2018届人教B版 简单几何体表面积和体积求法 单元测试

1. 【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.【答案】12故BD =.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅，所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=-. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-=.设t ==，因为0x ≤≤，所以12t ≤≤.则|x =（2x <≤||x x ==故x =+.此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-.由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．2.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE【答案】（I ）见解析（II ）作图见解析,体积为43【解析】所以AB ⊥平面PED ,故.AB PG ⊥又由已知可得,PA PB =,从而G 是AB 的中点.在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.3. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S ， 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . 考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．4. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。

【答案】（1（2）4π．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为3π，可知1113π∠A O B =．11111111111sin 2S ∆O A B =O A ⋅O B ⋅∠A O B =111111C 1V 3S h -O A B ∆O A B =⋅=．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ， 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角． 由C A 长为23π，可知2C 3π∠AO =， 又1113π∠AOB =∠A O B =，所以C 3π∠OB =，从而C ∆OB 为等边三角形，得C 1B =． 因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ． 在1C ∆B B 中，因为1C 2π∠B B =，C 1B =，11B B =，所以1C 4π∠B B =， 从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为4π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.5.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A （B （）（）【答案】B【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.6.【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则a .【答案】4【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.边长为a 的正三角形的面积为243a . 7.【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.【答案】124【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力. 【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.8.【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π【答案】C考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题． 9.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π （D）2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.【反馈练习】1. 【2016届广东汕头市普通高考高三第二次模拟数学试卷，文18】已知四棱锥P ABCD -中,PA 垂直于直角梯形ABCD 所在的平面,,,BA AD BCAD M ⊥是PC 的中点, 且2,4AB AD AP BC ====.（1）求证：DM 平面PAB ； （2）求三棱锥M PBD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】（2）1184,233BCD P BCD BCD S BC CD V S PA ∆-∆====,1118422233M PBD C PBD P BCD V V V ---===⨯=. 考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.2. 【2016-2017学年四川成都经济技术开发区实验高二10月考数学卷，理18】如图（1）所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：AP ∥平面EFG ；（2）若点Q 是线段PB 的中点，求证：PC ⊥平面ADQ ；（3）求三棱锥C －EFG 的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）16【解析】试题解析：（1）证明：∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD ∥AB ．又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ．同理，EG ∥平面PAB ，∴平面EFG ∥平面PAB ．又∵AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．（2）解：连接DE ，EQ ，∵E 、Q 分别是PC 、PB 的中点，∴EQ ∥BC ∥AD ．∵平面PDC ⊥平面ABCD ，PD ⊥DC ，∴PD ⊥平面ABCD ．∴PD ⊥AD ，又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PC ．在△PDC 中，PD ＝CD ，E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC ，∴PC ⊥平面ADEQ ，即PC ⊥平面ADQ ．（3）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×12×1=16.考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定3. 【2016-2017学年四川成都经济技术开发区实验高二10月考数学卷，理18】如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊥AE 平面ABCD ，AB EF //，2=AB ，1==EF BC ，6=AE ，3=DE ， 60=∠BAD ，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面⊥BED 平面AED ；（3）求多面体ABCD EF -的体积．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3【解析】试题解析：（1）证明：如图，取BD 的中点O ，连接OE ，OG ，在BCD ∆中，∵G 是BC 的中点，∴DC OG //且121==DC OG ，又∵DC AB AB EF //,//，∴OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，∴．又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，∴//FG 平面BED ．（3）解：连HO ，并延长交CD 于I ，连FI FH ,．∵O H ,分别为BD AB ,的中点，∴AD OH //，∴I 是CD 中点，∵AB EF //，1,2==EF AB ，∴多面体HIF ADE -为三棱柱，体积为423231621=⨯⨯⨯=⋅OD S ADE ，且四边形AEFH 为平行四边形，∴AE FH AE FH =,//，∵⊥AE 平面ABCD ，∴⊥FH 平面ABCD ，四棱锥BCIH F -的体积为22631616131=⨯⨯⨯=⋅=⋅AE S FH S ABCD BCIH ， ∴多面体ABCD EF -的体积为42522423=+．考点：线面平行的判定；线面垂直的判定；多面体体积4. 【2016-2017学年河北冀州中学高二上期中考试数学卷，文18】已知长方形ABCD 中，AD =，2AB =，E 为AB 中点，将ADE ∆沿DE 折起到△PDE ，所得四棱锥P BCDE -，如图所示．（1）若点M 为PC 中点，求证：//BM 平面PDE ；（2）求P BCDE -的体积；（3）求证：DE PC ⊥．【答案】（1）证明见解析；（2（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据中位线定理可证1//2FM DC =，进而可证FEBM 是平行四边形，所以//BM EF ，再由线面平行的判定定理可得结论；（2）由平面PDE ⊥平面EBCD 可得PO ⊥平面EBCD ，算出PO 的值进而可得P BCDE -的体积；（3）先证DE AC ⊥，再根据四棱锥P EBCD -中，PN DE ⊥，然后根据线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面POC ，进而可得结论.试题解析：（1）证明：取DP 中点F ，连接EF ，FM ，在△PDE 中，计算可得PO =，∴111(12)332P BCDE V Sh -==⨯+= （3）在矩形ABCD 中，连接AC 交DE 于N ，因为tan DEA ∠=，tan CAB ∠=，所以2DEA CAB π∠+∠=， 所以DE AC ⊥，所以在四棱锥P EBCD -中，PN DE ⊥，CN DE ⊥，又PN CN N =，所以DE ⊥平面POC ，因为PC ⊂平面POC ，所以DE PC ⊥．考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理.5. 【2017届甘肃高台县一中高三上第三次检测试卷，文18】如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点.BE平面ACF；（1）求证：//-的体积.（2）求四棱锥E ABCD【答案】(1)见解析；【解析】试题解析：（1）连结BD和AC交于O，连结OF，∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，OF BE.∴//∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，BE平面ACF.∴//∴四棱锥E ABCD -的体积21133ABCD V S EG =⨯=⨯= 考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.多面体的体积.6. 【2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考模拟试卷，文17】如图，直三棱柱111C B A ABC -中，31===AA BC AC ，BC AC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 的中点，证明：//1AC 平面CM B 1；（2）当BM 长是多少时，三棱锥BCM B -1的体积是三棱柱111C B A ABC -的体积的91.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】（2）解：1311BB S V BCM BCM B ⋅=∆-，1111BB S V ABC C B A ABC ⋅=∆-， 设λ=，10<<λ，则119131BB S BB S ABC ABC ⋅=⋅∆∆λ.故31=λ，即2=BM . 故当2=BM 时，三棱锥BCM B -1的体积是三棱柱111C B A ABC -的体积的91.考点：1.线面平行的判定；2.柱锥体的体积.7. 【2017届广东省实验中学高三10月月考数学试卷，文18】如图，ABC ﹣A 1B 1C 1是底面边长为2，高为23的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ，设C 1P=λC 1A 1（0＜λ＜1）． A 1A1B1C C B QP（Ⅰ）证明：PQ∥A 1B 1；（Ⅱ）当21=λ时，在图中作出点C 在平面ABQP 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体CABF 的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）正投影见解析，12. 【解析】 试题分析：(I)由正三棱柱的性质可以知道,上下两个底面平行,由两个平面平行的性质定理可得PQ AB //,由此能证明11//B A PQ ；(II) 当21=λ时，Q P ,分别是1111,B A C A 的中点, 在等腰梯形ABQP 中，26=FH ，⊥∴=⋂CF H FH QP , 平面F AB ，即ABQP CF 平面⊥,所以F 点是C 在平面ABQP 内的正投影，即得.取AB 中点H ，连接,,FH CH CH =在等腰梯形ABQP 中，FH = 连接 15中，26=CF 222CH FH CF =+∴FH CF ⊥∴,⊥∴=⋂CF H FH QP , 平面ABF ，即ABQP CF 平面⊥,所以F 点是C 在平面ABQP 内的正投影。