抛物线专题复习讲义及练习

抛物线专题复习讲义及练习★知识梳理★1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：①)0(22≠=p px y 的焦半径PF )0(22≠=p py x 的焦半径PF② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 42p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1617 B. 1615C.87D. 0点拨：抛物线的标准方程为y x 412=，准线方程为161-=y ,由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是1615 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为AB BB AA 21)''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+B ． 321y y y =+C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x +=+++即：2312x x x =+． 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =, 前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p=, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p= ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 【新题导练】3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 [解析]4132=⇒+=p p4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p-，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且ο90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==pxy kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k pk p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

【新题导练】6. 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = [解析]-17.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( ) A. ο45 B. ο60 C. ο90 D. ο120 [解析]C 基础巩固训练1.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在 [解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4．2.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6[解析] B 利用抛物线的定义，点P 到准线1-=y 的距离为5，故点P 的纵坐标为4．3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为( )A ．1(0,)4-B ．1(0,)4C ．1(,0)2-D ．1(,0)4- [解析] D. 1,4,5-=-==a b b a4. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n Λ成等差数列且45921=+++x x x Λ，则||5F P =（ ）．A ．5B ．6C ． 7D ．9[解析]B 根据抛物线的定义，可知12ii i pPF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n ΛΘ成等差数列且45921=+++x x x Λ,55=x ,||5F P =65、抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）A ．33B ．34C ．36D ．38[解析] C. 过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，32,3)1(21==∴-=+∴n m m m四边形ABEF 的面积==⨯++32)]13(2[21366、设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA uu u r与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r 为 ．[解析]21.过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ．)32,3(A ∴21)32(322=+=∴OA综合提高训练7.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标 [解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x ， 当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为），（121解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ， 由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为），（1219. 设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ． 证明:因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p x my =+，代人抛物线方程得2220y pmy p --=． 若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故直线CO 的斜率为21112.2y y p k p y x ===- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．10.椭圆12222=+by a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）∵12222=+by a x 上的点M 在抛物线pxy 22=（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.∴c=-4，p=8……① ∵M （-4，59）在椭圆上 ∴125811622=+ba ……② ∵222c b a +=……③ ∴由①②③解得：a=5、b=3∴椭圆为192522=+y x 由p=8得抛物线为x y 162= 设椭圆焦点为F （4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|=541)059()44(22=-+--，即为所求的最小值. 参考例题：1、已知抛物线C 的一个焦点为F （21，0），对应于这个焦点的准线方程为x =-21. （1）写出抛物线C 的方程；（2）过F 点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 点为坐标原点，求△AOB 重心G 的轨迹方程；解：（1）抛物线方程为：y 2=2x . （4分） （2）①当直线不垂直于x 轴时，设方程为y =k (x -21)，代入y 2=2x ， 得：k 2x 2-(k 2+2)x +042=k . 设A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=222kk +，y 1+y 2=k (x 1+x 2-1)=k 2.设△AOB 的重心为G （x ，y ）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=++=k y y y k k x x x 32303230212221， 消去k 得y 2=9232-x 为所求， （6分）②当直线垂直于x 轴时，A （21，1），B （21，-1）， （8分）△AOB 的重心G （31，0）也满足上述方程.综合①②得，所求的轨迹方程为y 2=9232-x ， （9分）抛物线专题练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0 D ．x 2+ y 2-x -2 y +41=03．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23( D ．（2，4）4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．6mB ． 26mC ．4.5mD ．9m5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A ． y 2=-2xB ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ）A ．8B ．10C ．6D ．48．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．)2(4)3(2--=-x y B ．)2(4)3(2+-=-x y C ．)2(4)3(2--=+x y D ． )2(4)3(2+-=+x y9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ）A ．2aB ．a 21 C ．4a D ． a4 二、填空题11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ． 13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．14．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12．4kx = 13．（1，0） 14．x y 542-= 三、解答题15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=．16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分）[解析]：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则焦点F （0,2p-），由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=5)23(6222p m p m ，解之得⎩⎨⎧==462p m 或⎩⎨⎧=-=462p m ， 故所求的抛物线方程为y x 82-=，62±的值为m17．动直线y =a ，与抛物线x y 212=相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分)[解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （22a ，a ），又B )3,0(a 得 ⎩⎨⎧==a y a x 22消去a ，得轨迹方程为42y x =，即x y 42=19．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(14分)[解析]：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．由题意可知：曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中B A x x ,分别为A 、B 的横坐标，MN p =． 所以，)0,2(),0,2(pN p M -． 由17=AM ，3=AN 得 172)2(2=++A A px px ①92)2(2=+-A A px px ②联立①②解得p x A 4=．将其代入①式并由p>0解得⎩⎨⎧==14A x p ，或⎩⎨⎧==22Ax p ．因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p>2，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ． ∴p=4，1=A x ．１１ / 11 由点B 在曲线段C 上，得42=-=p BN x B ．综上得曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y ．20．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2||≤．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB Rt ∆面积的最大值．(14分)[解析]：（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得 0)(222=++-a x p a x ． 设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ， 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,， ∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得 42p a p -≤<-． （Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为),(33y x ，则由中点坐标公式，得 p a x x x +=+=2213， p a x a x y y y =-+-=+=2)()(221213．∴ 22222)0()(||p p a p a QM =-+-+=． 又 MNQ ∆为等腰直角三角形，∴ p QM QN 2||||==， ∴||||21QN AB S NAB ⋅=∆||22AB p = p p 222⋅≤ 22p =即NAB ∆面积最大值为22p。