习题与答案

一、填空题
1、的实部是，虚部是，辐角主值是
2、)43(Ln i +-的值为
3、函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？，
何处解析？
4、级数∑∞+=1n n n
i 是否收敛？；是否绝对收敛？ 5、函数1e
)(-=z z
z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径
为 6、为函数的_____级极点；在该点处的留数为____ 7、在映射
下，处的旋转角为，伸缩率为_____ 8、幂级数0n n nz
∞=∑的收敛半径为__________.
9. 若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________
10. z
z sin 的孤立奇点为________ 二计算题
1．z z z z z d )
1(sin 2||22⎰=- 2．x x x d cos 0⎰∞++5
2 3、12
sin (1)z z z dz z e =-⎰ 4、212z z e dz z -=-⎰ 和221211z z z dz z -=-+-⎰
5、计算积分：⎰-=i
i z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆
6、设2371()C f z d z
λλλλ++=-⎰，其中{:||3}C z z ==，试求'(1).f i + 三、证明22(,)v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数v i u z f +=)(且满足条件()f i i =-． 四、将)
(1)(i z z z f -=在i z z ==100与处展成Laurent 级数。

五、试求Z 平面的下半平面在分式线性映射i z i z w +-=
下的象区域 六、求分式线性映射w=f(z),使上半平面映射为单位圆内部并满足条件：f(i)=0,f(-1)=1
1、的实部是，虚部是，辐角主值是
2、)43(Ln i +-的值为π)2k π3)/arctan(4-(ln5+++i
3、函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？（0,0）点，何处解析？处处不解析
4、级数∑∞+=1n n n
i 是否收敛？；是否绝对收敛？ 5、函数1e
)(-=z z
z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径
为1 6、为函数
的___6__级极点；在该点处的留数为___0__ 7、在映射下，处的旋转角为2
π，伸缩率为__1___ 8、幂级数0n n nz
∞=∑的收敛半径为__1________.
9. 若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_解析函数_________
10. z
z sin 的孤立奇点为__0______ 二、计算题
1、1sin 22i π
2、525
-e π
3、i π2
4、22i e π、i π4
5、单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-
≤≤. 所以22
222i i i i z dz de e i ππ
θθππ---===⎰⎰.
是 否
6、解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,
()()2()c f z dz i z z
ϕλπϕλ==-⎰. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+.
三、验证22(,)v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数v i u z f +=)(且满足条件()f i i =-．
解：(1) 222v x ∂=∂，222v y ∂=-∂，22220v v x y
∂∂+=∂∂，故(,)v x y 为调和函数。

(2)由2v u y y x
∂∂=-=∂∂，⇒(2)2()u y d x xy y φ=-=-+⎰， 由(21)2()v u x x y x y φ∂∂'-
=-+==-+∂∂， ⇒()1y φ'=-，⇒()y y c φ=-+，
⇒22()2()f z xy y c i x y x =--++-+，
(3) 由()f i i =-得1C =，
即22()21()f z xy y i x y x =--++-+．
21iz iz =++
四、将)
(1)(i z z z f -=在i z z ==100与处展成Laurent 级数。

解：)(z f 在复平面有孤立奇异点00=z 与i z =1，
(1)在0=z 点展开
① 1||0<<z 时， 11000
11/11()()()()11n n n n n n i i z z f z i i z z z z z z i i i i
∞∞∞
--===-=⋅=⋅=⋅⋅==---∑∑∑ ② +∞<<||1z 时 ∑∑∞
=∞=+==-⋅=-⋅=00222)(1111111)(n n n n n z i z i z z i z z i z z z f
(2)在i z -=点展开
①1||0<-<i z 时 )(111111)(i z i i i z i
i z i i z i z i i z z f ---⋅-=-+-⋅-=-+⋅-= 1010)()(-∞=-∞=⋅-=⋅-⋅--=∑∑n n n n n n i i z i i z i z i
②+∞<-<||1i z 时 ∑∞=--⋅-=-+⋅-=0)(1111)(n n i
z i i z i z i
i z z f
五、试求Z 平面的下半平面在分式线性映射i z i
z w
+-=下的象区域. 解：在实轴上依次取，
（3分）
由分式线性映射的保圆性知：
决定了
故 实轴在 下的象区线为单位圆周，（3分）
再由边界对应原理知：
在下的象区域为。

（3分）
即像区域为单位圆的外部(如图)。

（3分）
六、（10分）求分式线性映射w=f(z),使上半平面映射为单位圆内部并满足条件：f(i)=0,f(-1)=1。

解：f(i)=0,则∞=-)(i f （3分）,i z i z k
z f w +-==)(, （3分） 又111)1(=⋅=+---=-i k i
i k f ，故i k -=。

（2分） 从而所求分式线性映射为
i
z i z i z f +--=)(（2分）。