九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形随堂练习(含解析)(新版)浙教版
浙教版九年级数学上册 第三章 圆的基本性质3.6圆内接四边形同步测试
九年级上册第三章圆的基本性质（第6节）一、单选题（共10题；共20分）1.下列说法错误的是（）A. 圆内接四边形的对角互补B. 圆内接四边形的邻角互补C. 圆内接平行四边形是矩形D. 圆内接梯形是等腰梯形2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（）A. 60°B. 80°C. 90°D. 100°3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（）A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°4.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A. 115°B. 105°C. 100°D. 95°5.边长为1的正六边形的内切圆的半径为（）A. 2B. 1C.D.6.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°8.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等于（）A. 1：：B. 1：2：3C. 3：2：1 D. ：：19.有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A. 50cmB. 25cmC. 50cmD. 50cm10.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（）A. B. C.D.二、填空题（共6题；共6分）11.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB 边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________ ．12.圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是________．13.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D=________ °．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62°，则∠C=________ °15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是________ ．16.如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=________．三、解答题（共5题；共25分）17.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．18.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．19.在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E 的度数．20.已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．21.如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD 的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形
注意 一个圆有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知识点2 圆内接四边形的性质 重难点
内容
图示
数学语言
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的对角互补.
四边形是的内接四边形，，.
教材深挖与圆内接四边形有关的结论
结论
图示
①在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，即若圆周角在弦的同侧，则相等，若在弦的异侧，则互补.如图，，.
②圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图，.
推导过程：四边形内接于，.，
典例1如图，四边形内接于，，则的度数是()
D
A.B.C.D.
[解析]四边形内接于，.又，，.
中考常考考点
难度
常考题型
考点：圆内接四边形的性质定理，主要考查利用圆内接四边形的性质定理求角的度数或线段长.
★★
选择题、填空题
考点 利用圆内接四边形的性质定理求角度
典例2（湖州中考）如图，已知四边形内接于，，则的度数是()
B
A.B.C.D.
[解析]四边形内接于，，.
链接教材本题取材于教材第97页课内练习第1题.教材习题考查了直径所对的圆周角是<m></m>及圆内接四边形的性质定理，中考真题直接利用圆内接四边形的对角互补求解，比较简单.
第3章 圆的基本性质
3.6 圆内接四边形
学习目标
1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.
2.理解圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补.
3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关证明和计算.
知识点1 圆内接四边形的定义
定义
图示
九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法随堂练习(含解析)浙
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微专题__平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法__一平面图形的滚动问题（教材P94阅读材料：生活离不开圆）人们的生活离不开圆．车轮设计成圆形(如图1），这是因为圆周上的点到圆心的距离都相等,车子行驶起来平稳，并且圆形的车轮滚动时摩擦力小，行驶起来比较省力．如果把车轮做成三角形、四边形或者椭圆，那么可以想象汽车在行驶的时候颠上颠下,谁都难以忍受这种折腾．图1你能自己发现一些圆在现实生活中应用的例子吗？解：略．[2017·达州]如图2，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4,AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( D ）图2A．2 017πB．2 034πC．3 024πD．3 026π【解析】转动第一次A的路线长是错误!＝2π,转动第二次的路线长是错误!＝错误!π，转动第三次的路线长是错误!＝错误!π，转动第四次的路线长是0，转动第五次A的路线长是错误!＝2π,以此类推，每四次一循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋错误!π＋错误!π＝6π，∵2 017÷4＝504……1，∴这样连续旋转2 017次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×504＋2π＝3 026π.故选D.如图3，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时,点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为（ C ）图3A。
2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.6圆内接四边形同步练习(新版)浙教版
第3章圆的基本性质3.6 圆内接四边形知识点1圆内接四边形的性质一一圆内接四边形的对角互补1. 2016 -丽水如图3-6 —1，四边形ABCD^O 0的内接四边形.已知/ BCD= 110则/ BAD= _______2.已知四边形ABC［内接于O Q 且/ A：Z C= 1 : 2,则/ A=壬方利卬请关注微信号：全品初中优秀教师canpoint-yxjs 3.如图3 —6—2,四边形ABCD是O 0的内接四边形，且/ ABC= 115。
，那么/ AOC=O图3—6 —1C3—6—24.如图3 —6—3, AB是半圆0的直径，C, D是ABh两点，/ ADC= 120°,则/ BAC=5.如图3—6—4，点A, B, C, D都在O 0上，/ B= 90°, AD= 3, CD= 2,则O 0的直径是 ________ .6•在圆内接四边形ABCDK/ A：/ B：/ 0= 2 : 3 : 6,求/ D的度数.7.如图3- 6-5，四边形ABCD内接于O O, AD// BC 求证：AB= CD请关湖［信号：全品初中优秀教师canpoin卜yxjs知识点2圆内接四边形的性质的推论一一圆内接四边形的外角等于其内对角& 2017 •嵊州市模拟如图3 —6-6，点A, B, C, D在圆O上，点E在AD的延长线上, 若/ ABC= 60°，则/ CDE勺度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°9.如图3— 6 — 7,四边形 ABC □内接于O 0,点E 在BC 的延长线上，若/ BOD= 120° , 则/ DCE=_______________ ° .10.如图3-6 — 8所示，已知 A , B, C, D 是O O 上的四点，延长 DC AB 相交于点E 若 BC= BE求证：△ ADE 是等腰三角形.11. 如图 3 — 6—9,^ ABC 内接于O 0, / 0BC= 40°，则/ A 的度数为（）A. 80° B . 100° C . 110 ° D . 130 °AD图 3-6- 612. 如图3 —6 —10,在平面直角坐标系中，O C过原点0,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为（0, 3），M是0吐一点，且在第三象限内•若/ BM8 120。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.6 圆内接四边形基础过关全练知识点 圆内接四边形及其性质1.(2020浙江湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70°B.110°C.130°D.140°2.【易错题】(2022浙江温州鹿城二模)如图,点B在AC上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( )A.50°B.80°C.100°D.130°3.(2021辽宁盘锦中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB= 4,则圆心D的坐标是 .()4.【教材变式·P97课内练习T1】如图,AB是半圆O的直径,∠D=120°,则∠BAC= °.5.(2019浙江台州中考)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为 .6.【易错题】【新独家原创】如图,小明把一副三角尺放到圆中,斜边AC重合,点A、B、C、D均在圆上,其中∠ACB=30°,∠CAD=45°,点P 是圆上任意一点(不与A、B、C、D重合),则∠APB的度数为 .7.如图,已知AD是△ABC的外角平分线,与△ABC的外接圆交于点D.()(1)求证:DB=DC;(2)过D分别作DP⊥AC于点P,DQ⊥BE于点Q,求证:△CDP≌△BDQ.能力提升全练8.【一题多解】(2023浙江温州龙港期中,6,★☆☆)已知在圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D的度数为( )A.40°B.60°C.100°D.120°9.(2023浙江杭州萧山期中,7,★★☆)如图,点A、B、C、D、E都是☉O上的点,AC=AE,∠D=130°,则∠B的度数为( )A.130°B.128°C.115°D.116°10.【数学文化】(2020湖南株洲中考,18,★★☆)斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是说:“斛的底面为正方形的四个顶点都在一个圆上,此圆外有一个同心圆.”如图所示,问题:现有一斛,其底面的外圆直径为五尺(即5尺),“庣旁”为五寸(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺),则此斛底面的正方形的边长为 尺.11.【等面积法】(2023浙江杭州西湖期中,19,★★☆)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;(2)若AB=2,AD=1,求CD、BD的长度.素养探究全练12.【推理能力】如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”.如图2,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC,(1)证明:圆中存在“爪形D”;(2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD.答案全解全析基础过关全练1.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.2.D 如图,在优弧AC(不与点A、C重合)上取点D,连结AD、CD,由圆周角定理得∠ADC=1∠AOC=50°,2∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°,故选D.3.答案 (-3,1)解析 ∵四边形ABOC为圆内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∵∠ACO=120°,∴∠ABO=180°-120°=60°.∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,∴D为AB的中点,在Rt△ABO中,∵∠ABO=60°,∴∠OAB=30°,AB=2,∴OA=23,∴OB=12∴A(-23,0),B(0,2),∴点D的坐标为(-3,1).4.答案 30解析 ∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠D=120°,∴∠B=60°,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,∴∠BAC=30°.5.答案 52°解析 由已知得,∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D关于AC的对称点E在边BC上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=116°-64°=52°.6.答案 30°或150°解析 当点P在优弧BCA上时,∠APB=∠ACB=30°;当点P在劣弧AB上时,四边形ACBP为圆内接四边形,∴∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=180°-30°=150°.∴∠APB的度数为30°或150°.7.证明 (1)∵AD是△ABC的外角平分线,∴∠EAD=∠DAC,∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠DCB=180°,∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠EAD=∠DCB,∵∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC.(2)∵AD平分∠EAC,DP⊥AC,DQ⊥BE,∴DQ=DP,在Rt△CDP与Rt△BDQ中,DC=DB, PD=QD,∴Rt△CDP≌Rt△BDQ(HL).能力提升全练8.D 解法一:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶7∶6,∴∠D=180°×63+6=120°,故选D.解法二:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,∴2x+7x=180°,解得x=20°.∴∠B=60°,∴∠D=180°-∠B=120°,故选D.9.C 如图,连结AC、CE,∵点A、C、D、E都是☉O上的点,∴∠CAE+∠D=180°,∵∠D=130°,∴∠CAE=180°-130°=50°,∵AC=AE,×(180°-50°)=65°,∴∠ACE=∠AEC=12∵点A、B、C、E都是☉O上的点,∴∠AEC+∠B=180°,∴∠B=180°-65°=115°,故选C.10.答案 22解析 如图,∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=5尺,∴CE=5-0.5×2=4尺,∵CD2+DE2=CE2,CD=DE,∴2CD2=16,∴CD=22尺.11.解析 (1)△ABC是等腰直角三角形.证明:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∵∠ADB=∠CDB,∴AB =BC ,∴AB =BC ,又∵∠ABC =90°,∴△ABC 是等腰直角三角形.(2)在Rt △ABC 中,AB =BC =2,∴AC =2,在Rt △ADC 中,AD =1,AC =2,∴CD =AC 2―AD 2=3,过A 作AE ⊥BD 于E ,过C 作CF ⊥BD 于F,如图,则△ADE 和△CDF 均是等腰直角三角形,∴AE =22AD =22,CF =22CD =62,∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ABD +S △BCD ,∴12×1×3+12×2×2=12×22BD +12×62BD ,∴BD =2+62.素养探究全练12.证明 (1)∵AB =BC ,∴AB =BC ,∴∠ADB =∠CDB ,∴DB 平分圆周角∠ADC ,∴圆中存在“爪形D”.(2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连结BE,∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,∴∠A=∠ECB,∵CE=AD,AB=BC,∴△BAD≌△BCE(SAS),∴∠E=∠ADB,BD=BE,由(1)知,DB平分圆周角∠ADC,∠ADC=120°,∠ADC=60°,∴∠ADB=12∴∠E=∠ADB=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=BD,∴AD+CD=BD.。
新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
九年级数学上册3.6圆内接四边形同步练习(新版)浙教版【含解析】
3.6 圆内接四边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图中，∠x是圆周角的是 ( )A. B.C. D.2. 如图所示，圆周角有 ( )A. 9个B. 10个C. 11个D. 12个3. 如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70∘，则∠ABD= ( )A. 20∘B. 46∘C. 55∘D. \70°\）4. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为 ( )A. 7个单位B. 6个单位C. 5个单位D. 4个单位5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88∘，则∠BCD的度数是 ( )A. 88∘B. 92∘C. 106∘D. 136∘6. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有 ( )．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图所示，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8，OF=6，则圆的直径为 ( )A. 12B. 10C. 4D. 158. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是55∘，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器 ( )A. 2台B. 3台C. 4台D. 5台9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40∘，则∠A的度数为 ( )A. 80∘B. 100∘C. 110∘D. 130∘10. 如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a<1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 ( )A. √52a B. 1 C. √32D. a二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠BAC=50∘，则∠ADC=．12. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为．13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86∘，30∘，则∠ACB=．14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130∘，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=度．15. 已知△ABC的边BC=4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是．16. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55∘，∠E=30∘，则∠F=．17. 如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是∘（写出一个即可）．18. 如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58∘，则∠ACD的度数为∘．19. 已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘．给出以下五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④ 劣弧AE⏜是劣⏜的2倍；⑤ DE=DC．其中正确结论有．弧DE20. 如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘，给出下列五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE 的2倍；⑤ AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．22. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．23. 在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．Ⅰ如图 1，若点M的横坐标为1，点N与点O重合，则α=∘；2Ⅱ若点M、点Q的位置如图 2 所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；Ⅲ当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. D6. D7. B8. C9. D 10. B第二部分11. 40∘12. 30∘13. 28∘14. 4015. 30∘16. 40∘17. 65（答案不唯一）18. 6119. ①②④⑤20. ①②④第三部分21. 连接AC．∵AD=BC，⏜=BC⏜，∴AD∴∠ACD=∠CAB，∴AE=CE．22. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180∘．∵∠BAD+∠DAE=180∘，∴∠BCD=∠DAE．∵∠DAE=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠BCD=∠DBC，∴DB=DC．23. （1）60（2）连接MQ，MP．记MQ，PQ分别交x轴于E，F．∵将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P，∴△MAQ和△MNP均为等边三角形．∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60∘．∴∠AMN=∠QMP．∴△MAN≌△MQP．∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEM=∠QEF，∴∠QFE=∠AMQ=60∘．∴α=60∘．（3）(√32,12)或(−√32,−12)。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步自主提升训练(含解析)
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步自主提升训练一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）A．25°B．30°C．32.5°D．35°2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）A．140°B．130°C．120°D．100°3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）A．138°B．121°C．118°D．112°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA ＝BE，则∠ADB的大小为（ ）A．35°B．30°C．40°D．45°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D 重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC 上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（ ）A．1+B．1+2C．2+2D．2+8．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25°B．30°C．40°D．55°二．填空题9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD ＝115°，则∠EBD的大小为 ．10．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 ．12．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为 ．13．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝ ．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD 的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．15．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 ．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．17．如图，五边形ABCDE的顶点B，C、D、E在⊙O上，顶点A在⊙O外，且AB＝AE．若∠A＝100°，则∠CBA+∠CDE＝ °．18．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为 ．19．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．20．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为 ．三．解答题21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．24．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，∵∠BED＝∠C+∠CBE，∴∠BED＞120°，∴∠BED可能为125°．故选：D．6．解：如图，连接AC，由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，∵AB＝AD，∴，∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵点E为的中点，∴∠BAE＝∠BAC＝35°．故选：C．7．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠FBC，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，解得，∠A＝55°，故选：D．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝115°，∴∠BAD＝65°，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠EBD＝∠DAE＝25°．故答案为：25°．10．解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．11．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．12．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，∴∠ADC＝∠AOC＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即2x+3x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝4x＝144°，∴则的长为＝，故答案为：．13．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴当CD是直径时，CD达到最大值，连接OA，OB，∵OA＝OD，∠ADC＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∵OA＝OB＝OC，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴OC＝BC＝3，∴CD＝2OC＝6，故答案为：6．14．解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．15．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，则，解得：，故答案为：110°．16．解：∵＝，∠BAC＝30°，∴∠DCF＝∠BAC＝30°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45．17．解：连接BE，∵AB＝AE．∠A＝100°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝40°，∵∠CDE+∠CBE＝180°，∴∠CBA+∠CDE＝∠CDE+∠CBE+∠ABE＝180°+40°＝220°，故答案为：220．18．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠B＝3x＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案为：90°．19．解：∵点A的坐标为（0，3），∴OA＝3，∵四边形ABMO是圆内接四边形，∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，则则⊙C的半径为3，故答案为：3．20．解：连接BD，∵，∴AB＝AD，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC＝，∴AE＝2，CE＝，∴CD＝AE＝2，∴DE＝＝，故答案为：．三．解答题21．（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．22．证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．解：（1）∵∴∠DCF＝∠BAC＝25°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠B＝2∠ADC，∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，∵，∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，∵OA＝OC，OM⊥AC，∴，∠AOM＝60°，∴，∴．24．解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．。
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3.6__圆内接四边形
1．如图3－6－1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A ＝70°，则∠C 的度数是( B ) A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
【解析】 ∵∠A ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝110°.故选B.
图3－6－1 图3－6－2
2．[2016·兰州]如图3－6－2，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝( C )
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
3．[2016·聊城]如图3－6－3，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵
，连结
CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为
( B ) A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
【解析】 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝105°， ∴∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°. ∵DF ︵＝BC ︵
，∠BAC ＝25°，∴∠DCE ＝∠BAC ＝25°， ∴∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B.
图3－6－3 图3－6－4
4．[2017·西宁]如图3－6－4，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在BC 的延长线上，若∠BOD ＝120°，则∠DCE ＝__60°__．
【解析】 ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°， ∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°， ∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.
5．[2017·淮安]如图3－6－5，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是__120°__． 【解析】 ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.
∵∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5， ∴∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6， ∴∠D ＝6
3＋6
×180°＝120°.
图3－6－5 图3－6－6
6．[2016·南京]如图3－6－6，扇形AOB 的圆心角为122°，C 是AB ︵
上一点，则∠ACB ＝__119____°.
【解析】 由与∠AOB 所对同弧的圆周角度数为1
2∠AOB ＝61°，由圆内接四边形对角互补，
得∠ACB ＝180°－61°＝119°.
7．[2017·永州]如图3－6－7，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵
的中点，点E 是BC ︵
上的一点，若∠CED ＝40°，则∠ADC ＝__100°__．
图3－6－7 第7题答图
【解析】 如答图，连结AE ， ∵点D 是AC ︵
的中点，
∴∠AED＝∠CED＝40°，∴∠AEC＝80°.
∵∠AEC＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠AEC＝180°－80°＝100°.
8．如图3－6－8，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝80°，求∠A和∠C的度数．
图3－6－8
解：∵∠BOD＝80°，∴∠A＝40°.
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，∴∠C＝140°.
9．如图3－6－9，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，求∠C的度数．
图3－6－9
解：∵∠ABC＝100°，∴∠PBA＝80°.
又∵∠P＝30°，∴∠PAB＝180°－80°－30°＝70°.
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°.
又∵∠BAD＋∠PAB＝180°，
∴∠C＝∠PAB＝70°.
10．[2016·龙岩模拟]如图3－6－10，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E.
图3－6－10
(1)若∠ADC ＝86°，求∠CBE 的度数； (2)若AC ＝EC ，求证：AD ＝BE . 解：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°， 又∵∠CBE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠CBE ＝∠ADC ＝86°；
(2)证明：∵AC ＝EC ，∴∠E ＝∠CAE ， ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠E ，由(1)知∠ADC ＝∠CBE ， 在△ADC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ADC ＝∠EBC ，∠DAC ＝∠E ，AC ＝EC ，
∴△ADC ≌△EBC (AAS )，∴AD ＝BE .
11．如图3－6－11，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F
图3－6－11
(1)若∠E ＝∠F 时，求证：∠ADC ＝∠ABC ； (2)若∠E ＝∠F ＝42°，求∠A 的度数；
(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小． 解：(1)证明：∵∠E ＝∠F ，∠ECD ＝∠FCB ， ∴∠E ＋∠ECD ＝∠F ＋∠FCB ， ∴∠ADC ＝∠ABC ；
(2)∵∠A ＋∠BCD ＝180°，∠ECD ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠ECD ， ∵∠EDC ＝∠A ＋∠F ，∠EDC ＋∠E ＋∠ECD ＝180°， ∴2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∵∠E ＝∠F ＝42°，∴∠A ＝48°；
(3)由(2)中的结论可知2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°，
∴2∠A ＋α＋β＝180°，解得∠A ＝90°－1
2
(α＋β)．
12．如图3－6－12，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是BD ︵
的中点，AB 和
DC 的延长线交⊙O 外一点E .求证：BC ＝EC .
图3－6－12 第12题答图
证明：如答图，连结AC .
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°＝∠ACE . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＋∠ABC ＝180°.
又∵∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D . ∵C 是BD ︵
的中点，∴∠1＝∠2， 又∵∠1＋∠E ＝∠2＋∠D ＝90°， ∴∠E ＝∠D ，∴∠EBC ＝∠E ， ∴BC ＝EC .
13．如图3－6－13，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC . (1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数； (2)求证：∠1＝∠2.
图3－6－13
解：(1)∵BC ＝DC ，
∴∠BCD ＝180°－2×39°＝102°，
又∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD＝180°－102°＝78°；
(2)证明：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠CBD＝∠BAC. ∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，
又∵∠CEB＝∠BAE＋∠2，
∠CBE＝∠CBD＋∠1，
∴∠BAE＋∠2＝∠CBD＋∠1，
∴∠1＝∠2.。