微积分(经管类复习题)
{财务管理财务知识}经济应用数学经济应用数学微积分
{财务管理财务知识}经济应用数学经济应用数学微积分经济应用数学——微积分部分习题解答（参考）习题一（P37）1．设函数求：f(0)，f(-1)，f()，f(a+1)解：分析：即求当x为0，-1，，（a+1）时的函数值。
f(0)==-1;f(-1)==f()=;f(a+1)=3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？（1）y=lg与y=2lgx(2)y=1与y=sinx+cosx(3)y=与y=x+1(4)y=-x与y=-x解：分析：相同函数的条件是D与f相同。
（定义域与对应规则）（1）不同，D不同（2）相同定义域与对应法则相同（3）不同，D不同（4）不同对应法则不同（当x=-1，对应y不同）4．求下列函数的定义域：（1）y=(2)y=(3)y=lg(4)y=lglg(x+1)(5)y=arcsin(6)y=tan(2x+1)(2x+1)解：求定义域应记住：①分母≠0②a≥0③x﹥0④三角函数的限制。
(1)y=解D:x≠0[或(-)（2）y=(4)lglg(x+1)解:D:-1≤x﹤1解:D:(0,+∞)(3)y=lg(5)y=arcsin解:D:[-2,1解:D:[-1,3](6)y=tan(2x+1)解:2x+1D:x5．判断下列函数的奇偶性。
（1）f(x)=(3)f(x)=lg(x+解:f(-x)==f(x)解:f(-x)=lg(-x+f(x)是偶函数。
=lg=lg=lg(x+=-lg(x+)=-f(x)f(x)是奇函数。
(4)f(x)=xe解:f(-x)=-xe≠f(x)[也≠-f(x)]f(x)是非奇非偶函数。
(5)f(x)=log解:f(-x)=log分析：判断奇偶函数=log（（1）f(-x)=f(x),f(x)是偶函数=-log(2)f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数=-f(x)否则非奇非偶。
f(x)是奇函数。
（6）设f(x)=求f(0)，f(-1)，f(1)，f(-2)，f(2)，并作出函数图像。
经济数学微积分试题
经济数学-微积分模拟试题-按模块分类一、单项选择题（每小题3分，）分，）1.下列各函数对中，（下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．）中的两个函数相等．A. x x g x x f ==)(,)()(2B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.已知1sin )(-=xx x f ，当（，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量．为无穷小量．A. 0®xB. 1®xC. -¥®xD. +¥®x 3. ò¥+13d 1x x （ C ）．）． A. 0 B. 21- C. 21D. ¥+1.下列函数中为奇函数的是（下列函数中为奇函数的是（ ）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) xxy -+=ee (D) x x y +=222.下列结论正确的是（下列结论正确的是（ ）．）．C C(A) 若0)(0=¢x f ，则0x 必是)(x f 的极值点的极值点(B) 使)(x f ¢不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点的极值点(C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f ¢存在，则必有0)(0=¢x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点的驻点 3.下列等式成立的是（下列等式成立的是（ ）．D (A) x x xd d 1= (B) )1d(d ln x x x =(C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数xxx f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（）处的切线斜率为（ ）．）． B B A ．21 B ．21- C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x3．下列积分值为0的是（的是（ ）．）． C A ．òpp -d sin x x x B ．ò-+11-d 2e e x xxC ．ò--11-d 2e e x xx D ．ò-+p px x x d )(cos 1．函数()1lg +=x xy的定义域是（的定义域是（ ）．）． D A ．1->xB ．0¹xC ．0>xD ．1->x 且0¹x 2．当+¥®x 时，下列变量为无穷小量的是（时，下列变量为无穷小量的是（ ）D A ．)1ln(x +B ． 12+x x C ．21e x - D ． x x sin3. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )． B A ．)(d )(x F x x f xa =ò B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=òC ．)()(d )(a f b f x x F b a-=ò D ．)()(d )(a F b F x x f ba-=¢ò二、填空题（每小题3分，）分，）6.若函数x x f +=11)(，则=-+h x f h x f )()( ．)1)(11h x x +++-（ 7.已知ïîïíì=¹--=1111)(2x ax x x x f ，若)(x f 在),(¥+-¥内连续，则=a ．2 8.若)(x f ¢存在且连续，则ò=¢])(d [x f ．)(x f ¢6.函数)1ln(42+-=x x y 的定义域是的定义域是 ．]2,1(-7.曲线1)(2+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是处的切线斜率是 ．21 8.函数x x f 2cos )(=的全体原函数是的全体原函数是 ．c x +2sin 216．如果函数)(x f y =对任意x 1, x 2，当x 1 < x 2时，有时，有 ，则称)(x f y =是单调减少的单调减少的.. 6. )()(21x f x f >7．已知xxx f tan 1)(-=，当，当 时，)(x f 为无穷小量．7. 0®x8．若c x F x x f +=ò)(d )(，则x f x x)d e (e--ò= . 8. c F x+--)e (6．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于，则函数的图形关于 对称．6.y 轴 7．已知ïîïíì=¹--=1111)(2x ax x x x f ，若f x ()在x =1处连续，则=a . 7. 2. 28．设边际收入函数为R ¢(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为，则平均收入函数为．8. q q R 232)(+=三、微积分计算题（每小题10分，共20分）分） 11.设2sin 2cos x y x-=，求y ¢． 解；2cos 22ln 22sin x x y x x --=¢ 12. òe1d ln x x x ．解：4141414121d 21ln 21d ln 222e 112e1+=+-=-=òòe e e x x x x x x x e11.设xx y 32e ln -+=，求y ¢．解：由导数运算法则和复合函数求导法则得解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)e()(ln 32¢+¢=¢-x x yx xx 33e ln 2--=12.计算òe1d ln x x x ．解：由定积分的分部积分法得解：由定积分的分部积分法得òò×-=e12e12e1d 12ln 2d ln xx x x x x x xe12242e x -=414e 2+=11．设xx y --+=1)1ln(1，求)0(y ¢. .11．解：因为．解：因为 2)1()]1ln(1[)1(11x x x xy --++---=¢ = 2)1()1ln(x x -- 所以所以 )0(y ¢= 2)01()01ln(--= 0 12．x x x d )2sin (ln +ò12．解：x x x d )2sin (ln +ò=òò+-)d(22sin 21d ln x x x x x=C x x x +--2cos 21)1(ln11．设)1ln(2++=x x y ，求)3(y ¢11．解．解 因为因为 )1(1122¢++++=¢x xx x y11)11(11222+=++++=x x x x x 7分所以所以 )3(y ¢=211)3(12=+ 10分12．计算．计算xxxd e 2121ò12．解．解 x xx d e 2121ò=21211211e e e)1(d e -=-=-òx xx10分五、应用题（20分）分）15.已知某产品的边际成本34)(-=¢q q C （万元/百台），q 为产量（百台），固定成本为18（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．解: （1）1832d )34(d )(2+-=-=¢=òòq q q q q q C C平均成本函数平均成本函数 qq q q C C 1832)(+-==2182q C -=¢，令01822=-=¢qC ，解得唯一驻点6=x （百台）（百台） 因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。
微积分经管类试题
微积分习题适用专业 经管类各专业1. 下列等式成立的是（ ）.A. 1ln =xdx dx B. 211=-dx d x xC. cos sin =xdx d xD. 211=dx d x x2.下列结论正确的是（ ）.A. 初等函数必存在原函数；B. 每个不定积分都可以表示为初等函数；C. 初等函数的原函数必为初等函数；D. A ，B ，C 均不正确 3. 函数()f x =x sin ，则dx x f x )('⎰=（ ）A. c x x x +-sin cosB. c x x x ++sin cosC. c x x x ++cos sinD. c x x x +-cos sin 4. 下列积分中，值为1的是 （ ）A ．1⎰xdx B ．()101+⎰x dx C ．1⎰dx D ． 1012⎰dx 。
5. 函数)(x f 连续，⎰+-=ax ax dt t f a x F )(1)(（a >0），则=')(x F （ ）A ． )]()([1a x f a x f a --+ B. )(1a x f a --C. )]()([1a x f a x f a -++D. )(1a x f a+6. 设函数yxy x f arcsin),(=，则)1 (，x f x '= （ ） A ．221x x -； B ．)1(21x x +； C ．x ； D ． x11+。
一、单项选择（每小题 3分，共 45分）7. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 在[],a b 上有界，则()f x 在[],a b 上一定可积；B. 函数()f x 在[],a b 上无界，则()f x 在[],a b 上可能可积；C. 函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上一定有界；D. 函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上不一定有界。
经济数学基础微分学部分综合练习及参考答案
微积分考试复习题一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．C ．11ln +-=x x y 5．已知1tan )(-=x xx f ，当（A ）时，)(x f 为无穷小量.A. x →06．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ．xxsin 7．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．18．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）A ．21-9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x10．设y x=l g 2，则d y =（B ）． B ．1d x x ln1011．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（B ）．B ．e x12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（B ）B ．--p p32二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于y 轴对称．5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.66．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2．7. =+∞→x x x x sin lim18．已知xxx f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量． 9. 已知⎪⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞．内连续，则=a 2. 10．曲线y =)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=．11．函数y x =-312()的驻点是x =112．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p - 三、计算题1．已知y xxx cos 2-=，求)(x y '．2．已知()2sin ln x f x x x =+，求)(x f '． 3．已知2s i n 2c o s x y x -=，求)(x y '．4．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y '．5．已知x y cos 25=，求)2π(y '；6．设x x y x +=2cos e ，求y d 7．设x y x 5si n cos e +=，求y d ．8．设x x y -+=2t an 3，求y d ．四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p=-100010（q 为需求量，p 为价格）试求（1）成本函数，收入函数（2）产量为多少吨时利润最大？3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q()=++25020102（万元）．问要使平均成本最少应生产多少件产品？三、计算题1．解：2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=-2sin cos 2ln 2xx x x x +=+ 2．解xx x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='3．解)(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--= 5．解：因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y6．解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x +-='所以x x x y xd ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=7．解：因为)(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -=8解：因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 3322xx x --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ，116105.0)10(=+⨯='C （2）令025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解（1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为q p =-100010，即p q =-100110， 所以收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q--(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3.（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 4．解因为()9800()0.536C q C q q q q==++(0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C =⨯++=（元/件） 5．解因为C q ()=C q q()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得150q =，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品． 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ．y = x 2 + 3 2．下列等式不成立的是（A ．)d(e d e x x x = 3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（D .2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ．⎰x x x d 2sin 5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x 6.若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰7．下列定积分中积分值为0的是（A ．x xx d 2e e 11⎰---8．下列定积分计算正确的是（D ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ．⎰∞+12d 1x x10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（C ．21二、填空题1．=⎰-x x d e d 2x x d e 2-2．函数x x f 2sin )(=的原函数是-21cos2x + c (c 是任意常数)3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e (e --⎰=c F x+--)e ( 6．=+⎰e12dx )1ln(d d x x7．积分=+⎰-1122d )1(x x x08．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛的．（判别其敛散性） 9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242解⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+ 2．计算⎰x x x d 1sin 2 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰x xx d 2解c x xxxx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin5．计算⎰+x x x d 1)ln (解⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x xx x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21226．计算 x x x d e 2121⎰解 x x xd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e 1x ⎰解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．x x x d 2cos 2π⎰ 解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=202cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+ 解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x +=100（万元）又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3(百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112–64 – 98 + 49 = -1 （万元）即利润将减少1万元.线性代数一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.A ．AB2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B .T T T )(A B AB = 3．以下结论或等式正确的是（ ）．C ．对角矩阵是对称矩阵4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ C .I B + 5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ．2 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ．18．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A . 无解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组无解B ．1210. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ．n A r A r <=)()( 11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ．无解正确答案：B12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ．只有零解 二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是B A ,是可交换矩阵4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵.5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =A B I 1)(-- 6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ．7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b 无解．8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ—1 9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n –r10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般为为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量)12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ：t 1-≠时，方程组有唯一解.三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-01241121，求逆矩阵1-A ． 解 因为(AI ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241122．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又因为r (A )≠r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x xx （其中3x 是自由未知量）9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ有解？并求一般解.解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕 经济数学基础11年秋季学期模拟试卷一、单项选择题1．B 2.A 3. D 4.C 5. C1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）．A ．21-3．下列定积分计算正确的是（D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ4．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）C ．111)(---=A B AB5．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ） C ．只有零解 二、填空题6．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5, 2)． 7．求极限 =+∞→x xx x sin lim1 . 8．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '．9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是BA AB =．10．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n -r三、微积分计算题11．设xx y -+=2tan 3，求y d ． 12．计算积分 x x x d 2cos 20⎰π．四、代数计算题13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ．14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解． 五、应用题15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？三、微积分计算题11．解：因)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 3322xx x --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=12．解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-四、线性代数计算题13．解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +AI )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12000101083021041110001000101241121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→12312411220001000112300101120021021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩(x 3，4x 是自由未知量〕五、应用题15．解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）经济数学基础一、单项选择 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1.下列函数中为奇函数的是（ C ）．(C) 11ln+-=x x y 2.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E3.下列无穷积分中收敛的是(B) ⎰∞+12d 1x x 4.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行．(A) AB5.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是 D) 无解二、填空题 6.函数24)(2--=x x x f 的定义域是),2(]2,(∞+--∞7.函数1()1e xf x =-的间断点是0=x 8.若cx F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f x x d )e (e c F x +--)e (． 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201aA ，当=a 0 时，A 是对称矩阵10.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非=三、微积分计算题1.设x y x5cos 3+=，求y d ． 2. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、线性代数计算题11. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．12.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15.生产某产品的总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量； (2) 从利润最大时的产量再生产1百吨，利润有什么变化？三、微积分计算题）11. 解：由微分四则运算法则和微分基本公式)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y x x +=+=)(cos d cos 5d 3ln 34x x x x +=x x x x x d cos sin 5d 3ln 34-=x x x x d )cos sin 53ln 3(4--=12. 解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x四、线性代数计算题13. 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100T A B 所以由公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 14. 解：因为系数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 五、应用题）15.解：（1）因为边际成本1)(='x C ，边际利润'='-'L x R x C x ()()()x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）又7=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故7=x 是L x ()的最大值点，即当产量为7（百吨）时，利润最大． 16.x x x x L L d )214(d )(8787⎰⎰-='=1)14(872-=-=x x即从利润最大时的产量再生产1百吨，利润将减少1万元． 1 经济数学基础09秋模拟试卷一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）． D ．1->x 且0≠x2．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C ．1 3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin4．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行A ．AB5. 设线性方程组b AX =的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------124220621106211041231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ．2 二、填空题（ 6．设函数2)1(2++=+x x x f ，则42+x7．设某商品的需求函数为2e 10)(p p q -=，则需求弹性=p E 2p - 8．积分 =+⎰-1122d )1(x x x0 ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X =1)(--B I ． 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，则≤)(A r 3 ． 三、微积分计算题11．设x x y x +=cos e ，求y d ． 12．计算积分 ⎰x x x d 1sin 2．四、代数计算题 13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，计算 1)(-+A I ． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 三、微积分计算题11．解：212co s 23co s 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→11210000131001501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用15．解：因为总成本函数为 ⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18，即C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3(百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础09秋模拟试卷2一、单项选择题1．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g2．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ C ．21e x -3．若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x4．设A 是可逆矩阵，且A A B I+=，则A -=1（ A ．B 5．设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ B ．nA r A r <=)()(二、填空题6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =42+x7．曲线y =)1,1(处的切线斜率是2p -8．=+⎰x x xd )1ln(d d e12 09．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=1)(--B I10．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则t 3时，方程组有唯一解． 三、微积分计算题11．设x y x 5sin cos e +=，求y d ． 12．计算积分 ⎰e1d ln x x x ．四、代数计算题13．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：qq q C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？三、微积分计算题 四、解：212cos 23cos 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用题15．解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18，即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为q q q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3(百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础期末模拟练习（二） 一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B10.A1.下列各对函数中，（ ）中的两个函数相同． (B) 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.当1→x 时，下列变量中的无穷小量是 (C) 1122+-x x3.若)(x f 在点0x 有极限，则结论（ ）成立 (D) )(x f 在点0x 可能没有定义4.下列函数中的单调减函数是（ ） (C) x y -=5.下列等式中正确的是（ ） (B) )cos d(d sin x x x -=6.若F x ()是f x ()的一个原函数，则=⎰--x f x x d )e (e （ ）．(A) c F x +--)e (7.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (D) )()()(AB P A P B A P -=- 8.已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）． (C) 1,21-==b a 9.设A 是n s ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则下列运算中有意义的是（ (B) T AB 10.n 元线性方程组A Xb =有解的充分必要条件是（ ）． (A) 秩=A 秩)(A 二、填空题11.2sin 2+x 12. 减少 13.x cot -14.7.1 15.1 11.若函数2)(2+=x x f ，x x g sin )(=，则=))((x g f 12.函数x x f ln )(-=在区间),0(∞+内单调13.=⎰x xd sin 12． 14.设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.01.06.0210~X ，则=+)1(X E ． 15.当λ=时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．三、极限与微分计算题16.求极限xx x 21sin 1lim 0-+→．17.由方程x y x y ln sin =+确定y是x 的隐函数，求y d ．四、积分计算18.计算积分⎰41d ex xx19.求微分方程xx x y y sin =+'的通解． 五、概率计算题 20.已知5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，求)(B A P +．21.设随机变量)9,3(~N X ，求)120(<≤X P ．（已知ΦΦ().,().108413209772==，Φ().309987=） 六、代数计算题 22.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，求1)(--B A ． 23.求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x七、应用题24.厂家生产一种产品的需求函数为p q 80720-=（单位：件）而生产q 件该产品时的成本函数为1604)(+=q q C （单位：元）问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？八、证明题25.设A 为矩阵，证明T AA 是对称矩阵．三、极限与微分计算题 16. 解：利用重要极限的结论和极限运算法则得)1sin 1(2)1sin 1)(1sin 1(lim21sin 1lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )1sin 1(2sin lim 0++=→x x x x 41= 17. 解：等式两端同时求微分得 左)sin (d d )sin (d y x y y x y +=+=y y x x y y y x x y y d cos d sin d )(sin d d sin d ++=++= 右x xx d 1)(ln d ==由此得x x y y x x y y d 1d cos d sin d =++ 整理得 x yx yx y d cos 1sin 1d +-= 18. 解：利用积分的性质和凑微分法得⎰⎰=4141)(d 2e d ex x xxx⎰==21212ed 2e u uu )e 2(e 2-=19. 解：方程是一阶线性微分方程，xx P 1)(=，积分因子为x x xx ==⎰ln d 1e e原方程改为x y y x sin =+' 上式左端为)('xy ，两端同时积分得c x x x xy +-==⎰cos d sin即微分方程的通解为xcx x y +-=cos 其中c 为任意常数． 五、概率计算题 20. 解：由事件的关系得B A A B A +=+且A 与B A 互斥，再由加法公式得)()()(B A P A P B A P +=+8.03.05.0=+= 21. 解：对X 做变换得出)1,0(~33N X -，于是 )3331()331233330()120(<-≤-=-<-≤-=<≤X P X P X P)]1(1[)3()1()3(ΦΦΦΦ--=--=84.018413.09987.0=-+=六、代数计算题22. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A 利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110210001010010111100301010111001010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2121211001010010111111200001010010111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→212121100001010212323001212121100001010212321011即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 23. 解：将线性方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=131101311021011551323412121011A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 线性方程组的一般解为 ⎩⎨⎧-+=++=1312432431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）24. 解：由已知条件可得809q p -=809)(2q q pq q R -== 又由已知条件得1604)(+=q q C进一步得到160805)1604(809)()()(22--=+--=-=q q q q q q C q R q L对利润函数求导得405)(qq L -=' 令'=Lq ()0得200=q ，在定义域内只有一个驻点，故为最值点．即生产200件产品时厂家获得的利润最大． 八、证明题25. 证：由转置的性质得T T T T T T AA A A AA ==)()( 由定义可知T AA 是对称矩阵． 中央广播电视大学2018-2018学年度第二学期 经济数学基础 试卷一、单项选择题二、填空题三、微积分计算题四、线性代数计算题五、应用题一、单项选择题（每小题3分．本题共15分）1．D 2．B 3．A 4．C 5．A。
经管微积分练习题
一、选择题： 1.|5|lg 1)(-=x x f 的定义域是（ ）);,5()5,)((+∞-∞ A );,6()6,)((+∞-∞ B);,4()4,)((+∞-∞ C ).,6()6,5()5,4()4,)((+∞-∞ D2.下列关系中，是复合函数的是（ ）.cos )(;2sin )(;2)(;sin )(2x y D x y C e x y B x x y A x =-==+=3. 设,1x )f(e x +=则)(x f =（ ）（A ）C x ++ln 1 （B ）C x x +ln (C)C x x ++22(D)C x x x +-ln . 4. 如果函数)(x f 的定义域为[1，2]，则函数)()(2x f x f +的定义域是（ ）]2,1[]1,2)[(]2,2)[(]2,1)[(]2,1)[( ---D C B A二、填空题： 1 设xxx f +=1)(，则)]([x f f =________________. 2.)5ln()(+=x x f 的连续区域是____________________. 3. 函数21arccos-=x y 的定义域是________________. 4. 设)2ln(1)(++=x x f ，函数定义域为_______________.5. =+x x arccos arcsin ._________________6. )5ln()(+=x x f 的连续区域是____________________.7.函数21arccos-=x y 的定义域是________________.一、选择题2．=--→2|2|lim2x x x （ ）(A) -1 (B) 1 (C)∞ (D) 不存在.5．=→xx x ||lim0（ ）)()(1)(1)(D C B A ∞-不存在.6．=--→1)1sin(lim1x x x （ ）（A ）1 （B ）2 (C)21(D) 0 . 7. 函数)(x f 在0x x =处有定义是当0x x →时)(x f 有极限的（ ）（A ）必要条件 （B ）充分条件 (C)充要条件 (D) 无关条件.8．=→xx x 1sinlim 0（ ） （A ）0 （B ）1 (C) 2 (D)不存在10．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） （A ）1 （B ）2 (C)21(D) 0 .二、填空题：1. 当_______→x 时，函数2)1(1-=x y 是无穷大量. 3. 设函数211xy -=，则间断点及其类型是._________________ 4.若432lim23=-+-→x kx x x ，则_______=k . 5.____________11lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x .6.设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=02302sin )(2x kx x x xx x f （其中k 为常数），则_______=k 时，函数)(x f 在其定义域内连续. 7.____________1sinlim 0=→xx x .. 8.____________arctan lim =+∞→x x .11 =--→2|2|lim2x x x ._________________12. ____________21lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x13.____________x1cosx lim 2x =→ 三、计算题： 3.22234lim35n n n n n →∞-++-. 6.2102lim 2xx x -→-⎛⎫⎪⎝⎭. 7.)21812(lim 32xx x ---→ 8. 求函数23122+--=x x x y 的间断点，并判断其类型9. 0sin 3lim sin 2x x x →. 10.21sin(1)lim 1x x x →--.四、证明题：1.证明：方程135=-x x 在区间)2,1(上至少存在一个实根. 2证明135=-x x 在1和3之间至少存在一个实根。
数学微积分复习题集及答案
数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
为了帮助学生复习微积分知识，本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。
通过解答这些问题，学生可以巩固对微积分的理解，提高解题能力和应用能力。
一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。
答案：f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。
答案：g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。
答案：h'(x) = 2/x。
二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。
答案：∫[1,3] f(x) dx = 26/3。
5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。
答案：F(x) = e^x + C，其中C为任意常数。
6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。
答案：∫[0,π] sin(x) dx = 2。
三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。
答案：y = x^2 + C，其中C为任意常数。
8. 求微分方程y' = y的通解。
答案：y = Ce^x，其中C为任意常数。
9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。
答案：y = A*sin(x) + B*cos(x)，其中A和B为任意常数。
四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标，并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。
答案：交点坐标为(0, 0)和(2, 4)，所围成的面积为8/3。
11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。
经济数学微积分试题
经济数学微积分试题下面是一份经济数学微积分试题，共计1500字：一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。
A. 11B. 17C. 19D. 232. 设函数g(x) = e^x - 2，求g(0)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 23. 已知函数y = x^3 - 2x + 1，求y在点(1,0)处的切线方程。
A. y = x - 1B. y = x - 2C. y = -x + 1D. y = -x + 24. 设函数f(x) = x^2 - x，求f'(1)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 已知函数y = e^x + x，求y'的值。
A. e^x + 1B. e^x - 1C. e^x + xD. e^x - x6. 设函数g(x) = ln(x^2 + 1)，求g'(1)的值。
A. 1B. 2C. ln2D. ln37. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f''(2)的值。
A. -8B. -4C. 0D. 88. 设函数h(x) = xlnx，求h'(e)的值。
A. ln2B. eC. 1D. 29. 已知函数f(x) = sin(x) - cos(x)，求f'(π/4)的值。
A. 0B. 1C. -1D. 2)10. 设函数g(x) = x^3 - x^2 + x，求g''(1)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1的导函数f'(x)和二阶导函数f''(x)。
2. 求曲线y = x^2 - 2x的切线方程，并求该切线与x轴的交点。
3. 已知函数y = e^-x - x，求解方程y' = 0的解，并判断此解为极大值点还是极小值点。
经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分
1经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题 1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（1->x 且0≠x）． ．2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(xf 的定义域是(]0,(-∞ )．3．下列各函数对中，（ x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g ）中的两个函数相等．4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（11++xx）．5．下列函数中为奇函数的是（ 11ln+-=x x y）．6．下列函数中，（)1ln(-=x y ）不是基本初等函数．7．下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对 ）是正确的． 8. 当x →0时，下列变量中（xx 21+ ）是无穷大量． 9. 已知1tan )(-=xxx f ，当（ x →0 ）时，)(x f 为无穷小量.10．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( 1)．11. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（右连续 ）．12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）．13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（y =x ）．14．若函数x x f =)1(，则)(x f '=（-21x ）．15．若xx x f c o s )(=，则='')(x f （ x x x cos s i n 2-- ）．16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（e x）．17．下列结论正确的有（ x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 ）．18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（--pp32 ）．二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f 43-．5．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴对称．6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ． 8. =+∞→xx x x sin lim1 .9．已知x x x f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量．10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是0x =.12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞),2(∞+．)1处的切线斜率是(1)0.5y '=14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15．已知x x f 2ln )(=，则[f =0 ．16．函数y x =-312()的驻点是x =1.17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p-．18．已知需求函数为pq 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10-p p.三、计算题（答案在后面）1．423lim222-+-→x x x x 2．231lim21+--→x x x x 3．x → 4．2343limsin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ． 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ． 9．已知x y cos 25=，求)2π(y '；10．已知y =32ln x ，求y d ． 11．设x y x5sin cos e +=，求y d ．12．设xx y -+=2tan 3，求y d ．13．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．14．已知xx y 53e ln -+=，求)(x y ' ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．16．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x xy．18．由方程x y x y =++e )cos(确定y是x 的隐函数，求y d ．四、应用题（答案在后面） 1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6．已知某厂生产q件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 三、极限与微分计算题（答案） 1．解423lim222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim2+---→x x x x x =)2(1lim2+-→x x x = 412．解：231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3．解l ix →0x → =xx x x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 44．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25．解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯= 6．解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→=2323)2(65-=⨯-7．解：2y '(x )=)cos 2('-xx x =2cos sin 2ln 2x xx x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x ++8．解xx x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(++⋅=' 9．解 因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y10．解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==- 所以x xx y d ln 32d 3=11．解 因为)(cos cos 5)(sin e4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e4sin -=所以x x x x y xd )sin cos 5cos e(d 4sin -=12．解 因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx--=所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y x y y +++++-='16．解 对方程两边同时求导，得0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e)e (cos -='+)(x y '=yyx y e cos e +-.17．解：方程两边对x 求导，得 y x y yy '+='e eyy x y e1e-='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e 01e 11=⨯-=18．解 在方程等号两边对x 求导，得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin (1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题（答案）1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令25.0100)(2=+-='xx ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 qp =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102qq --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40-0.2q令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.（2）最大利润1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）．4．解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++（q >0）'C q ()=(.)05369800q q++'=0598002.-q令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2=-140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=05140369800140.⨯++=176 （元/件） 6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=2501100q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。
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微积分（经管类复习题）2011.5一、选择题1. 二元函数)3ln(1),(22y x y x f --=的定义域为（ ）.A 222<+y x .B 222≤+y x.C 322<+y x .D 322≤+y x2. 点),(00y x 使0),(='y x f x 且0),(='y x f y 成立，则（ ） .A ),(00y x 是),(y x f 的极值点 .B ),(00y x 是),(y x f 的最小值点 .C ),(00y x 是),(y x f 的最大值点 .D ),(00y x 可能是),(y x f 的极值点 3. 级数∑∞=1n naq收敛的充分条件是（ ）.A 1>q .B 1=q .C 1<q .D 1<q 4. 计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ，其中区域{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D （ ）.A 1 .B41 .C 21.D 4 5. 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域是（ ）.A []11，- .B [)11，- .C ()11，- .D (]11，- 6.函数),(y x f z =在点),(00y x 处 （ ） A. 可微一定连续 B. 可微一定不连续C. 偏导数存在一定可微D. 偏导数存在一定不可微 7.下列广义积分为收敛的是 （ ） A.⎰∞+edx xxln B. ⎰∞+exx dxln C. ⎰∞+ex x dx2)(ln D. ⎰∞+exx dx ln8. 设D 由,2,1y x y x y ===围成，则Ddxdy ⎰⎰= （ ）A.12 B. 14 C. 1 D.329. 设正项级数∑∞=1n nu收敛， 则在下列级数中，一定收敛的是（ ）A.∑∞=1n n u B. ∑∞=-1)1(n n nu C. ∑∞=11n n u D. ∑∞=+1)21(n n u10. 幂级数∑∞=+1)2(n nnx 的收敛域是 （ ）A. )1,3(--B. ]1,3[--C.]1,3(--D.)1,3[-- 二、填空题（每小题2分，共10分） 1. 设级数∑∞=1n nu收敛，∑∞=1vn n发散，则级数∑∞=+1)(n n nv u（收敛，发散）2. 级数∑∞=1!3n nn （收敛，发散）3. 判断交错级数∑∞=--1121n nn ）（是 （收敛，发散）4. 微分方程0=+xdy ydx ，满足条件1)1(=y 的特解=y5. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为6. 函数)ln(xy x z =在点)2,1(处的偏导数=∂∂xz_____________=∂∂y z ______________7. 函数xy z )1(+=的全微分dz =________________________ 8. 化二重积分为二次积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(，{}03,032,0|),(=-+=+-==y x y x y y x D ________________9. 若级数∑∞=+111n an收敛，则a 的取值范围___________________10. 若幂级数∑∞=1n n nx a收敛，且在3=x 条件收敛，则收敛半径R =__________11.若正项级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-1)2(n nu收敛或发散？__________________12.微分方程0)1()1(22=+++dx y x dy x y ，满足初始条件1|1==x y 的特解 13. 设)(x f 是连续函数,且⎰+=10)(2)(dt t f x x f ,则=)(x f14. 反常积分dx xx⎰∞+12ln 的值= 15. 交换积分次序ln 1(,)e x dx f x y dy ⎰⎰=16. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件 时级数收敛 17．微分方程)1(x y y -='满足条件1)0(=y 的特解为___________ 18. 微分方程690y y y '''-+=的通解19. 微分方程0y y y '''++=的通解三、计算题1. 设),(v u f z =有一阶连续偏导，且xy u =，x v sin =，求dz2. 设方程xyz z y x =++222确定一个二元隐函数),(y x f z =，求xz ∂∂ ，y z ∂∂3. 交换二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+212010),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy4. 采用极坐标计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx2211，其中区域D ：)0(222>≤+a a y x5. 讨论正项级数)0()1(1>+∑∞=a n nann 的敛散性6. 判断级数∑∞=+12)1(sin n n na是绝对收敛，还是条件收敛7. 求幂级数∑∞=+12)3(n nnx 的收敛半径和收敛域 8. 求微分方程yxx y dx dy +=满足初始条件2)1(=y 的特解 9. 求微分方程x xe y xy +='1的通解10．计算定积分dx x x 21021-⎰11. 求函数dt e t x f x t ⎰--=20)2()(的最大值和最小值12. 设xyez xyarctan +=，求dz13. 设)(xy f z =，其中f 可微，求yz x z ∂∂∂∂, 14. 计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是以点)0,0(O ,)2,1(A 和)1,2(B 为顶点的三角形区域15. 计算二重积分⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 所围在第一象限中的区域. 16．判别级数∑∞=1!n n nn 的敛散性. 17．判别级数1)1(21+-∑∞=n nn n的敛散性，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 18. 求微分方程x y x y dx dy tan +=，满足初始条件41π==x y 的特解 19. 求微分方程1=-y e dxdy e x x 的通解 20.求由方程032)32sin(2=+---+z y x z y x 确定),(y x z z =的隐函数的导数。
21.交换积分次序⎰⎰+-122),(x x dy y x f dx22.设级数∑∞=-1)12(n nn n ，判别敛散性。
23.求幂级数∑∞=-+13)3(1n n x nn 的收敛域。
24.求微分方程x xy y =+'的通解。
25.求微分方程20y y y '''+-=满足初始条件(0)0,(0)3y y '==的特解。
四、应用题和证明题1.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用x （万元）及报纸广告费用y （万元）之间的关系有如下的经验公式： 2210283214y x xy y x R ---+=若提供的广告费用为5.1万元，求销售收入最大时的广告策略。
2. 证明：⎰⎰⎰-=110)()()(2dx x f e e dx x f e dy x y y3.设曲线xy e =，过其上一点(1,)M e 的切线为L ，求该曲线、切线L 及y 轴所围的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积. 4.数列{}n u 单调减少,其中)3,2,1(0 =>n u n ,且级数∑∞=-1)1(n n nu 发散,证明级数∑∞=+1)11(n nn u 收敛 5.根据统计数据得到，国民收入Y 、国民储蓄S 和消费I 均是时间t 的函数，且储蓄额S 为国民收入的121，（在时刻t ）,消费额I 为国民收入增长率的32，当0=t 时，国民收入为8亿元，试求国民收入函数（假定在时刻t 的储蓄全部用于消费）6.设v u z arctan =，y x v y x u -=+=,，证明22y x y x y z x z +-=∂∂+∂∂.。