“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考答案及评分标准
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组） （15:30~17:00）满分150分，考试时间90分钟一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的。
每题7分，共同42分） 1．从-3，-2，-1，4，5中任取2个数相乘，所得积中的最大值为a ，最小值为b ，则ab 的值为 （ ） A ．-43 B ．-12 C ．13 D ．2032．在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的顶点为O (0，0)， A (1，1)，B (3,0)，则顶点C 的坐标是 （ ） A ．（-3，1） B ．（4，1） C ．（-2，1） D ．（2，-1）3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，已知AC =5，AD =4，则AB 的取值范围是 （ ）A ．91<<AB B ．133<<ABC ．135<<ABD ．139<<AB4．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展形图，点O 、A 、B 分别是格点，已知小正方形方格的边长为1cm ，则这个圆锥的底面半径为 （ ）A ．2 2 cmB ． 2 cmC ．22 cm D ．12cm5．设整数x ，y 满足不等式x 2 + y 2 ≥ 2x + 2y ，则x + y 的不同值的个数为 （ ）A ．9B ．7C ．5D ．46．在如图所示的4×4方格中，每一横行、纵行和对角线上都应是1，2，3，4四个数，则a 与b 乘积的值为 （ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2二、填空题7．若将9个数按照从小到大的顺序排成一列，中间的数恰是这9个数的平均数，前5个数的平均数是40，后5个数的平均数是60，则这9个数的和为 。
8．设b 为实数，点P (m ，n )(m >0)在函数y=- x 2 + bx +2 的图象上，点P 关于原点的对称点Q 也在此函数的图象上，则m 的值为 。
9．口袋中装有5个小球，其中1个红球，2个黄球，2个白球，它们的大小、形状完全一样。
中学生数学创新与应用挑战赛真题
中学生数学创新与应用挑战赛真题我开始尝试编写一个符合中学生数学创新与应用挑战赛真题的文章。
(正文开始)思考题1:某数列的第一项是1，从第二项开始每一项都是前一项与后一项的和。
已知这个数列的第10项是89，求该数列的第15项。
解析:根据题目中给出的信息，我们可以列出此数列的前若干项如下：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89, ...观察这个数列，我们可以发现每一项都是前一项与后一项的和。
因此，第10项是由第9项和第8项相加而得。
依此类推，我们可以写出数列从第11项开始的后续几项：第11项 = 第10项 + 第9项 = 89 + 34 = 123第12项 = 第11项 + 第10项 = 123 + 89 = 212第13项 = 第12项 + 第11项 = 212 + 123 = 335第14项 = 第13项 + 第12项 = 335 + 212 = 547第15项 = 第14项 + 第13项 = 547 + 335 = 882所以，该数列的第15项为882。
思考题2:一辆汽车从A地出发，经过2小时到达B地，再经过3小时到达C 地。
如果汽车从A地到C地一共用了5小时，求汽车从B地到C地需要多长时间。
解析:根据题目中给出的信息，我们可以得出以下时间关系：A地到B地：2小时B地到C地：3小时A地到C地：5小时我们要求的是汽车从B地到C地需要多长时间，所以我们需要找到汽车从A地到B地所用的时间。
根据已知条件可得：A地到B地 + B地到C地 = A地到C地2小时 + B地到C地 = 5小时B地到C地 = 5小时 - 2小时B地到C地 = 3小时所以，汽车从B地到C地需要3小时的时间。
思考题3:2x + y = 73x - 2y = 5解析:根据题目中给出的方程组，我们可以采用消元法来求解。
首先，我们可以通过乘以适当的系数，使两个方程的系数相等。
我们发现，通过乘以2，第一个方程中的x的系数变为4，正好与第二个方程中的x的系数相同。
2008年时代杯数学竞赛(答案)
“时代杯”2008年江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）（答案）1．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分）1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（ B ）．A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ D ）．A．B．D．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（ C ）．2+6 3+5 4+4 5+3 6+21+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+11+5 2+4 3+3 4+2 5+11+4 2+3 3+2 4+11+3 2+2 3+11+2 2+11+126/36=13/18 1-13/18=5/18A．12B．13C．518D．411 4．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x＋y的值为（ D ）．A．45 B．46 C．48 D．4923+26=49 密封线姓名学校考号表一表二表三5．如图，△DEF的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】以直角三角形的最短直角边为分类依据，最短边依次可以是：2．所以有3个．6．将BC 沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）．A． 37 B．8 C．65D．215A B A B【解析】方法一：如图连接CD，作高CE，易证CA=CD，由三线合一可以知道1422AE DE==⨯=，则257BE=+=，在Rt ABC∆中，由射影定理可得：22714CE=⨯=，再在Rt BCE∆中使用勾股定理：BC=方法二：如图，由翻折联想到对称，取点,A D关于BC的对称点,A D''，可以知道'5,'4BD BD AD AD====，在'Rt ABD∆中使用勾股定理：'AD=．又在''Rt AA D∆中使用勾股定理：AA'=．所以：AC=最后在Rt ABC∆中使用勾股定理：BC===二、填空题（每题6分，共24分）7．若不等式组⎩⎨⎧x－a＞2，b－2x＞0的解集是－1＜x＜1，则(a＋b)2009的值是．【解析】1-8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A、B、C，甲车从A出发匀速开往C，乙车从B 出发匀速开往A．若两车同时出发，当甲车到达B时，乙车离A还有40km；当乙车到达A时，甲车正好到达C.已知BC＝50km，则A、B两镇相距km.．．D EF（【解析】由题意得：4050v x x vv x xv ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪⎩甲乙甲乙 可以得到：200x =9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．【解析】337．设方程的两个根为1212,()x x x x <．由韦达定理可知：1220097417x x q q ==⨯⨯． ∵12,x x 为质数，∴127,41x x ==． ∴()4177336,1p q =+⨯==．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______．【解析】3． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？【解析】不相交． ……………… 3分 由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分 则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分 从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?【解析】由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3）， 铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25 = (a +1) cm.．……………12分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分C AD B E答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c是一个整数．【解析】证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. ……………3分 因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ．……………6分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2 = (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c 2.……………6分 因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分 所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c 为整数. ……………18分14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关． 【解析】（1）t =2n +1． ……………6分（2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．【解析】证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ． 连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ． 所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2 C A D B E F O P Q MN CAD BEF O PQ N M。
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题
“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题（初中组）注意事项：1．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题6分，共36分）1．计算12－22＋32－42＋52－62＋…＋992－1002的值是（）．A．5050 B．－5050 C．100 D．－100 2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，停下来睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，……. 用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）．A． B． C． D．3．同时抛掷两枚均匀的骰子1次，两枚骰子面朝上的点数之和大于8的概率是（）．A．12B．13C．518D．4114．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x＋y的值为（）．A．45 B．46 C．48 D．49表一表二表三5．如图，△DEF的边长分别为1，3，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比ABDE=k，那么k的不同的值共有（）．A．1个 B．2个C．3个 D．4个密封线姓名学校考号D EF（（6．将 BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是（ ）．A ． 37B ．8C ．65D ．215二、填空题（每题6分，共24分） 7．若不等式组 ⎩⎨⎧x －a ＞2，b －2x ＞0的解集是－1＜x ＜1，则 (a ＋b )2009的值是 ．8．如图，在一条笔直的公路上有三个小镇A 、B 、C ，甲车从A 出发匀速开往C ，乙车从B出发匀速开往A ．若两车同时出发，当甲车到达B 时，乙车离A 还有40km ；当乙车到达A 时，甲车正好到达C .已知BC ＝50km ，则A 、B 两镇相距 km.9．已知p ，q 都是正整数，方程7x 2－px ＋2009q ＝0的两个根都是质数，则p ＋q ＝_______．10．长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆交BC 于点E ．在AE 上找一点P ，使过点P 的⊙B 的切线平分长方形的面积．设此切线交AD 于点S ，交BC 于点T ，则ST 的长为_______． 三、解答题（每题18分，共90分）11．已知二次函数y ＝x 2＋2ax ＋b 2和y ＝x 2＋2bx ＋c 2的图象与x 轴都有两个不同的交点，问函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴是否相交？为什么？． A B C ． ．CADBC AD E12．一个长40cm 、宽25cm 、高50cm 的无盖长方体容器（厚度忽略不计），盛有深为a cm(a ≤50)的水．现在容器里放入棱长为10cm 的立方体铁块（铁块的底面落在容器的底面上）后，水深是多少?13．设a ，b ，c 是整数，使得a 2＋bb 2＋c是一个有理数．求证：a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c是一个整数．14．设n 为自然数，在△ABC 内给定n 个点．用一些除端点外没有公共点的线段连结这些点及A 、B 、C ，将△ABC 分成 t 个小的三角形． （1）用含n 的代数式表示t ；（2）证明t 为定值，与线段的连法无关．15．如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足． 求证：DP=DQ ．C AD B EFO PQ2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛复赛试题参考答案一、选择题（每题6分，共36分）1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．C ．6．A ． 二、填空题（每题6分，共24分）7．－1．8．200．9．337．10．233．三、解答题（每题18分，共90分）11．解：不相交． ……………… 3分由题设，得a 2－b 2＞0，b 2－c 2＞0． ………………9分则a 2＞b 2＞c 2，所以c 2－a 2＜0． ………………15分从而知函数y ＝x 2＋2cx ＋a 2的图象与x 轴不相交． ………………18分12．解：由题设，知水箱底面积S ＝40×25＝1000(cm 2)．水箱体积V 水箱=1000×50＝50000（cm 3），铁块体积V 铁=10×10×10＝1000（cm 3）. ……………3分 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm 时，1000a ＋1000＝50000, 得 a ＝49（cm ）．所以，当49≤a ≤50时，水深为50cm （多余的水溢出）． ………………6分 （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm 时，1000a ＋1000＝10000, 得 a ＝9（cm ）． ………………9分所以，当9≤a ＜49时，水深为a ×40×25+10×10×1040×25= (a +1) cm.． (12)分（3）由（2）知，当0＜a ＜9时，设水深为x cm ，则1000x ＝1000a ＋100x ．得x ＝109a （cm ）． ………………17分答：当0＜a ＜9时，水深为109a cm ；当9≤a ＜49时，水深为（a +1）cm ；当49≤a ≤50时，水深为50 cm ． ………………18分 13．证法一：令a 2＋bb 2＋c＝k ，k 为有理数, 得(a －kb )3+(b －kc )＝0. (3)分因为a ，b ，c 是整数，k 为有理数，所以a －kb=0，b －kc =0，从而a=k 2c , b=kc ． (6)分于是a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c =k 4＋k 2＋1k 2＋k ＋1·c .………………9分 又 k 4+k 2+1= (k 4+k 2+1)-k 2= (k 2+k +1) (k 2-k +1)，………………15分则 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝ (k 2－k ＋1)c ＝k 2c －kc ＋c ＝a ＋c －b .因为a +c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c为整数.…………18分证法二：a 2＋b b 2＋c＝（a 2＋b ）(b 2－c )2b 2－c 2＝（2ab －bc ）＋（b 2－ac ）22b 2－c2. ……………6分因为a 2＋b b 2＋c是有理数，所以b 2－ac ＝0，即b 2＝ac .……………9分所以 a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c ＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋ca ）a ＋b ＋c……………12分＝（a ＋b ＋c ）2－2（ab ＋bc ＋b 2）a ＋b ＋c……………15分＝a ＋c －b .因为a ＋c －b 为整数，所以a 2＋b 2＋c 2a ＋b ＋c为整数. ……………18分14．解：（1）t =2n +1． ……………6分 （2）由题设得，t 个三角形的内角和t π，△ABC 的内角和π， ……………9分 以给定的n 个点的每个点所构成的周角之和n ·2π． ……………12分 由于t 个三角形的内角和等于△ABC 的内角和与以n 个点的每个点所构成的周角之和，所以 t π=π+n ·2π，得 t =2n +1．故结论成立． ……………18分 15．证法一：如图1，取OB 中点M ，OC 中点N .因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝12OB .在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝12OC ．所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ……………6分∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，所以∠QMD ＝∠PND ． ……………15分 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ． ……………18分A E F O P Q MNAE F O PQ N M证法二：如图2，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，在直线CA 上取点N ，使PN=CP ．连接CM ，BN ，OM ，ON ．所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=12BN ，DP ∥BN ．……………6分因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ． ……………9分 ∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800－2∠ACO ，因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． ……………15分 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ．所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ． ……………18分图1图2。
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题(含答案)
“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（初中组）注意事项：1． 本试卷有22题共4页．满分150分．考试时间100分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分） 1．已知m ≠0，下列计算正确的是（ ）．A ．m 2＋m 3＝m 5B ．m 2·m 3＝m 6C ．m 3÷m 2＝mD ．(m 2)3＝m 52．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（ ）．A ．20B ．12C ．10D ．－6 3．设a ＋1与2 (a －1)的值互为相反数，则a 的值是（ ）．A ．3B ．1C ．0D ．134．（n ＋1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）．A ．360°B ．180°C ．90°D ．60°5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）．A ．15B ．14C ．25D ．456．There is a piece of work ．It takes Mr. A alone 20 days to finish ，and Mr. B 30 alone days to finish ．It takes them （ ）days to work together to finish the work ． A ．10 B ．12 C ．15 D ．507．如图，已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的距离为2，则⊙O 上到直线l 的距离为3的点的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．已知方程x 2－2│x │－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）． A ．0 B ．－2 C ．2 D ．89．已知实数a ，b 同时满足a 2＋b 2－11＝0，a 2－5b －5＝0，则b 的值是（ ）．A ．1B ．1，－6C ．－1D ．－6 10．如图，在△ABC 中， D 、E 分别是BC 、AC 的中点． 已知∠ACB ＝90°，BE ＝4，AD ＝7，则AB 的长为（）．A ．10B ．5 3C ．213D ．215二、填空题（每小题5分，共40分）11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低 分． 密封线姓名 学校考号（第7题）A B EC（第10题）D12．已知函数y 1与y 2分别由下表给出，那么满足y 1＞y 2的x 的值是 ．13．设a 1415．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上， AF ∥EC ，△AFD 与四边形AECF 的面积相等．已知 AB ＝6cm ，BC ＝3cm ，则AF 与CE 之间的距离是 cm ．16．设直线l 1是函数y ＝2x －4的图象，将直线l 1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l 2，则l 2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 ．17．如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，过 点D 作DE ⊥AC ，与CB 的延长线交于点E ，以BA 、BE 为邻边作长方形BAFE ，连接FD ．若∠C ＝60°，DF ＝3cm ， 则BC 的长为 cm ．18．在△ABC 中，已知∠ACB =90º，∠A ＝40º．若以点C 为中心，将△ABC 旋转θ角到△DEC 的位置，使B 点恰好落在 边DE 上（如图所示）．则θ＝ º． 三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分） 19．已知关于x 的方程（a －1）x 2－4x －1＋2a ＝0的一个根为x ＝3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．F A B DE C （第15题）EA DC FB （第17题）θ ACDB E （第18题） （第14题）20．（1）已知恒等式x 3－x 2－x ＋1＝（x －1）（x 2＋kx －1），求k 的值； （2）若x 是整数，求证：x 3－x 2－x ＋1x 2－2x ＋1是整数．21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h （米）与时间t （小时）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？ （2）求点P 的坐标，由此得到什么结论？（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是 多少米？小时)22．某人用一张面积为S 的三角形纸片ABC ，剪出一个平行四边形DEFG ．记□DEFG 的面积为T ,（1）如图1，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，D 、G 分别是AB 、AC 的中点．求T （用S 表示）；（2）如图2，如果□DEFG 的顶点都在△ABC 的各边上，求证：T ≤12S ；（3）对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 还成立吗？请说明理由．图1AB CDEF GAF EDG图22008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C ． 二、填空题（每小题5分，共40分）11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80． (说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分） 三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分） 19．解：（1）由题设，得9（a －1）－4×3－1＋2a ＝0．解得a ＝2． …………… 3分所以原方程为x 2－4x ＋3＝0．它的另一个根是1． …………………………… 7分 （2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： ①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．那么三角形的周长是3或9； ……………………… 11分 ②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1． 那么三角形的周长是7．由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9． ……………………… 14分 20．解：（1）由题设知，232(1)(1)(1)(1)1x x kx x k x k x -+-=+--++， ……………… 3分所以32321(1)(1)1x x x x k x k x --+=+--++，从而有11,1 1.k k -=-⎧⎨--=-⎩解得k ＝0． ………………………………7分（2）322221(1)(1)121(1)x x x x x x x x x --+--==+-+-． 因为x 是整数，所以x ＋1是整数．故322121x x x x x --+-+是整数． ……………… 14分21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为824=（米/小时）． 当0≤t ≤3时，乙池的放水速度为13（米/小时）； 当3＜t ≤5时，乙池的放水速度为52（米/小时）．因为13＜2，2＜52，所以3＜t ≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度． …………………… 4分（2）甲池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为h ＝－2t ＋8．当0≤t ≤3时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为631+-=t h ．由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=.631,82t h t h 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.528,56h t 所以628(,)55P ，即(1.2,5.6)P ． 由此说明，当t ＝1.2小时时，两池中水面的高度相等． …………………10分（3）由图知，甲池中的水4小时放完． 当3＜t ≤5时，乙池中水面高度h （米）与时间t （小时）的函数关系为22525+-=t h ．当t ＝4时，25=h ，即h ＝2.5．所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米． ……………………14分 注：（1）中，答3＜t ≤4，不扣分．22．解：（1）因为D 、G 分别是AB 、AC 的中点，所以DG ∥BC ，且DG ＝12BC ．分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ．则∠DNB ＝∠AMB ．因为∠B ＝∠B ，所以△DNB ∽△AMB ．又因为DB ＝12AB ，所以DN ＝12AM ．故T ＝12S ． ………………………6分（2）过点G 作GH ∥AB ，交BC 于点H ．则∠B ＝∠GHF ．因为DE ＝GF ，DE ∥GF ，所以∠DEB ＝∠GFH ．从而有△DBE ≌△GHF ． 因为DG ∥BC ，所以∠ADG ＝∠B ，从而有△ADG ∽△ABC ． 同理，△GHC ∽△ABC ．设AD ＝kAB （0＜k ＜1），则S △ADG ＝k 2S ． 同理，S △GHC ＝（1－k ）2S ．T ＝S －S △ADG －S △GHC ＝[1－k 2－（1－k ）2] S＝（－2 k 2＋2 k ）S ＝－2[（k －12）2－14] S＝－2（k －12）2 S ＋12S ≤12S ．…………………12分（3）分以下四种情形讨论：第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上，第四个顶点不在三角形的边上．① 当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长DG 交AC 于点G ′，过点G ′作G ′F ′∥GF ，交BC 于点F ′， 易知四边形DEF ′G ′是平行四边形，则T ≤S □DEF ′G ′ ． 由（2）知，S □DEF ′G ′ ≤12S ．所以T ≤12S ．② 当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A 点作 AH ∥DE 交EF 、DG 于F ′、G ′,问题转化为（2）和图3-1两 种情形，则图3-1ABDEF GG ′F ′ A 图3-2BCDEFGH F ’G ’T = S □DEF ′G ’’+ S □F ′G ′GF≤12 S △ABH + 12S △AHC =S ．第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形的边上，另两个顶点不在三角形的边上．①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG 与三角 形的两边AB 、AC 分别交于点L 、K ，作平行四边形MNKL ． 问题转化为（2）．则 T =S □DEFG ≤S □MNKL ≤12S ．②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE 、 GF 交BC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交G M 于点N ．易 得四边形DKNG 是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形， 则T =S □DEFG ≤S □DKN ′G ≤12S ．第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED 、 FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于 点N ．易得四边形EFNK 是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的边上时，如图3-6，延长ED 、FG 分别交AB 、AC 于点K 、M ，过点K 作KN ∥DG ，交FM 于点N ．易得四边形EFNK是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则 T =S □DEFG ≤S □EFNK ≤12S ．综上，对任意剪得的□DEFG ，T ≤12S 成立．…………………18分图3-3ABDEF G KL 图3-4AB D EF GKM N图3-5 ADEF GK MN ABCDE FG 图3-6K MN。
江苏省第19届数学竞赛参考答案与评分标准
江苏省第19届数学竞赛参考答案与评分标准一、 择题二、 填空题 7、1 8、7 9、23x y =⎧⎨=⎩，03x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，16x y =⎧⎨=⎩（填对一组解给2分，4组全对给7分） 10、CHQ 11 12、c=13、4,16,4--（对1个给3分，对2个给5分） 14、01r <≤三、 解答题15、题中等式可化为22240x x a +++=①……………………………………2分当方程①有两个相等的实数根时，442(4)0a =-⨯⨯+= ，由此得172a =-，此时方程①有一个根12x =-，验证可知12x =-的确满足题中的等式………………………………………………………………………………………………………4分 当方程①有两个不相等的实数根时，442(4)0a ∆=-⨯⨯+>，由此得72a<-若1x =是方程①的根，则原方程有增根1x =，代入①解得28a =-，此时方程①的另一个根2x=-，它确也满足题中的等式；……………………………………………………………8分若1x=-是方程①的根，则原方程有增根1x =-，代入①解得34a =-，此时方程①的另一个根0x=，验证可知0x =确满足题中的等式；…………………………………………12分因此172a =-，28a =-，34a =-即为所求，且123312a a a ++=-…13分16、（1）设装卸工作需x 小时完成，则第一人干了x 小时，最后一个人干了4x小时，两人共干活()4x x +小时，平均每人干活1()24xx +小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，平均每人干活的时间也是1()24xx +小时。
………………………………………4分据题设，得1()1024xx +=，解得16x =（小时）。
……………………………………6分（2）共有y 人参加装卸工作，由于每隔t 小时增加一人，因此最后一人比第一人少干(1)y t-小时，按题意，得116(1)164y t --=⨯，即(1)12y t -=………………………………10分 解此不定方程得212y t =⎧⎨=⎩，36y t =⎧⎨=⎩，44y t =⎧⎨=⎩，53y t =⎧⎨=⎩，72y t =⎧⎨=⎩，131y t =⎧⎨=⎩即参加的人数2y =或3或4或5或7或13。
2022年江苏省中考数学竞赛试题附解析
2022年江苏省中考数学竞赛试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示的盘中随机抛掷一枚骰子，落在阴影区域的概率（盘底被等分成12份，不考虑骰子落在线上情形）是（ ）A ．61B ．41C ．31D ．212．己半径分别为 1 和 5 的两个圆相交，则圆心距d 的取值范围是（ ）A ．d<6B ．4<d<6C ．4≤d ≤6D ．1<d<53．如图，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向行走．按照这种方式，小华第四次走到场地边缘E 处时，∠AOE ＝56º，则α的度数是（ ）A ．52ºB ．60ºC ．72ºD ．76º4．已知反比例函数2y x=-过两点 （x 1,y 1）、（x 2,y 2），当120x x <<时，y, 与 y 2 大小关 系为（ ）A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ． y 1与 y 2 大小不确定5．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A ．S 1 > S 2B ．S 1 = S 2C ．S 1<S 2D ．S 1、S 2 的大小关系不确定6．面积为 2 的△ABC ，一边长为 x ，这边上的高为 y ，则 y 关于x 的变化规律用图象表示 大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为 .（ ）8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）9．把方程2460x x --=配方，化为2()x m n +=的形式应为（ ）A ．2(4)6x -=B ．2(2)4x -=C ．2(2)0x -=D ．2(2)10x -= 10．一组数据共40个，分为6组，第一组到第四组的频数分别为l0，5，7，6，第五组的频 率为0．1，则第六组的频数为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．1011．下列几何体中，是直棱柱的是（ ）12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小李通过多次摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别为 15%和 45%，则口袋中白色球的数目很可能是（ ）A ．6个B ． 16个C ．18个D ．24个 13． 已知0x y +=，6xy =-, 则33x y xy +的值是（ ）A ．72B ．16C ．0D ．-72二、填空题14．如图，在ΔABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm ，⊙A 与BC 相切于点D ，则⊙A 的半径长 为 cm.15． 用长为6米的铝合金制成如图窗框，窗户的最大透光面积为 .1.5m 216．小王去参军，需要一张身份证复印件，则身份证复印件和原身份证 相似形 ( 填“是”或“不是”).17．菱形两对角线长分别为24 cm 和10 cm ，则菱形的高为 cm ．18．如图，在ABC △中，M N ，分别是AB AC ，的中点，且120A B ∠+∠=，则______ANM ∠=．19．已知菱形的一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为4 cm ，则这个菱形的面积为 ．20．点P 1(5，-2)关于y 轴对称点是P 2，则P 1P 2的长为 ． BMN A21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD⊥AC，垂足为A，交BC于D，若AB=4，则CD ．22．自钝角的顶点引角的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1，则这个钝角的度数是_________．23．把线段AB延长到C，使BC=12AB，再把线段AB反向延长到E，使AE=34AB，D为线段EC的中点，若AB=2，则BD的长是．24．如图AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，那么有△ABE≌，理由是．25．12-= ，12-的相反数是 .三、解答题26．如图所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽 6m，坝高 lOm ，斜坡AB 的坡度为1：2，现要加高 2m，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50m的大坝，需要多少土？27．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC•交⊙O于点F．①请问AB与AC的大小有什么关系？为什么？②按角的大小分类，请你判断△ABC是哪一类的三角形，请说明理由．28．下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图．(1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；(2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；(3）既是中心对称图形，又是轴对称图形．29．画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．30．阅读下列解法，并回答问题：如图，∠1 = 75°，∠2 = 105°，说明 AB∥CD，以下几种说明方法正确吗？如果正确，请说出利用了平行线的哪一种判定方法，如果不正确，请给予纠正．解法1：∵∠1 +∠3 = 180°，∠1 = 75°，∴∠3= l05°，又∵∠2=105°，∴∠2 =∠3，∴.AB∥CD．解法2：∵∠2+∠4 = 180°，∠2 = 105°，∴∠4= 75°，又∵∠1= 75°，∴∠1 = ∠4，∴AB∥CD.解法 3：∵∠ 2 =∠5，∠2= 105°，∴∠5 =105°，又∵∠1 = 75°，∴∠1 +∠5 =180°，∴.AB∥CD．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．A4．C5．A6．C7．48．B9．D10．D11．D12．B13．D二、填空题14．215．16．是17．12018．1360°19．220．10，21．822．120°23．1．2524．△ACD，SAS25．11三、解答题26．据题意作出加固后的坝体横断面(如图中等腰梯形 CFEP)，过A 点作AH⊥BC 于 H，过E 点作 EM⊥BC 于M，则BH=2AH=20m.∴BC=2BH+AD=46m,1(646)102602AECDS=⨯+⨯=梯形(m2),∵EF=AD= 6 m,EM= 12 m, PM=24m.∴PC=54m,∴1(654)123602PCEFS=⨯+⨯=梯形(m2),∴加的面积为 360—260=100(m2),∴应增加100×50= 5000(m3)土．27．①AB=AC，连AD；②锐角三角形，连BF，证∠ABC<90°，∠ACB<90°，∠BAC<90°28．（1）可添在右下方；（2）可添在左下方或添在左边；（3）可添在右上角，图略29．30．解法都是正确的，解法l利用了同位角相等来判定两直线平行，解法2得用了内错角相等来判定两直线平行，解法3利用了同旁内角互补来证明两直线平行。
“时代杯”2017年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题及参考答案
“时代杯”2017年中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（2017年12月20日15:00~16:30）注意事项：1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分）1．若非零实数a ，b ，c 满足 ⎩⎨⎧a －3b －2c ＝0，4a －2b ＋c ＝0，则 a ＋cb 的值是（ ）A ．－13B ．13C ．－3D ．32．小明有1张红色和1张绿色的卡片，小军有1张红色和2张绿色的卡片．如果两人随机地各自取1张自己的卡片，则取出的2张卡片颜色相同的概率为（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．233．设a ，b ，c ，d 为4个互不相等的实数，其中a 最大．记x ＝ab ＋cd ，y ＝ac ＋bd ，z ＝ad ＋bc ．若x ＞y ＞z ，则b ，c ，d 的大小关系是（ ）A ．b ＜d ＜cB ．c ＜d ＜bC ．b ＜c ＜dD ．d ＜c ＜b4．在平面直角坐标系xOy 中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．设k 为整数，若反比例函数y ＝6x 与函数y ＝kx －4图像的交点中至少有一个整点，则k 的所有可能取值的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设a ，b 为正整数，a ＞2b ，且a －b ，a ＋b ，3b 恰好可以是一个直角三角形的三边长，则此直角三角形的任意一条边的长不可能是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27密封线姓名 学校考号（第6题图）6．如图所示，已知一个圆形钟面的半径为30 cm ，半径为15 cm 的圆盘与圆形钟面相切．当切点在12点时，圆盘上的指针箭头竖直向上．圆盘沿钟面边界滚动，则当指针箭头再次竖直向上时，圆盘与钟面相切的切点在钟面的位置是（ ）A ．2点B ．3点C ．4点D ．6点 二、填空题（每题7分，共28分）7．已知实数a 满足a ＋5－a －1＝3，则a ＋5＋a －1的值为 ．8．在二次函数y ＝2x 2－3x －6中，若自变量x 分别取两个不同的值x 1，x 2时，所对应的函数值y 相等，则当x 取 x 1＋x 2 时，所对应的y 的值是 ． 9．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝1，BC ＝3，△ADE 为 正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边 形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值 是 ．10．已知一个长方体的长、宽、高各不相同，且此长方体相邻两个面的面积之和与长方体的所有棱长之和的比值只可能是3，5，7，则该长方体的长、宽、高之和是 ． 三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题20分，第14题24分，共80分） 11．（本题满分18分）已知一辆快车与一辆慢车沿相同路线从A 地到B 地， 所行路程与所用时间的函数图像如图所示． （1）求两车的速度； （2）求A ，B 两地间的距离．（第9题图）ABCDE(h)O s (km)（第11题图）420如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点I 为∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的角平分线的交点． 求证：（1）∠AIC ＝90°＋12∠ABC ；（2）IB ·IC ＝IA ·BC ．13．（本题满分20分）（1）设a 为常数，解关于x 的方程x 2＋2x ＝a 2＋(a a ＋1)2；（2）解方程x 2＋(x x ＋1)2＝8．ABCI（第12题图）（1）若p，q，p＋q均为有理数，求证：p，q均为有理数；（2）若p，q，r，p＋q＋r均为有理数，求证：p，q，r均为有理数；（3）设x，y，z为整数，且x＜y＜z，求使2018x＋2018y＋2018z是正整数的所有三元数组(x，y，z)．“时代杯”2017年中学数学应用与创新邀请赛参考答案和评分标准（初中组）一、选择题（每题7分，共42分）1．A 2．C 3． D 4．B 5．D 6．C 二、填空题（每题7分，共28分）7．2 3 8．－6 9．75 10．696245三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题20分，第14题24分，共80分） 11．解：（1）设快车速度为v 1 km/h ，慢车速度为v 2 km/h ．根据图像可得：⎩⎪⎨⎪⎧12 v 1＝18 v 2， ①420v 2－420v 1＝2．② ………………………… 8分由①得v 1＝32v 2，代入②得，13×210v 2＝1，解得v 2＝70，从而v 1＝105． ………………………… 12分（2）A ，B 两地间的距离s ＝12v 1＝1260． ………………………… 16分 答：（1）快车速度为105km/h ，慢车速度为70km/h ；（2）A ，B 两地间的距离为1260km ．………………………… 18分12．证明：（1）因为I 为∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的角平分线的交点，所以∠AIC ＝180°－12∠BAC －12∠ACB＝180°－12（180°－∠ABC ）＝90°＋12∠ABC ，即∠AIC ＝90°＋12∠ABC ． ………………………… 6分（2）（方法一）如图，过点I 作IE ⊥IA ，交AC 于点E ，因此∠EIC ＝∠AIC －90°． 因为∠AIC ＝90°＋12∠ABC ，所以∠EIC ＝12∠ABC ＝∠IBC ．…………10分在△BIC 和△IEC 中，∠IBC ＝∠EIC ，∠BCI ＝∠ICE ， 所以△BIC ∽△IEC ，ABCI（第12题图） E从而BI IE ＝BCIC，即IB ·IC ＝IE ·BC ． ………………………… 14分 因为∠BAC ＝90°，且IA 平分∠BAC ， 所以∠IAC ＝45°，从而∠IEA ＝45°，即IA ＝IE ．因此IB ·IC ＝IA ·BC ． ………………………… 18分 （方法二）如图，延长BI ，交AC 于点E ． 因为I 在∠BCE 的角平分线上，所以BC EC ＝BIIE． ① ………………… 10分 因为I 为∠BAC ，∠ABC ，∠BCA 的角平分线的交点， 且∠BAC ＝90°，所以 ∠EIC ＝∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝45°，即∠EIC ＝∠IAC ．在 △EIC 和△IAC 中，由于∠ICE ＝∠ACI ， 所以△EIC ∽△IAC ， 从而EC IC ＝EIIA． ② ………………………… 14分 有①×②得BC IC ＝BIIA，即IB ·IC ＝IA ·BC ． ………………………… 18分 13．解：（方法一）（1）由题意知方程的判别式△＝4＋4 [a 2＋(a a ＋1)2]＞0，所以方程有两个不相等的实数根． ………………………… 4分 又△＝4[(a ＋1)2－2a ＋(a a ＋1)2]＝4(a ＋1－a a ＋1)2， 所以x 1，2＝－2±△2＝－1±a 2＋a ＋1a ＋1．因此方程的根为 x 1＝a 2a ＋1，x 2＝－a 2＋2a ＋2a ＋1． ………………………… 10分（2）由（1）可知，存在y 满足y ＝x 2x ＋1，或y ＝－x 2＋2x ＋2x ＋1，使得y 2＋2y ＝8．解得y ＝2，或y ＝－4． ………………………… 14分 当y ＝2时，x 2x ＋1＝2，或－x 2＋2x ＋2x ＋1＝2．解得x ＝1－3，x ＝1＋3或x ＝－2；ABCI（第12题图）E当y ＝－4时，x 2x ＋1＝－4，或－x 2＋2x ＋2x ＋1＝－4．解得x ＝－2或x ＝1－3，x ＝1＋3．经检验，x 1＝1－3，x 2＝1＋3，x 3＝－2是原方程的解．………………… 20分 （方法二）（1）由题意，得到x 2＋2x ＋1＝a 2＋1＋(a a ＋1)2，所以(x ＋1)2＝(a ＋1)2－2a ＋(a a ＋1)2，即(x ＋1)2＝(a ＋1－a a ＋1)2．………………………… 6分所以x ＋1＝±(a ＋1－aa ＋1)．因此x 1＝a 2a ＋1，x 2＝－a 2＋2a ＋2a ＋1． ………………………… 10分（2）由（1）可得 (x ＋1－x x ＋1)2＝9，所以x ＋1－xx ＋1＝±3． ………………… 14分 由x ＋1－x x ＋1＝3，得x ＝1－3或x ＝1＋3；由x ＋1－xx ＋1＝－3，得x ＝－2．经检验，x 1＝1－3，x 2＝1＋3，x 3＝－2是原方程的解．………………………… 20分14．解：（1）由题意，设p ＋q ＝s ，s 是正有理数，则p ＝s －q ，平方得(p )2＝(s －q )2，即p ＝s 2＋q －2sq ，所以q ＝s 2＋q －p2s．………………………… 2分因为p ，q ，s 均为有理数，所以s 2＋q －p2s 为有理数，所以q 是有理数．同理可得p 是有理数，故p ，q 都是有理数． ………………………… 5分 （2）由题意，设p ＋q ＋r ＝s ，s 是正有理数，则p ＋q ＝s －r ，平方得(p ＋q )2＝(s －r )2．所以p ＋q ＋2pq ＝s 2＋r －2s r ，即2pq ＝(s 2＋r －p －q )－2s r ．………………………… 7分记s 2＋r －p －q ＝A ，显然A ＞0．由s ，r ，p ，q 是有理数，得A 是正有理数． 从而2pq ＝A －2s r ，得(2pq )2＝(A －2sr )2，即r ＝A 2＋4s 2r －4pq 4As．由于A ，s ，r ，p ，q 是有理数，所以r 是有理数．同理p ，q 都是有理数．………………………… 10分（3）由（2）知2018x ，2018y ，2018z均是有理数， 则令2018x ＝qp ，2018y ＝sr，2018z ＝nm，p ，q ，s ，r ，n ，m 均为正整数， 且p 与q ，s 与r ，n 与m 均互质． ………………………… 14分 由2018x ＝qp，平方得2018p 2＝q 2x ．又p 与q 互质，得q 2可以整除2018． 而2018＝2×1009，2与1009均为质数，2018不含除1以外的平方因数， 所以q 2＝1，得q ＝1． 于是2018x ＝1p． 同理可得2018y ＝1r，2018z ＝1m． ………………………… 18分 所以1p ＋1r ＋1m为正整数．又由x ＜y ＜z ，得1x ＞1y ＞1z ，即1p ＞1r ＞1m ．所以m ＞r ＞p ．于是1≤1p ＋1r ＋1m ≤1＋12＋13，得1p ＋1r ＋1m＝1．又1＝1p ＋1r ＋1m ＜3p ，得3p ＞1，所以1≤p ＜3，得p ＝1或2．若p ＝1，则1r ＋1m＝0，不可能；若p ＝2，则1r ＋1m ＝12，及r ＞p ＝2，得2＜r ＜4，所以r ＝3，从而m ＝6．于是2018x ＝12，2018y ＝13，2018z ＝16． 即x ＝4×2018，y ＝9×2018，z ＝36×2018．所以满足条件的三元整数组是(4×2018，9×2018，36×2018)．………………………… 24分。
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“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（下午15：00 ~ 16：30）题号一二 三总分1 - 67 - 10 11 12 13 14 得分注意事项：1． 本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1．已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a的值为 （ ）A ．－1B ．1C ． －3D ．32．随机抛掷两颗质地均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），则向上一面两个数字的乘积是3的倍数的概率为 （ ） A ．536B ．13C ．59D ．233．在平面直角坐标系xOy 中，若将直线y ＝ax ＋2先沿y 轴方向向上平移3个单位，再沿x 轴方向向右平移2个单位，最后得到的直线与原直线重合，则实数a 的值是 （ ） A ．32B ．－32C ．23D ．－234．如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的高，DC ＝1， BD ＝2，tan B ＝cos ∠DAC ，则AB 的值为 （ ） A ． 5 B ．7C ．3D ． 75．设二次三项式2x 2＋mx ＋6可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数m 的个数为 （ ） A ．8B ．6C ．4D ．36．设正整数a ，b ，c 满足c 2－1＝a 2(b 2－1)，且a ＞1，则 ab的最小值是 （ ）A ．13B ．12C ．2D ．3密封线姓名学校考号二、填空题（每题7分，共28分）7．如图，将边长为2 cm 的正方形绕其中心旋转45︒，则两个正方形 公共部分（图中阴影部分）的面积为 cm 2． 8．设a 为实数，若23－a 与6－a 都是整数，则a 的值是 ．9．若对于任意的正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2 成立， 则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 2015a 2016的值为 ． 10．设a ，b 为整数，若关于x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 的两个根为a ，b ，则b 的值是 ．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分） 11．（本题满分18分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求 1a ＋1b ＋1c 的值．12．（本题满分18分）如图，E 、F 是正方形ABCD 外接圆上的两个点，且∠EBF ＝45︒，AD 与BF 的延长线交于点P ．求证： （1）EC ∥BP ；（2）BP ·BE ＝ 2AB 2．(第7题)ABCD EFP(第12题)在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．（1）如图①，⊙O 与△ABC 的三边都相切，求⊙O 的半径1r ；（2）如图②，⊙O 1与⊙O 2是△ABC 内互相外切的两个等圆，且分别与∠A ，∠B 的两边都相切，求这两个等圆的半径2r ；（3）如图③，若△ABC 内有n 个依次外切且都与AB 相切的等圆，⊙T 1、⊙T n 分别与AC ，BC 相切，求这些等圆的半径r n ．①③② (第13题)设a，b是两个不相等的正整数，p为质数，满足b2＋a＝p2，且a2＋bb2＋a是整数．（1）求证：a＞b；（2）求p的值；（3）求a，b的值．“时代杯”2015年江苏省中学数学应用与创新邀请赛参考答案与评分标准（初中组）一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分） 1． D ． 2． C ． 3． A ． 4． B ． 5． B ． 6． C ．二、填空题（每题7分，共28分） 7． 82－8． 8．－58． 9．20154031． 10． 4．三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分）11．解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 6分 因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 12分 又因为abc ＝48，所以1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝2324． ……………… 18分12．证明：（1）如图，延长BE 至Q ． 因为四边形BFCE 是圆内接四边形， 所以∠QEC ＝∠BFC ． 因为四边形ABCD 为正方形，所以∠BFC ＝45︒，从而∠QEC ＝45︒． ………… 4分 又因为∠EBF ＝45︒，所以∠QEC ＝∠EBF ，从而EC ∥BP ． ………… 8分 （2）连接BD ．由（1）知，EC ∥BP ，所以∠BCE ＝∠CBF ．ABCDEFPQ因为四边形ABCD 为正方形， 所以BC ∥AP ，从而∠CBF ＝∠BPD ． 故∠BCE ＝∠BPD ．因为∠CBD ＝45︒，∠EBF ＝45︒，所以∠CBE ＝∠PBD ． 因此△CBE ∽△PBD ． ………… 14分 从而BE BD ＝BC BP，即BP ·BE ＝BD ·BC ＝2AB 2． ………… 18分13．解：（1）在Rt △ABC 中，因为AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． ……………… 2分 由S ΔABC ＝12(6＋8＋10)×r 1＝12×6×8＝24，解得r 1＝2． ……………… 6分 方法一：（2）在图①中，AO 为∠CAB 的平分线， BO 为∠CBA 的平分线，则 由（1）得tan ∠CAO ＝26－2＝12，tan ∠CBO ＝28－2＝13， 所以tan ∠OAB ＝12，tan ∠OBA ＝13．在图②中，因为AO 1也是∠CAB 的平分线， 所以点O 1在射线AO 上， 同理O 2在射线BO 上， 所以tan ∠O 1AB ＝tan ∠OAB ＝12，tan ∠O 2BA ＝tan ∠OBA ＝13． ……………… 10分因此AB ＝r 2tan ∠O 1AB ＋2r 2＋r 2tan ∠O 2BA ＝7r 2，即10＝7r 2，解得 r 2＝107． ……………… 14分（3）在图③中，同（2）可得点T 1在射线AO 上，点T n 在射线BO 上， 所以tan ∠T 1AB ＝12，tan ∠T n BA ＝13，从而由①③ ② (第13题)AB ＝r n tan ∠T 1AB ＋(2n －2)r n ＋r ntan ∠T n BA ＝10， ……………… 18分即10＝(2n 3)r n ，解得r n ＝102n ＋3． ……………… 22分 方法二：（2）在图②中，Rt △ABC 可以分成△AO 1C 、△BO 2C 、△O 1O 2C 、梯形O 1O 2BA ． 在Rt △ABC 中，因为AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10，从而AB 边上的高为245．所以，在△O 1O 2C 中，O 1O 2＝2r 2，边O 1O 2上的高为245－r 2； 在梯形O 1O 2BA 中，梯形的高为r 2． ……………… 10分 因此S ΔABC ＝S ΔAO 1C ＋S ΔBO 2C ＋S ΔO 1O 2C ＋S 梯形O 1O 2BA＝12×6×r 2＋12×8×r 2＋12×2r 2×(245－r 2)＋12×r 2×(10＋2r 2)＝845r 2．又S ΔABC ＝12×6×8＝24，所以845r 2＝24，解得r 2＝107． ……………… 14分（3）在图③中，Rt △ABC 可以分成△AT 1C 、△BT n C 、△T 1T n C 、梯形T 1T n BA ． 在△T 1T n C 中，T 1T n ＝(2n －2) r n ，边T 1T n 上的高为245－r n ；在梯形T 1T n BA 中，梯形的高为r n ． 因此S ΔABC ＝S ΔAT 1C ＋S ΔBT n C ＋S ΔT 1T n C ＋S 梯形T 1T n BA＝12×6×r n ＋12×8×r n ＋12×(2n －2) r n ×(245－r n )＋12×r n ×[10＋(2n －2)r n ]＝24n ＋365×r n ． ……………… 18分又S ΔABC ＝24，所以24n ＋365×r n ＝24，解得r n ＝102n ＋3． ……………… 22分 14．（1）证明： 方法一：反证法．由题意知a ≠b ，则假设a ＜b ，那么有正整数t ≥1，使得 b ＝a ＋t ，于是 a 2＋b ＝a 2＋a ＋t ，b 2＋a ＝(a ＋t )2＋a ＝a 2＋2ta ＋t 2＋a ＞a 2＋2ta ＋a≥a 2＋2t ＋a ＞a 2＋a ＋t ＝a 2＋b ＞0，从而可知 0＜a 2＋bb 2＋a ＜1，不是整数，与题意矛盾．故假设不成立.因此，a ＞b ． …………………… 6分 方法二：因为a ，b 是两个不相等的正整数，所以a 2＋b b 2＋a －1＝ (a －b )(a ＋b －1)b 2＋a≠0． 因为 a 2＋b b 2＋a 是整数，所以 a 2＋bb 2＋a ＞1．即 a 2＋b b 2＋a －1＝ (a －b )(a ＋b －1)b 2＋a＞0， 因此a ＞b ． …………………… 6分 （2）解：因为b 2＋a ＝p 2，所以a ＝p 2 －b 2．则 a 2＋b b 2＋a＝ (p 2－b 2)2＋b p 2 ＝ p 2－2b 2＋b (b 3＋1)p 2．因为 (b ，b 3＋1)＝1，所以b 是p 2的倍数，或b 3＋1是p 2的倍数． 而p 2＝b 2＋a ＞b ，所以b 不可能是p 2的倍数，从而必有b 3＋1是p 2的倍数． …………………… 12分 因为b 3＋1＝(b ＋1)(b 2－b ＋1)，而p 2＝b 2＋a ＞b 2＋1≥b ＋1；p 2＝b 2＋a ＞b 2＋1＞b 2－b ＋1， 所以b ＋1不是p 2的倍数，b 2－b ＋1也不是p 2的倍数．因为p 为质数，所以b ＋1是p 的倍数，b 2－b ＋1也是p 的倍数． ……… 16分 因为b 2－b ＋1＝(b ＋1)2－3(b ＋1)＋3， 所以3是p 的倍数，从而p ＝3． …………………… 18分 （3）解：由（2）知，b 2＋a ＝9．所以b ＝1或2．检验知b ＝1不符合题意，b ＝2符合题意．此时a ＝5． …………………… 22分。