抛物线焦点弦的弦长公式
抛物线的几何性质-抛物线焦点弦的性质
yA
O x
B
例题讲解
解 :如 图 ,设 O A 的 方 程 是 ykxk0,则 因 OAOB,
故 可 设 OB的 方 程 为 y=-1x. k
yA
由 yy2k2 xpx得 A的 坐 标 2 kp 2,2kp
O
由y1kx得B的坐标2pk2,2pk
探求新知
3、A、B两点的坐标是否存在相关关系？ 若存在，其坐标之间的关系如何？
yA
y1y2
O Fx
B
p2,x1x2
p2 4
探求新知
4、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可 作哪些变形？|AF|与|BF|之间存在 什么内在联系？y A
OFx
B
1
12
|AF| |BF| p
探求新知
5、由焦点弦长公式
AF BF p
C
5以 A B为 直 径 的 圆 与 抛 物 线 的 准 线 相 切 ;
B
6AM F BM F
7DFC 90
例题讲解
例1 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、
B两点，过点A和抛物线顶点的直线交抛物
线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛
物线的对称轴.
yA
O
F
x
C
B
例题讲解
解 :设 A x1, y1 , B x2, y2 则
x k
2p 1k2
2p k
y1kk2 x2p
直 线 A B 经 过 一 个 定 点 2 p ,0 .
课堂小结
STEP1 STEP2
抛物线有许多几何性质，探究抛物线的几何性质，可作为一个研究性学习 课题，其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助.
微重点 抛物线的二级结论的应用
微重点 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4 (2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F 为AB 的三等分点， 令|BF |＝t ，则|AF |＝2t ， 由1|BF |＋1|AF |＝2p， 得1t ＋12t ＝2p ⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ，又|AB |＝2psin 2α， ∴2p sin 2α＝94p ⇒sin α＝223， 又S △AOB ＝23|AB |， ∴p 22sin α＝23|AB |， 即p 2423＝23·94p ⇒p ＝2， ∴|AB |＝92.(2)(多选)已知抛物线C ：x 2＝4y ，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，该抛物线的准线与y 轴交于点M ，过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为H ，G ，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．线段AB 长度的最小值为2B ．以AB 为直径的圆与直线y ＝－1相切C ．∠HFG ＝90°D ．∠AMO ＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立．例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32 D.52答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)， ∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ， 则|BB ′|＝t ， 又B 为AC 的中点， ∴|AA ′|＝|AF |＝2t ， ∴|BC |＝|AB | ＝|AF |＋|BF |＝3t ， 又△CBB ′∽△CFE ， ∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ，∴|AB |＝3t ＝94p ＝9.3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ， ∴直线过定点(2p ，0) 设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0，Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0， ∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2， S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2|＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85， ∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．16 3 D ．32 3 答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ，又|AF |＝3|BF |， ∴31－cos θ＝3·31＋cos θ，解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3，∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A＝12， 所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2， ∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥ABD.|F A ||FB |＝25 答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1，即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)， 由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1， |PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。
焦点弦的常用公式
当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
抛物线焦点弦问题
抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：例斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。
分析：利用弦长公式12d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AF x =+同理 21BF x =+于是得122AB AF BF x x =+=++由题已知{214y x y x=-=消去y 得2610x x -+=故126x x += ∴628AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或12AB y y p=++。
二. 通径最短问题：例：已知抛物线的标准方程为22y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求AB 的最小值并求直线方程。
解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2px =2A B p =②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 04k p k x k p p x -++=若0k ≠ 则222440k p p ∆=+>1222px x p k +=+则1222222p p AB x x p p p p k k =++=++=+当k →∞时 AB最小即min 2AB p = 此时 2px =三．两个定值问题：例：过抛物线22y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2114p x y =，212y y p =-。
证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222(2 0(04k p k x k p p x k -++=≠2124p x x =同理消去y 可得 212y y p =-；②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；③斜率不存在时，2114p x y = ，212y y p =-同样是定值；从上所述：2114p x y =，212y y p =-四．一个特殊直角问题：过抛物线22(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒∠=。
抛物线焦点弦的弦长公式.pptx
直线 AB 倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 (
,
),(
,
) ，斜率为 k (k tan ) ，而焦点坐标为(0,
p )
，
11
22
2
故 AB 的方程为 y p kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2 2pkx p2 0, 从而 x1 x2 2pk, x1x2 p2 ，
一寸光阴不可轻
关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介 绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
y (1)已知：抛物线的方程为 2 2 px ( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，
且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
2
y 而 2 2 px 与（3）的结果一样
x 同理：（4）已知：抛物线的方程为 2 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于A,B
两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，若过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即| AB | 2 p 。这个公式
(sin )2
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应 用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
3
2
2
2
2
一 寸 光 阴 不 可轻
当倾斜角 , 则 ,cos cos( ) sin
2
2
2
所以| AB | 2 p 恒成立。
(sin )2
当 时， sin 1，|AB|=2p.即为通径。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 22 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2)两点结论 1： AB x 1 x 2 pAB AF BF (x 1 p) (x 2 p) x 1 x 2 22结论 2：若直线 L 的倾斜角为 ，则弦长 AB 2p 2sin2结论 4：23S ABoAB p8(为定值)(2)若2时 ,设直线 L 的方程为： py (x )tan2 即xy cot2p代入抛物线方程得2 y2py cot p 2 0 由韦达定理y 1y 2 2 p ,y 1y22pcot2 )2p )2由弦长公式得 AB 1 cot 2y 1 y 2 2p(1 cot证: (1)若2时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径si n结论 3： 过焦点的弦中通径长最小 AB 2p 结论得证 2sin2p 2sin2p AB 的最小值为 2p ,即过焦点的弦长中通径长最短同理 B 1FOB 1FBA 1FB 1 90A 1FB 1 F2结论 8：（1）AM 1 BM 1 （2）M 1F AB （3） M 1F AF BF（4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1相交于 Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5） AM 12M 1B 24M 1M 2证：由结论（ 6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上 AM 1 BM 1A 1FB 1为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点A 1M 1 M 1F M1FA 1M1A 1FAA 1F AFA 1AA 1FFA 1MAA 1M190AFA 1A1FM190M 1FABM 1F2AFBFAM 1BM 1 AM1B 90又 A 1FB 1FA 1FB 1 90 所以 M 1，Q ， F,H 四点共圆， AM 1 2M 1B 2AB 22 2 2 2AF BF 2AA 1 BB 1 22MM 1 24MM 1 2结论 9： （1） A 、O 、B 1 三点共线 （ 2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1平行于 X 轴（ 4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1平行于 X 轴S OAB SOBF1S 0AFOFBF 1sin 2OF AF sin OF 2S OABAB结论 5： （1） 证x 1AFP 3y 1y 22y1 2p ,x 2BF 2p 2sinOF AB sinp22psin2 sin 22 p2sin(2) x 1x 2=2 y22px 1x 2(y 1y 2)24P 2P 2结论 6：以 AB 证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 为直径的圆与抛物线的准线相切AA 1， 过 B 点作准线的垂线 BB 1，MM 1结论 7：连接 A 1F 、 AA 1 AF,AA 1 BB 1 AF BF22B 1 F 则 A 1FAA 1F B 1FAB 2故结论得证AFA 1 AA 1 //OF AA 1FA 1FO A 1FO A 1FA41E,因为直线 L 的倾斜角为证：因为 k oAy1 x1y12 y12p,k oBoB 1y 11y2 p2y2，而 y 1y 2 p2 p2p2所以 k oA2p2 p y22y 2 pk oB 1所以三点共线。
人教高中数学选修2-1第二章2.4.2抛物线焦点弦的性质
3、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
y1y2
= -p2,x1x2
=
p2 4
探求新知
4、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可作 哪些变形？|AF|与|BF|之间存在什么 内在联系？ y A
O Fx B
|
1 AF
|
+
|
1 BF
|
=
2 p
探求新知
yA
5、由焦点弦长公式
故可设OB的方程为y=-y y
kx 2 2
px
得A的坐标
2 k
p
2
,
2p k
O
由
y
1 k
x 得B的坐标
2 pk 2, 2 pk
B
x
y2 2 px
由两点式, 得AB的方程为 :
y 2p k
x
2 k
p
2
2 pk 2 p k
2
pk 2
2p k2
例题讲授
整理, 得AB的方程为 :
y
2p k
k 1 k2
x
2p k2
AB的方程为: y 2 p k
1
k k
2
x k
2p 1 k2
y k x 2 p 2 p 1k2 k 1k2 k
y
k 1 k
2
x
2
p
直线AB经过一个定点2p,0.
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物线 的几何性质，可作为一个研究性学习 课题，其中焦点弦性质中的有些结论 会对解题有一定的帮助.
2.4.2抛物线的几何性质
复习回顾
(完整版)抛物线的常见结论
抛物线的常见结论一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式2122122124)(11x x x x k x x k l -+•+=-+=，其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。
2122122124)(11y y y y m y y m l -+•+=-+=，其中弦长所在直线方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。
2. 抛物线的焦点弦对于抛物线，022>=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有：①221221,4p y y p x x -== ABF CDOα由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x pxy 得0222=--p pmy y （＊），因此⎪⎩⎪⎨⎧==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长p x x AB ++=21，焦点弦长α2sin 2P AB =ααsin 4)(sin 2122121y y y y y y AB -+=-=，结合（＊）式与αtan 1=m 得： ααααααααααsin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 4422222222222+=+=+=+=p p p p p m p ABααα22sin 2sin sin 12p p ==③PBF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y PBF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积αsin 22P S =简单证明如下：以AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：ααααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB=⨯⨯== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.c. 以CD 为直径的圆与AB 相切d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，︒=∠90CFDe.以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。
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关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
(1)已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，
且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -
=)2
(π
θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，且θtan =k
设A,B 两点的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y x y x 则：k
k x
x p p 22
2
1
2+=+，
4
2
21p
x x =
)
(sin )
(2
212
2
24211||θp
AB x x x x k
=
-+=+
当2
π
θ=
时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的
弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，
直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2
211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2
,0(p ，故AB 的方程为kx p
y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p x x x x pk 2
2121,2-
==+，
弦长为：)
(cos )(2
212
2
24211||θp
AB x x x x k
=
-+
=+
p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而
px y
22
-=与（1）的结果一样，py x 22
-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
现将改动陈述于下：
（3）已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B
两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -
=)2
(π
θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，
若倾斜角2
π
α<，则θαθαtan tan ,===k ；
若倾斜角,2
π
α>
则)tan(tan ,θπαθπα-==-=k 。
设A,B 两点的坐标为),(),,(2
2
1
1
y x y x
则：
k
k x
x p p 2
2
2
1
2+=
+，
4
2
2
1
p
x
x
=
)
(si n )
2()
tan )
(2
4
4
2
22
2
12
2
22
(14
211||ααp
AB k
k
p p k p x
x x x k
=
-
+=-+
=++
而αθπαθsin )sin(,sin sin =-=，故)
(sin 2
2||θp
AB =
；
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
px y
22
-=与（3）的结果一样
同理：（4）已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B
两点，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y x y x ，若倾斜角为α，斜率为k ，
则αtan =k ，而焦点坐标为)2
,0(p
， 故AB 的方程为kx p
y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p x x x x pk 2
2121,2-
==+，
弦长为：)
(cos )(2
212
2
24211||αp
AB x x x x k
=
-+
=+
当倾斜角2
π
α<
，则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(
cos ,2
=-=-=
；
当倾斜角,2
π
α>则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(
cos ,2
-=+=+=
所以)
(sin 2
2||θp
AB =
恒成立。
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
py x
22
-=与（4）的结果一样。
故只要直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即)
(sin 2
2||θp
AB =。
这个公式
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。