(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第七节 课时跟踪训练 理
(广东专用)2020高考数学总复习第二章第十二节课时跟踪训练理
、选择题1. f(x) = x3+ ax2 + bx + c ,其中 a , b , c 为实数，且 a2v 3b ,则( )A . f(x)在R 上是增函数B. f(x)在R 上是减函数C. f(x)在R 上不是单调函数D. f(x)是常数【解析】 f ' (x) 3x2 + 2ax + b ,当 a2v 3b 时，△= 4a2- 12b = 4(a2- 3b) v 0.••• f ' (x)0恒成立.f(x)在R 上是增函数.【答案】 A2. 设曲线y = xn + 1(n € N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 xn ,则x1 • x2 ...........等于()A.— C.【解析】 y'= (n + 1)xn ，曲线在点(1,1)处的切线方程为 y — 1 = (n + 1)(x — 1)，令y = 0,得 贝卩 x1 • x2 •…=xn •.…—= ----2 3 n +1 n +1【答案】 B3. 若直线y = m 与y = 3x — x3的图象有三个不同的交点，则实数 m 的取值范围为( )A . — 2v m v 2B . — 2<C . m v — 2 或 m >2D . m< — 2 或 m >2【解析】 y = 3(1 — x) (1 + x)由 y = 0,得 x = ±1,• y 极大=2, y 极小=—2，•— 2v m v 2.【答案】 A4. 在R 上可导的函数f(x)的图象如图2 — 12— 3所示，则关于x 的不等式x • f'<(0)的解集 B . (— 1,0) U (1 ,+s)C . (— 2,— 1) U (1,2) 课时知能训练xn B.xn =nn + 1.A . (— s,— 1) U (0,1)D . (— s,—2) U (2 , + s)【解析】(1)当x€ (—s,—1)和x€ (1 ,+ s时，f(x)是增函数,• •• f ' (x)0,因此 X V 0,• •• x • f ' V x0 的范围是(—g,— 1).⑵当—1V X V 1 时，f(x)递减，• f ' (V O.由 x • f ' V xO ，得 x >0,• 0 V x V 1.故 x • f ' V <0 的解集为(—g,— 1) u (0,1).【答案】 Af x 5. 已知函数y = ——(x € R)满足f ' (»f(x)，贝U f(1)与ef(0)的大小关系是( )exA . f(1) V ef(0)B . f(1) > ef(0)C . f(1) = ef(0)D .不能确定 f x【解析】 令g(x) = , 则函数g(x)在R 上单调递增，所以有 g(1) >g(0)，即匚宁 > — ，所以可得f(1) >ef(0). e1 e0【答案】 B二、填空题1 39 6. 电动自行车的耗电量 y 与速度x 之间有如下关系：y = 3x3 —— 40x(x >0)，为使耗电 量最小，则速度应定为 _______ .【解析】 由 y '= x2 — 39x — 40= 0,得 x = — 1 或 40,由于 0v X V 40 时，y'v 0 ;当 x > 40 时，y'> 0.所以当x = 40时，y 有最小值.【答案】 407. _____________________________________________________________ 已知函数f(x) = xsin x + cos x ,贝U f( — 3)与f(2)的大小关系是 _______________________________ .【解析】 f ' (x) x c os x + sin x — sin x = xcos x.n n当 x € £, n 时，f(x) V 0,「. f(x)在 © n 上递减，• f(2) > f(3).由f(x)是偶函数，得f( — 3) = f(3),• f(2) > f( — 3).【答案】 f(2) > f( — 3)8.已知函数f(x) = x2+ mx + In x 是单调递增函数，则m 的取值范围是 _________2x2 斗 mx -P 1【解析】 依题意知，x > 0, f ' (= 2x2十mx 十1,x令 g(x) = 2x2 + mx + 1, x € (0,+g),当—罗WO 时g(0) = 1 >0恒成立，二m 》0成立， 当—屮〉0 时，贝 U △= m2 — 8WQ •— 2 2 WmV 0, 综上，m 的取值范围是m>— 2 2.【答案】 m>— 2 2三、解答题9•甲、乙两地相距 400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100千米/小时， 则g '符 f ' x ex — f x ex e2x f ' x — f x ex已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P= 」v4-丄19 200 160 v3+ 15v,(1) 求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2) 为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.【解】(1)Q = P^00=(」v4 —丄v3 + 15v)—v 19 200 160 丿v—1 1—(19 200v3—160v2+ 15) 400v3 5= --v2 + 6 000(0 v v w 100.)48 2v2⑵由(1)知，Q'=届—5v,令Q' = 0，则v = 0(舍去)或v= 80,当0v v v 80 时，Q'v 0 ;当80v v w 100时，Q'> 0.•••当v= 80千米/小时时，全程运输成本取得极小值，又函数在(0,100］内有唯一极小值，也就是最小值.故运输成本的最小值为Q(80) = 2-!300(元).10. f(x) = x3 —x2 —x + a,当a在何范围内取值时，y = f(x)与x轴仅有一个交点.1【解】令 f ' (x)3x2 —2x— 1 = 0，得x =—丄，x = 1,31 5可知f( —1 = 27+ a为极大值，f(1) = a—1为极小值.3 2 7①当27+ a v 0，即a€ (—g，—27)时，y= f(x)与x轴仅有一个交点;②当a— 1 >0，即a€ (1，+g)寸，y= f(x)与x轴仅有一个交点. 故所求a的取值范围是(一g，—27) U (1，+ g).11. (2020辽宁高考改编)已知函数f(x) = In x —ax2+ (2 —a)x.(1)讨论f(x)的单调性；1 1 1⑵设a>0,证明：当0v x v a时，f(a+ x) >f(-—x).a a a【解】(1)f(x)的定义域为(0，+ g),①若 a <0,则 f ' (x)0,所以f(x)在(0 ,+R 上是增函数.1②若a > 0,则由f ' (X 0，得x = a— —又当 x € (0,-)时，f ' >0；当 x >-时，f ' (x )0. a a— —所以f(x )在(0, ?上单调增加；在 q ,+g 上单调减少.— —⑵证明设函数g (x )=Q +x)—町—x).则 g(x) = In(— + ax) — In(— — ax) — 2ax , ‘ —a a 2a3x2 g (x) + — 2a =—+ ax — — ax — — a2x2，—当 0v x v -时，g ' (x >0, a「(x)1 -2ax + (2-a)=- X2x + 1 ax — 1x又g(0) = 0,所以g(x) >0.———故当0v x v -时,f( + x) > f( —x).a a a。
(广东专用)2020高考数学总复习第八章第二节课时跟踪训练理
课时知能训练一、选择题1. (2020阳江模拟)已知直线 的斜率为 I1 : y = 2x + 3，直线I2与I1关于直线y =— x 对称，则直线I2 1 A.g 【解析】 ( )B --1 点A(0,3) , B( — 1,1)在直线I1上，则点A , B 关于直线y =— x 的对称点A —3,0),1 — 0 12.C . 2B ' —1,1)在直线I2上，故直线I2的斜率k =_1—— 3 【答案】 A 2. 直线 mx + 4y — 2= 0与2x — 5y + n = 0垂直，垂足为(1,A . — 12 【解析】 由垂足(1 , p =— 2,B .- 2C . 0D . 10由 2m — 20= 0 得 m = 10,p)在直线 mx + 4y — 2 = 0 上得，10 + 4p — 2 = 0,又垂足(1,— 2)在直线2x — 5y + n = 0上，••• 2X 1 — 5X( — 2) + n = 0 ,.n =— 12.【答案】 A3.若直线I 与直线y = 1, x = 7分别交于点P , Q ,且线段 线I 的斜率为( )1代3 B . 【解析】 故直线I p)，则n 的值为() PQ 的中点坐标为(1, - 1)，则直 a + 7 = 2, 设点P(a,1), Q(7, b)，则有 解得 b + 1 = — 2,b =— 3. a =— 5,13. 4.光线沿直线 y = 2x + 1射到直线y = x 上，被y = x 反射后的光线所在的直线方程为 1 1 1A . y = ^x — 1B . y = ^x — 2c 1 1 1C . y = 2^ + 2D . y = * + 1y = 2x + 1,口 x =— 1 , 、 【解析】 由得即直线过点(一1 , — 1).y = x. y =— 1, 又直线y = 2x + 1上一点(0,1)关于直线y = x 对称的点(1,0)在所求直线上，y — 0 x — 1 1 1•••所求直线的方程 一一一0=—■一？即卩y =2x —2.【答案】 B5. (2020北京高考)已知点 A(0,2) , B(2,0).若点C 在函数y = x2的图象上，则使得厶 ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A . 4B . 3C . 2D . 1【解析】 设C(t ，⑵,又A(0,2) , B(2,0)【答案】 B( )则直线AB的方程为y=—x+ 2.•••点C到直线AB的距离d=|t2+匸2|<2又•/ |AB| = 2 2,1•S A ABC = ^X|AB| d=|t2+1 —2|.令|t2 + t —2|= 2 得t2 + t —2 =±,•t2 +1 = 0或t2 + t —4= 0,符合题意的t值有4个，故满足题意的点C有4个.【答案】A二、填空题6. 过点(1,0)且与直线x —2y—2 = 0平行的直线方程是____________1【解析】所求直线的斜率为2,1故所求的直线方程为y= -(x —1)，即x—2y —1= 0.【答案】x —2y —1 = 07. _________________________________________________________ 与直线2x + 3y—6 = 0关于点(1 , —1)对称的直线方程是______________________________________ .【解析】设所求直线方程为2x+ 3y + m= 0(m M—6),|2—3 —6| |2—3 + m|则有= ，即|m—1|= 7，- m= 8寸22+ 32 寸22 + 32故所求直线方程为2x+ 3y + 8= 0.【答案】2x + 3y+ 8= 0&经过直线3x —2y+ 1 = 0和x+ 3y + 4 = 0的交点，且垂直于直线x+ 3y+ 4= 0的直线I的方程为.3x —2y + 1 = 0,【解析】解方程组得交点坐标(—1,—1).x + 3y+ 4 = 0,又直线I的斜率k = 3.所以I的方程为y + 1 = 3(x+ 1)，即3x —y + 2 = 0.【答案】3x —y + 2= 0三、解答题9. 已知直线l: (2a + b)x + (a+ b)y + a—b = 0 及点P(3,4).(1)证明直线I过某定点，并求该定点的坐标.(2)当点P到直线【解】(1)证明I的距离最大时，求直线I的方程.I 的方程化为a(2x + y + 1) + b(x + y —1) = 0,,2x + y+ 1 = 0 由x + y—1 = 0,x = —2得，y= 3•直线l恒过定点(—2,3).⑵设直线l恒过定点A( —2,3)，当直线I垂直于直线PA时，点P到直线I的距离最大，又4 一3 1直线PA的斜率kPA= = 1，3 + 2 5•直线I 的斜率kl =— 5.故直线I 的方程为y — 3=— 5(x + 2)，即5x + y + 7= 0.10. (2020宁波模拟)已知直线I 经过直线3x + 4y — 2= 0与直线2x + y + 2= 0的交点P ,且 垂直于直线 x — 2y — 1 = 0.(1) 求直线I 的方程；(2) 求直线I 与两坐标轴围成的三角形的面积S. 3x + 4y — 2 = 0x = — 2 【解】 (1)由 解得 . 2x + y + 2= 0 y = 2由于点P 的坐标是(一2,2).所求直线I 与x — 2y — 1 = 0垂直，可设直线I 的方程为2x + y + C = 0.把点P 的坐标代入得2* — 2)+ 2+ C = 0，即C = 2.所求直线I 的方程为2x + y + 2= 0.⑵又直线I 的方程2x + y + 2= 0在x 轴、y 轴上的截距分别是—1与—2.1 则直线I 与两坐标轴围成三角形的面积 S = 1*1 >2 = 1.11. 在直线1: 3x — y — 1= 0上求一点P ,使得P 到A(4,1)和B(0 , 4)的距离之差最大.【解】 如图所示，设点 B 关于I 的对称点为B',连结AB'并延长交I 于P ,此时的P 满足 |PA|—|PB |的值最大.设B'的坐标为(a , b),则 kBB' • = — 1,即 4 3 =— 1 a••• a + 3b — 12= 0•①a b -4- 4 a b+ 4又由于线段 BB 的中点坐标为 g, —2~)，且在直线I 上，• 3— —2~ — 1 = 0，即3a — b — 6 =0.②①②联立，解得 a = 3, b = 3,「. B' (3,3)于是AB 的方程为匕=邑即 2x + y — 9= 0. 3x — y — 1 = 0, 解2x + y — 9= 0,得 x = 2， y = 5, 即I 与AB 的交点坐标为 P(2,5).。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测八函数的图象含解析
课时跟踪检测(八) 函数的图象一、题点全面练1．函数f (x )＝x e－|x |的图象可能是( )解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x，因为e －x＞0，所以f (x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，x ＋a ，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，x ＋，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D 在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.5．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析：选C 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移一个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·s in x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1·sinx ＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，故排除C 、D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin2＜0，故排除B ，选A.7.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B 令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a＞1，又当x ＞－b a时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.8．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x,2x －3,6－x }，则M 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选C 画出函数M ＝max{2x,2x －3,6－x }的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M 在点A (2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.9.已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：选B 由题意知，当－1＜t ＜0时，S 越来越大，但增长的速度越来越慢．当t ＞0时，S 的增长速度会越来越快，故在S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案：{x |－1<x ≤1}11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －a ，x ≥0，－x x －a ，x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·大同质检)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析：选C 因为f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故f (2x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0成中心对称． 2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．3．(2019·合肥质检)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x －a ＝－(e －x－a )，即a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)(二)素养专练——学会更学通4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (x )的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 由y ＝f (x )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C ，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5．[直观想象]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1为周期的＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1.函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝21－x－1方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个函数y ＝f (x )与y ＝x＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(－∞，1)．(三)难点专练——适情自主选6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 7．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于ax －1<34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)， 即a2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。
(广东专用)2020高考数学总复习第八章第五节课时跟踪训练理
(> 0).课时知能训练一、选择题1 方程(x — y)2 + (xy — 1)2= 0 的曲线是( )A •一条直线和一条双曲线B .两条直线 C. 两个点 D. 4条直线x = 1 x =— 1••• 或 ，y = 1 y =— 1即方程表示两个点(1,1)和(—1,— 1). 【答案】 C2.已知椭圆的焦点是 F1, F2, P 是椭圆上的一个动点，如果 M 是线段F1P 的中点，则动点M 的轨迹是()A .圆B .椭圆C .双曲线的一支D .抛物线【解析】 设椭圆的中心为 0,贝U OM 是厶PF1F2的中位线， • |M0| + |MF1| = a > c ,•动点M 的轨迹是以点F1 , 0为焦点的椭圆. 【答案】 B3.已知点A( — 1,0), B(2,4) , △ ABC 的面积为10,则动点C 的轨迹方程是( )A . 4x — 3y — 16= 0 或 4x — 3y + 16= 0 B. 4x — 3y — 16 = 0 或 4x — 3y + 24= 0 C. 4x — 3y + 16 = 0 或 4x — 3y + 24= 0 D. 4x — 3y + 16= 0 或 4x — 3y — 24= 0【解析】 •/ AB 的方程为4x — 3y + 4= 0,又|AB| = 5, 设点C(x , y)由题意可知"x -5y +4| = 10, 2 5• 4x — 3y — 16= 0 或 4x — 3y + 24= 0. 【答案】 B4. (2020杭州模拟)设P 为圆x2+ y2 = 1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为 Q ,若PM = WlQ (其中入为正常数)，则点M 的轨迹为( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线【解析】由(x — y)2 + (xy — 1)2 = 0 得x — y = 0 xy — 1 = 0,【解析】设M(x , y), P(x0, y0)，则Q(x0,0),T T x —x0 =入x0 —x 由PM =涮Q得y —y0=—入yx0 = x y0 =入 + 1 y由于 x2 + y0= 1 ,••• x2 + ( H 1)2y2= 1, •••点M 的轨迹是椭圆. 【答案】 B5. 设圆(x + 1)2 + y2 = 25的圆心为 C , A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ，则M 的轨迹方程为( )【解析】 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM| = |MQ|,• |MC| + |MA| = |MC| + |MQ| =|CQ|= 5,5 21• a = ^, c = 1，则 b2 = a2 — c2=—,•椭圆的标准方程为4x2 + 4y2= 1.25 21【答案】 D 二、填空题6. (2020汕头模拟)已知A , B 是圆O : x2 + y2= 16上的两点，且|AB| = 6,若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C(1 , — 1),则圆心M 的轨迹方程是 ________________ . 【解析】 由题意△ ABC 是以点C 为直角顶点的三角形. • |MC| = 3,故圆心M 的轨迹是以点 C(1 , — 1)为圆心，以3为半径的圆， 其轨迹方程为(x — 1)2 + (y + 1)2 = 9. 【答案】 (x — 1)2 + (y + 1)2= 97. 已知点 M( — 3,0), N(3,0), B(1,0)，圆C 与直线MN 切于点B ，过M , N 与圆C 相切的两直线相交于点 P ,则P 点的轨迹方程为 ______________ .【解析】 依题意，设PM , PN 与圆的切点为C , D ，则|PM| — |PN|= (|PC|+ |MC|) — (|PD| +|DN|) = |MB| — |NB| = 2,「.点 P 的轨迹是以M , N 为焦点的双曲线 (与x 轴的交点除外)的右支，c = 3, a = 1, b2 = 8,轨迹方程为x2 — y -= 1(y M0 8 x > 0).【答案】 x2 — y2 = 1(y 工0 8x > 0)&△ ABC 的顶点 A( — 5,0)、 B(5,0) , △ ABC 的内切圆圆心在直线x = 3上，则顶点C 的轨迹方程是A 4X 2 -坐=121 254x24y2 4y2 = 21 =4x2 4X2+10. (2020陕西高考)如图8— 5— 4,设P 是圆x2 + y2= 25上的动点，点 D 是P 在x 轴上的 投影，M为PD 上一点，且|MD| = 5|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；⑵求过点(3,0)且斜率为4的直线被C 所截线段的长度. 5【解】 ⑴设M 的坐标为(x , y), P 的坐标为(xP , yP),xP = x ,由已知得5 yp =4y ,••• p 在圆上，.x2 +拿)2 = 25，即轨迹C 的方程为 營+ %= 1.7 1A0 K【解析】 如图，|AD| = |AE| = 8,|BF|=|BE|= 2, |CD|=|CF|, 所以 |CA|— |CB|= 8 — 2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x2 — y|=1(x > 3).【答案】x2—y2=i(x > 3) 三、解答题9.已知直线I : y = kx + 1与圆 点M 的轨迹方程.【解】 直线I 与y 轴的交点为C : (x — 2)2 + (y — 3)2= 1相交于 A 、B 两点，求弦 AB 的中 N(0,1)，圆心 C(2,3)，设M(x , y),v MN 与MC 所在直线垂直, y — 1 y — 3=—1, (x MC 且 X M 2)x x — 2 当x =0时不符合题意，当AB 中点的轨迹方程为：x = 2时，y = 3符合题意，4 4⑵过点(3,o )且斜率为5的直线方程为y = 5(x — 3), 设直线与 C 的交点为 A(x1 , y1), B(x2 , y2),4将直线方程y = 5(x — 3)代入C 的方程，得311.已知点A(2,0) , B( — 2,0), P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为一4.(1) 求动点P 的轨迹方程；1(2) 过点(2，0)作直线I ，与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜 率k 的取值范围.【解】(1)设P 点的坐标为(x, y),依题意得一^ •^- =— 3(x 工±,2化简并整理得 晋+ y | =x — 2 x 十 2 4 4 31(x 工±.2)•动点p 的轨迹C 的方程是x2 + % = 1(x 七2)1 1(2)依题意得，直线I 过点(~, 0),且斜率不为零，故可设其方程为x = my 十1x = my +由，消去x 得x2 y2 ,十」=14 3 4(3m2 十4)y2 十 12my — 45= 0,设 E(x1 , y1), F(x2 , y2), M(x0 , y0), • y1 + y2=-書3m2 + 4...y0 =呼=_3rn_, 223m2+ 4• x0 = my0 +1 =--,'23m2 + 4'• k —x0 — 2 4m2 + 4'①当m = 0时，k = 0,1②当详0时，k =-,x2 25+x — 3 25 即 x2 — 3x — 8= 0.x13— .41x2 =3+ .41 AB 的长度为 |AB| = ； x1 — x2 2 +y1 — y2i +16x1 — x2 2 =•••线段44m十m4 4又|4m+肘4冋+而严••• 0v |k| 8l，A—g w k g；且k M0一1 1 综合①②，直线AM的斜率k的取值范围为[—-].8 8。
(广东专用)2020高考数学总复习第二章第十一节课时跟踪训练理
课时知能训练一、选择题1函数f(x) = (x —3)ex的单调递增区间是()A •(―汽2)B . (0,3)C. (1,4)D. (2,+^)【解析】f' (x) (x —3)' e+(x —3)(ex) = (x —2)ex,令 f ' (x)0,解得x>2.【答案】D2. (2020梅州调研)若函数f(x) = x3 —6bx + 3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )A . (0,1)B . (— s, 1)1C. (0 ,+s) D . (0,刁)【解析】 f ' (x) 3x2 —6b,且f(x)在(0,1)内有极小值.••• f ' (x)0 在(0,1)内有解，易知b> 0且0<仍v 1,解之得0 v b v 1.【答案】D3. 对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x —a)f ' (x),则必有()A. f(x) > f(a) B . f(x) w f(a)C. f(x) >f(a) D . f(x) v f(a)【解析】由(x —a)f ' (x)知Q当x> a 时，f' (x)戸当x v a 时，f' (x) w 0.•••当x= a时，函数f(x)取得最小值，则f(x) >f(a)【答案】A4. (2020 浙江高考)设函数f(x) = ax2 + bx + c(a, b, c € R)，若x = —1 为函数f(x)ex 的一个极值点，则下列图象不可能为y= f(x)的图象是()【解析】设h(x) = f(x)ex，则h' (x) (2ax + b)ex + (ax2 + bx + c)ex=(ax2 + 2ax+ bx + b+ c)ex.由x=—1为函数f(x)ex的一个极值点.因此ax2 + 2ax+ bx + b+ c= c—a= 0,「. c = a.• f(x) = ax2 + bx + a.若方程ax2 + bx + a= 0有两根x1, x2，贝Ux1x2 = a= 1, D中图象一定不满足该条件.a【答案】Df x5. (2020东莞调研)函数f(x) = x2 —2ax+ a在区间(—s, 1)上有最小值，贝函数g(x)= -在区间(1, + 8上一定()A .有最小值B .有最大值C.是减函数 D •是增函数【解析】由函数f(x) = x2- 2ax+ a在区间(―8 1)上有最小值，可得a的取值范围为a v 1, ••• g(x) = = x + a-2a,则g'符 1 —弓.X x x2易知在x € (1 ,+ 8上g' (x>0，所以g(x)为增函数.【答案】D二、填空题16. 已知f(x) = ^mx2 + In x - 2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_________ .1【解析】 f ' (x) mx + -- 2》0寸一切x > 0恒成立，x•详-(1)2+2.令g(x) =- (3)2 + - =- (1 -1)2+ 1,x x x当1 = 1，即x = 1时，g(x)有最大值1,故m> 1.x【答案】[1 , + 8)7. 已知函数f(x) = x3+ ax2 + bx+ a2 在x= 1 处取极值10，贝U f(2) = ________ .【解析】 f ' (x) 3x2 + 2ax+ b,f 1 = 10, 1 + a+ b+ a2= 10,由题意即f 1 = 0, 3 + 2a+ b = 0,消去b,得a= 4或a=- 3.但当a=- 3时，f ' (=3x2 - 6x + 3>0,故不存在极值.• a= 4, b=- 11, f(2) = 18.【答案】18&给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'存在，且导函数f' 在D上也可导，则称f(x) 在D上存在二阶导函数，记 f ” (x= (f ' (x))若f ” (xV0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,才)上是凸函数的是_________________________________ .(把你认为正确的序号都填上)① f(x) = sin x + cos x;② f(x) = ln x —2x;③f(x) =- x3 + 2x —1;④ f(x) = xex.【答案】①②③三、解答题9. 已知函数f(x) = ex—ax—1.3由f" (x=—x2 v 0,得②是凸函数；由f" (x= —6x v 0,得③是凸函数；由f" (x= 2ex + xex>0,得④不是凸函数.n【解析】 在定义域(0, 2)内，由f " (x) — sin x — cos x v 0,得①是凸函数；(1) 若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2) 是否存在a ,使f(x)在(—g, 0］上单调递减，在［0,+^上单调递增？若存在，求出 a 的 值；若不存在，说明理由.【解】 ⑴ T f(x) = ex — ax — 1,/• f ' (x) ex — a.••• f(x)在R 上单调递增••• f ' (x) ex — a >0恒成立，即 a < ex x € R 恒成立.■/x € R 时，ex € (0,+g), • a < 0.⑵由已知f(x)在(一g, 0］上单调递减，在区间［0, + g 上单调递增可知，f(0)是f(x)的极小值. • f ' () e0— a = 0? a = 1,经检验，a = 1符合要求.••存在a = 1满足条件.110. (2020肇庆调研)已知函数f(x) = ax2 + bln x 在x = 1处有极值(1)求a , b 的值；⑵判断函数y = f(x)的单调性并求出单调区间.b 1(1)f ' =)2ax + -，又 f(x)在 x = 1 处有极值 2. x 21a = °,即 22a + b = 0. 1解之得予且b =- 4⑵由(1)可知 f(x) = 1x2 — In x ,其定义域是(0 ,+g),戸， 1 x +1 x — 1且 f ' (=)x —-= ------------------- x x -当x 变化时，f ' (x) f(x)的变化情况如下表:所以函数y = f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1 ,+g)4 1【解】 函数f(x)的定义域为(0,2), f ' (= - — --------- + a.x 2 — x【解】 =0,11. 设函数f(x) = In x + ln(2 —x) + ax(a> 0).(1)当a= 1时，求f(x)的单调区间；1⑵若f(x)在(0,1］上的最大值为2，求a的值.⑴当 a = 1 时，f ' (x )x 2— x ，令 f ' (x )0,由于 0v x v 2,得 2— x2>0, ••• 0v x v 2,此时函数f(x)是增函数. 令 f ' (V 0,由 0v x v 2，得 2— x2 v 0,• ；2v x v 2,此时,f(x)是减函数.故f(x)的单调递增区间为(0,「2)，单调递减区间为('2, 2).2— 2x⑵当 x € (0,1］时，f ' (x ) - + a ,x 2 — x•/ a > 0.>0 2 — 2x+ a >0, f ' (>0.x 2— x所以，f(x)在(0,1］上单调递增，故f(x)在(0,1］上的最大值为f(1) = a , 因此a = —x2 + 2 2— 2x x 2 — x。
(广东专用)高考数学总复习 8-7 课时跟踪练习 文(含解析)
课时知能训练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 2．若双曲线y 25－x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2012·惠州调研)已知双曲线x 2a －y 2b＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 29－y 219＝1 D.x 219－y 29＝1 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7．(2012·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2面积．10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 11．(2011·广东高考)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．答案及解析1．【解析】 由题意知ba＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝3a 2c 2＝a 2＋b2c 2＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9b 2＝27，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1. 【答案】 B2．【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53x 可知m ＝9. ∴F (0，±14)，其到y ＝±53x 的距离d ＝|314|14＝3. 【答案】 B3．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意b a ＞2.∴e ＝c a ＝ 1＋b a 2>1＋4＝ 5.【答案】 C4．【解析】 由题意知曲线C 2是以椭圆C 1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4， 由椭圆的离心率知c 13＝513，∴c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，∴曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1. 【答案】 A5．【解析】 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→⇒|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝(210)2＝40.又|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴(|MF 1→|－|MF 2→|)2＝40－4＝36，∴2a ＝6⇒a ＝3，∴a 2＝9，b 2＝c 2－a 2＝1.∴方程为x 29－y 2＝1. 【答案】 A6．【解析】 由题意知，M 点的坐标为M (3，±15)，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d ＝－2＋15－2＝4. 【答案】 47．【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12， ∴离心率e ＝c a ＝1＋b a 2＝52. 【答案】 52 8．【解析】 设双曲线的右焦点为Q ，则Q (4,0)，|PF |－|FQ |＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PQ |＋|PA |，∴当P 、Q 、A 三点共线时，|PF |＋|PA |有最小值， ∵|AQ |＝－2＋－2＝5，∴|PF |＋|PA |的最小值为4＋5＝9.【答案】 99．【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.10．【解】 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2. 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2， ∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c. 又s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a ·c 2－a 2≥2c 2. 于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解之得54≤e 2≤5，又e >1，∴e 的范围是e ∈[52，5]． 11．【解】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得{ |CF 1|＝r ＋CF |＝r －2或{ |CF 1|＝r －2，CF |＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF ||＝4.∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，且|MF |＝355－52＋455－2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋25x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255. ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．。
(广东专用)2020高考数学总复习第七章第四节课时跟踪训练理
、选择题1已知直线a , b , c 及平面a,3,下列条件中，能使 a // b 成立的是( )A . a / a, b? aB . a / a, b / a D . a / a, aA=3 bC 正确，A 中a 与b 可能异面. B 中a , b 可能相交或异面，D 中a , b 可能异面. 【答案】 CC 中，1 // m 或I 与m 异面，C 是假命题.D 中I 与m 相交、平行或异面，为假命题.【答案】 B3. (2020佛山质检)给出下列关于互不相同的直线 I 、m 、n 和平面a 、3 丫的三个命题: ① 若I 与m 为异面直线,I? a, m? 3则a// 3② 若 all 3 I? a, m? 3 贝U I // m ；③ 若 ad 甘 1, 3门予 m , Yd=a n , I // Y 贝 m // n.其中真命题的个数为 ( )A .3B .2C .1D .0【解析】 ①中当a 与3不平行时，也可能存在符合题意的I 、m. ②中 I 与 m 也可能异面.I /y③中 I? 3 ? I /m 同理 I /n 贝 m /n 正确.3门予m【答案】 C4. 下列命题中 是假命题的是 ( )A .三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B .平面a//平面 3 a? a,过3内的一点B 有唯一的一条直线 b ,使b // aC. a// 3, 丫// S, a 、3与 Y 3的交线分别为 a 、b 、c 、d ,贝U a// b // c // dD .一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件【解析】 若两个平面平行 贝一条直线与这两个平面所成的角相等 但是一条直线与两个 平面成等角 贝这两个平面平行或相交 故 D 错误.答案】 D课时知能训练C ．a /c ,b /c【解析】 由平行公理知 2. 设 l ,m 是两条不同的直线, A .若I 丄m , m? a,贝U l 丄a C .若 I // a, m? a,贝y I // m 【解析】 A 中，I? a,得不到 由线面垂直的性质，知 m 丄a , a 是一个平面，则下列命题正确的是 B. 若I 丄a , I // m ,贝U m 丄 D .若 I //a, m // a , I 丄a, A 为假命题. B 为真命题. a 则 l /m图7-4 —105. 如图7 —4—10,若Q是长方体ABCD —A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1 后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH // A1D1，则下列结论中不正确的是（）A . EH // FGB .四边形EFGH是矩形C. Q是棱柱D. Q是棱台【解析】•/ EH // A1D1 ,••• EH // B1C1 ,••• EH //平面BB1C1C.由线面平行性质，EH // FG.同理EF// GH.且B1C1 丄面EB1F.由直棱柱定义知几何体B1EF —C1HG为直三棱柱，•四边形EFGH为矩形，Q为五棱柱.【答案】D二、填空题6. 过三棱柱ABC —A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有_________条.【解析】如图，E、F、G、H分别是A1C1、B1C1、BC、AC的中点，则与平面ABB1A1平行的直线有EF, GH , FG, EH , EG , FH共6条.【答案】67. （2020 •州模拟）如图7 —4 —11,棱柱ABC —A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B //平面B1CD，贝U A1D : DC1的值为_____________ .图7—4 —11【解析】设BC1A B1C = O ,连结OD ,•/ A1B //平面B1CD 且平面A1BC0 平面B1CD = OD ,••• A1B // OD ,•••四边形BCC1B1是菱形，• O为BC1的中点，• D 为A1C1 的中点，贝U A1D : DC1 = 1.【答案】1A图7-4 —12&如图7—4—12,在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为_________ .(1) AC 丄BD ;(2) AC // 截面PQMN ;(3) AC = BD ;⑷异面直线PM与BD所成的角为45 °【解析】•/ PQMN是正方形，• MN // PQ,贝U MN //平面ABC ,由线面平行的性质知MN // AC ,贝U AC //平面PQMN ,同理可得MQ // BD，又MN丄QM，贝U AC丄BD，故(1)(2)正确.又••• BD // MQ，•异面直线PM与BD所成的角即为/ PMQ = 45°故⑷正确.【答案】⑶三、解答题图7—4 —139. 如图7 —4 —13,在正方体ABCD —A1B1C1D1 中，M , N , E, F 分别是棱A1B1 , A1D1 , B1C1 , C1D1的中点，试问：平面AMN与平面EFDB有怎样的位置关系？并证明你的结论.【解】平面AMN //平面EFDB.证明如下：•/ MN // EF , EF?平面EFDB , MN ?平面EFDB , • MN //平面EFDB.又AM // DF，同理可证AM //平面EFDB.•/ MN ?平面AMN , AM ?平面AMN，且MN P AM = M ,•平面AMN //平面EFDB.10. 如图7 —4—14所示，正三棱柱ABC —A1B1C1 , AA1 = 3, AB = 2,若N为棱AB的中图7-4 —14(1) 求证：AC1 //平面NB1C ; ⑵求四棱锥C1 —ANB1A1的体积.【解】⑴证明法一如图所示连结BC1和CB1交于0点，连结ON.•/ ABC —A1B1C1是正三棱柱，•••0为BC1的中点.又N为棱AB中点，•••在厶ABC1 中，N0 // AC1 ,又N0?平面NB1C , AC1 ?平面NB1C ,• AC1 //平面NB1C.法二如图所示取A1B1中点M，连结AM , C1M ,•/ N 是AB 中点，• AN 綊B1M ,•四边形ANB1M 是平行四边形，•AM // B1N ,•AM //平面CNB1 ,同理可证C1M //平面CNB1.•/ AM T C1M = M ,•平面AMC1 //平面CNB1.•AC1 //平面CNB1.⑵•/ ANB1A1 是直角梯形，AN = 1 , A1B1 = 2, AA1 = 3, •四边形ANB1A1面积为92，•/ CN 丄平面ANB1A1 ,•CN的长度等于四棱锥C1 —ANB1A1的高，•四棱锥C1 —ANB1A1的体积为迪.图7—4 —1511. （2020北京高考）如图7 —4—15,在四面体PABC中，PC丄AB , PA丄BC,点D , E, F, G 分别是棱AP , AC , BC, PB的中点.(1) 求证：DE //平面BCP.⑵求证：四边形DEFG为矩形.⑶是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 【证明】(1)因为D , E分别为AP, AC的中点，所以DE // PC.又因为DE?平面BCP ,所以DE //平面BCP.(2) 因为D , E, F, G分别为AP , AC, BC, PB 的中点，所以DE // PC // FG, DG // AB // EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC丄AB ,所以DE丄DG ,所以四边形DEFG为矩形.(3) 存在点Q满足条件，理由如下：连结DF, EG,设Q为EG的中点.如图所示.1由⑵知，DF n EG = Q，且QD = QE = QF= QG = *EG.分别取PC, AB的中点M , N，连结ME , EN, NG , MG , MN.与⑵同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q , 且QM = QN = 1E G , 所以Q 为满足条件的点.。
(广东专用)2020高考数学总复习第二章第一节课时跟踪训练理
1B .(4，+m)【解析】 由 log0.5(4x — 3) > 0 得 0 v 4x — 3v 1,解得3v x v 1. 4 ••• f(3) = f(2) — f(1) , f(2) = f(1) — f(0),因此 f(3) = f(2) — f(1) = [f(1) — f(0)] — f(1) =— f(0), 又 f(0) = log2(4 — 0) = 2,故 f(3) = — f(0) = — 2.【答案】 B3. (2020北京高考)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A , c 为常数).已知工人组装第 4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A . 75,25B . 75,16C . 60,25D . 60,16【解析】 由题意，组装第 A 件产品所需时间为 C = 15.VA 故组装第4件产品所需时间为 牛=30,解得c = 60,c将c = 60代入 =15得A = 16. VA【答案】 D4•若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为孪生函数例如解析式为y = 2x2 + 1,值域为{9}的 孪生函数”三个： (1)y = 2x2 + 1 , x € { — 2}; (2)y = 2x2 + 1, x € {2} ; (3)y = 2x2 + 1, x € { — 2,2}.、选择题1. 函数y =,：log0.5 4x — 3 课时知能训练的定义域为( C . (1 ,+s ) 3 D . (4, 1) U (1,+^)A .(4 j) 【答案】 Alog2 4 — x ,2.定义在 R 上的函数 f(x)= f x — 1— f x — 2 A . — 1 B . —2 C . 1 D . 【解析】 当x > 0时, f(x) = f(x — 1) — f(x — 2),x <0 则f(3)的值为(那么函数解析式为y= 2x2 + 1,值域为{1,5}的孪生函数”共有()A . 5个B . 4个C. 3个 D . 2个【解析】孪生函数”有：y = 2x2 + 1, x € {0 , 2} ; y= 2x2 + 1, x€ {0，- 2}; y = 2x2 + 1, x €{0 , -：；2, —2}.【答案】C2 x € [ 一1 1]5•已知函数f(x)=' '' 若f[f(x)] = 2，则x的取值范围是()x , x?[ —1, 1],A . ?B . [ —1,1]C. (一s,—1) U (1 ,+s) D . {2} U [ —1,1]【解析】若x € [ —1,1]，则有f(x) = 2?[ —1,1],••• f(2) = 2,若x?[ —1,1]，贝U f(x) = x?[ —1,1] ,• f[f(x)] = x，此时若f[f(x)] = 2，则有x = 2.【答案】D二、填空题6. 若函数f(x) = (x + a)(bx + 2a)(常数a、b € R)是偶函数，且它的值域为(―s, 4],则该函数的解析式f(x) = _________ .【解析】f(x) = bx2 + (2a+ ab)x + 2a2,T f(x)是偶函数，•2a+ ab= 0.又f(x)的值域为(—s, 4],• b v 0 且2a2= 4.• b =—2,即即f(x) = —2x2 + 4.【答案】—2x2 + 4x2 —x + 1, x v 17. 函数f(x) = 1 _____ 的值域是.x> 1x1 3 3【解析】当x v 1时，x2 —x + 1 = (x —2)2 + 3寿;1当x> 1时，0v丄v 1.x因此，函数f(x)的值域是(0,+ s).【答案】(0 , + s)1 cIn 一，x > 0x& (2020珠海模拟)已知f(x)= ，则f(x) >—1的解集为__________ .1,x v 0x1【解析】当x>0时，In丄>—1,x •0 v x v e;1当x v 0 时，一>—1,A x v—1.x综上，x € (— g, — 1) U (0, e).【答案】(一^，― 1) U (0, e)三、解答题x + 2>0 x >— 2 【解】 由|x| — x 工0得X V 0 ,2— x2 >0— ,'2<xw ；2••• f(x)的定义域为［—-'2, 0). 10. 二次函数y = f1(x)的图象以原点为顶点且过点 (1,1)，反比例函数y = f2(x)的图象与直线y = x 的两个交点间距离为 8,若f(x) = f1(x) + f2(x)，求f(x)的解析式.【解】 由已知，设f1(x) = ax2,由f1(1) = 1得a = 1.• f1(x) = x2.设f2(x)=中很>0)，它的图象与直线 y = x 的交点分别为A( ,'k , ,'k), B( — k , — ；k).8 由|AB| = 8,得 k = 8,「. f2(x)=-. x8故 f(x) = x2 + -.(x 丰 0) x图 2— 1 — 111. (2020肇庆模拟)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用， 要继续往前滑行一段距离才能停 下，这段距离叫作刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)满足下列关系：y = 200 + mx + n(m , n 是常数).如图2 — 1 — 1所示是根据多次实 验数据绘制的刹车距离 y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图.(1) 求出y 关于x 的函数表达式；(2) 如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度. 【解】(1)由题意及函数图象，8.418.6 1解得m =而，n =0,所以y =眾+說％ >0)A x2 x ⑵令200+而三25・2得—72 W X w 70.9.求函数 lg x + 2 f (x )= |x| — x+ ；2 — x2的定义域. 402+ 40m + n = 得200 赛+ 60m + n =■/x>0,••• O W x W 70.故行驶的最大速度是70 千米/时．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时知能训练
一、选择题
1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x236－y2108＝1 B.x29－y227
＝1 C.x2108－y236＝1 D.x227－y29
＝1 【解析】 由题意知b a
＝3，抛物线的准线方程为x ＝－6， 则c ＝6，由{ b2＝3a2c2＝a2＋b2c2＝36，得{ a2＝9b2＝27，
∴双曲线方程为x29－y227
＝1. 【答案】 B
2．若双曲线y25－x2m ＝1的渐近线方程为y ＝±53
x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【解析】 由双曲线的渐近线方程为y ＝±53
x 可知m ＝9. ∴F(0，±14)，其到y ＝±53x 的距离d ＝|314|14
＝3. 【答案】 B
3．(2020·惠州调研)已知双曲线x2a2－y2b2
＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1，5)
B ．(1，5]
C ．(5，＋∞)
D ．[5，＋∞)
【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意b a
＞2. ∴e ＝c a ＝ 1＋b a
2>1＋4＝ 5. 【答案】 C
4．设椭圆C1的离心率为513
，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.x242－y232＝1
B.x2132－y252
＝1 C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122
＝1 【解析】 由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线，且2a ＝8，即a ＝4，
由椭圆的离心率知c 13＝513
，∴c ＝5，
∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，
∴曲线C2的标准方程为x216－y29＝1. 【答案】 A 5．已知双曲线的两个焦点为F1(－10，0)、F2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF1→·MF2→＝0，|MF1→|·|MF2→|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.x29－y2＝1 B ．x2－y29
＝1 C.x29－y219＝1 D.x219－y29
＝1 【解析】 ∵MF1→·MF2→＝0，
∴MF1→⊥MF2→⇒|MF1→|2＋|MF2→|2＝(210)2＝40.
又|MF1→|·|MF2→|＝2，
∴(|MF1→|－|MF2→|)2＝40－4＝36，
∴2a ＝6⇒a ＝3，
∴a2＝9，b2＝c2－a2＝1.
∴方程为x29
－y2＝1. 【答案】 A
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x24－y212
＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】 由题意知，M 点的坐标为M(3，±15)，双曲线的右焦点坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d ＝3－42＋±15－02＝4.
【答案】 4
7．(2020·揭阳模拟)中心在原点焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．
【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12
， ∴离心率e ＝c a
＝ 1＋b a 2＝52
. 【答案】 52 8．已知F 是双曲线x24－y212
＝1的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【解析】 设双曲线的右焦点为Q ，则Q(4,0)，|PF|－|FQ|＝4，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PQ|＋|PA|，
∴当P 、Q 、A 三点共线时|PF|＋|PA|有最小值， ∵|AQ|＝4－12＋0－42＝5，
∴|PF|＋|PA|的最小值为4＋5＝9.
【答案】 9
三、解答题 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：MF1→·MF2→＝0；
(3)求△F1MF2面积．
【解】 (1)∵e ＝2，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 ∵MF1→＝(－3－23，－m)，
MF2→＝(23－3，－m)．
∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，
∵M 点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1→·MF2→＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4 3.
由(2)知m ＝±3.
∴△F1MF2的高h ＝|m|＝3，
∴S △F1MF2＝6.
10．双曲线x2a2－y2b2
＝1(a>1，b>0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s≥45
c ，求双曲线的离心率e 的取值范围． 【解】 直线l 的方程为x a ＋y b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 由a>1，得点(1,0)到直线l 的距离d1＝b a －1a2＋b2
. 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离d2＝b a ＋1a2＋b2
， ∴s ＝d1＋d2＝2ab a2＋b2＝2ab c
. 又s≥45c ，得2ab c ≥45
c ，即5a·c2－a2≥2c2.
于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0. 解之得54≤e2≤5，又e>1， ∴e 的范围是e ∈[52，5]． 11．(2020·广东高考)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y2＝4，(x －5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；
(2)已知点M(355，455
)，F(5，0)，且P 为L 上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P 的坐标．
【解】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y)，半径为r.
圆(x ＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x －5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得{ |CF1|＝r ＋2|CF|＝r －2或{ |CF1|＝r －2，|CF|＝r ＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝25＞4，
∴圆C 的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，
其方程为x24
－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝
355－52＋455－02＝2.
直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得
⎩⎨⎧
y ＝－2x ＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x ＋84＝0. 解得x1＝14515(舍去)，x2＝655
. 此时y ＝－255
. ∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255
)．。