2010年全国大学生数学建模比赛A甲1105(全省一等奖)[1]

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲1105所属学校（请填写完整的全名）：中国海洋大学参赛队员 (打印并签名) ：1.刘润华2.赵利娜3.刘泽指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组日期：2010年9月13日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是罐体变位对罐容表的影响。

通过建立空间直角坐标系，利用体积的二重积分求出进油量，得出罐内油位高度与储油量的关系。

对于问题一，我们分别对储油罐无变位和倾斜角为 4.1α= 的纵向变位两种情况分别进行研究，对罐体无变位情况我们建立直角坐标系求出进油量的底面积，利用柱体的体积公式V S h = 底进行求解即可得到罐内油的体积；对于有倾斜角的情况我们先利用定积分求出沿罐外壁方向切面的面积，再根据油浮子示数与实际油面与罐底之间的关系，沿油罐外壁对切面面积进行积分求出罐内油的总体积。

对于问题二，我们首先根据油罐中的液面分布情况，将问题分为三种情况，可是考虑到实际因素，只对液面与两端球冠有交点并且不接触到油罐的顶端这种情况进行考虑。

又因为储油罐的横向和纵向的变位在实际中非常小，所以将此问题两端球冠处的液面分布进行平行简化，进而针对两球冠和中间的柱体分别进行积分，进而建立储油罐内的容量V 与桶内油浮子所表示的液面高度h 之间的数学模型。

利用Matlab 对纵向变位α和横向变位β的穷举，利用不同取值条件下所建模型求得的油罐的容量和实际示数之间求差值平方和的方法。

当差值平方和取得最小值时的纵向变位α和横向变位β即为我们所建模型的参数。

利用这种方法，我们求得： 2.7α= ， 3.1β= .把此时求出的两个参数代入我们所建立的模型中，进一步求出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

我们所建立的模型根据实际情况，在合理假设的基础上对储油罐的容量进行分析，计算结果与实际标定值之间的误差较小，在我们能接受的范围内，具有较强的合理性。

关键词： 储油罐截面积 变位 差值平方和 Matlab 穷举一、 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为04.1α=的纵向变位两种情况做了实验。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、 问题的分析问题一要求罐体变位后对罐容表的影响，对于油罐无变位时罐内油面的分布情况建立如下图1所示的坐标系，油面的具体分布为：X图1其中h 为油浮子的示数，表示液面距罐底的距离，L 为油罐的长度。

此时罐内的油组成一柱体，利用柱体的体积计算公式V S h = 底进行求解。

对于油罐有倾斜角为04.1α=的纵向变位时，依然沿用无变位时的建系方式，此种情况相当于液面与X 轴成夹角α，根据液面所处的位置，为对切面积分求体积，需分为下面三种情形进行考虑：情形一：油的液面只能接触油桶的一个侧壁，见下图2（1）。

X图2（1）此时为对X 轴方向垂直的切面进行积分，需求液面与X 轴的交点2t ，进而积分限为2[0,]t （为了简单起见，2t 、2L 等点也直接视为O 点到此点的距离，下同）。

情形二：油的液面能接触到油罐的两个侧壁，见下图2（2）。

X图2（2）此时沿X 轴方向对上述切面进行积分即可得到罐内油的体积，其在X 轴方向的积分限为2[0,]L 。

情形三：油的液面已能把左侧的罐壁全部淹没，油浮子未达到最大高度且右侧壁尚未全部淹没，见图2（3）。

X图2（3）此时需要把油罐分为两部分进行考虑，在1[0,]t 内为一柱体，在12[,]t L 为类似于情形二的几何体，在进行积分求出罐内油的体积。

对于问题二，利用与问题一类似的方法建立空间直角坐标系，X 轴仍在罐底的母线处。

因为此时的油罐包含两种变位（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β），关于纵向的变位的处理类似于问题一中关于纵向变位的处理，此处不赘述，而关于横向的变位，如下图3所示，图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线地平线垂直线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图油位探针因为罐的两端为球冠，所以形状和所容纳油量不会发生变化。

变化的是实际油面与罐底的距离H ，但由几何知识可知，实际油面与罐底的距离H 与油浮子示数h 之间存在如下关系：()cos H R h R β=+- （1）根据油面与油罐的位置关系利用与问题一类似的方法，把计算罐内油体积的问题分为三种情形进行考虑。

三．模型假设与符号说明3.1模型假设1、假设忽略油在出储油罐时能完全离开，不会产生由于在储油罐外壁上的附着而引起的误差。

2、假设油的液面不会因为进、出油而产生较大波动，油浮子示数的无波动，罐标度此时是个定值。

3、在实际情况下变位程度一般较小,假设变位参数α，β的值较小，在处理问题二时我们把油罐两端的球冠进行了截取，如上图3（4），此处不会引起较大误差。

4、忽略油罐内输油管中油的体积引起的误差。

四、模型建立与求解4.1问题一的模型建立与求解 4.1.1模型建立根据模型分析的结果，现将油罐的在X x =处的切面图放入平面直角坐标系中,如下面图4所示：Z图41.对于无变位情况，此时的()h x h =,在所建坐标系的基础上先求油罐的截面面积，利用积分可得出()0()2h x S x a =⨯⎰(2)然后利用V S h = 底，即可求出油量：02h V a L ⎛⎫ ⎪=⨯⨯ ⎪⎝⎭⎰ (3)2.对于倾斜角为04.1α=的纵向变位，依然把在X x =处的截面图放入如图4的平面直角坐标系中，其截面仍为椭圆的一部分，此时与平放时的差异在图中的()h x 并不是常数而是一个与截面位置X x =有关的量，为求出()h x ，我们根据模型分析中的三种情况，在图2（1），图2（2），图2（3）中取在XOZ 平面上的截面图，如下图5所示（其中朱红色为针对图2（1），蓝色为针对图2（2），黑色为针对图2（3）并且在图5中还满足a α=），XL2图5根据油面所形成的直线经过点（L1，h ），（其中的h 为相应情形下的油浮子上的示数），此直线可表示为：()(1)tan h x h x L α=-- （4）针对情形一，此时由图可知满足：2121()tan tan h L L ht L αα≤-⎧⎪⎨=+⎪⎩（5） 由积分公式可得此时罐内油的容量为：2()t V S x dx =⎰【1】带入公式（2），（4），（5）得出：1(1)tan tan 02h L h x L V a αα+--=⨯⎰⎰（6） 针对情形二，此时由图可知满足：211()tan (tan )L L h d L αα-<<-由积分公式可得此时罐内油的容量为：2()L V S x dx =⎰代入公式（2），（4）得出：(1)tan 02Lh x L V a α--=⨯⎰⎰（7）针对情形三，由图可知此时满足 1(tan )d L h d α-<≤此时可将图形根据几何性质分为两部分，在1[0,]x t ∈上为一柱体，在12[,]x t L ∈上的几何图形跟情形二的图形完全一致，利用相同的求法得出：211()L t V abt S x dx π=+⎰ （8）利用几何关系求得：11tan h dt L α-=+. （9） 将（2），（4），（9）代入（8）式得：1(1)tan 10tan L h x L h dL V abt ααπ---+=+⎰⎰（10） 综上所述可得：11(1)tan tan 2100(1)tan 21100(1)tan 110tan 2()tan 2()tan (tan )(tan )h L h x L L h x L L h x L h d L a h L L V a L L h d L abt d L h d ααααααααπα+-------+⎧⎪⨯≤-⎪⎪⎪=⨯-<<-⎨⎪⎪⎪+-<≤⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以由于变位引起的罐容量的变化量为：111()tan tan 21000()tan 2110002()tan 2()tan (ta h L h x L L h x L a L h L L V a L L L h d L ααα+----⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⨯-⨯≤-⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎩⎫⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪∆=⨯-⨯-<<-⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰21(1)tan 1100tan n )2(tan )L h x L h d L abt aL d L h d απα---+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⎰ （11）上模型可求出变位前后两个罐容量的差值，它是个与油浮子示数h 和纵向变位参数α有关的值，所以变位会影响到罐容量的值，引起罐容表的标定值与实际储油罐内的油的体积之间的误差。