三年级奥数：从哥尼斯堡七桥问题谈起2013
哥尼斯堡七桥问题
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能图就是连通图。
帮助学生了解生活中信息的意义，感觉信息的重要性，
例如：传说，鲁班想造一个能出海打鱼的东西，费了许多心思也没有成功。一天，他的妻子去河边洗衣裳，就把脚上穿的一双翻头鞋放在河堤上。一阵风吹来，有一只鞋被吹到河里去了。鲁班的妻子发现后，赶快到河里去捞鞋子，可是鞋已借风势，顺流漂了下去。鲁班看到妻子赤着脚回家，就问这是怎么回事，鲁班的妻子就把发生的事情告诉了鲁班。
著名的“哥尼斯堡七桥”问题
18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
每到傍晚，许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时年仅20岁的大数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。但他并没有跑到哥尼斯堡去走走。他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：这显然并没有改变问题的本质特征。于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
奥数讲座(3年级-下)(15讲)
三年级奥数讲座（二）目录第一讲从数表中找规律第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第三讲多笔画及应用问题第四讲最短路线问题第五讲归一问题第六讲平均数问题第七讲和倍问题第八讲差倍问题第九讲和差问题第十讲年龄问题第十一讲鸡兔同笼问题第十二讲盈亏问题第十三讲巧求周长第十四讲从数的二进制谈起第十五讲综合练习第一讲从数表中找规律在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。
例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.分析与解答这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。
例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：①这个三角阵的排列有何规律？②根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。
③推断第20行的各数之和是多少？分析与解答①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3。
②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。
③要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。
[本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]例3将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？分析与解答方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000÷8＝125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
哥尼斯堡的“七桥问题”
数据结构课程设计题目：哥尼斯堡的“七桥问题”院系：班级：学号：姓名：2014-2015年度第1学期哥尼斯堡的“七桥问题”一．题目：哥尼斯堡的“七桥问题”二．设计目标帮助学生熟练掌握图和邻接表的使用，了解利用图能够解决生活中的那些实际问题。
三．问题描述在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?四．概要设计1>构建用邻接表存储的图结构体：2> 图的初始化3> 读入并存储一个图G4>图G的深度优先搜索5>检查边的度是否全为偶数五．详细设计（给出算法的伪码描述和流程图）总体操作步骤：流程图设计：主流程图：1>构建用邻接表存储的图结构体：typedef struct {int Visited[MAXV]; /* 顶点标记*/int Edges[MAXV][MAXV]; /* 邻接表*/int VertexN, EdgeN; /* 顶点和边数*/} Graph;2>图的初始化：3>读入并存储一个图G4>图G的深度优先搜索:5>检查边的度是否全为偶数:6>主函数：代码分析：1>图的初始化：void InitializeG ( Graph *G ){int i, j;for (i=0; i<MAXV; i++){for (j=0; j<MAXV; j++)G->Edges[i][j] = 0;G->Visited[i] = 0;}G->VertexN = G->EdgeN = 0;}2>读入并存储一个图G:void ReadG ( Graph *G ){ /* 读入并存储一个图G */int i, V1, V2;scanf("%d %d", &G->VertexN, &G->EdgeN);for (i=0; i<G->EdgeN; i++){scanf("%d %d", &V1, &V2);G->Edges[V1-1][V2-1] = G->Edges[V2-1][V1-1] = 1;}}3>图G的深度优先搜索:void DFS ( Graph *G, int V ){ /* 图G的深度优先搜索*/int W;G->Visited[V] = 1; /* 将访问到的结点进行标记*/for (W=0; W<G->VertexN; W++)if (G->Edges[V][W] && !G->Visited[W])DFS(G, W);}4>检查边的度是否全为偶数:int CheckG ( Graph *G ){ /* 检查边的度是否全为偶数*/int r, i, j;for (i=0; i<G->VertexN; i++){r = 0;for (j=0; j<G->VertexN; j++)r += G->Edges[i][j];if (r%2) return 0; /* 发现奇数度的边则返回0 */}return 1; /* 全是偶数度的边则返回1 */}5>主函数：int main(){int i;Graph *G = malloc( sizeof(Graph) );InitializeG( G );ReadG( G );DFS( G, 0 ); /* 检查连通性*/for (i=0; i<G->VertexN; i++)if (!G->Visited[i])break;if (i<G->VertexN) /* 若有结点没被DFS访问到*/printf("0\n"); /* 则图不连通*/else /* 若图连通*/printf("%d\n", CheckG(G));return 0;}六．测试分析白盒：查看代码完整性黑盒：测试是否可以正确的创建，删除，插入，打印，查找等操作七．使用说明插入删除语句：删除1条内容插入语句：插入一条信息自动打印：打印内容八．测试数据注：学生在测试数据时，需要写出测试用例和截图十．课程设计总结通过“哥尼斯堡的“七桥问题””这个题目，我认识到了图的使用，以及邻接表存储。
哥尼斯堡七桥问题
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁， 使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵 味!有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把 河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往 今来，吸引了众多的游人来此散步。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以 下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七座 桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次? 这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
“内部”与“外部”
一条头尾相连且自身 不相交的封闭曲线，把橡皮 膜分成两个部分。如果我们 把其中有限的部分称为闭曲 线的“内部”，那么另一部 分便是闭曲线的“外部”。 从闭曲线的内部走到闭曲线 的外部，不可能不通过该闭 曲线。因此，无论你怎样拉 扯橡皮膜，只要不切割、不 撕裂、不折叠、不穿孔，那 么闭曲线的内部和外部总是 保持不变的!
橡皮膜上的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者 已经看到了一种只研究图形各部分位置 的相对次序，而不考虑它们尺寸大小的 新几何学。莱布尼兹(Leibniz，1646～ 1716)和欧拉为这种“位置几何学”的发 展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支 ——拓扑学
拓扑学研究的课题是极为有趣的。 在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是它的 大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学是很恰当的。 因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、 面积等等都将发生变化。此时谈论“有多长？”、“有多 大？”之类的问题，是毫无意义的!
不过，在橡皮膜几何里也有一些图形的性质保持不变。 例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的图形 绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!
拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上 保持不变性质的几何学
请大家思考：“串”、“田”两字， 在橡皮膜上可变为什么图形
哥尼斯堡七桥问题与数学抽象
“抽象”是数学的武器，数学的优势 。
我们应该喜欢“抽象”，学会“抽 象”的手段。
为了让大家理解“抽象”的优势， 了解“抽象”的思想、原则、方法和作用
实践“抽象”的过程， 学会“抽象”的手段，喜欢“抽象”。
案例：“哥尼斯堡七桥问题”
一、哥尼斯堡七桥问题
C
A
B
显然要在奇结点间加重复边
如何使所加的边长度最少
归结为求奇结点间的最小
案例
一个邮递员投递信件的街道如图，图上的书 表示各段街道的千米数，他从邮局出发，走 遍各街道，最后回到邮局，走怎样的路线最 短？
3
12
4
21
哈密顿环球旅行问题: 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市，
能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
奇结点少一些好， 少到几个才能“一笔画”呢？
结论
一个点线图是“一笔画”的充分必要条件 它是连通的并且奇结点的个数为0或2。
——（一笔画原理）。 哥尼斯堡七桥问题:“不重复地走过七座桥 ”是不可能的。
欧拉在圣彼得堡科学院发表了有关的论 文，开创了“图论”的先河，也开创了“拓 扑学”的先河
中国邮递员问题
有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”，因为橡皮膜 上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面 积等等都将发生变化。此时谈论“有多长”、“有 多大”之类的问题，是毫无意义的，人们感兴趣的 只是图形的位置关系。
不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变 。例如：点变化后仍然是点，线变化后依旧是线， 相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交 。
数学方法（手段）—— 数学抽象
欧拉的第一步抽象
七桥问题
哥尼斯堡七桥哥尼斯堡七桥问题也叫做欧拉七桥问题，曾经悬而未解，后得以被数学家欧拉证明。
欧拉曲线也是从七桥问题开始的。
相传在哥尼斯堡这座古老的城市有一个传说，有两条河流在这里交汇，将这座城市分成了四个部分，居民于是在城里造了七座桥将这四个部分连接起来，便利了这里的交通。
但也由此产生了一个疑问，城市里有没有一种路线能一次走完所有的桥，并且每座桥都只走一次。
这个问题难倒了当时所有的市民，同时也引来的欧拉的观注。
欧拉作为一个数学家，以他独有的方式将桥梁跟陆地看成是由点和线连起来的一个图，能不能一次走完七座桥就变成了能不能一笔画完这个图的问题。
如果这个图能够一笔画完，一定存在一个终点和起点，而除去终点和起点，只看中间将会经过的点，欧拉的认为，每通过一条线进入一个点，必定还有一条线能离开这个点，这样进入的线与出去的线肯定相等，也就是说，连接这些点的线必将是偶数。
而在欧拉设想的这个图中，每个点的相邻的线都是奇数，所以不可能一笔画完这个图，一次走完七座桥的路线也就不存在。
欧拉将对此问题的研究化为了一个几何问题，这种几何区别于以前的几何主要是交点的位置、线段的长短甚至它们的面积都不重要，重要的是点、线之间的相关关系，这就是数学上图论的先河。
可见，对数学问题的研究，甚至大到数学学科的开创，也是从生活实践中得来的，生活中何尝又不存在真理呢？反观欧拉曲线，其中每次所画的线都符合上述欧拉的观点，不同的是，曲线不一定是闭合的，甚至就是一条直线也有可能，终点和起点也不一定是同一个点。
事实上，如果能一笔画完一条曲线，那么这条曲线包含奇数条边的点的数目不是0就是2，如果点连接的边都是偶数的话终点与起点肯定在同一个点上，并且可以任选一个点作为终点和起点一笔画完，而如果有两个点连接的边是奇数，那么终点跟起点就在这两个点上，要一笔画完这条曲线，必定是从其中一个奇数点开始，终止于另一个奇数点。
欧拉曲线，你会玩了吗？。