8旋转4.综合应用(2013-2014)

2014年中考解决方案旋转4—综合应用学生姓名：上课时间：内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题在做与旋转相关的题目时，利用题目中的中点构造中位线HGF E D CBAAB CD E F OHG A BECDE DCBA O【例1】 直角三角形ABC 中9068A AB BC ∠=︒==，，；P 为BC 的中点，ABC ∆绕着点P 逆时针旋转90︒ 到DEF ∆，求重叠部分PQKR 的面积．KQP RF EDCB A旋转4中考说明中考满分必做题【例2】 在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是 正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM MH =，FM MH ⊥；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH ∆是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，FMH ∆还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图1EHF G(N)DC(M)BA图2M NHG FEDC BA图3NHG M FEDCB A【例3】 若△ABC 和△ADE 均为等边三角形，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．(1)当△ADE 绕A 点旋转到如图①的位置时，求证：CD =BE ，△AMN 是等边三角形； (2) 如图②，当∠EAB =30°，AB ＝12，AD =32时，求AM 的长．（11年朝阳二模）MNEDCBAA BCDENM图1 图2中心【例4】 如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __； （2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是____________,请借助图3证明你的猜想．O O O ACA 1C 1D 1B 1ADA 1C 1D 1B 1B 1D 1C 1A 1DB图1 图2 图中点倍长类旋转180HBEFDA【例5】 如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =；(2)MF MH =GHM FED CBA【例6】 如图，在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; MNFEDCBA【例7】 已知任意ABC △，分别以AB AC 、为边作ABE △，ACF △，（1）如图a ，若EAB FAC 、△△是以点A 为直角顶点的等腰三角形，取BC 中点D ，连接AD 、EF ，求证：2EF AD =（2）在第（1）问的条件下，过点A 做BC 边的垂线，交EF 于点G ，则EG FG =（3）在BC 边上有一动点P ，连接AP ，以AP 为腰，A 为直角顶点，作等腰直角三角形APQ ，连接QC ，若要使的QC BC ⊥，求ACB ∠的度数图aD ABCEFG AEFC B 图b QPACB【例8】 已知：在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；（2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MEDCBAMEDCB A【巩固】如图1，在△ACB 和△AED 中，AC =BC ，AE =DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°,点E 在AB 上， F 是线段BD 的中点，连结CE 、FE .（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上（如图2），连结BD 取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．图1图2F CCBD BEF EDBA图3EAAFCD【例9】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；【巩固】在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，如图1．（1）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想； （2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图4，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．BCDABCDAADCBEEGFBGE FCDAFEGF图1 图2 图3 图4B CA DEFB DEA FCBAC1图2图备图利用旋转构造三角形【例10】 在凸四边形ABCD 中，30ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD CD =，求证：222BD AB BC =+．60︒30︒DBAE60︒30︒DCB AE60︒30︒DCBA【例11】 已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =．⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则_____ABC ∠= ⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长；⑶如图③，若ACD ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．③②①AH CBDDCBADCBA四边形中的旋转【例12】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ,PC ．若60ABC BEF ∠=∠=探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中2ABC BEF α∠=∠=(090)α<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． (08年北京市中考题)【例13】 如图1，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．⑴求证：AD AE =；⑵如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．求证：2DF EF AF -=； ⑶请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．（10年西城一模）图3图2图1FPABCDE AB CDE E DCBADAB EF CPG图1DCG PAB EF图2【例14】 在平行四边形ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD ∠=∠，连接EF 、EC ，N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ．（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.【例15】 在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE CF =；（2）若90ABC ∠=︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出BDG ∠的度数； （3）若120ABC ∠=︒，FG CE ∥，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求BDG ∠的度数．（2011年中考）图1图2图3ABCFEDADBE CGFADECGFB图2AB CD P EN图1 A B C D P EN M毕业班解决方案模块课程 初三数学.几何模块突破.旋转4 Page 11 of 12 【例16】 在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .（1）如图1，当EF 与AB 相交时，若∠EAB =60°，求证：EG =AG +BG ；（2）如图2，当EF 与AB 相交时，若∠EAB = α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG 、AG 、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论.线段的旋转【例17】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=,2AC =，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ．（1）如图1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转60得到点Q ,求ADQ ∠的度数；（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转60得到点Q ,是否存在点P ，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．图3D C G 图2 D A C G F 图1 D C G F 图1 图2 P D C B B 1A B C D 备用图 A B C D 备用图A BC D毕业班解决方案模块课程 初三数学.几何模块突破.旋转4 Page 12 of 12 【例18】 在ABCD 中，过点C 作CE CD ⊥交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 重合）时，连结1EP 绕点E 逆时针旋转90得到线段1EC 判断直线1FC 与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段2EC .判断直线12C C 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若6AD =,4tan 3B =,1AE = ,在①的条件下，设1CP x =，11P FC S y ∆=求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（09年中考）D FE C B A A B CE FD。