第八章 第六节 抛物线

[归纳领悟] 1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，
将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方
程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．
(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与
答案：B
4．(2010· 山东青岛)在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)
的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是
( A．(－2,1) C．(2,1) B．(1,2) D．(－1,2) )
解析：如图所示，直线l为抛物线y＝ 2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1
⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
答案： D
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、 P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3， 则有 A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| ( )
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|· 3| |FP
则此抛物线的方程是
A．y2＝12x C．y2＝6x B．y2＝8x D．y2＝4x
(
)
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可得x1
＋x2＋p＝8，又AB中点到y轴的距离为2，∴x1＋x2
＝4，∴p＝4. 答案：B
3．(1)(2010· 吉林模拟)当a为任何值时，直线(a－1)x－y ＋2a＋1＝0恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方 程为 9 4 2 A．y ＝－ x或x ＝ y 2 3
B．[3，＋∞) D．[－1,3]
解析：线段AB：y＝x＋1(0≤x≤2)，抛物线C与线段AB有 公共点，即
y＝x2＋mx＋2， y＝x＋1
在[0,2]上有解，即方程x2＋
(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，令f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，有 Δ≥0， 1－m 3 一根时，f(0)f(2)<0，m<－ ，有两根时， 0< <2， 2 2 f2≥0， 3 解得－ ≤m≤－1.综上，m∈(－∞，－1]． 2 答案：C
答案：(1)A
(2)2
[归纳领悟] 抛物线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”． 注意：焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2 ＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2 ＝ay(a≠0).
[题组自测]
1．(2010· 蚌埠质检)已知抛物线C：y＝x2＋mx＋2与经过 A(0,1)、B(2,3)两点的线段AB有公共点，则m的取值范 围是 A．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C．(－∞，－1] ( )
提示：不一定，只有当y2＝2px(p>0)时，p的几何意 义是抛物线的焦点到准线的距离．
[题组自测]
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1， 则点P的轨迹为 A．圆 C．双曲线 B．椭圆 D．抛物线 ( )
解析：依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到
点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
一、把脉考情
从近两年高考内容上看，考查的重点为抛物线的方程、 几何性质或与抛物线相关的综合问题，主要涉及题型为选 择、填空题． 从能力上看，主要考查学生的数形结合能力及分析问 题解决问题的能力，焦点、弦及P的几何意义仍是考查的 热点，注意与向量知识的交汇考查．
二、考题诊断 1．(2010· 湖南高考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4， 则点P到该抛物线焦点的距离是 ( )
抛物线
掌握抛物线的定义、几何图形
和标准方程及简单几何性质．
[理 要 点]
一、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离 相等的点 的 集合叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做 抛物线的 准线 ．
二、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0)
原点O(0,0)
p (0， ) 2 p y＝－ 2
e＝1
p (0，－ ) 2 p y＝ 2
[究 疑 点] 1．抛物线的定义中定点F与直线的位置关系有何要求？
提示：在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，
若定点F在定直线上，则可得动点的轨迹为过F且垂 直于l的直线．
2．若抛物线方程为y2＝2px，那么p有几何意义吗？
2
( 9 4 2 B．y ＝ x或x ＝ y 2 3
2
)
9 4 2 C．y ＝ x或x ＝－ y 2 3
2
9 4 2 D．y ＝－ x或x ＝－ y 2 3
2
(2)(2010· 重庆高考)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直 线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝ ________.
x＋2＝0， 解析：(1)由 －x－y＋1＝0
答案：1
4．(2010· 浙江金华)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线 G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是
1 时， AC ＝4 AB . 2
(1)求抛物线G的方程； (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值 范围．
1 解：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是 时， 2 1 l 的方程为 y＝ (x＋4)，即 x＝2y－4. 2
p 解析：抛物线的准线方程为 x＝－ ，由定义得|FP1|＝x1 2 p p p ＋ ，|FP2|＝x2＋ ，|FP3|＝x3＋ ，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋ 2 2 2 p p ＋x3＋ ＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由 2x2＝x1＋x3 得 2 2 2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
A．x＝1
C．x＝2
B．x＝－1
D．x＝－2
p 解析：抛物线的焦点 F( ，0)，所以过焦点且斜率为 1 的直线 2 p p 方程为 y＝x－ ，即 x＝y＋ ，将其代入得：y2＝2px＝2p(y＋ 2 2 y1＋y2 p 2 2 2 )＝2py＋p ，所以 y －2py－p ＝0，所以 ＝p＝2，所以 2 2 抛物线的方程为 y2＝4x，准线方程为 x＝－1.
抛物线的对称轴平行．
2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) p2 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ . 4 2p (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (θ 为 AB 的倾斜角)． sin θ p2 (3)S△AOB＝ (θ 为 AB 倾斜角)． 2sinθ 1 1 2 (4) ＋ 为定值p. |AF| |BF| (5)以 AB 为直径的圆与准线相切． (6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切． (7)∠CFD＝90° .
2．连结抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛 物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积 为________．
解析：线段 FM 所在直线方程 x＋y＝1 与抛物线交于 A(x0，
x＋y＝1 y0)，则 2 x ＝4y
⇒y0＝3－2 2或 y0＝3＋2 2(舍去)．
解：可判断 A 仍在抛物线内部，以抛物线上的点 P 到准线 1 l：x＝－ 的距离为 d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 2 7 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 ，此时 P 点纵坐标 2 为 2，代入 y2＝2x 得 P 坐标为(2,2)．
[归纳领悟]
抛物线的定义实质上是一种转化思想即： 1．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离． 2．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为 简的作用．注意定义在解题中的应用．
1 3 ∴S△OAM＝ ×1×(3－2 2)＝ － 2. 2 2
3 答案： － 2 2
3．(2010· 洛阳模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线y2＝4x交 1 1 于A、B两点，则 ＋ ＝________. |AM| |BM|
解析：设直线方程为 y＝k(x－1)，代入 y2＝4x，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 2k2＋4 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ ，x1x2＝1， k2 1 1 1 1 ∴ ＋ ＝ ＋ |AM| |BM| x1＋1 x2＋1 x1＋x2＋2 ＝ ＝1. x1x2＋x1＋x2＋1
[题组自测] 1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是 A．(2,0) C．(4,0) B．(－2,0) D．(－4,0) ( )
p 解析：由 p＝4，∴ ＝2，∴F(－2,0)． 2
答案：B
2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、 B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，
答案：C
3．(2010· 辽宁高考)设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜 率为－ 3，那么|PF|＝ A．4 3 C．8 3 B．8 D．16 ( )
解析：如图，由直线 AF 的斜率为－ 3， 得∠AFH＝60° ，∠FAH＝30° ，∴∠PAF ＝60° .又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|， ∴△PAF 为等边三角形，由|HF|＝4 得 |AF|＝8，∴|PF|＝8.
x2＝2py 由 x＝2y－4
得 2y2－(8＋p)y＋8＝0，
y1y2＝4 ① ∴ 8＋p y1＋y2＝ 2
②
，又∵ AC ＝4 AB ，∴y2＝4y1，
由①，②，③及 p>0 得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线 G 的方程为：x2＝4y.
A．4
C．8
B．6
D．12
p 4 解析：由抛物线的方程得 ＝ ＝2，再根据抛物线的定义， 2 2 可知所求距离为 4＋2＝6.