2018年高考数学二轮复习基础送分专题 (4)不等式

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2018届高考数学二轮复习第六章不等式专题(共4个专题)

专题1 不等关系与不等式专题[基础达标](15分钟40分)一、选择题(每小题5分，共30分)1a>b成立的充分不必要条件是()A.|a|>|b|B.1a >1bC.a2>b2D.lg a>lg bD【解析】当a=-1，b=0时，满足|a|>|b|，但不满足a>b，所以|a|>|b|不是a>b的充分条件，排除A；当a=2，b=3时，满足1a >1b，但不满足a>b，所以1a>1b不是a>b的充分条件，排除B；当a=-1，b=0时，满足a2>b2，但不满足a>b，所以a2>b2不是a>b的充分条件，排除C；因为lg a>lg b⇔a>b>0，所以lg a>lg b 是a>b成立的充分不必要条件.2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.-1a <-1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.|a|<|b|A【解析】利用作差法逐一判断.因为1b −1a=a-bab<0，所以-1a<-1b，A正确；因为ab-b2=b(a-b)>0，所以ab>b2，B错误；因为ab-a2=a(b-a)<0，所以-ab>-a2，C错误；a<b<0，所以|a|>|b|，D错误.3.若0<m<n，则下列结论正确的是()A.2m>2nB.12m<12nC.lo g1m>lo g1nD.log2m>log2nC【解析】函数y=2x和y=log2x均是增函数，又n>m>0，∴2m<2n，log2m<log2n；函数y=lo g12x，y=12x均是减函数，又n>m>0，∴lo g12m>lo g12n，12m>12n.4.命题“∀x∈[1，2]，关于x的不等式x2-a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是() A.a≥4 B.a≤4 C.a≥3 D.a≤3C【解析】不等式x2-a≤0，∀x∈[1，2]恒成立⇔a≥(x2)max=4，x∈[1，2]，所以所求的一个必要不充分条件是a≥3.5.设a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①a c>1；②a c<b c；③log b(a-c)>log a(b-c)；④b b-c>a a-c.其中所有的正确结论的序号是() A.①②B.②③C.①②③D.②③④B【解析】因为a>1，所以指数函数y=a x递增，又c<0，所以a c<1，①错误，排除A和C；而B和D中都有②和③，所以只要判断④是否正确.又b b-c<b a-c<a a-c，所以④错误，排除D.6f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，以a为横坐标，b为纵坐标，则f(-2)的取值范围是() A.[5，8] B.[7，10] C.[5，10] D.[5，12]C【解析】由题意可得1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，又f(-2)=4a-2b=3(a-b)+(a+b)，由不等式的基本性质可得f(-2)的取值范围是[5，10].二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知x∈R，m=(x+1) x2+x2+1，n= x+12(x2+x+1)，则m，n的大小关系为.m>n【解析】因为m-n=(x+1) x2+x2+1− x+1 2(x2+x+1)=x3+12x2+x+x2+x2+1- x3+x2+x+12x2+12x+12=12>0，所以m>n.8.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x 2y ≤9，则x3y4的最大值是.27【解析】根据不等式的基本性质求解.x 2y 2∈[16，81]，1xy2∈18，13，则x3 y =x2y2·1xy∈[2，27]，x3y的最大值是27.[高考冲关](15分钟25分)1.(5分p：若a>b，则a2>b2，q：“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是() A.p∧q B.(p)∧qC.(p)∧(q)D.p∧(q)B【解析】取a=-1，b=-2，可知命题p是假命题.x2+2x-3≤0⇔-3≤x≤1，由x≤1不能得知-3≤x≤1；反过来，由-3≤x≤1可得x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件，命题q是真命题，故(p)∧q是真命题.2.(5分)若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A.a+1b >b+1aB.a+1a>b+1bC.ba >b+1a+1D.2a+ba+2b>abA【解析】a+1b -b-1a=(a-b)+1b-1a=(a-b)+a-bab=(a-b)1+1ab，其中a-b>0，ab>0，故a+1b -b-1a>0，故A正确；令a=2，b=12，则a+1a=b+1b，故B错误；又b a −b+1a+1=b-aa(a+1)<0，所以ba<b+1a+1，故C错误；2a+ba+2b−ab=b2-a2b(a+2b)<0，故D错误.3.(5分y=a x(a>0，a≠1)与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是()A.b a>0B.a+b>0C.a b>1D.log a2>bD【解析】由函数图象可知a>1，b<0，所以a b<1，排除C；A，B项中的不等式不一定成立；log a2>0>b，故D项中的不等式一定成立.4.(5分)若a=1816，b=1618，则a，b的大小关系为.a<b【解析】因为ab =181616=9816216=8216，且0<82<1，所以8216<1，又a>0，b>0，则a<b.5.(5分)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b<1；②若1b −1a=1，则a-b<1；③若|a−|=1，则|a-b|<1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|<1.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)①④【解析】由a2-b2=1得(a-b)(a+b)=1，又由已知得a+b>a-b，故a-b<1，所以①是真命题；当a=2，b=23时，有1b−1a=1，此时a-b>1，所以②是假命题；当a=9，b=4时，|a−|=1，|a-b|=5>1，所以③是假命题；对于④，假设|a-b|≥1，不妨设a>b，则a≥b+1，因为|a3-b3|=|a-b|·|a2+ab+b2|，则a2+ab+b2>a2+b2≥(b+1)2+b2>1，则|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与已知矛盾，则|a-b|<1，所以④是真命题.专题2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专题[基础达标](25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1x，y满足约束条件x-y≥0，x+y-4≤0，y≥1，则z=-2x+y的最大值是() A.-1 B.-2 C.-5 D.1A【解析】约束条件对应的区域是一个三角形，当z=-2x+y经过点(1，1)时取得最大值-1.2x，y满足约束条件x-y+2≥0，y+2≥0，x+y+2≤0，则y+1x-1的取值范围为()A.-13，15B.-13，1C.-∞，-13∪15，+∞D.-∞，-13∪[1，+∞)B【解析】约束条件对应的平面区域是以点(-2，0)，(-4，-2)和(0，-2)为顶点的三角形，当目标函数y+1x-1经过点(-2，0)时取得最小值-13，经过点(0，-2)时取得最大值1，则y+1x-1的取值范围是-13，1.3x，y满足不等式组x+y-6≤0，2x-y-1≤0，3x-y-2≥0，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围是() A.[-2，1] B.[-1，2] C.[-3，-2] D.[-3，1]A【解析】不等式组对应的平面区域是以点(1，1)，(2，4)和73，113为顶点的三角形，且目标函数y=-ax+z经过点(2，4)时z取得最大值，经过点(1，1)时z 取得最小值，则-1≤-a≤2，即-2≤a≤1.4.若x，y满足kx+y≤4，2y-x≤4，x≥0，y≥0，且z=5y-x的最小值为-8，则k的值为()A.-12B.12C.-2D.2B【解析】直线kx+y=4恒过定点(0，4)，画图可知k>0，且不等式组对应的平面区域是以点(0，0)，(0，2)，42k+1，4k+42k+1和4k，0为顶点的四边形(包含边界)，z=5y-x在点4k ，0处取得最小值-8，则-4k=-8，解得k=12.5.在平面直角坐标系中，若点P(x，y)满足x-4y+4≤0，2x+y-10≤0，5x-2y+2≥0，则当xy取得最大值时，点P的坐标是()A.(4，2)B.(2，2)C.(2，6)D.52，5D【解析】不等式组对应的平面区域是以点(0，1)，(2，6)和(4，2)为顶点的三角形(包含边界)，当xy取得最大值时，点(x，y)必在线段2x+y-10=0，x∈[2，4]上，所以xy=x(10-2x)=-2x2+10x，x∈[2，4]，当x=52时，xy取得最大值，此时点P52，5.二、填空题(每小题5分，共25分)6y≤x，x+y≤8，y≥a表示的平面区域的面积为25，点P(x，y)在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为.17【解析】不等式组对应的平面区域是以点(a，a)，(8-a，a)，(4，4)(a<4)为顶点的三角形，则该三角形的面积为12(8-2a)·(4-a)=25，解得a=-1(舍去9).目标函数经过点(9，-1)时，z取得最大值17.7.若实数x，y满足x≤2，y≤2，x+y≥2，则目标函数z=yx+1的最大值是.2【解析】不等式组对应的平面区域是以点(2，0)，(0，2)和(2，2)为顶点的三角形(包含边界)，当目标函数z=yx+1经过点(0，2)时取得最大值2.8x，y满足约束条件x≤4-2y，x≥0，y≥0，那么x2+y2-10x-6y的最小值为.-1215【解析】约束条件对应的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(4，0)为顶点的三角形，目标函数可变形为(x-5)2+(y-3)2-34，其中(x-5)2+(y-3)2的几何意义是可行域上的点(x，y)与点(5，3)的距离的平方，最小值为点(5，3)到直线x+2y-4=0的距离的平方，即为52=495，则x2+y2-10x-6y=(x-5)2+(y-3)2-34的最小值为49 5-34=-1215.9.在平面直角坐标系xOy中，记不等式组y-3≥0，2x+y-7≤0，x-2y+6≥0表示的平面区域为D.若对数函数y=log a x(a>1)的图象与D有公共点，则a的取值范围是.(1， 23] 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，若a>1，当对数函数图象经过点A 时，满足条件，此时y -3=0，2x +y -7=0，解得 x =2，y =3，即A (2，3)，此时log a 2=3，解得a= 23，∴当1<a< 23时，满足条件.∴实数a 的取值范围是(1， 23].10x ，y 满足 x ≥2，x +y ≤4，2x -y -m ≤0，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z 的最小值为 .-1 【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(2，2)，(2，4-m )， m +43，8-m 3 (m>2)为顶点围成的三角形(包括边界)，当目标函数y=-3x+z 经过点 m +43，8-m3时z 取得最大值，则m+4+8-m3=10，解得m=5，则z min =-1.[高考冲关] (15分钟 30分)1.(5分x -y ≥0，2x +y ≤2，y ≥0，x +y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A .a ≥43 B .0<a ≤1 C .1≤a ≤43D .0<a ≤1 或a ≥43D【解析】不等式中前面3个不等式表示的平面区域是以点(0，0)，(1，0)和23，23为顶点的三角形，由图可得当0<a≤1或a≥43时，上述三角形位于直线x+y=a 下方的区域仍然是三角形.2.(5分)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个根为x1，x2，且0<x1<1，x2>1，则ba的取值范围是()A.-1，-12B.-1，-12C.-2，-12D.-2，-12D【解析】令f(x)=x2+(1+a)x+a+b+1，则f(0)=a+b+1>0，f(1)=2a+b+3<0，则点P(a，b)对应的平面区域如图阴影部分所示(不含边界)，当(a，b)取点(-2，1)时，ba取得最大值-12，当过原点的直线与2a+b+3=0平行时，不经过可行域上的点，所以-2<ba <-12.3.(5分)若变量x，y满足x+y≤4，2x-y+4≥0，x-2y-4≤0，则xy的取值范围是()A.[-2，16]B.(-∞，-2]∪[16，+∞)C.[16，+∞)D.[-2，0]∪[16，+∞)A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，当z>0时，y=zx与区域有公共点，且与边界x+y=4相切时，z=4，经过点(-4，-4)时，z=16，此时0<z≤16；当z=0时与区域有公共点；当z<0时，与边界2x-y+4=0，x-2y-4=0相切时，z=-2，此时-2≤z<0.综上可得z=xy的取值范围是[-2，16].4.(5分)已知变量x，y满足约束条件x+y≤1，x-y≤1，x≥a，若yx-2≤12恒成立，则实数a的取值范围为.[0，1]【解析】要使不等式组对应的平面区域存在，则a≤1，此时不等式组对应的区域是以点(a，a-1)，(a，1-a)，(1，0)为顶点的三角形(包含边界)，则1-a a-2≤yx-2≤a-1a-2，由yx-2≤12，得a-1a-2≤12，则a≥0，故实数a的取值范围是[0，1].5.(5分m>1，已知在约束条件y≥x，y≤mx，x+y≤1下，目标函数z=x2+y2的最大值为23，则实数m的值为.2+3【解析】m>1，由题意可知，约束条件对应的平面区域是以点(0，0)，1 2，12和11+m，m1+m为顶点的三角形(包含边界)，且当目标函数z=x2+y2经过点11+m ，m1+m时取得最大值23，所以11+m2+m1+m2=23，化简得m2-4m+1=0，m>1，解得m=2+3.6.(5分P(x，y)的坐标满足3x-y<0，x-3y+2<0，y≥0，3x22的取值范围为.-3，3【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图，其中B(-2，0)，C(1，3)，A32，12，设P(x，y)为区域内一个动点，向量OA，OP的夹角为θπ6=∠AOC<θ≤∠AOB=5π6，则cos θ=OA·OP|OA||OP|=32x+12yx2+y2=12×3xx2+y2，又-32≤cosθ<32，则3x22=2cos θ∈[-3，3).专题3 基本不等式及其应用专题[基础达标](20分钟45分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知a，b∈R*且a+b=1，则ab的最大值等于()A.1B.14C.12D.22B【解析】由于a，b∈R*，则1=a+b≥2ab，得ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立.2.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则() A.a<v<ab B.v=abC.<v<a+b2D.v=a+b2A【解析】设甲、乙两地相距S，则平均速度v=2S S+S =2aba+b，又∵a<b，∴v=2aba+b >2abb+b=a.∵a+b>2ab，∴2aba+b−2ab<0，即v<ab，∴a<v<ab.3mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则1m +3n的最小值为()A. 4B. 12C. 16D. 6D【解析】直线mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则直线过圆心，即3m+n=2，则1 m +3n=1m+3n3m2+n2=3+n2m+9m2n≥3+2n2m·9m2n=6，当且仅当n2m=9m2n，m=13，n=1时取等号，则1m +3n的最小值为6.4x，y满足x+4y=4，则x+28y+4xy的最小值为()A.852B.24C.20D.18D【解析】由题意可得x=4-4y>0，y>0，则0<y<1.令2+6y=t，t∈(2，8)，则y=t-26，所以x+28y+4xy=8+24y(4-4y)y=2+6y(1-y)y=t8-t6×t-26=36t10t-t-16=3610- t+16t≥3610-8=18，当且仅当t=4时取等号，则x+28y+4xy的最小值为18.二、填空题(每小题5分，共25分)5.当x>1时，函数y=x+1x-1的最小值是.3【解析】因为x>1，y=x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)·1x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y的最小值为3.6.实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是.6【解析】利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥23x·32y=23x+2y，∵x+2y=2，∴3x+9y≥2x+2y=22=6，当且仅当3x=32y，即x=1，y=12时，取等号，即3x+9y 的最小值为6.7P，Q分别是曲线y=x+4x与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为.717 17【解析】由y=x+4x可得y=1+4x，若PQ长取最小值，则点P在与直线4x+y=0平行的切线上，且PQ垂直于直线4x+y=0，由y'=-4x=-4，解得x=1或-1.当x=1时，点P(1，5)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=91717，即此时PQ=91717；当x=-1时，P(-1，-3)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=71717，即此时PQ=71717<91717，则线段PQ长的最小值为71717.8(a，b)在直线2x+3y-1=0上，则代数式2a +3b的最小值为.25【解析】由题意可得2a+3b=1，a>0，b>0，则2a +3b=2a+3b(2a+3b)=13+6ba+6a b ≥13+26ba·6ab=25，当且仅当a=b=15时取等号，所以代数式2a+3b的最小值为25.9.若不等式1x +41-x≥a对任意的x∈(0，1)恒成立，则a的最大值是.9【解析】由x∈(0，1)，得1-x>0，1x +41-x=x+1-xx+4(x+1-x)1-x=5+1-xx+4x 1-x ≥5+21-xx×4x1-x=5+4=9，当且仅当1-xx=4x1-x，即x=13时，取等号，所以1x+41-x的最小值为9，所以a≤9，所以a的最大值为9.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的“上确界”，若a，b∈R*且a+b=1，则-12a −2b的“上确界”为()A.-92B.92C.14D.-4A【解析】因为12a +2b=12a+2b(a+b)=52+b2a+2ab≥52+2b2a·2ab=92，当且仅当b=2a=23时取等号，所以-12a−2b≤-92，即-12a−2b的“上确界”为-92.2.(5分S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S12-S6 S6-7·S6-S3S3-8=0，且正整数m，n满足a1a m a2n=2a53，则1m+8n的最小值是()A.75B.53C.95D.157B【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则S12-S6S6=q6，S6-S3S3=q3，q6-7q3-8=0，解得q=2(舍负)，则a1a m a2n=a13×2m+ 2n-2=2a53=a13×213，化简得m+2n=15，则1 m +8n=1151m+8n(m+2n)=11517+2nm+8mn≥11517+22nm·8mn=53，当且仅当m=3，n=6时取等号，所以1m +8n的最小值是53.3.(5分)若a>0，b>0，且1a +1b=ab，则a3+b3的最小值为.42【解析】因为a>0，b>0，所以1a +1b=ab≥ab，则ab≥2，所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2ab·(2ab-ab)=2(ab)3≥2(2)3=42，当且仅当a=b 时取等号，即a3+b3的最小值为42.4.(5分)已知△ABC的面积S和三边a，b，c满足：S=a2-(b-c)2，b+c=6，则△ABC 面积S的最大值为.36 17【解析】由S=a2-(b-c)2得b2+c2-a2+S=2bc，则2bc cos A+12bc sin A=2bc，所以cos A=1-14sin A，代入cos2A+sin2A=1中解得sin A=817.又b+c=6≥2bc，则bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，所以△ABC面积S的最大值为12bc sin A≤12×9×817=3617.5.(5分x，y均为正数，且方程(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2成立，则a的取值范围是.1 3，1【解析】由(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2可得a=x2-xy+y2x+xy+y=1-2xyx+xy+y=1-2x+1+y，又x，y均为正数，所以xy +yx+1≥2+1=3，0<2xy+yx+1≤23，13≤1-2xy+yx+1<1，则a的取值范围是13，1.6.(5分2ax+by-1=0(a>-1，b>0)经过曲线y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心，则1a+1+2b的最小值为.3+222【解析】曲线y=cos πx+1(0<x<1)的对称中心12，1在直线2ax+by-1=0上，则a+b=1，1a+1+2b=121a+1+2b[(a+1)+b]=123+ba+1+2(a+1)b≥1 23+2ba+1·2(a+1)b=3+222，当且仅当ba+1=2(a+1)b时取等号，则1a+1+2b的最小值为3+222.专题4 一元二次不等式及其解法专题[基础达标](25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.若不等式x2+px+4≤0恰好有一个解，则实数p的值为()A.4B.-4C.±4D.以上都不对C【解析】由已知可得方程x2+px+4=0有两个相等的实数根，所以Δ=p2-16=0，解得p=±4.2.若不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为() A.(-3，0) B.[-3，0) C.[-3，0] D.(-3，0]D【解析】当k=0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则k<0，k2-4×2k×-38<0，解得-3<k<0.综上，满足不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3，0].3x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为()A.-235，+∞B.-235，1C.(1+∞)D.(-∞，-1)A【解析】令f(x)=x2+ax-2，则f(0)=-2.①若顶点横坐标x=-a2≤0，要使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则应满足f(5)>0，解得a>-235，即此时a≥0；②若顶点横坐标x=-a2>0，要使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，也应满足f(5)>0，解得a>-235，即此时-235<a<0.综上可知，实数a的取值范围是-235，+∞.4p：∃x∈R，(m+1)(x2+1)≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m应满足()A.m≥2B.m≤-2或m>-1C.m≤-2或m≥2D.-1<m≤2B【解析】若命题p：∃x∈R，(m+1)(x2+1)≤0是真命题，则m+1≤0，m≤-1；若命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立是真命题，则Δ=m2-4<0，即-2<m<2，所以若p∧q为真命题，则-2<m≤-1，所以p∧q为假命题时实数m应满足m≤-2或m>-1.二、填空题(每小题5分，共20分)5x的不等式x2-ax-4>0在x∈[-2，1]时无解，则实数a 的取值范围是.[-3，0]【解析】不等式x2-ax-4>0，x∈[-2，1]无解，即x2-ax-4≤0，x∈[-2，1]恒成立，则4+2a-4≤0，1-a-4≤0，解得-3≤a≤0.6.已知不等式组x2-4x+3<0，x2-6x+8<0的解集是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是.(-∞，9]【解析】不等式组x2-4x+3<0，x2-6x+8<0的解集是{x|2<x<3}，设f(x)=2x2-9x+a，则由题意得f(2)≤0，f(3)≤0，解得a≤9.7.若关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b=.4【解析】二次函数y=34x2-3x+4的顶点坐标为(2，1)，开口向上.若a>1，则由图象可知原不等式的解集是两个区间的并集，不合题意，故a≤1，此时a≤34x2-3x+4的解集为R，所以原不等式的解集即为34x2-3x+4≤b的解集，所以a，b为方程34x2-3x+4=b的两个不同根，则a+b=4.8.若对任意实数p∈[-1，1]，不等式px2+(p-3)x-3>0成立，则实数x的取值范围为.(-3，-1)【解析】不等式可变形为(x2+x)p-3x-3>0，令f(p)=(x2+x)p-3x-3，p∈[-1，1].原不等式成立等价于f(p)>0，p∈[-1，1]，即f(-1)>0，f(1)>0，即-x2-x-3x-3>0，x2+x-3x-3>0，解得-3<x<-1.三、解答题(共10分)9.(10分)若不等式ax2+5x-2>0的解集是 x|12<x<2.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax2+5x-2=0的两个根为12，2，则-5a=12+2，解得a=-2.(2)由(1)知a=-2，则ax2-5x+a2-1>0即为-2x2-5x+3>0，即为2x2+5x-3<0，解得-3<x<12，即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为-3，12.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)=x2+2x(x<0)，-x2(x≥0)，若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是()A.(-∞，-3]B.[-3，+∞)C.[-3，3]D.(-∞，3]D【解析】令f(a)=t，则f(t)≤3⇔t<0，t2+2t≤3或t≥0，-t2≤3，解得t≥-3，则f(a)≥-3⇔a<0，a2+2a≥-3或a≥0，-a2≥-3，解得a<0或0≤a≤3，则实数a的取值范围是(-∞，3].2.(5分a>0，b>0，函数f(x)=ax2+b满足：对任意实数x，y，有f(xy)+f(x+y)≥f(x)f(y)，则实数a的取值范围是() A. (0，1] B. (0，1) C. (0，2) D. (0，2]B【解析】令y=0，得f(0)+f(x)≥f(x)f(0)，即a(1-b)x2+2b-b2≥0对任意实数x恒成立，所以有b=1或1-b>0，2b-b2≥0，所以b的范围是(0，1].再令y=-x，得f(-x2)+f(0)≥f(x)f(-x)，即为a(a-1)x4+2abx2+b2-2b≤0对任意实数x恒成立，当a=1时，x2≤2-b2不恒成立，所以a(a-1)<0，解得0<a<1.3.(5分x的不等式a cos 2x+cos x≥-1恒成立，则实数a 的取值范围是.0，2+24【解析】原不等式即为a(2cos2x-1)+cos x≥-1，令cos x=t，t∈[-1，1]，则2at2+t+1-a≥0，t∈[-1，1]恒成立.令f(t)=2at2+t+1-a，t∈[-1，1]，由f(-1)=2a-1+1-a=a≥0，当a=0时，f(t)=t+1≥0，t∈[-1，1]恒成立，则a=0适合.当a>0时，对称轴t=-14a <0，当t=-14a≤-1，即0<a≤14时，f(t)min=f(-1)=a≥0，所以0<a≤14；当-1<-14a<0，即a>14时，f(t)min=f-14a=-18a+1-a≥0，解得2-24≤a≤2+24，所以14<a≤2+24.综上可得实数a的取值范围是0，2+24.4.(5分f(x)=ax2+x-b(a，b均为正数)，不等式f(x)>0的解集记为P，集合Q={x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数t，P∩Q≠⌀，则1a −1b的最大值是.12【解析】因为集合Q实质上是包含-2的一个区间，在该区间上存在实数满足f(x)>0，则f(-2)=4a-2-b≥0，0<b≤4a-2 a>12.所以1a−1b≤1a−14a-2a>12，令g(a)=1a −14a-2a>12，则g'(a)=-4(a-1)(3a-1)a2(4a-2)2，由g'(a)=0得a=1舍去13，且a∈1 2，1时，g'(a)>0，g(a)递增，a∈(1，+∞)时，g'(a)<0，g(a)递减，则g(a)≤g(1)=12，故1a −1b≤12，即1a−1b的最大值是12.5.(10分)若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.【解析】已知不等式可以化为(x2-1)m+1-2x<0.设f(m)=(x2-1)m+1-2x，这是一个关于m的一次函数(或常数函数)，要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立，其等价条件是f(2)=2(x2-1)+1-2x<0，f(-2)=-2(x2-1)+1-2x<0，整理得2x2-2x-1<0，2x2+2x-3>0，解得-1+72<x<1+32，所以实数x的取值范围是-1+72，1+32.。

2018年高考数学二轮复习专题八系列4选讲第2讲不等式选讲专题突破讲义文

第2讲不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2017届辽宁省葫芦岛协作体模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋2|－|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3<0，不合题意． ∴当－2<x <1时，由2x ＋1>1，得0<x <1，当x ≥1时，f (x )＝3>1恒成立，得x ≥1. 故不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞)． (2)由(1)可知，f (x )的最大值为3，故f (x )＋4的最大值为7.若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，只需7≥|1－2m |，即－7≤2m －1≤7，求得m 的取值范围为[－3,4]．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017届河北省石家庄二中三模)已知不等式|x －a |＋|2x －3|>a 22.(1)已知a ＝2，求不等式的解集；(2)已知不等式的解集为R ，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，可得|x －2|＋|2x －3|>2，当x ≥2时，由3x －5>2，得x >73，当x <32时，由－3x ＋5>2，得x <1，当32≤x <2时，由x －1>2，得x ∈∅，综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >73或x <1. (2)∵f (x )＝|x －a |＋|2x －3|的最小值为f (a )或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∵f (a )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32， ∴f (x )min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32>a22，则32－a >a 22或32－a <－a22，可得－3<a <1或a ∈∅，综上所述，a 的取值范围是(－3,1)．热点二不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ；(2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件． (1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1.(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1 ≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值． (1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)| ＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)| ≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]| ＝|(a －b )4＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例 3 (2017届贵州省贵阳市高三适应性考试)已知函数f (x )＝m －|x －1|(m >0)，且f (x ＋1)≥0的解集为[－3，3]． (1)求m 的值；(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.(1)解因为f (x ＋1)＝m －|x |，所以f (x ＋1)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m ，得解集为[－m ，m ](m >0)，又由f (x ＋1)≥0的解集为[－3,3]，故m ＝3. (2)证明由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝3，又因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝13(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥13⎝⎛⎭⎪⎫ a ·1a＋ 2b ·12b＋3c ·13c 2＝3.当且仅当a ＝1，b ＝12，c ＝13时等号成立，所以a ＋2b ＋3c ≥3.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练 3 (2017届江西省重点中学盟校联考)若关于x 的不等式|ax －2|<6的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－43<x <83.(1)求a 的值；(2)若b ＝1，求－at ＋12＋3bt 的最大值．解 (1)依题意知－43和83是方程|ax －2|＝6的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43a －2＝6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪83a －2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－6，a ＝3或a ＝－32，∴a ＝3.(2)－3t ＋12＋3t ＝3(4－t ＋t ) ≤3(1＋1)(4－t ＋t )＝26，当且仅当4－t ＝t ，即t ＝2时等号成立．所以－at ＋12＋3bt 的最大值为2 6.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2017届湖南省郴州市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，g (x )＝a －|x －2|. (1)若关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，72，求a ＋b 的值．解 (1)当x ＝2时，g (x )＝a －|x －2|取得最大值a ， ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －3| ≥4，当且仅当－1≤x ≤3，f (x )取得最小值4，又∵关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，∴a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． (2)当x ＝72时，f (x )＝5，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－72＋a ＋2＝5，解得a ＝132， ∴当x <2时，g (x )＝x ＋92，令g (x )＝x ＋92＝4，得x ＝－12∈(－1,3)，∴b ＝－12，则a ＋b ＝6.2．(2017届辽宁省锦州市质检)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若对x ∈[0,4]不等式f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝2时，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3，∴不等式f (x )≤3的解集M ＝[a －3，a ＋3]，根据题意知[0,4]⊆M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥4，∴1≤a ≤3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5，因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学二模)已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310； (2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.证明 (1)∵|5x |＝|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|≤|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|<2×12＋3×16＝32， ∴|x |<310. (2)∵x 4＋16y 4－(2x 3y ＋8xy 3)＝x 3(x －2y )－8y 3(x －2y )＝(x －2y )(x 3－8y 3)＝(x －2y )2(x 2＋2xy ＋4y 2)＝(x －2y )2[(x 2＋2xy ＋y 2)＋3y 2]≥0，∴x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. 证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.B 组能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)解令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc＝3abc ＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≥0，根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0两点的距离之和．接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≤4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0. 综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

2018版高考数学(文)通用版二轮专题复习配套文档：专题一函数与导数、不等式第4讲含答案

第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质,以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真题感悟1。

（2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1）·e x－1的极值点，则f(x）的极小值为（) A。

－1 B.－2e－3C。

5e－3 D.1解析f′（x）＝［x2＋(a＋2）x＋a－1］·e x－1，则f′（－2）＝[4－2（a＋2)＋a－1］·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·e x－1,f′(x)＝(x2＋x－2）·e x－1，令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝1,当x〈－2或x>1时，f′(x)〉0，当－2<x〈1时，f′（x)〈0，则f(x)极小值为f（1）＝－1。

答案 A2。

(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋1x在点（1,2）处的切线方程为________.解析设y＝f（x)，则f′(x)＝2x－错误!，所以f′(1)＝2－1＝1，所以在（1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1),即y＝x＋1。

答案y＝x＋13。

（2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝e x（e x－a）－a2x,其中参数a≤0. （1)讨论f(x）的单调性;（2）若f(x）≥0,求a的取值范围.解（1）函数f (x ）的定义域为（－∞,＋∞)，且a ≤0.f ′（x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f （x ）＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增。

②若a <0，则由f ′(x )＝0,得x ＝ln 错误!。

当x ∈错误!时，f ′（x ）<0；当x ∈错误!时，f ′（x )>0.故f (x )在错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增。

(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.4数列、不等式教学案文

①如果数列 { an} 是等差数列 m n p q am an a p aq（ m, n, p, q N ），特别地，当 n 为奇数时， a1 an a2 an 1 …… =2 a中 . ②等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2 m，…成等差数列 .
5
通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.
5．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出
Sn
的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将
条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问
③等差数列 { an} ，{ bn} 的前 n 项和为 An，Bn，则 an bn
A2n 1 . ④等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则数列 { Sn } 仍
B2n 1
n
是等差数列 .
（ 6）等差数列的单调性：设等差数列 { an} 的公差为 d ，当 d 0 时，数列 { an} 为递增数列；当 d 0 时，
二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于
在两边，小于夹中间”得不等式的解集．含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
一．基础知识整合基础知识：一．基础知识整合 1. 等差数列知识要点：
（ 1）通项公式要点：
an a1 (n 1)d an am (n m) d (m, n N * , m n) .
3. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进

2018届高三数学二轮复习课件：第二讲不等式

��+�� 2
≥
�� ≥
2�� (a,b>0). ��+��
5.线性规划 (1)判断Ax+By+C≥0表示的平面区域是在直线的哪一侧,方法为:
①当C≠0时,取原点(0,0),若能满足Ax+By+C≥0,则不等式表示的平面区域就是
①变形⇒
g(x)≠0.
(2)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x). (3)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x),且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x),且 f(x)>0,g(x)>0.
4.几个重要的不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2a ab(a,b∈R). (3)
��+�� ≥ 2
�� (a,b>0).
��+�� 2 2+�� 2
≥
①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
��+�� 2
≥ �� (a≥0,b≥0)
1.不等式的性质 (1)a>b⇔ b<a. (2)a>b, b>c⇔a>c. (3)a>b⇔a+c>b+c. 推论 a>b,c>d⇒a+c>b+d. (4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. 推论 1 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd ; 推论 2 a>b,ab>0⇒ < ; 推论 3 a>b>0⇒an>bn(n∈N*,且 n>1). �� (5)a>b>0⇒ �� > �� (n∈N*,且 n>1).

2018届高考理科数学二轮专题复习讲义不等式选讲

专题八选修系列第2讲不等式选讲考情考向分析本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想. 热点分类突破热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a .(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2017届四川省成都市三诊)已知f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式即为|x －1|＋|2x －5|≥6.当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， ∴x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6， ∴x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6， ∴x ≥4. 综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}．(2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|，∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] .∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5. ∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二不等式的证明1．含有绝对值的不等式的性质||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ； (2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1. (2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1≥2⎣⎡⎦⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1 ＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数．(1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值．(1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4.因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)|≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]|＝|(a －b )4＋1|≥1.即f (x )min ＝1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4.(1)解由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)证明由柯西不等式，有 (－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16，所以－3t ＋12＋t ≤4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立．又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)，所以－3t ＋12＋t ≥2，当且仅当t ＝4时等号成立，综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2，又f (x )≤0的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1，由柯西不等式，得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)．2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．(1)解因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y 4＝1. 由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥12＋12 y x ·x y＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于－(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1，∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于－(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7，∴－4≤x ≤－2＋7；③当x >2时，原不等式等价于(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}．(2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6，且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6，∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ，∴f (x －3)＝|x |－m ≥0.∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式 |x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1. 即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34； (2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由．(1)证明记f (x )＝|x ＋2|－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解由(1)得a 2<14，b 2<14. ∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，∴|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. 证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2 ＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2 ＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. B 组能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc . (1)解令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc ＋3abc ≥23abc·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc . 7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和．接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9，∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

专题04 基本不等式高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)

高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之基本不等式篇【知识储备】1、基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0。

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立。

(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数。

: 2、利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P 。

(简记：“积定和最小”)(2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值S 24。

(简记：“和定积最大”)3．常用的几个重要不等式(1)a ＋b a ＞0，b ＞0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )。

(3)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)。

以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。

4、条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【走进高考】【例】【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为31+，此时G （2，0）．【解析】（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0， 1221322213433424S m S m m m m m m=-=--=+++++⋅+….当3m =时，12S S 取得最小值1+，此时G （2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.【例】．【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.【例】【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x -=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题. 【典例分析】基本题型：题型一：一元问题【例】（2013四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__．【答案】36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x a x =+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a = 题型二：二元问题【例】（2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．B ．C ．5D ．6 【答案】C【解析】35x y xy +=，，. 245285Q 135y x+=113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=【例】(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为．【答案】14【解析】法一：由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥，当且仅当363122b b-=，即1b =时等号成立．法二：由360a b -+=，得36a b -=-，所以3112=2284-++≥==a a b b 当且仅当322-=ab，即36322--=b b ，即1b =时等号成立．题型三：多元问题【例】（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．D ．3 【答案】B【解析】由，得．所以，当且仅当，,,x y z 22340x xy y z -+-=xyz212x y z+-94即时取等号此时，.。

2018年高考数学总复习不等式的综合

2018年高考数学总复习不等式的综合命题趋势探究1.从内容上看，不等式经常作为一种工具与函数和方程结合在一起，去研究函数和方程的有关题目；或利用函数和方程的理论研究不等式.如根的分布、恒成立、解析几何中参数的取值范围问题等都是高考命题的热点内容，在高考试题中往往以综合题出现.另外，高考试题中还常以应用题的形式考查函数、方程和不等式的综合问题.2.从考查形式上看，选择题主要考查实数的大小比较及简单的综合问题；填空题主要考查含参数问题中参数的取值范围及函数的最值等；解答题主要是考查不等式与函数、数列、解析几何等知识的综合题目.知识点精讲不等式经常作为一种研究函数和方程有关命题的工具，反之，利用函数和方程的理论也可研究不等式，如恒成立和根的分布问题等.这些都是高考命题中的重点内容，往往以综合题形式出现.题型归纳及思路提示题型不等式恒成立问题中秋参数的取值范围思路提示解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图像来解决，其方法大致有：（1）借助函数图像或利用一元二次方程判别式来求解.将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正（或非负）、恒负（或非正）的问题，再借助图像或判别式来求解.（2）分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.（3）变更主元，利用函数与方程的思想求解.（4）借助两个函数图像比较两函数值的大小.构造两个函数，并画出它们的图像，通过图像来比较两个函数值的大小，即用数形结合思想来解决恒成立问题.一、利用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到很好解决.例对于x R，不等式2230x x m，求实数m的取值范围.解析不妨设2f x x x m，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使()0()23f x（xR ），只需0，即2(2)4(3)0m，解得2m，故实数m 的取值范围(,2].变式1 若对于xR ，不等式2230mxmx，求实数m 的取值范围.例已知函数2()22f x xkx 在1x 时恒有()f x k ，求实数k 的取值范围.解析令2()()22F x f x k xkx k ，则()0F x 对一切1x恒成立，()F x 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为xk .①当对称轴1xk 时，()F x 在(1,)上单调递增，故只需(1)F 122k 0k ，得31k；②当对称轴1x k 时，()F x 在(1,)上的最小值为()F k ，故只需()F k 22220kkk ，得11k.由①②知k 的取值范围是[3,1]. 评注为了使()f x k 在[1,)上恒成立，构造一个新函数()()F x f x k 是解题的关键，再利用二次函数的图像和性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决.变式 1 已知函数2()lg(1)f x x xx ，若不等式(3)(392)0xxxf m f 对任意xR 恒成立，求实数m 的取值范围.二、分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题通过等价变形，将变量与参变量从整体式中分离出来，转化为()(f x 或，，)a恒成立问题：（1）若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()(())f x a f x a 恒成立a m （或am ）；（2）若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()(())f x a f x a 恒成立a m （或a m ）；（3）若()f x 在定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域上的最小上界（或最大下界）m ，即()f x 在定义域上增大（或减少）时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可取到.例当(1,2)x时，不等式240x mx恒成立，则m 的取值范围是 .解析解法一：构造函数2()4f x xmx （[1,2]x ）.由于当(1,2)x时，不等式240xmx 恒成立，则(1)0f ，(2)0f ，即140m 且4240m，解得5m.解法二：分离参数法.(1,2)x 时，不等式240x mx 2(4)mxx21xmx，令214()()xf x xxx，因为22244()10x f x xx在区间(1,2)上恒成立，故函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，故5()4f x ，所以5m，因此m 的取值范围是(,5]. 评注若本题中的条件改为[1,2]x，则m 的取值范围是(,5)，希望同学们认真、仔细地体会其中的不同.变式1 设函数2()1f x x对任意的3[,)2x ，2()4()(1)x f m f x f x m4()f m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .变式2 不等式2|3||1|3x x aa 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(,1][4,) B.(2][5,)C.[1,2]D. (,1][2,)变式3 若不等式lg(2)1lg()ax ax 在[1,2]x时恒成立，试求a 的取值范围.变式4 已知不等式11112log (1)122123a a n nn对于一切大于1的自然数都成立，试求实数a 的取值范围.三、变更主元例若不等式221(1)x m x，对满足22m的所有m 都成立，求x 的范围.分析欲求x 的范围，将x 视为参数，将m 视为主元，那么关于x 的二次不等式转化为关于m 的一次不等式的形式进行求解，非常简捷.解析原不等式可化为2(1)(21)0m xx .令2()(1)(21)f m m xx (22)m，它是关于m 的一次函数. 由题意知22(2)2(1)(21)(2)2(1)(21)f x x f xx ，解得171322x，所以x 的取值范围是1713(,)22.评注利用函数思想，确定主元，根据一次函数的性质求解.变式 1 对于满足04p 的所有实数p ，使不等式243xpx x p 都成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(3,) B. (1][3,)C.(1,3)D.[1,3]例7.37 已知()f x 是定义在[1,1]上的奇函数，且(1)1f .若,[1,1]a b ，0a b ，有()()0f a f b a b.（1）判断函数()f x 在[1,1]上是增函数还是减函数；（2）解不等式11()(2)22f xf x；（3）若2()21f x ma m 对所有[1,1]x ，[1,1]a 恒成立，求实数m 的取值范围.分析本题亮点在于利用主元变更和等价转化的思想逐步消去参数，从而求得实数m 的取值范围.解析（1）设1211x x ，则1212()()()()f x f x f x f x 121212()()()0f x f x x x x x ，可知12()()f x f x ，所以()f x 在[1,1]上是增函数.（2）由()f x 在[1,1]上是增函数知11121121211222xx xx，解得1142x，故不等式的解集为11[,]42. （3）因为()f x 在[1,1]上是增函数，所以()(1)1f x f ，则函数()f x 在[1,1]上的最大值为1，依题意有2211mam 对[1,1]a恒成立，即220mam 恒成立，令2()2g a ma m ，[1,1]a ，函数()g a 是关于a 的一次函数，若[1,1]a 时，()g a 恒成立，则22(1)20(1)20g m m g mm，解得(,2]{0}[2,)m .评注对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用所给条件，判断差的符号；对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性，将函数值的大小转换到自变量的大小上来；对于（3），确认主元，把22mam 看为关于a 的一次函数，即2()2g a ma m 在[1,1]a 上大于对于0，利用()g a 是一条直线这一图像特征，数形结合得关于m 的不等式组，从而得m 的范围.变式 1已知22()2x a f x x(x R )在区间[1,1]上是增函数.（1）求实数a 的值所组成的集合A ；（2）设关于x 的方程1()f x x的两根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||mtm x x 对任意aA 及[1,1]t恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.题型函数与不等式综合思路提示对于函数不等式，要注意从函数观点出发，转化为利用函数的图像和性质来解不等式.例若不等式29(2)2xk x 的解集为区间[,]a b ，且2ba ，则k.解析如图7-21所示，直线(2)2y k x 过定点(2,2)，因为原不等式的解集为[,]a b ，且3b，又2ba，所以1a，则直线与圆的交点为(1,22)A ，代入直线方程(2)2y k x ，得2k .变式 1已知函数()f x 的定义域为[2,)，部分对应值如表7-3，()f x 为()f x 的导函数，函数()y f x 的图像如图7-22所示，若两正数a ，b 满足(2)1f ab ，则33b a的取值范围是（）表7-3x20 1 ()f x 111A.64(,)73B.37(,)53C.26(,)35D.1(,3)3例设函数1()ln xf x x ax在[1,)上为增函数.（1）求正实数a 的取值范围；（2）当1a时，求证*1111111ln 1(234231n nN nn 且2)n.分析由已知函数是给定区间上的增函数，则()0f x ，由此求参数a 的取值范围. 解析（1）由已知21()(0)ax f x aax，依题意得210ax ax对[1,)x 恒成立，又*a R ，所以10ax 对[1,)x 恒成立，所以1ax对[1,)x恒成立，故max 1()ax ，又因为101x，所以只需1a，所以正实数a 的取值范围是[1,). （2）当1a ，当1x 时，1()ln (1)0x f x xf x，即1ln (1)x x xx，故ln(1)1x x x，0x.取1x n*()nN ，得11ln(1)1n n *()n N .所以有11ln(1)1n n，11ln(1)21n n ，，11ln(1)12，将以上1n 个不等式相加，得2111lnln1123n n n，即111ln 23nn.构造函数()ln(1)([0,1])g x x x x ，由1()1011x g x x x ，得函数()g x 在区间[0,1]上单调递减.故当01x时，()(0)0g x g ，令1x n，则11ln(1)n n.所以有11ln(1)11n n ，11ln(1)22n n ，，11ln(1)11，将以上1n 个不等式相加，得2311ln ln ln112121n n n ，即111ln 1231nn .综上可得*1111111ln 1(234231n nN nn 且2)n.变式1已知函数2()2ln f x x x a x .（1）若函数()f x 在区间(0,1)上恒为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当实数1t时，不等式(21)2()3f t f t 恒成立，求实数a 的取值范围.有效训练（限时45分钟）1.不等式2||20xx 的解集是（）A.{|22}x x B. {|2x x 或2}x C. {|11}x xD.{|1x x或1}x 2.已知不等式210axbx 的解集是11[,]23，则不等式20xbx a 的解集是（）A. (2,3)B. (,2)(3,) C.11(,)32D. 11(,)(,)323.不等式22|log ||||log |x x x x 的解集是（）A. (0,1)B. (1,) C.(0,) D. (,)4.若不等式210xax 对一切1(0,]2x成立，则a 的最小值为（）A.0 B.2 C. 52D. 35.设函数246,0()6,0xx xf x x x，则不等式()(1)f x f 的解集是（）A.(3,1)(3,) B. (3,1)(2,)C. (1,1)(3,) D.(,3)(1,3)6.若关于x 的不等式2(1)4m xxx 的解集为{|02}x x ，则实数m（）A.12B.1 C.2 D.7.已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd的取值范围是 .8.关于x 的不等式组22202(25)54xx x kx 的整数解的集合为{2}，则实数k 的取值范围是 .9.已知符号函数1,0sgn 0,01,0xxx x，则不等式(1)sgn 2x x 的解集是 .10.已知集合2{|540}A x xx ，2{|220}B x xax a ，若B A ?，求实数a的取值范围. 11.已知函数()||f x x a .（1）若不等式()3f x 的解集为{|15}x x，求实数a 的值.（2）在（1）的条件下，若()(5)f x f x m 对一切实数x 恒成立，且实数m 的取值范围.12.（1）解关于x 的不等式2(lg )lg 20x x ；（2）若不等式2(lg )(2)lg 10x m x m 对于||1m 恒成立，求x 的取值范围.最有效训练题291．B 解析不等式组1||31x yx y 所表示的平面区域如图7-54阴影部分所示，易知)1,0(A ，联立131x yx y ，得)2,1(B ，联立131x yx y ，得23)121(221),21,21(ABCS C ，.故选B .2．D 依题意，满足3,0)4)(1(x y x y x 的区域如图7-55阴暗部分所示，则22y x的最小值为10.故选D .3．B 解析依题意，若使目标函数)0(a y ax z ，取得最大值的最优解有无穷多个，则53ACk a，得53a.故选B .4．B 解析如图7-56所示，不等式组表示的可行域（阴暗部分），当直线zx y2过点),(a a A 时，取得最小值a 3，当直线z x y 2过点)1,1(B 时，取得最大值3.又最大值是小值3倍，则31,93aa .故选B .5．D 解析不等式组表示的可行域（阴暗部分）如图7-57所示，|42|y x z 表示区域内动点),(y x P 到直线042y x的距离的5倍.当P 点位于点A 时，z 取得最大值.联立,05202y xy x 解得)9,7(A ，故215|4187|5max z .故选D .6．D 解析不等式组表示的可行域如图7-58所示，其面积为)1(2|1|21a a ，解得3a，故选D .7．)24,7(解析因为点)1,3(和)6,4(在直线023a y x 的两侧，所以0)24)(7(a a，得247a .8．2解析依题意，约束条件表示的平面区域如图7-59所示，当直线z xy过点)0,2(A 时，z 取最小值，此时2z.所以2min z .9．32解析)1(84421kk k S，则1618)1(818)1(8188818122kk kk kkkk kkS 321618)1(82k k .当且仅当2k 时，取“=”号），故1kkS 的最小值为32.10．52解析作出可行域，如图607所示的阴影部分，经分析，当y x z2向上平移至与圆422yx相切位置时，z 取最大值.则52||,25||z z d，又因z 取最大值，所以52maxz .11．解析依题意,0,01491003003020504yxy x y x 求y x P32131的最小值.如图7-61所示，作出可行域，平移直线032yx ，当直线经过点)10,4(时，z 取最小值93，故当30,5.12w v 时所需经费最少，此时所花的经费为93元.12. 解析不等式组的解集为3条直线032:1y x l .01553:3.0632:2y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界）；如图7-62所示，设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为A 、B 、C ，则坐标分别为A )43,,815(,B(0，-3),C )1912,,1975(,作一组平行线t yxl :平行于0:0yxl ，当t 往0l 右上方移动时，t 随之增大，所以当l 过C 点是y x 最大值为,,1963但不是整数解，又有其19750x知x 可取1,2,3，当1x 时，代入原不等式组的2y，所以,1:0yxl 当2x时，得0y或-1，所以2:0y x l 或1当3x 时，1y，所以2:0yxl 故y xz的最大整数解为2yx 或13yx。

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送分专题(四) 不等式[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >ymD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．(2017·云南第一次统一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x <1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x <2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x <2时，由22－x －2≤0，解得1≤x <2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．4．已知x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，14 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎝⎛⎭⎫－12，32 D ．(－∞，6]解析：选C 根据题意，由于1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x ＝t (0<t ≤2)，则可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋t t 2，故只要求解h (t )＝－1＋tt 2(0＜t ≤2)的最大值即可，h (t )＝－1t 2－1t ＝－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，32. [准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．答案：02．(2017·石家庄质检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，即3a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋26，当且仅当3b a ＝2ab ，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 63．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：44．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：30[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．2．(2017·郑州第二次质量预测)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x >0，y >0表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析：选C 画出可行域如图中阴影(不含x 轴)部分所示，直线y＝k (x ＋1)过定点M (－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，过点M (－1，0)与A (1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知0<k ≤32.3．(2017·石家庄检测)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝0，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0及直线x ＋y －2＝0分别平行且平移至这两条直线时z 取到最大值，而且最大值的最优解不唯一，则a 的值为2或－1.故选D.4．(2017·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1x的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1x 表示平面区域内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝⎛⎭⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝k PA ＝－12－11－0＝－32. 答案：－325．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 000[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B.ab ＞1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞0解析：选C 根据函数的图象与不等式的性质可知：当a ＞b 时，2a ＞2b ，故选C. 3．(2017·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.4．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤a x 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.6．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b .其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当d <c <0时，不等式不成立． ④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2. 故正确的命题有2个．7．(2017·成都二诊)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为( ) A ．0B ．－1C ．－2D ．－5解析：选C 根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，当直线y ＝x －z 过点B (1－m ，m )时，z 取得最大值5，所以1－m －m ＝5⇒m ＝－2.8．(2018届高三·合肥五校联考)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e －x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1e x 0>2e x 0·1e x 0＝2，即a >1. 9．(2017·长沙模拟)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( )A ．0B ．－2C ．2D ．6解析：选C 1≤log2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，即变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x －2y 在A (2，－1)，C (4,3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.10.已知函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：选D 由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )>0，在(－1,1)上，f ′(x )<0.由(x 2－2x －3)·f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 11．(2017·九江模拟)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 6C ．2 5D ．4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1所表示的平面区域为△CDE 及其内部(如图)，其中C (1,3)，D (2，2)，E (1,1)，且点C ，D ，E 均在圆x 2＋y 2＝14的内部，故要使|AB |最小，则AB ⊥OC ，因为|OC |＝10，所以|AB |＝2×14－10＝4，故选D.12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－514．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，32 15．(2017·湖南五市十校联考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx＋z 经过点B (0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知k ＝2.答案：216．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2yx 2＋2y 2＝4xy ＋2y 2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2(x 2＋2y 2)x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t 的最大值为 2.答案： 2。