2021新高考数学新课程一轮复习：第八章 第7讲 抛物线含解析

第7讲 抛物线组 基础关1．(2019·厦门一模)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4 答案 C解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2.2．(2019·汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，则p 的值为( )A ．4B ．12C ．2 3D ．6 答案 C解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知1＋p 24＝2，且p >0，解得p ＝2 3.3．(2020·南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0) 答案 B解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)．4．(2019·哈尔滨三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．4B ．6C ．8D ．16 答案 D解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝33，则直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得13(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝14，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16.5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)答案 A解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN→＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.7．(2019·怀化三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，则下列等式正确的是( )A ．k 1＋k 2＝k B.1k ＝k 1＋k 2 C.1k ＝1k 1＋1k 2D ．k 2＝k 1·k 2答案 C解析 由题意，得OA 的方程为y ＝k 1x ，与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 21，2p k 1，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22，2p k 2，∴k ＝2p k 1－2p k 22p k 21－2p k 22＝11k 1＋1k 2，∴1k ＝1k 1＋1k 2.故选C.8．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF ⊥x 轴．若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为1，则实数p 的值为________．答案2解析 由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，k AP＝p p ＝1，则直线AP 的方程为x －y ＋p2＝0，以AF 为直径的圆的圆心为O (0,0)，半径为R ＝p 2，则O 到直线AP 的距离为d ＝p 22＝2p4，则圆O 截直线AP 所得的弦长为1＝2R 2－d 2＝2p 24－⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 42，解得p ＝ 2.9．(2019·武汉4月调研)已知过点M (1,0)的直线AB 与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 的方程为________．答案 2x ＋y －2＝0解析 当直线AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝2x消去y 并整理，得k 2x 2－2(k 2＋1)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2(k 2＋1)k 2，x 1x 2＝1.∴直线OA ，OB 的斜率之和为y 1x 1＋y 2x 2＝2kx 1x 2－k (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2(k 2＋1)k ＝1，解得k ＝－2，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0.10．(2019·河南六市第二次联考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，其准线为l ，过点M (5,25)作直线l 的垂线，垂足为H ，则∠FMH 的平分线的斜率为________．答案55解析 连接HF .因为点M 在抛物线y 2＝4x 上，所以由抛物线的定义可知|MH |＝|MF |.所以△MHF 为等腰三角形．所以∠FMH 的平分线所在的直线经过HF 的中点．因为点F (1,0)，H (－1,25)，所以HF 的中点坐标为(0，5)，所以∠FMH 的平分线的斜率为25－55－0＝55.组 能力关1．(2020·重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y 2＝2x 上一点A (2,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC ，分别交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的斜率为( )A ．－23B ．－14C ．－34D ．－12 答案 D解析 依题意，可设直线AB 的方程为y －2＝k (x －2)，则直线AC 的方程为y －2＝－k (x －2)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)(y 1≠2，y 2≠2)．由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y －2＝k (x －2)，得y 1＝2－2k k .同理，得y 2＝2＋2k －k .所以直线BC 的斜率为y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 112y 22－12y 21＝2y 2＋y 1＝－12.故选D.2．(2019·华中师大第一附中模拟)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总平行于x 轴，则△F AB 的周长的取值范围是( )A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)答案 C解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)．由抛物线定义，得|AF |＝x A ＋2.因为圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△F AB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝16， 得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4，则x B ∈(2,6)，所以6＋x B ∈(8,12)．3．(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，抛物线D ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－92，若点P (m,1)是抛物线D 与双曲线C 的一个公共点，则下列选项正确的是( )A ．a ＝3bB ．抛物线D 的方程为x 2＝18yC ．m ＝±3 2D ．双曲线C 的方程为x 29－y 2＝1 答案 ABCD解析 由已知可得e 2＝a 2＋b 2a 2＝109，所以a 2＝9b 2，即A 正确；由抛物线D ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－92，得－p 2＝－92，解得p ＝9，所以抛物线D 的方程为x 2＝18y ，B 正确；由点P (m,1)在抛物线D 上，得m 2＝18，解得m ＝±32，C 正确；又点P (m,1)在双曲线C 上，可得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2－1b 2＝1，b ＝13a ，解得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 29－y 2＝1，D 正确．故选ABCD.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． 因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴． 因为M (－1,1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.5．(2020·银川摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．答案22 x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0解析 设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)， ∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号．故|PF ||P A |的最小值为22；当|PF ||P A |取得最小值时，点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)， ∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.6．(2019·洛阳模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.(1)求E 的方程；(2)设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．解 (1)根据题意，知4＝2py 0，① 因为|AF |＝2，所以y 0＋p2＝2.②联立①②解得y 0＝1，p ＝2.所以E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：设B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)． 由题意，可设直线BM 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入x 2＝4y ， 得x 2－4kx －4b ＝0.所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b .③ 由MP ⊥x 轴及点P 在直线y ＝x －3上， 得P (x 2，x 2－3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x 2－4x 2－2＝kx 1＋b －1x 1－2，整理，得(k －1)x 1x 2－(2k －4)x 1＋(b ＋1)x 2－2b －6＝0. 将③代入上式并整理，得(2－x 1)(2k ＋b －3)＝0. 由点B 的任意性，得2k ＋b －3＝0， 所以y ＝kx ＋3－2k ＝k (x －2)＋3.即直线BM 恒过定点(2,3)．组 素养关1．(2019·衡水一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FB →＋FC →＝F A →.(1)证明：B ，C 两点的纵坐标之积为定值； (2)设λ＝AB →·AC→，求λ的取值范围．解 (1)证明：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，F (1，0)，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－1，y 0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2，∵FB →＋FC →＝F A →，∴y 214－1＋y 224－1＝y 204－1，y 1＋y 2＝y 0，即y 21＋y 22＝y 20＋4，∴(y 1＋y 2)2＝y 20， ∴y 20＋4＋2y 1y 2＝y 20，∴y 1y 2＝－2.(2)由FB →＋FC →＝F A →，得四边形ABFC 为平行四边形，故λ＝AB →·AC →＝CF →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 214⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 224＋(－y 1)·(－y 2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋y 21y 2216＋y 1y 2＝1－y 20＋44＋416－2＝－14y 20－74≤－74，故λ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－74.2．(2020·安徽百所重点高中模拟)如图，设直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0，p 为常数)交于不同的两点M ，N ，且当k ＝12时，抛物线C 的焦点F 到直线l 的距离为255.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 过点B (1，－1)，求证：直线NQ 过定点．解 (1)当k ＝12时，直线l ：y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，即2x －4y ＋p ＝0，抛物线C 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0到直线l 的距离d ＝|2p |22＋(－4)2＝5|p |5＝255， 解得p ＝±2，又p >0，所以p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设点M (4t 2,4t )，N (4t 21，4t 1)，Q (4t 22，4t 2)，易知直线MN ，MQ ，NQ的斜率均存在，则直线MN 的斜率是k MN ＝4t －4t 14t 2－4t 21＝1t ＋t 1，从而直线MN 的方程是y ＝1t ＋t 1(x －4t 2)＋4t ，即x －(t ＋t 1)y ＋4tt 1＝0. 同理可知MQ 的方程是x －(t ＋t 2)y ＋4tt 2＝0， NQ 的方程是x －(t 1＋t 2)y ＋4t 1t 2＝0.又易知点(－1,0)在直线MN 上，从而有4tt 1＝1，即t ＝14t 1，点B (1，－1)在直线MQ 上，从而有1－(t ＋t 2)·(－1)＋4tt 2＝0， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14t 1＋t 2·(－1)＋4×14t 1×t 2＝0，化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1.代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0. 即(x－1)－(t1＋t2)(y＋4)＝0.所以直线NQ过定点(1，－4)．。