高中数学必修5等差数列周六练习

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《等差数列》同步练习基达： 1．等差数列 40，37， 34 中的第一个数是( )A ．第 13B ．第 14C ．第15D ．第 162．在 -1 与 7 之次插入三个数，使五个数成等差数列，此数列 ________.3. 增等差数列 {a } 中，若 a +a +a =12, a · a · a =28,a =______.n 3 6 9 3 6 9 n4. 数列 {a } 中， a =3n-5,S =__________.nn 95. 等差数列 {a n } 中，已知 a 2+a 9 +a 12+a 19 =100,S 20 =________.6. 等差数列 {a } 中， a >0, d ≠0, S =S S 取得最大的n 的 _____.n 1 2030, n7. 在公差 d=1的等差数列 {a n } 中，已知 S 100=145， a 1+a 3+a 5+⋯⋯ +a 99 的 _____.28. 把 20 分成四个数成等差数列，使第一与第四的同第二与第三的的比2∶ 3，四个数从小到大依次 ____________.9. -401 是不是等差数列 -5 ， -9 ， -13 ⋯的？如果是，是第几？10. 求等差数列 10， 8， 6，⋯⋯的第 20 .11. 在等差数列 {a n } 中，已知 a 4=1， a 7+a 9=16，求通公式 .12. 在等差数列 {a n } 中， a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求 a 2+a 8. 13．已知数列 {a n } 是等差数列，令 b n a n 2 1 a n 2 ，求： {b n } 也是等差数列 .能力提升：14．等差数列 {a n } 中， a 2+a 5=19，S 5=40， a 10 ( )A ．27B ．28C ．29D ．3015、已知等差数列{a n }的前 3 依次a 1， a 1 ， 2a 3 ，通公式a n （） .A. 2n 5B. 2n 3C.2n 1 D. 2n 116．已知等差数列 {a } 足： a a =-12 ， a +a =-4 ，通公式a =________.n3 746n17、已知等差数列 { a n } 中， a mn ， a n m ，且 m n ， a m n __________.18、首24 的等差数列，从第10 开始正数，公差的取范是__________.19、等差数列 { a n } 中， a 1 a 4 a 7 39 ， a 2 a 5 a 8 33 ， a 3 a 6 a 9 _________.20、已知ABC 中，角 A ， B ， C 依次成等差数列，cos 2 A cos 2 C 的取范是 __________.21．已知等差数列 {a n } 足： S 10=310， S 20=1220，求 a n .22．已知等差数列 {a } 中， a +a =4，求 S .n3131523．一个有 n 的等差数列，前四和 26，最后四和 110，所有之和187，求数 n.24．已知等差数列 {a n } 的前 n 和 S n ，求： S n ， S 2n -S n ， S 3n -S 2n ，⋯⋯成等差数列 .25．已知等差数列 {a n } 足， S p =q ， S q =p ， (p ≠ q) ，求 S p+q .26．已知等差数列 {a } 中， a ＜0， S =S ，求 S 何取最小 .n1912 n合探究：27. 求 : 数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列，并求它的前n 和的最大. （精确到十分位，4lg 2 B 0.3010 ）参考答案：基础达标： 1． C2. -1 ，1，3，5，73. n-2 ；提示 : 由 a 3+a 6+a 9=12 得 3a 6=12 即 a 6=4,又 a 3· a 6·a 9=28 有 (4-3d) · 4· (4+3d)=28 ，解得 d=± 1( 舍负 ) ， ∴ a n =a 6+(n-6)d=n-2. 4.90 ；提示 : 依题意知数列 {a n } 成等差数列，故 S 99(a 1a 9 )90 .25. 500 ；提示 : ∵ a 2+a 19=a 9+a 12=a 1+a 20=50, ∴S 20 =20(a 1a 20 )=500.26. 25 ；提示 : 等差数列前 n 项和 S n =an 2+bn 可判断 a<0，故考查函数 S(x)=ax 2+bx.由 S(20)=S(30) 知抛物线对称轴 x=20 30即 x=25，故 n=25.27.60 ；提示 : 原式 =(145-50d)× 1=60.28. 2 ，4， 6， 8；提示 : 设这四个数依次为 :x-3d, x-d, x+d, x+3d.9. 解析：由 a 1 5, d 9 ( 5)4 ，得数列通项公式为： a n 5 4(n 1) .令 4015 4( n 1) ，解之得 n=100，即 -401 是这个数列的第100项.10. 解析：根据题意可知： a 1 =10,d=8 － 10=－ 2.∴该数列的通项公式为：a n =10+（ n － 1）×（－ 2） , 即 a n =－ 2n+12,∴ a 20 =－ 2× 20+12=－ 28.11. 解析：设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则a 1 3d 1a 117 42a 1 14d, 解方程组得7 16d4∴ a na 176 .(n 1)dn412. 解析：解法一：统一成关于 a 1， n ， d 的表达式 .设 {a } 的首项和公差分别为 a 和 d ，则n1a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 1+20d=450a 2 a 82a 1 8d2(5a 120d )2 450 180 .解法二： a +a =a +a55qm+n=p+qmnp由等差数列的性质可知a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5∴ a 2 a 82a 1 8d 2 (a 3 a 7 a 4 a 6 a 5 )2450 180 .13．证明： 55设 {a } 公差为 d ，则nb n 1bna n 2 2 a n 2 1 ( a n 2 1a n 2 )=(a n+2+a n+1) · d-(a n+1+a n ) ·d =d· [(a n+2+a )-(a n+1 +a )]n+1n=d · (a n+2-a n )=d · 2d2∵ 2d 2 是与 n 无关常数∴ {b n } 是等差数列 .能力提升：14． C ； 15 、 B16． a n =2n-12 或 a n =-2n+8 ；； 18．(8,3]； 19 ．27； 20． (1,5]21．解析：3 2 4解法一：利用公式S nna 1 n(n 1)d ，列方程组求 a 1， d.10 9 d2S1010a 1310 ①2S2020a 1 20 19d 1220②2①、②联立解方程得 a 1=4， d=6∴ a n =4+6(n-1)=6n-2.解法二：利用公式 S n =An 2+BnS nAn2Bnd n 2 (a 1 d)n22S 10100A 10B 310 A 3∴400A，解方程得1S2020B 1220 B∴ S n =3n 2+nd3a 1 4 ∴2dd 6a 1 21∴ a n =6n －2. 22．解析：解法一：一成关于 a 1， n ， d 的表达式 . a 3+a 13=4，∴ 2a 1+14d=4即 a 1+7d=2S1515 (15 1)d7d ) 15 2 30.15a 1215 ( a 1解法二：利用 a +a =a +a .115 3 13S15(a 1 a 15 ) 15 (a 3 a 13 ) 154 152230 .223．解析：a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 4)=26 ，∴ a 1+a 4=13a n-3 +a n-2 +a n-1 +a n =2(a n-3 +a n )=110 ，∴ a n-3 +a n =55 a 1+a 4+a n-3 +a n =2(a 1+a n )=13+55 ，∴ a 1+a n =34(a 1 a n ) n2 18711.S n187 ，∴ n34224．明：取数列 S n ， S 2n -S n ，⋯⋯中的第k+1 和第 k 作差：(S (k+1)n -S kn )-(S kn -S (k-1)n )=a kn+1+a kn+2+⋯+a (k+1)n -(a (k-1)n+1 +⋯ +a kn )=(a kn+1-a (k-1)n+1 )+(a kn+2-a (k-1)n+2 )+ ⋯+(a (k+1)n -a kn )nd ndnd n 2 dn 个故 S n ， S 2n － S n ，⋯⋯成公差 n 2d 的等差数列 . 25．解析：S ppa 1 p ( p 1) dq2S qqa 1q (q 1) dp2①②①－②得d p 2 p q 2q q p()( p q)a 12即d p q pqqp( pq) a 1()(1)2p ≠ q ，∴ a 1d( p q 1) 12 dSp q ( p q)a ( p q)( p q 1) ( p q).1226．解析：S － S =a +a +a =0∴3a +30d=0 ∴ a =－ 10d ， a ＜ 0，∴ d ＞ 0129101112111S n na 1n (n 1)dd n 2 ( a 1 d) n ， d ＞ 0，22 2∴ f ( x)d x 2 (a 1 d) x 是开口向上的二次函数且 f (9) f (12)2291210 1 a 1 d 1∴ f (x) 的图象对称轴为x2 10 ，∴2 22 d22*n又 n ∈ N ，故 n=10 或 11 时 S 最小∴S 和S 最小.10 11综合探究： 27. 解析：（ 1）证明： ∵ a n lg(100sin n 1) ，41∴a n 1 a n lg(100sin n ) lg(100sin n 1 ) lg(sin )lg 244 4 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列 .4 1lg 2（ 2）解： ∵ a 1 lg100 2 0 , d0. 2a nlg(100sinn 1) 0n 1 415∴由4，解得lg 24 ，an 1lg(100sin n ) 0n 1144lg 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 从第 15 项起，它及其后每一项都是负数，前14 项都为正数 .414(14 1)1 故它的前 n 项和的最大值为前14 项的和 S 1414 ( 2lg 2) 14.3.22。

人教版数学必修五等差数列练习卷(含解析)

选择题（本大题共25小题，每小题4分，共100分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D 。

答案：D2.已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1 B.11-⎪⎭⎫⎝⎛+n n nC ．n 2D ．n解析：因为a n ＝n (a n ＋1－a n )，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n 。

答案：D3．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·－211，即λ14。

答案：B4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D. 5.已知正数数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋2)·a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，n ∈N *，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12 D ．a n ＝n答案 B解析由题意可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23×1＝2n ＋1.故选B.6.已知等差数列{}n a 不是常数数列，则下列数列不是等差数列的是（）．A {}n a 2. ．B {}－１n a 2 . ．C {}２n a . ．D {}1+n n a a ＋. 答案：C7.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d ＞0)，则有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556，则最小的一份为a －2d ＝20－553＝53。

高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)

高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .一、等差数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10注：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－3405．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12B ．18C ．24D ．30二、等差数列的判定与证明6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．注：等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{an }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．638．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．三、等差数列的性质与应用(一)等差数列项的性质9.已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 2510.(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6(二)等差数列前n 项和的性质11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(三)等差数列前n 项和的最值12.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17注：1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .13．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．1314．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．1315．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．巩固练习:1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．1302．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．273．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．64．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－665．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A．20 B．40C．60 D．806．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n.若a2n＋1＝a n＋2＋a n，则S2n＋1＝()A．4n＋2 B．4nC．2n＋1 D．2n7．已知等差数列5,427，347，…，则前n项和S n＝________.8．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.9．等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为________．10．在等差数列{a n}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.参考答案：1.[解析]设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d ＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2.解：因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝(22－4a2)2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，a n＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.3.解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192× (－2)＝－340，选D.5.解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为a 5＋a 10＝12，所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 6.[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.7.解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.8.证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．9.[解析]因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.10.解：由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.11.[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. 12.[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．13.解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B. 14.解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.15.解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.练习：1.解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2.解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3.解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列．令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4.解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5.解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6.解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)． 8.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.9.解析：∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.10.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 11.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.。

人教A版高中数学必修五 2.2等差数列习题

[小试身手]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列 1,1,1,1,1 是等差数列．( √ ) (2)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (3)任意两个实数都有等差中项．( √ )
2．下列数列是等差数列的是( )
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1 D．－1,1,3,5
答案：DΒιβλιοθήκη 3．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是( )
A．1,4 B．－1，－4 C．4,1 D．－4，－1
解析：n＝1 时，a1＝－1，n＝2 时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差 d＝a2－a1＝－4.
跟踪训练 1 (1)等差数列{an}中，a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则 n 等于( )
A．50 B．49 C．48 D．47 (2)若数列{an}是等差数列，且 a15＝8，a60＝20，则 a75＝ ________.
类型二等差数列的判定与证明例 2 (1)判断下列数列是否为等差数列？ ①an＝3n＋2 ②an＝n2＋n (2)在数列{an}中，a1＝0，当 n≥2 时，aan＋n1＝n－n 1. 求证：数列{an}是等差数列．
答案：B
4．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则 a8 的值是( ) A．9 B．12 C．18 D．22
解析：a2＝4，a4＋a6＝a2＋2d＋a2＋4d＝26,6d＝18，a8＝a2＋ 6d＝4＋18＝22.
答案：D
类型一等差数列的通项公式
例 1 (1)2 000 是等差数列 4,6,8，…的( ) A．第 998 项 B．第 999 项 C．第 1 001 项 D．第 1 000 项 (2)在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，则首项 a1＝ ________，公差 d＝________. (3)已知等差数列 1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第 20 项．

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等差数列练习一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A. 13B. 12C. 11D. 109、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（）A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n nC ．23n - D ．321n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = . 三．解答题1、在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围； ②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？4、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：（1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.5、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.参考答案一、 1-5 B A C B C 6-10 C B A B A二、 1、0 2、6 3、1650 4、-10 5、3 6、6 三．1、n a n 2.0=，393805251=+++a a a ．2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ 解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴14d =，∴172(1)44n n b n +=+-⨯= 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴43nn ab -=即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项．（1）当n=12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n －3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。

高中数学必修五单元练习：等差数列苏教

等差数列练习 1.已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=4π，则tan(a 2+a 12)的值为2. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8，则m 为3.已知等差数列{a n }中，a 2=6,a 5=15.若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于4. 等差数列{a n }的公差d<0，且a 2·a 4=12,a 2+a 4=8,则数列{a n }的通项公式是5.已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是6. 在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7=5,S 7=21,那么S 10等于7.数列{a n }中，a 2=2，a 6=0，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则a 4= .9 .已知一个等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，各项的和为210，则此等差数列共有项.10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记2n n S T n=,如果存在正整数M ，使得对一切正整数n, n T ≤M 都成立，则M 的最小值是 .11.(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于数表中的第n 行第n+1列的数是 .12.( 2010·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=3,S 6=24,则a 9= .13.（2009·山东）在等差数列{a n }中，a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .14.（2010·全国Ⅱ）如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=15.（2008·福建）设{a n }是等差数列，若a 2=3,a 7=13，则数列{a n }前8项的和为16.已知等差数列{a n }的前三项为a-1,4,2a,记前n 项和为S n .（1）设k S =2 550,求a 和k 的值；（2）设n n S b n=,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n-1的值.17.已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2). (1)试说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求其公差.（2）求数列{a n }的通项公式.18.设a 1,d 为实数，首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15＝0.（1）若S 5＝5，求S 6及a 1;(2)求d 的取值范围.。

(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题

等差数列测试题、选择题（每小题 5分，共40 分）i.设数列、2, ..5,2、2, .. ii ,……则2 5是这个数列的C.第八项D.第九项2•在1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则A. a 2, b 5B. a 2, b=5C. a 2, b 5 3.首项为 24的等差数列，从第i0项开始为正数，则公差 d 的取值范围是则该数列的公差为C . 2是4,则抽取的是 A. d > - 3 B.d >3 C. 8<d v 3 3 8 D. — v 3 d <34.等差数列｛a n ｝共有2n 项, 其中奇数项的和为 90,偶数项的和为72,且a 2n a i33 , A.第六项B.第七项 D. a 2，b5.在等差数列｛a n ｝中, a io 0, a ii0,且a ii | a io |,则在S n 中最大的负数为A . S ]7 S i8 C . S ]9 D . S 206•等差数列｛a n ｝中, a i 5，它的前ii 项的平均值是5,若从中抽取i 项，余下的i0项的平均值 A. a ii B.a i0 C.a 9 D.a 87.设函数f (x)满足f (n+i)= 2f (n) “(n € N *)且 f (i)=2,则 f (20)为A.95B.97C.i05D.i92&已知无穷等差数列｛a n ｝, 前n 项和SA .在数列｛a n ｝中a 7最大B .在数列｛a n ｝中,a 3或a 4最大C .前三项之和S 3必与前 ii 项之和S ii 相等D .当n 》8寸，a n <0二、填空题（每小题 6分，共30 分）9 .集合M mm 6n,n N ,且 m 60 中所有元素的和等于L a n，则i0 .在等差数列｛a n｝中，a3 a7印。

8且a ii i4.记S n a i a2 a3S311 •已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16,1，则a 16的值是13.等差数列｛a n ｝、｛ b n ｝、｛ c n ｝与｛ d n ｝的前n 项和分别记为 3、T n 、P n 、Q n .f(n)空；C ^ = 5^-2，g( n) 旦•则也的最小值= __________________________b n d n 3 n 2 Q n g(n)三、解答题(每小题 10分，共30分)114. (1)在等差数列｛a n ｝中，d —月7 8，求a n 和S n ; 3⑵等差数列｛a n ｝中，a 4=14，前10项和S 10 185 .求a .；15•数列｛a n ｝中，a 1 8, a 4 2，且满足 a n 2 2a n 1 a n 0(1)求数列的通项公式； ⑵设S n 61 ai L |a n |，求S n 。

高中数学必修五等差数列专项训练题

状元舟同步辅导班祝你成绩辉煌高中数学必修五等差数列专项训练题班级姓名成绩一、选择题1．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为〔〕〔A 〕a n =n 2-n+1 〔B 〕a n =n 2+n-1〔C 〕a n =22n n + 〔D 〕a n =22nn -2.在等差数列{a n }中，假设a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为〔〕〔A 〕30 〔B 〕27 〔C 〕24 〔D 〕213．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为〔〕〔A 〕4∶5 〔B 〕5∶13 〔C 〕3∶5 〔D 〕12∶134．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设735S =，则4a = 〔〕A ．8B ．7C ．6D ．55．已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于〔〕A ．18B ．27C ．36D ．456．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设3613S S =，则612S S ＝〔〕A ．310 B ．13 C ．18 D ．197．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于〔〕A ．12B ．24C ．36D ．488．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为〔〕 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．29．已知等差数列{}n a 满足011321=+++a a a a ，则有〔〕A ．0111>+a aB ．0102<+a aC ．093=+a aD ．66=a10．等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15．假设b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于 ( )A ．30B ．45C ．90D ．18611.已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.712.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 6313.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B 53C.- 2 D 3 14.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝A.－2B.－12C.12D.2 15.{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =202X ，则序号n 等于 ( )A 667B 668C 669D 67016．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列。

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高中数学必修5等差数列周六练习
一、选择题：
1、在-9与3之间插入n 个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n 为（）
A 、4
B 、5
C 、 6
D 、不存在
2.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（）
A ．13项
B ．14项
C ．15项
D ．16项
3.已知等差数列的通项公式为为常数，a a n a n ,3+-=则公差d=（）
4.首项为24-的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A.83
d >
B.3d <
C.833d ≤<
D.833d <≤
（）
A ．第22项
B ．第21项
C ．第20项
D ．第19项
6. 已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是( )
A ．-5
B ．0
C ．5
D ．10 ( )
A ．45
B ．48
C ．52
D ．55
8. 已知等差数列的首项1a 和公差d 是方程x 2
-2x-3=0的两根，且知d ＞1a ，则这个数列的第30项是( ）
A ．86
B ．85
C ．84
D ．83
9、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）
A 、 6项
B 、8项
C 、10项
D 、12项
10、设数列{a n }和{b n }都是等差数列，其中a 1=25， b 1=75，且a 100+b 100=100，则数列{a n +b n }的前100项和为（）
A 、 0
B 、 100
C 、10000
D 、505000
11、等差数列中连续四项为a ，x ，b ，2x ，那么 a ：b 等于（） A 、 B 、C 、或 1 D 、
12、若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么
=--31b y x a ( ) (A)43 (B)34 (C)3
2 (D)值不确定
二填空题
1、在等差数列{a n }中，a n =m ，a n+m =0，则a m =。

2．已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为。

3.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.
4．在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -=.
5．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则=++2
tan 2tan 32tan 2tan C A C A . 三、解答题：
1.成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

2已知等差数列{}中，(1)
求{}的通项公式,(2)求{|a n |}的前n 项的和S n
3在等差数列{a n }中，a 1=25， S 17=S 9
(1)求{a n }的通项公式(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

4、等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，且已知S n 的最大值为S 99，且|a 99|〈|a 100| 求使S n 〉0的n 的最大值。

n a ,0,166473=+-=a a a a n a。