附近的左侧f /(x)<0 ，右侧f /(x)>0,
x X<-1 -1 (-1,0) （0，1） 1 X>1
f '( x ) +
0
-
f (x)
极大值
-
0
+
极小值
所以，当x=-1时，函数的极大值是-2， 求解函数极值一
当x=1时，函数的极小值是2
般有哪些步骤？
【思考交流】 导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
对于可导函数而言,其 极值点一定是导数为0的点, 反之导数为0的点不一定是 函数的极值点.因此:导数值 为0的点是该点为极值点的 必要非充分条件.
f(x) 减
极小值
增
y
f (x3)
f (x4 )
f (x1)
f (x2)
O a x1
x2
x3 x4 b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,
并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一 点 附近的大小情况;
(2) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3) 函数的极大(小)值可能不止一个,而且函 数的极大值未必大于极小值; (4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的 端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区 间的内部取得，也可能在区间的端点取得.
f(x)在 开 区 间 (a， b)内 存 在 极 小 值 点1 个 .
y
bx
a
O
若函数 yx3ax2bx2 在7x=-1和x=3时有极
那么f(x)在这个根处取得极大值；
极大值
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
极小值
例2 求函y数 1xx的极值 导 交函替数出的现正的负吗是？
解：f(x)=1 x,所以x 0 x
不是
f
'(x)
1 x2
1
x2x2 1，f
'(x)
0时，x
1
当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
y f (x)x3
Ox
练习2
求下列函数的极值:
( 1 )f( x ) 6 x 2 x 2 ;
( 2 )f( x ) x 3 2 x ;7
( 3 )f( x ) 6 1 x 2 x 3 ; ( 4 )f( x ) 3 x x 3 .
解: (1 )f(x)1x2 1 ,令
f(x)0,
解得
x
∴ 当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时, y极大值=-4/3.
求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确(3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -），
讨论
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系
的y 研究方法,看极值与导数之间有什么关系?
x a左侧
a a右侧
f(x) f '(x) 0 f(a)0f '(x) 0
f(x) 增
极大值 减
o x1
y
a
x2 x
左正右负极大值， 左负右正极小值
o x1 b
x2 x
x b左侧
b
b右侧
f(x) f '(x) 0 f(b)0f '(x) 0