抛物线定义及性质的简单应用(讲义及配套练习)
《抛物线的几何性质》 讲义
《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
我们可以这样来理解抛物线的定义：假如有一个点 M，它到定点 F的距离和到定直线 l 的距离总是相等，那么点 M 的运动轨迹就是一条抛物线。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
2、＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
3、＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
4、＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
这里的 p 表示焦点到准线的距离，它决定了抛物线的开口大小和方向。
例如，对于方程\（y^2 ＝ 8x\），这里\（2p ＝ 8\），所以\（p ＝4\），焦点为\（（2, 0)＼），准线方程为\（x ＝－2\）。
三、抛物线的几何性质1、范围对于\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧。
对于\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），同理可得\（x ＼leq 0\），抛物线在 x 轴的左侧。
对于\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（x ＼in R\），＼（y ＼geq0\），抛物线在 y 轴的上方。
对于\（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），＼（x ＼in R\），＼（y ＼leq 0\），抛物线在 y 轴的下方。
抛物线(解析版)--新高二暑假讲义
第12讲抛物线新课标要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
2.了解抛物线的简单应用。
知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程3.抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图象性质范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称x 轴y 轴名师导学知识点1求抛物线的标准方程【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为x＝－1；(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；(3)经过点(－3，－1)．【分析】欲求抛物线的标准方程，应首先确定焦点所处的位置，求出p即可．【解】(1)∵准线方程为x＝－1，∴焦点在x轴的正半轴上，且p2＝1，p＝2，故所求的抛物线的标准方程为y2＝2px＝4x. (2)在3x－2y－6＝0中，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝2，∴抛物线的焦点为(2,0)或(0，－3)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－2py＝－12y；当焦点为(2,0)时，p2＝2，p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝2px＝8x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝8x.(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，由(－1)2＝－2p×(－3)，得p＝16，此时y2＝－13x；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，由(－3)2＝－2p×(－1)，得p＝92，此时x2＝－9y.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝－2；(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；(3)过点(1，－2)．【解】(1)由准线方程y＝－2知，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且p2＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)由题知p＝5，当焦点在x轴的正半轴时，∴抛物线的标准方程为y2＝10x.同理，当焦点在x轴的负半轴时，抛物线的标准方程为y2＝－10x.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝10x或y2＝－10x.(3)∵点(1，－2)在第四象限，∴可设抛物线的标准方程为y2＝2px或x2＝－2py，其中p>0.把点(1，－2)分别代入y2＝2px和x2＝－2py，得2p＝4或2p＝1 2 .∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－1 2 y.知识点2根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．(1)y2＝－4x；(2)y＝4x2；(3)3x2＋2y＝0；(4)y2＝ax(a＞0)．【分析】(1)(4)是标准形式，可直接写出焦点坐标和准线方程；(2)(3)不是标准形式，化成标准形式后，再写出焦点坐标和准线方程．【解】(1)y 2＝－4x ，∵p ＝2，开口向左，∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x ＝1.(2)y ＝4x 2可化为x 2＝14y ，开口向上，2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点坐标为y ＝－116.(3)3x 2＋2y ＝0可化为x 2＝－23y ，开口向下，2p ＝23，p ＝13，∴焦点坐标为y ＝16.(4)y 2＝ax ，∵a ＞0，∴开口向右，2p ＝a ，p ＝a 2.x ＝－a4.【变式训练2-1】(1)已知抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则a ＝________.(2)(全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】(1)根据题意，抛物线的方程为x 2＝ay ，则其准线方程为y ＝－14a ，又由抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则有－14＝－14a ，解得a ＝1.(2)∵y 2＝2px 的焦点为p 2，0，x 23p ＋y 2p ＝1的焦点为(2p ，0)，∴p 2＝2p ，∴p 24＝2p ，∴p ＝8(p ＝0舍去)．【答案】(1)1(2)D知识点3抛物线定义的应用【例3-1】(1)若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到定直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34B ．1C.54D ．74(3)(晋中市期末)已知直线l 1：3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝－2，抛物线x 2＝4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．338【分析】根据抛物线的定义解题．【解析】(1)解法一：设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10，整理得x －3y ＋2＝0，∴动点P 的轨迹为直线．故选D.解法二：∵点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，∴动点P 的轨迹为过点F 且垂直于直线l ：3x ＋y －4＝0的直线，故选D.(2)∵y 2＝x 的准线方程l ：x ＝－14，由题意，得|AF |，|BF |分别等于A ，B 到准线l 的距离d 1，d 2(如图所示)．则AB 的中点到准线的距离d ＝d 1＋d 22＝32，∴AB 的中点到y 轴的距离为d ′＝32－14＝54.故选C.(3)抛物线的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过P 作PB 垂直直线y ＝－2交y ＝－2于A ，交y ＝－1于B ，由抛物线的定义，得|PB |＝|PF |，∵|PB |＝|PA |－1，则点P 到直线l 1与直线l 2距离之和为|PC |＋|PA |＝|PB |＋1＋|PC |＝|PF |＋|PC |＋1≥|FD |＋1，此时最小值为F 到直线3x －4y －6＝0的距离d ＝|FD |＝|0－4－6|32＋(－4)2＝105＝2.则抛物线x 2＝4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是d ＋1＝2＋1＝3，故选B.【答案】(1)D(2)C(3)B【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点x ＝－p2相切，其中p >0，求动圆圆心的轨迹方程；(2)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．【解】(1)设动圆圆心C (x ，y )，∵动圆过点x ＝－p2相切，∴|CF |＝|x ＋p 2|.∴点C 的轨迹是以F x ＝－p2为准线的抛物线，∴轨迹方程为y 2＝2px .(2)∵A (－2,4)，而(－2)2<8×4，∴点A 在抛物线x 2＝8y 的内部．如图所示．设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知，|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，|PF |＋|PA |取得最小值，即为|AB |.此时P 点的横坐标为x P ＝－2，代入x 2＝8y ，得y P ＝12.∴使|PF |＋|PA |的值最小的抛物线上的点P 2知识点4抛物线的简单几何性质【例4-1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝()A.433B ．8C.833D ．163【分析】根据抛物线的定义解题．【解析】∵P 为抛物线上一点，PA ⊥l (l 为准线)，∴|PA |＝|PF |.又k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°.又AP ∥x 轴，∴∠PAF ＝60°，∴△APF 为等边三角形．设l 交x 轴于B ，在Rt △ABF 中，cos 60°＝|BF ||AF |＝4|AF |，∴|AF |＝412＝8.又|PF |＝|AF |，∴|PF |＝8.【答案】B【变式训练4-1】设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率为－3，则△PAF 的面积为()A ．23B ．43C ．8D ．83【解析】设准线与x 轴交于点Q ，因为直线AF 的斜率为－3，|FQ |＝2，所以∠AFQ ＝60°，|FA |＝4.又因为|PA |＝|PF |，所以△PAF 是边长为4的等边三角形，所以△PAF 的面积为34×|FA |2＝34×42＝4 3.【答案】B【变式训练4-2】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．【解】由已知，得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A －p 2，－3p 2，B －p 2，3p 2从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，可得p ＝2.所以其标准方程为y 2＝4x .知识点5抛物线的焦点弦的性质及应用【例5-1】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p.【分析】(1)是焦点弦公式，可根据抛物线的定义求解；(2)可设出直线AB 的方程y ＝tan 入y 2＝2px ，利用韦达定理及焦点弦公式求解；(3)可将直线与抛物线联立，利用韦达定理求解；(4)可利用(1)中的|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2【证明】(1)∵AB 过y 2＝2px 的焦点，∴|AB |＝|AF |＋|BF |，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .(2)∵直线AB 过焦点F ，倾斜角为θ，当θ≠90°时，∴设AB 的方程为y ＝tan＝tan 2＝2px ，得tan 2＝2px ，即tan 2θx 2－(p tan 2θ＋2p )x ＋p2tan 2θ4＝0，①由题意得，方程①有两根x 1，x 2，由韦达定理，得x 1＋x 2＝p (2＋tan 2θ)tan 2θ.又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝p (2＋tan 2θ)tan 2θ＋p ＝p (2＋2tan 2θ)tan 2θ＝2p (sin 2θ＋cos 2θ)sin 2θ＝2psin 2θ.当θ＝90°时，显然|AB |＝2p ＝2psin 290°，符合上式．综上，|AB|＝2psin2θ.(3)当AB的斜率不存在时，此时x1x2＝p24，y1y2＝－p2.当AB的斜率存在时，设斜率为k，则AB：y＝＝2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，由韦达定理，得x1x2＝p24，x1＋x2＝k2p＋2pk2.又y1y2＝k12＝k2x1x2－p2(x1＋x2)＋p24＝k－k2p2＋2p22k2＋＝－p2.(4)∵1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2(x1＋x2)＋p24，由(3)，知x1＋x2＝k2p＋2pk2，x1x2＝p24，∴上式＝2k2p＋2pk2p24＋p2·k2p＋2pk2＋p24＝2k2p＋2p22＝2p.【变式训练5-1】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解】(1)解法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)＝k(x－1)，2＝4x，整理，得k2x2－2(k2＋2)x ＋k2＝0，∴x1＋x2＝2(k2＋2)k2，x1x2＝1，由|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2(k 2＋2)k 2＋2＝8，解得k 2＝1，又k ＞0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －1.解法二：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ＝8，解得sin 2θ＝12，又k ＞0，即倾斜角为锐角，∴θ＝π4，则直线的斜率k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)可得，AB 的中点坐标为D (3,2)，则直线AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，0＝－x 0＋5，0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，0＝3，0＝20＝11，0＝－6，因此，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.知识点6直线与抛物线的位置关系的判断【例6-1】已知抛物线的方程为y 2＝2x ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ∈R )．当k 分别为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【分析】欲解此题，需将直线与抛物线方程联立消元，通过讨论方程解的个数来确定方程组解的个数，进而判断位置关系．【解】2＝2x ，＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程可化为x ＝12，方程有一个解，∴原方程组只有一个解，∴直线l 与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0为二次方程，当Δ＝22(k －1)2－4k 2＝0，即k ＝12时，方程(*)只有一个解，此时直线l 与抛物线相切，只有一个交点；当Δ＞0且k ≠0，即k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个解，此时直线l 与抛物线有两个公共点．当Δ＜0且k ≠0，即k ＞12时，方程(*)没有实数解，此时直线l 与抛物线没有公共点．综上，当k ＝0或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当k ＜12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．【变式训练6-1】如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．【解】当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝k (x －1)＋2，＝k (x －1)＋2，＝2x 2，得2x 2－kx ＋k －2＝0，由Δ＝k 2－8(k －2)＝0，得k ＝4，所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.知识点7弦长、中点弦问题【例7-1】过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，且该弦恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程及|AB |.【分析】由于Q 为中点，故求AB 所在的直线方程可用点差法，也可将AB 所在的直线方程设出，与抛物线联立，利用韦达定理求出斜率k ，得出直线方程，弦长|AB |利用公式可得．【解】解法一：由题意知，当AB 垂直于x 轴时，不满足题意，故弦AB 所在的直线存在斜率．当AB 不垂直于x 轴时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1(k ≠0)．2＝8x ，＝k (x －4)＋1消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝8－32k k .又由题意得y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.故所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.又|AB |＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1＋116·4－4×－1204＝5272.解法二：由题意知，当AB 垂直于x 轴时，不满足题意，故弦AB 所在的直线存在斜率．当AB 不垂直于x 轴时，设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则有y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②且x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2，③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，④将③代入④，得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，则弦AB 所在直线的斜率为4.故所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.＝4x －15，2＝8x ，得16x 2－128x ＋225＝0.∴x 1＋x 2＝12816＝8，x 1x 2＝22516.∴|AB |＝1＋16·64－2254＝5272.【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m ＝()A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点F m4，0，设直线方程为x ＝ky ＋m 4，代入抛物线方程可得y 2－mky －m 24＝0，∴y 1＋y 2＝mk ，y 1y 2＝－m 24.∴|PQ |2＝(1＋k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋k 2)(m 2k 2＋m 2)＝2516m 2，∴(k 2＋1)2＝2516，∴k 2＋1＝54，∴k 2＝14，∴x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)＋m2＝mk 2＋m 2＝14m ＋m 2＝34m ＝2×3，解得m ＝8.【答案】B知识点8抛物线中的定点、最值问题【例8-1】如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)证明：直线AB 必过一定点；(2)求△AOB 面积的最小值．【分析】对于(1)，欲证直线AB 过定点，需先求出直线AB 的方程，再判断AB 过定点；对于(2)，需将△AOB 面积的表达式求出，再求最值．【解】(1)证明：显然直线OA 存在斜率且不等于0.设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .＝kx，2＝2x，＝0，＝0＝2k2，＝2k，即A＝－1kx，2＝2x，解得B点的坐标为(2k2，－2k)．∴AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得＝x－2.不论实数k取何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．(2)AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.＝my＋2，2＝2x，消去x并整理，得y2－2my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.于是|y1－y2|＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2m)2＋16＝2m2＋4.S△AOB＝12×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝12|OP|·|y1－y2|＝12×2×2m2＋4＝2m2＋4.∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.【变式训练8-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，n)(n>0)在抛物线C上，|PF|＝3，直线l 过点F，且与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；(2)求PA→·PB→的最大值．【解】(1)∵点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，|PF|＝3，∴2＋p2＝3，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵点P(2，n)(n＞0)在抛物线C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝22，∴P(2,22)．(2)由题意，显然直线l 斜率不为0.因为直线l 过焦点F (1,0)，所以可设直线l ：x ＝my ＋1，联立y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－22)·(y 2－22)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 1－22(y 1＋y 2)＋12＝y 214·y 224－2y 214＋y 224＋y 1y 1－22(y 1＋y 2)＋12＝－8m 2－82m ＋5，所以，当m ＝－22时，PA →·PB →的最大值为9.名师导练3.3.1抛物线及其标准方程A 组-[应知应会]1．到定点F (1，－1)的距离与到直线3x －2y －5＝0的距离相等的点P 的轨迹是()A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线【解析】∵3×1－2×(－1)－5＝0，∴点F (1，－1)在直线3x －2y －5＝0上，∴点P 的轨迹是过点F 且与直线3x －2y －5＝0垂直的直线．【答案】D2．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4【解析】由题意，得1＋p2＝5，∴p ＝8，∴准线方程为x ＝－4.【答案】D3．(杭州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为()A.10B ．4C.15D ．5【解析】由x 2＝4y 知，抛物线的准线方程为y ＝－1，∵点A 的纵坐标为4，∴点A 到直线y ＝－1的距离为5，从而点A 到焦点的距离为5.【答案】D4．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为()A ．3B ．3C.6D ．6【解析】x 23＋4y 2p 2＝1可化为x 23＋y 2p 24＝1.由题意，得－12－p 22＝－p2，又p ＞0，∴p ＝ 6.【答案】C5．(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是()A ．y 2＝－xB ．y 2＝2xC ．2x 2＝yD ．x 2＝－4y【解析】在抛物线的标准方程中，焦点到准线的距离为p ，四个方程中，2x 2＝y 的p 为14最小．【答案】C6．(运城期末)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到点A (－2,1)的距离之和最小，则点P 的坐标为()－14，BC ．(－2，－22)D ．(－2,22)【解析】由y 2＝－4x 知，p ＝2，焦点坐标F (－1,0)，准线方程为x ＝1.依题意可知，当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，故点P 的纵坐标为1，代入y 2＝－4x ，得x ＝－14，故点P 的坐－14，【答案】A7．在抛物线y 2＝－2px (p >0)中，p 的几何意义是____________________________________________【答案】焦点到准线的距离8．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的焦点，则p ＝________.【解析】∵双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)，又p >0，∴－p2＝－2，∴p ＝2 2.【答案】229．(南阳市一中开学考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过点A 作AQ 垂直于准线，过点B 作BP 垂直于准线．由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，∵以AB 为直径的圆过点F ，∴|AB |2＝a 2＋b 2，配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤a ＋b 22，∴(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－12(a ＋b )2＝12(a ＋b )2，得|AB |≥22(a ＋b )．所以|MN ||AB |≤12(a ＋b )22(a ＋b )＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】2210．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．【解】y 2＝ax 的焦点为a 4，0l 的斜率为2，则|OA |＝|a |2.又S △OAF ＝12|OF |·|OA |＝12×|a |2·|a |4＝4，∴|a |＝8，得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x .11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．【解】根据抛物线的定义，知|FP 1|＝x 1＋p2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2.∵2x 2＝x 1＋x 3，∴2x 2＋p ＝x 1＋x 3＋p .即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.∴|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|成等差数列．12．(南阳一中检测)已知定点A (1,0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到点A 的距离比点P 到l 的距离小1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．【解】(1)设P (x ，y )，由题意可得，P 在直线x ＋2＝0右边，∴P 点到直线x ＝－1和到F (1,0)距离相等，∴P 点的轨迹是顶点在原点，F 为焦点，开口向右的抛物线，∵F 和顶点的距离p2＝1，∴2p ＝4，∴轨迹C 的方程是y 2＝4x .(2)由题意，知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，所以直线l 的方程y ＝kx ＋2(k ≠0)，M y 214，y 1，N y 224，y 2y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，且Δ＝16－32k >0，即k <12，∴AM →·AN →＝y 214－1，y 1·y 224－1，y 2＝y 214－1·y 224－1＋y 1y 2＝y 21y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋1＝4k 2－1416k 2－16k ＋8k ＋1＝k ＋12k，∵AM →·AN →<0，∴－12<k <0，满足k <12，∴直线l 的斜率的取值范围为(－12,0)．B 组-[素养提升](北京十二中期中)设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，又点P 到y 轴的距离是2，所以点P 到准线x ＝－1的距离为3.由抛物线的定义知，点P 到该抛物线焦点的距离为3.【答案】C3.3.2抛物线的简单几何性质A 组-[应知应会]1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程为()A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x【解析】由题意知，点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，所以点M (x ，y )的轨迹是抛物线，且方程为y 2＝16x .【答案】D2．若抛物线y 2＝x 上一点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M 的坐标为()BD【解析】设M (x 0，y 0)，|MF |＝|OM |.0＋y 20＝x 20＋y 20，解得x 0＝18，代入y 2＝x ，得y 0＝±24，∴点M 【答案】B3．(福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点A (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 的值为()A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2【解析】由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，∵A (k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝4p .又|AF |＝4，∴p2＋2＝4，∴p ＝4，∴k ＝±4.【答案】B4．(保定模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题为()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】如图，由题意知，－p 2，M p2，p ，|PF |＝|MF |＝|NF |＝p .∴∠FPM＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而∠MPN ＝90°，∴△PMN 为直角三角形，故①正确，②错误；直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2py ＋p 2＝0，∴Δ＝(－2p )2－4p 2＝0，∴直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．【答案】A5．(郑州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |＝()A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝3，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.【答案】B6．(马鞍山市阶段测试)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为()A ．±32B ．±23C ．±34D ．±43【解析】不妨设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，N (x 2，y 2)，∵MF →＝4FN →，∴y 1＝－4y 2，又y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2，x 2＝p 8，∴k MN ＝－p 2－0p 8－p2＝43.根据对称性可得直线l 的斜率为±43.【答案】D7．(凯里市期末)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________．【解析】因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为93＝34BF |2，∴|BF |＝6，∴F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，此抛物线的方程为y 2＝6x .【答案】y 2＝6x8．如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是________．【解析】c ，＝2b 2a，∴4c ＝2b 2a，即b 2＝2ac ＝a 2－c 2，∴e ＝2－1或e ＝－2－1(舍去)．【答案】2－19．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．【解析】设抛物线方程为x 2＝2py ，A (x 0，y 0)，l 为准线，过A 作AB⊥l ，交l 于B ，由题意得200＝17，0＋p2＝3，0＝±22，0＝3－p2.又(x 0，y 0)在x 2＝2py 上，∴8＝26p －p 2，解得p ＝2或p ＝4.故所求的抛物线方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .【答案】x 2＝4y 或x 2＝8y10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．【解】椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】(1)∵直线l 的倾斜角为60°，∴k ＝ 3.又l ：y2＝6x ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，又|AB |＝9，∴x 1＋x 2＝6.∴AB 的中点M 的横坐标是3，又∵准线方程为x ＝－32，∴M 到准线的距离为3＋32＝92.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (0，－2)的距离比它到x 轴的距离大2，记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋b 与轨迹C 恰有2个公共点，求实数b 的取值范围．【解】(1)设轨迹C 上的动点M (x ，y )，则由题意，x 2＋(y ＋2)2＝|y |＋2，∴x 2＝4(|y |－y )，∴轨迹C 的方程为x 28y ，y ≤0，，y >0.(2)轨迹C 与直线y ＝2x ＋b 有两个交点，等价于①直线y ＝2x ＋b 与x ＝0(y >0)，x 2＝－8y (y ≤0)各有一个交点，即满足b >02＝－8y ，＝2x ＋b只有一根，即x 2＝－8(2x ＋b )只有一根，Δ＝256－32b ＝0，∴b ＝8.②直线y ＝2x ＋b 与x 2＝－8y (y ≤0)有两个交点，而与x ＝0(y >0)没有交点，即b ≤02＝－8y ，＝2x ＋b有两根，Δ＝256－32b >0，∴b <8，取交集为b ≤0.综上，实数b 的取值范围为(－∞，0]∪{8}．B 组-[素养提升](全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【解】(1)设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设得F 34，0，故|AF |＝|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得，x 1＋x 2＝52.＝32＋t ，2＝3x 可得，9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，解得t ＝－78，所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →，可得y 1＝－3y 2＝32x ＋t ，2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入抛物线C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，故|AB |＝4133.3.3.3直线与抛物线的位置关系A 组-[应知应会]1．抛物线的对称轴为x 轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y【解析】由题意，可得2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .【答案】C2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是()A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0【解析】设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2，∵A ，B 在抛物线y 2＝8x 上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0.【答案】C3．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则()A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点【解析】∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，恒过定点(1,0)，而(1,0)在y 2＝2px (p ＞0)内，∴直线与抛物线有一个或两个公共点．【答案】C4．(郑州市期中)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，以p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝()A ．16B ．4C.83D ．53【解析】由题意，可得直线4x －3y －2p ＝0与x 轴的交点是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，由x －3y －2p ＝0，2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0⇒x D ＝p 8，x A ＝2p ，|AB |＝|AF |－p 2＝x A ＋p 2－p 2＝2p ，|CD |＝|DF |－p2＝x D ＋p 2－p 2＝p 8.∴|AB ||CD |＝2p p8＝16.【答案】A5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】由抛物线y 2＝2px ，知焦点y 2＝2px ，得4x 2－12px ＋p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，∴x 1＋x 22＝3p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.【答案】C6．(绵阳模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段FA 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为()A ．(0，±2)B ．(0,2)C ．(0，±4)D ．(0,4)【解析】在△AOF 中，点B 为边AF 的中点，故点B 的横坐标为p 4，因此324＝p 4＋p2，解得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝22x ，可得点B A 的坐标为(0，±2)．【答案】A7．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线y 2＝2x 上，且斜边AB 和y 轴平行，则直角△ABC 斜边上的高的长度为________．【解析】由题意，斜边平行y 轴，即垂直对称轴x 轴，可设C B则A AC →－b 22，c －CB →－c 22，－b －又由Rt △ABC 的斜边为AB ，则有AC ⊥CB ，即AC →·CB →＝0，变形可得|b 2－c 2|＝4，而斜边上的高即C 到AB 的距离为b 22－c 22＝2.【答案】28．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的弦的中点坐标为________．【解析】＝x －1，2＝4x ，得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，由韦达定理，得x 1＋x 2＝6，∴中点的横坐标x 0＝x 1＋x 22＝3，又∵y 0＝x 0－1＝2，∴中点坐标为(3,2)．【答案】(3,2)9．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则双曲线的离心率为________．【解析】由抛物线的定义，知1＋p 2＝5，∴p ＝8，∴m 2＝16.又m >0，∴m ＝4，∴M (1,4)．由双曲线x 2a －y 2＝1，知A (－a ，0)，渐近线方程y ＝±x a .又AM 的斜率k AM ＝41＋a ，∴41＋a ＝1a，∴a ＝13.又c ＝1＋a＝103，∴e ＝ca＝10.【答案】1010．(平顶山调研)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，求k 的值．【解】∵抛物线C ：y 2＝4x的焦点为F (1,0)，∴过A ，B 两点的直线方程为y ＝k (x －1)，2＝4x ，＝k (x －1)，可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋2k 2k 2，x 1x 2＝1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.∵M (－1,1)，∴MA →＝(x 1＋1，y 1－1)，MB →＝(x 2＋1，y 2－1)．∵∠AMB ＝90°，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理可得，x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0，∴1＋2＋4k 2－4－4k＋2＝0，即k 2－4k ＋4＝0，∴k ＝2.11．求过定点P (－1,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线l 的方程．【解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l 的斜率存在时，若直线l 与抛物线的对称轴平行，则直线l 的方程为y ＝1，此时直线l 与抛物线只有一个公共点；若直线l 与抛物线的对称轴不平行，∴设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，－1＝k (x ＋1)，2＝2x ，得ky 2－2y ＋2k ＋2＝0.由题意，得Δ＝4－4k (2k ＋2)＝0，得k ＝－1±32.∴直线l 的方程为(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0.综上所述，所求直线l 的方程为y ＝1或(3－1)x －2y ＋3＋1＝0或(1＋3)x ＋2y ＋3－1＝0.12．设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .【解】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)，所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN ；当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.＝k (x －2)，2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0.则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)，①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0，所以k BM ＋k BN ＝0，则BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .B 组-[素养提升](北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解】(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明：由(1)得，抛物线C 的焦点为F (0，－1)，x 2＝－4y .设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．＝kx －1，2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4，直线OM 的方程为y ＝y1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1，同理，得点B 的横坐标x B ＝－x2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝－x 1y 1，－1－n ，DB →＝－x 2y 2，－1－n ，∴DA →·DB →＝x 1x2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2－x 214－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．。
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
抛物线讲义(含知识点、例题、变式及答案)
第七节 抛 物 线 2019考纲考题考情1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率e ＝100抛物线焦点弦的6个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2。
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)。
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。
(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)。
(5)S△AOB＝p22sinθ(θ为AB的倾斜角)．(6)1|AF|＋1|BF|为定值2p.考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线x2＝4y上一点A纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A．10B．4C．5D．15(2)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l 于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则|FR|等于()A．12B．1C．2 D．4解析(1)抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，点A到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A到焦点的距离为5。
故选C。
(2)因为M，N分别是PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，且PQ∥x轴。
又∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°。
由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为正三角形。
抛物线专题讲义
抛物线专题讲义一、知识讲义1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下注意：1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F )0,2(的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为)0,4(a ，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是)0,4(a ，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F )0,2(p 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 题组二：教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 题组三：易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．125．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．三、典型例题题型一：抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．思维升华：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练：P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．题型二：抛物线的标准方程和几何性质 命题点1：求抛物线的标准方程典例如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x命题点2：抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97D ．2题型三：直线与抛物线的综合问题 命题点1：直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.命题点2：与抛物线弦的中点有关的问题典例 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．思维升华：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练：已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 注意：直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．四、反馈练习1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 22．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )A ．3B ．4C ．6D ．73．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y4．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x7．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．9．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点)210(，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．。
抛物线的几何性质习题课
| AB | 2[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 2(36 4) 8.
题型五 焦点弦问题
方法2 : 设A x1 , y1 , B x 2 , y 2 由抛物线的定义知, AF 等于点A到准线x 1的距离 | AA |, 即 AF AA x1 1,同理 BF x 2 1 AB AF BF x1 x 2 2 6 2 8.
题型六
直线与抛物线的位置关系
直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=2x,当k为何值时,l与C有:(1)一
个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. y kx 1 [解]由 2 , 得k 2 x 2 2k 2 x 1 0, y 2x 1 当k 0时, 方程为 2x 1 0, x , y 1, 2 1 直线l与C只有一个公共点( ,1). 2
(1)求|AB|;
(2)求|AB|的最小值.
p p x , 解 : (1)当 90时, 直线l的方程为x ,由 2 2 2 y 2 px. p p 得A( , p), B( , p), AB 2p.当 90时, 2 2 y 2 2 px, p 直线l的方程为y ( x )tan .由 p 2 y ( x )tan , 2 p2 2 2 得tan2 x (2p ptan )x tan 2 0. 4
的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(B
A.4
B.6
C.8
D.12
练习
p x0 横坐标为x0，则点M到焦点的距离是———————— 2
y
M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点M 的
抛物线讲义
第五讲 抛物线教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.一、知识回忆 课前热身知识点1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2例题辨析 推陈出新例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)假设B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，那么所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式练习1．(1)假设点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，那么点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，那么AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，那么抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．假设线段F A 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，那么抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324变式练习2．直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，那么焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.例3过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，假设OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.变式练习3．直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，假设|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由k >0，所以k ＝223.三、归纳总结 方法在握归纳4个结论——直线与抛物线相交的四个结论抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，假设是标准方程，那么要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不说明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的表达．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．四、拓展延伸 能力升华例1(2021·陕西高考)下列图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，那么抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6变式练习 1.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如下图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．五、课后作业 稳固提高一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( ) A.52B.32C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，那么p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a2，那么12－a 2＝1，解得a ＝－32.2．抛物线y 2＝4x ，假设过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，那么△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1.那么26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4. 解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2021·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，那么(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，那么y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2021·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，假设△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，那么抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________． 解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2021·厦门模拟)动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2021·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．假设|AF |＝3，那么|BF |＝________.解析：如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．那么直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，那么N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.11．假设椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)假设过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.那么椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， 所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，那么可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，那么Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．。
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲(教师版)
专题 3.11
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点 F 叫
作
抛(2)物Fra bibliotek线的
焦
集
点
，
合
直
线
l
语
叫
作
抛
言
物
线
的
准
线
表
设点 M(x,y)是抛物线上任意一点，点 M 到直线 l 的距离为 d，则抛物线就是点的集合 P={M||MF|=d}.
最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型 1
动点的轨迹问题】
【方法点拨】
根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点 F，和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹，
因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.
高考复习材料
【例 1】（2024·上海市高三开学考试）在平面上，到点(1,0)的距离等于到直线 + 2 = 3的距离的动点
（
）
A．2 = 4
B．2 = −4
1
1
C．2 = 2
D．2 = −2
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为2 = , ≠ 0，于是得22 = ⋅ (−1)，解得 = −4，
所以所求抛物线方程是2 = −4.
故选：B.
【变式 4-1】（2024·全国·高三专题练习）焦点在直线3−4−12 = 0上的抛物线的标准方程为（
4，则抛物线的标准方程为（
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抛物线定义及性质的简单应用（讲义2013.4.2）
复习回顾
1.点在直线 的抛物线的标准方程是________________．
2.抛物线y 2＝4x ，经过点P (3，m )，则点P 到抛物线焦点的距离等于 ( )
A.9
4
B ．4
C.13
4
D ．3
3.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（ ） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0
4.若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，
的距离小1，则点P 的轨迹方程是
5.已知过抛物线2
4y x =的焦点F 的弦长为36，求弦所在直线方程。
简单应用
6. 如果128,,,P P P 是抛物线2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为128,,,x x x ，F 是抛物
线的焦点，若12810x x x +++= ，则1
28PF P F P F +++=
7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ． B ． 1 C ． D ．
例1：抛物线y 2=8x 的焦点为F ，A （4，－2）为一定点，在抛物线上找一点M ，使|MA|＋|MF|
为最小，求M 点的坐标。
练习：抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A （2,3）为一定点，M 为抛物线上的动，M 到准线的距离为d ，则d ＋|MF|的最小值为
例2:抛物线y x 4
1
2=
上的点到直线54-=x y 的距离最短，则该点的坐标 ( )
A ．(0,0)
B ．)4,1(
C ．)1,2
1
( D ．)1,5(
练习：抛物线24y x =上的点到直线45y x =-的最近距离是 ．
例3：一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，求水面的宽.
抛物线定义及性质的简单应用（作业2013.4.2）
1.已知点P 在抛物线2
4y x =上，那么点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 1(,1)4
P -
2.曲线2
4y x =上的动点P 到A(-1,1)的距离与P 到直线1x =-的距离之和的最小值；
3 设O 为坐标原点，F 为抛物线2
4y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ∙=-
,则
点A 的坐标是 (1,2)±
4.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的动点，点P 到准线的距离为d,且点P 在y 轴上的射影是M ，点A(27，4)，则｜PA ｜+｜PM ｜的最小值是( A ) A. 27 B. 4 C. 2
9
D. 5
5.抛物线2
x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是（ A ） A ．（1，1）
B ．（
4
1
,21） C ．)4
9,23(
D ．（2，4）
6.椭圆
22
1164
x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ D ） A.3 B.11 C.22 D.10
7.已知椭圆22
22:1x y C a b += （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的
2倍.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积. 解：（Ⅰ）由题意1,2c a b ==
， 又221a b -=，所以21b =，22a =. ……3分
所以椭圆的方程为2
212
x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，
联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩
消去y 得22
(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分
解得0x =或2412k x k =-
+，所以12
412k
x k
=-+， 所以222412(,)1212k k B k k --++，22
21(,)1212k P k k
-++， ………………8分 由直线OP 斜率为1-，则1
12k
-
=-，解得12k =（满足（*）式判别式大于零）……10分
O 到直线1:12l y x =
+的距离为
25
，所以 22
11(1)AB x y =+-=253，
8. 已知椭圆的中点在原点O ，焦点在x 轴上，点)0,32(-A 是其左顶点，点C 在椭圆上且
.||||,0CO AC CO AC ==⋅
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若平行于CO 的直线l 和椭圆交于M ，N 两个不同点，求CMN ∆面积的最大值，
并求此时直线l 的方程.
3解：（I ）设椭圆的标准方程为),0(122
22>>=+b a b y a x
.||||,),0,32(CO AC CO AC A =⊥-左顶点 ),3,3(,122-=∴C a 点
又∵C 在椭圆上，
,4,13
12322=∴=+∴
b b
∴椭圆的标准方程为
.14
122
2=+y x
…………5分
（II ）设),,(),,(2211y x N y x M
∵CO 的斜率为-1，
∴设直线l 的方程为,m x y +-=
代入14122
2=+y x
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=
⋅=+>-⋅-=∆=-+-4123230)123(4436,0123642212
12222m x x m x x m m m mx x ,4
31224)(2||2
212
21m x x x x MN -=-+=∴
又C 到直线l 的距离,2
||2
|
33|m m d =
-+-=
CMN ∆∴的面积)16(4
3
||2122m m d MN S -⋅=⋅⋅=
,32)2
16(4322=-+⋅≤m m 当且仅当2216m m -=时取等号，此时22±=m 满足题中条件， ∴直线l 的方程为.022=±+y x。