第9章 相关分析和回归分析

（二）相关系数的计算
相关系数的测定方法有若干种，我 们介绍其中的简捷计算法。其计算公式 如下：
式中，r表示相关系数； x表示自变量； y表示因变量； n表示项数。
第二节 回归分析
一、回归分析的概念 二、相关分析和回归分析的关系 三、简单直线回归分析 四、估计标准误差
一、回归分析的概念
回归分析是通过一个变量或者一些 变量的变化来解释另一变量的变化。其 主要内容和步骤是：首先，根据理论和 对问题的分析判断，将变量分为自变量 和因变量；其次，设法找出合适的数学 方程式 ( 即回归模型 ) 描述变量间的关系， 由于涉及的变量具有不确定性，接着还 要对回归模型进行统计检验；最后，统 计检验通过，利用回归模型，根据自变 量去估计、预测因变量。
(2)在相关分析中所有的变量都必须 是随机变量；而在回归分析中，自变量 是给定的，因变量才是随机变量，即将 自变量的给定值代入回归方程后，所得 到的因变量的估计值不是唯一确定的， 而是会表现出一定的随机波动性。
(3)相关分析主要是通过一个指标， 即相关系数来反映变量之间相关程度的 大小，由于变量之间是对等的，因此相 关系数是唯一确定的。而在回归分析中， 对于互为因果的两个变量，则有可能存 在多个回归方程。
（二）函数关系
函数关系是现象之间存在的严格的 依存关系。它们之间的关系是固定的， 通常可以用数学公式表示出来： y＝f(x) 。 当自变量 x 取一个值时，因变量就有一 个完全确定的值和它对应。
（三）相关关系分析
相关分析是指借助于若干分析指标 ( 如相关系数或相关指数 ) 对变量之间的 密切程度进行测定。研究这些变量之间 关系的方程式，并给出自变量的数值以 推算因变量的可能值，称为回归分析。
表9-1
广告费与平均销售额相关表
（二）相关图
相关图又称散点图，它是用直角坐 标系的x轴表示自变量，y轴表示因变量， 将两个变量相对应的变量值用坐标点的 形式描绘出来，用以表明相关点分布状 况的图形。根据表9-1的资料可以绘制相 关图，如图9-3所示。
图9-3
广告投入与销售额的相关图
五、相关关系的定量测定方法
四、相关关系的定性测定方法
（一）相关表
相关表是一种统计表，它是根据现 象之间的原始资料，将一个变量的若干 变量值按照从小到大的顺序排列，并将 另一变量的值与之对应排列形成的统计 表。相关表就是希望能够从表上直观地 观察出随着一个变量的值的增加，另一 个变量如何变化。
【例9-1】
某财务软件公司在全国有许多代理商， 为了研究它的财务软件产品的广告投入与 销售额的关系，统计人员随机选择 10 家代 理商进行观察，搜集到年广告投入费与月 平均销售额的数据，并编制成相关表，如 表9-1所示。
二、相关分析的种类和特点
1 ．按相关因素的多少不同，分为单 相关和复相关 2 ．按相关形式不同，分为直线相关 和曲线相关 3 ．按相关现象变化的方向不同，分 为正相关和负相关 4 ．按相关的程度不同，分为完全相 关、不相关和不完全相关
图9-1
图9-2
三、相关分析的主要内容
1 ．确定变量之间是否存在相关关 系及其表现形式 2．确定相关关系的密切程度 3．测定相关关系的数学表达式 4 ．测定因变量估计值与实际值之 间的差异程度
一元线性回归方程的模型是： yc=a+bx 式中，yc表示因变量y的估计理论值； x表示自变量的实际值； a、b 表示待定参数。
a 的几何意义是直线方程的截距， 其经济意义是当x为0时，y的估计值；b 的几何意义是直线方程的斜率，其经济 意义是当 x 每增加 1 个单位， y 平均增加 的数量，也叫回归系数。当 b 的符号为 正时，自变量和因变量同方向变动；当 b 的符号为负时，自变量和因变量反方 向变动。
（一）相关系数的概念
相关系数是在直线相关条件下，说 明两个现象变量之间相关关系的密切程 度以及相关方向的统计分析指标，通常 用r表示。r的取值范围在-1到＋1之间。 一般情况下， r 越接近± 1 ，表示相 关关系越强； r 越接近 0 ，表示相关关系 越弱。
当0＜｜r｜＜0.3时，为微相关，或称不 相关。 当0.3≤｜r｜＜0.5时，为低度相关。 当0.5≤｜r｜＜0.8时，为显著相关。 当0.8≤｜r｜＜1时，为高度相关。
∑y=na+b∑x ∑xy=a∑x+b∑x2 解该方程组可以得到 a 、 b两个待定 参数的计算公式如下：
四、估计标准误差
（一）估计标准误差的概念
当估计值与实际值一致时，表明推 断准确；当估计值与实际值不一致时， 表明推断不够准确。那么，将一系列的 估计值与实际值相比，可以发现其中存 在着一系列的离差，有的是正差，有的 是负差。各个估计值与实际值之间的平 均离差，就是估计标准误差，一般用Syx。
第九章 相关分析和回归分析
第一节
相关分析
第二节
回归分析
第一节 相关分析
一、相关分析的概念 二、相关分析的种类和特点 三、相关分析的主要内容 四、相关关系的定性测定方法 五、相关关系的定量测定方法
一、相关分析的概念
（一）相关关系
相关关系是指现象之间确实存在着 数量上的相互依存的关系，但是这种关 系是不确定、不严格的。 1 ．现象之间确实存在数量上的相互依 存关系 2 ．现象之间数量上的依存关系是不严 格、不确定的
对于一元线性回归方程，给定自变 量 使配合的回归直线是 最佳的，并最能贴切地反映其变量间的 数量关系，通常根据数学中的最小平方 法原理来确定 a、b两个参数。数理统计 已经证明，用最小平方法配合的直线最 理想、最具代表性。
最小平方法配合回归直线方程，就 是要求实际值与趋势值的离差平方和为 最小。其计算公式如下： Q=∑(y-yc)2=∑(y-a-bx)2=最小值 根据最小平方法的要求，对上式进 行极值求解，可得到参数 a和b的求解方 程：
2 y - a y - b xy
n
三、简单直线回归分析
（一）简单直线回归分析的概念
简单直线回归分析是指对具有显著 相关关系的两个变量变化的关系进行测 定，确定一个合适的数学表达式，以便 进行估计和预测的统计方法。
（二）简单线性回归模型的建立和应用
简单线性回归分析(一元线性回归分 析)中，常常借助于数学中的直线方程来 近似地反映两个变量之间的数量关系， 并根据自变量的变动值来推算因变量的 变动值。分析中所形成的这种直线方程 称为一元线性回归模型。
二、相关分析和回归分析的关系
相关分析是回归分析的前提和基础， 回归分析是相关分析的深入和继续。相 关分析需要依靠回归分析来表现变量之 间数量相关的具体形式，而回归分析需 要依靠相关分析来表现变量之间数量变 化的相关程度。只有当变量之间存在高 度相关时，进行回归分析寻求其相关的 具体形式才有意义。
相关分析和回归分析的主要区别是： (1)在相关分析中涉及的变量不存在 自变量和因变量的划分问题，变量之间 的关系是对等的；而在回归分析中，必 须根据研究对象的性质和研究分析的目 的，对变量进行自变量和因变量的划分。
估计标准误差是用来评价回归方程 代表性大小的统计分析指标，其值越小， 说明各个估计值和实际值越接近，回归 方程的代表性越好；反之，其值越大， 说明各个估计值与实际值的差距越大， 回归方程的代表性越差。如果其值为 0 ， 说明估计值与实际值没有差距，估计值 完全准确。
（二）估计标准误差的计算方法
(1) 根据因变量的实际值与估计值的 离差计算。其计算公式如下： 2 ( y y ) c S yx n
式中，Syx 表示估计标准误差，其下标yx表示y 依x而回归的方程； y表示因变量的实际值； yc表示根据以y依x的回归方程推算出来 的估计值； n表示因变量的项数。
(2) 根据a、b两个参数值计算估计标 准误差。当实际值较多且数值较大时， 也可以采用简捷计算法计算。其计算公 式如下：
S yx