结构力学-力法
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结构力学：第七章《力法》
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
X1 1 M1图
M 2图
M3图 P Pab L
作基本结构各 和MP图
1 X2 1 由于 3=0,故
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
Pab2
L2 M图
MAC= a
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
结构力学- 力法
0
X1 4X2
0
解方程得：
X1
1 15
ql 2
(
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
23
ql2 15
A
C
B
ql2 60
11ql 2 120
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
AB杆： MB 0
FQAB
26
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
27
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
△iP—荷载产生的沿Xi方向的位移
结构力学——力法
超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P
0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33
X X X
1 2 3
结构力学——力法
几点注意：
① 一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。 ② 结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式 是多种多样的。 ③ 在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。
④ 在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在
结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。 ⑤ 只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构 变成瞬变体系或可变体系。
A
D
A
D
A
D
对
X1
错
二、关于基本方程的建立
先讨论两次超静定结构。
q C
FP A
12 22
q
B
C
FP A
B
X1
X2 FP
C
11 X1 B 21
A
基本体系之一
q C FP A B
1P 2P
q C X1 B X2
FP
C A
B X2
FP A
变形条件
Δ1 0 Δ2 0
基本体系之二
二、关于基本方程的建立
q
A l B l C A B
q
X1 X1
q
C
a)一次超静定结构 解：(1)确定基本未知量数目
b)基本体系
此连续梁外部具有一个多余约束，即n=1 (2)选择力法基本体系 (3)建立力法基本方程
Δ d11 X 1 Δ1P 0
(4)求系数d11和自由项1P 在基本结构（静定的简支梁）上分别作 M 1 图和MP图
q
EI
ql 2 8
9 q l2 128
q
EI
ql 2 2
比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大 弯矩，提高了梁的强度。
结构力学——力法
X1 = 9ql / 20, X 2 = 3ql / 40
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
结构力学力法
l 2 (
2 ) (
2F )
2l
2 1 2 Fl
EA
力法
X1=1
11
2
1
1
2
FP
－ 2FP
FP 0
0 FP/2
- FP/2
1
FP
FN1
FNP
FP/2
d11
4
1 EA
2l
1
21 2 EA
Fl
(4) 求多余未知力
X1
F 2
Δ1——基本结构在荷载与多余未知力X1共同作用下，B点沿 X1方向的总位移
力法
1 11 1 0 A
Δ11——基本结构在多余未知 力X1单独作用下，B点沿X1方向 的位移；
Δ1P——基本结构在荷载单独 作用下，B点沿X1方向的位移。
〓
FP
+
FP
B
FB
X1
Δ11 X1
Δ1P
力法
δ11 X1=1
F1
F1
F1
X1
F1
X
1
一次超静定
X1
由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在力法计 算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。
力法
2）去掉的约束必须是对保持其几何不变性来说是多 余的约束，即不要把拆成几何可变体系。
F1
X1
拆成了几何可变体系（×）
力法
超静定次数n n ＝把原结构变成静定结构时所需撤掉的约束个数
↓
B
Δ1P
δ11——基本结构在X1=1单独作用下，B点沿X1方向
的位移。
1 11 1 0
8第八章-结构力学力法
x1 = −15pa 88 x2 = −3pa 88
例2 解： 、取基本结构： 1 取基本结构： 2、δ11x1 + ∆1P = 0 求系数。 3、求系数。
δ11 = ∑ ∫
1 ×a = 4a (1+ 2) Ni l 2(− 2)2 2a + 4× = EA EA 3EA EA
2
2
∆1P = ∑ ∫ N N l= 1× pa ×2 + (−
△ 1 △ 11
x1
δ 11
x1=1
4、解方程： 解方程：
x1 = −∆1P
q
5 、 作 M图 ：
3 δ11 = 8 ql(↑)
x= 1 1
M = x1 M1 + MP
method） 第八章 力 法（Force method） §8-3 力法的基本概念 取另外一种基本结构： 取另外一种基本结构：
∆1P =
δ31x1 +δ32x2 +δ33x3 + ∆3P = 0 δ11x1 +δ12x2 +⋯ +δ1n xn + ∆1P = 0 ⋯ ⋯ 可写出其一般形式： 可写出其一般形式：δ21x1 +δ22x2 +⋯ +δ2n xn + ∆2P = 0
δ δij
δn1x1 +δn2 x2 +⋯ +δnn xn + ∆nP = 0 ⋯
、 、 令 δ11、δ12、δ13分别是 x1 =1的位移。
δ21、δ22、δ23，δ31、δ32、δ33 同理。 同理。
method） 第八章 力 法（Force method） §8-4 力法的典型方程 于是得： δ11x1 +δ12x2 +δ13x3 + ∆1P = 0 于是得： δ21x1 +δ22x2 +δ23x3 + ∆2P = 0
结构力学——力法
故
Y1 Y2
1P 11
2P 22
对称性的利用
例2－2
120
120 120
X1
X3
X2
120
X6
X6
对称结构在反对称荷载作用下，只X存5 在反对称未X知4 力，所以该X体5 系
只有反对称未知力 X3 和 X5 ，列力法方程如下：
33X3 35X5 3P 0 53X3 55X5 5P 0
结构力学
第二章 力法
➢力法与位移法的异同 ➢弹性支承问题 ➢两铰拱问题 ➢温度改变及支座移动问题 ➢对称性的利用 ➢超静定结构的位移计算及最终内力图的校核
力法与位移法的异同
求解思路方面 力法目标:求多余未知力 位移法目标:先求结点未知位移再求内力
建立典型方程的依据不同 力法:按多余约束处的位移协调条件建立 位移法:按附加约束内的反力(矩)的平衡条件建立
4 7 Pa 4 7 Pa
P 2P
Pa
P Pa 2P
P
MP
P
M
37 Pa 37 Pa
超静定结构的位移计算及最终内力图的校核
位移计算 q
该体系的内力图如下
qL2
qL2
12
12
最终内力可视为由某静定的基本
体系在外荷载、未知力共同作用
下迭加而成，故可用静定的基本
结构代替原超静定结构，建立虚
拟状态
qL2
qL2
用不同的静定结构来求解 CH DV DD
1
1
1
CH
DV
DD
超静定结构的位移计算及最终内力图的校核
内力校核 1．平衡条件 2. 位移条件
对无铰封闭框格结构的位移条件：
封闭框格内外侧 ML 图的面积 除以各自的EI后的值应相等
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C EI B
C
B X2
C
B
q
2EI
q
l
X1
q
A
l
A 基本体系
A
C
位移条件 : 1 0 , 2 0
1 11 12 1P
11 11X1; 1 2 12 X 2
A
2 21 2 2 2P
21 21X1; 2 2 22 X 2
11X1 12 X2 1P 0 力法典型方程 21X1 22 X 2 2P 0
EI
3EI
1P
M 1M P dx ql4
EI
8EI
3 X1 8 ql
A
第1节 基本概念
q
1、超静定次数 多余约束（联系）的个数。
A EI
2、基本体系：静定结构（会算结构）。
l
3、多余力：解除多余约束，暴露出的未知力。
4、位移条件：基本体系在解除多余约束处的位移应该与 原超静定结构一致，即位移协调。
l
11X1 1P 0
C
D
EI
EI q
X1
A
B
基本体系
11
M 1M 1dx 2l
EI
3EI
1P
M 1M P dx ql2
EI
8EI
C
D
C
D
q
A ql2 B 2
M
图
P
1 A X1 1 B 1 M1图
C
D
3ql2 A 5ql2 B
16
16
3ql X1 16
M MP M1X1
选取不同基本体系，得到解答相同！
●对称荷载 对称轴
E
C
EI A
l
D
EI l
B
●反对称荷载 对称轴
E
C
EI A
l
D
EI l
B
E
C
EI Al
2
E
C
EI Al
2
D
EI l
lB
2
D
EI lBiblioteka lB2EC
EI
l
Al
2
等代结构
E
C
EI
l
Al
2
等代结构
第4节（续） 有中柱对称性结构2——等代结构
●对称荷载 对称轴
DE F
EI EI1 EI l
A BC
根据位移互等定理 : 12 21
i j
M i M j dx EI
iP
M iM P dx EI
C
A
思考？
B X1 1
X2 1 B
M MP M1X1 M 2 X2 思考：若B处支座有已知位移！方程如何？
第3节（续4） 力法典型方程物理意义
力法典型方程 11X1 12 X2 1P 10
第五章 力 法
第1节 概述 第2节 力法典型方程 第3节 超静定结构计算例题 第4节 对称性利用 第5节 无弯矩判断 第6节 超静定结构位移计算 第7节 习题课
练习题——作图示结构的弯矩图
q
q
A EI l
B
A EI
B X1
静定结构
q
A
1 1P 11
B
A
B
X1
B
11
M 1M1dx X1l3
1 1P 11
11 11 X1
11X1 1P 0
11
M 1 M 1dx l3
EI
3EI
1P
M 1M P dx ql4
EI
8EI
3 X1 8 ql
M MP M1X1 计算出控制截面弯矩
利用简支梁法作弯矩图。
q
B A EI
B X1
基本体系
q
A
B
B A
X1
B A
X1 1
第2节 力法典型方程
ll
●反对称荷载 对称轴
E
D
F
EI A
B
EI1
EI
C
l
ll
DE
EI A
l
EF
EI l
C
l
E D EI EI1 A2
lB
E
EI1 F
2
EI
C
l
Bl
E EI1
B
变形等价
E EI1
B2
E D EI EI1 A2
DE
EI
l
A
l
等代结构
E
D
EI
EI1
A
B2
l
等代结构
(d)
l
X1 1
l M 1图
(e) X2 1
l
M 2图
(f )
12FP l
19
6 FP l
19
M图
第4节 对称性利用
对称结构在对称荷载作用下，内力和变形是对称的。
对称结构在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的。
MM
M对称
对称荷载作用：
对称轴
M 0 0
反对称荷载作用：
反对称
M 0 0
对称轴
第4节（续） 无中柱对称性结构1——等代结构
第3节（续1） 超静定结构计算例题1---解法1
EA
C
D
l EI
EI q
A
B
l
X1 X1
C
D
EI
EI q
A
B
基本体系
C
D
M
图
P
q
A ql2 B 2
X1 1
C
D
M1图 Al l B
11X1 1P 0
11
M 1 M 1dx 2l3
EI
3EI
1P
M 1M P dx ql4
EI
8EI
X1
3ql 16
M MP M1X1
C
D
M图
3ql2 A 5ql2 B
16
16
力法解题步骤
1、确定基本体系 2、列力法方程 3、作荷载弯矩图
作单位力弯矩图 4、求系数、自由项 5、解方程，求多余力 6、叠加法作弯矩图
第3节（续1） 超静定结构计算例题1---解法2
EA
C
D
l EI
EI q
A
B
EI
6EI
12 21
M 1 M 2 dx l3
EI
4EI
1P
M 1M P dx ql4
EI
12EI
2P
M 2M P dx ql4
EI
16EI
ql X1 44
9ql X 2 22
M MP M1X1 M 2 X2
X2 1
C
B
A M2图 l
ql 2
44
C
B
ql 2
8
qA
21X1 22 X 2 2P 20
1 10 2 20
第i个多余约束处的位移协调
ii 0 主系数－Ｘi＝１在第i个多余约束处产生的位移
i j ji (i j) 副系数满足位移互等定理 －Ｘｊ＝１在第i个多余约束处产生的位移
iP 自由项－荷载在第i个多余约束处产生的位移 i0 第i个多余约束已知位移
FP
M
图
P
11
M1M1 EI
ds
4l 3 3EI
22
M2M2 EI
ds
Ay
EI
0
l3 3EI
21
12
M1 M 2 EI
ds
A4 y1 2EI
l3 2EI
1P
M1MP EI
ds
4F Pl 3EI
3
2P
M 2MP EI
ds
FPl 2EI
3
X1
7 FP l 19
X 2 18FPl19
M MP M1X1 M 2 X2
第3节（续2） 超静定结构计算例题2
C EI B
q
2EI
l
A
l
C q
B X2 X1
A 基本体系
l
C
BC
l
q
M
图
P
B X1 1
A 0.5ql2 A l M1图
11X1 12 X 2 1P 0 21X1 22 X 2 2P 0
11
M 1 M 1dx 5l3
EI
6EI
22
M 2 M 2 dx l3
M图 5ql 2
44
第3节（续3） 超静定结构计算例题3
【例题3】 用力法计算图示结构（其中弹簧刚度为k），并作M图。
(a)
FP
C EI B
EI
k
EI l3
l
A 原结构
l
1
X1 k
，
2
0
(b)
(c)
FP
FPl
C EI
B
X1
X2
EI
A 基本体系 FPl
11 X 1
12 X 2
1P
X1 k
21 X1 22 X 2 2P 0