高三直线方程与圆的复习20161219czy
高三数学直线与圆知识点复习
高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。
在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。
下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。
1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。
一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。
2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。
标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。
圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。
3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。
- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。
- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。
- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。
5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。
在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。
高三总复习直线与圆的方程知识点总结_2
2016届高考数学复习——直线与圆的方程【考试要求】（1）直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及 一般式），了解斜截式与一次函数的关系.⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（2）圆与方程① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方 程，判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【知识及公式回顾】1. 点到直线距离：__________________________（已知点（p 0(x 0,y 0)与直线L ：AX+BY+C=0） 推论：两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒d=_________________2. 对称问题：（1）点关于点对称：点P (x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称点P '（ ， ）2）点关于线的对称：设点P(a,b),则其关于直线l 的对称点P '的坐标？一般方法：Py LP 0x3. 圆的方程① 标准方程 ()22)(r b y a x =-+-，______________为圆心，_______________为半径。
② 一般方程：022=++++F Ey Dx y x ， C 圆心______________, 半径=r __________________当0422=-+F E D 时，表示一个点。
当0422<-+F E D 时，不表示任何图形。
4. 点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与半径r 比较大小。
高三复习直线与圆的方程复习教学课件
直线与圆相交、相切、相离的应用举例
相交
求两圆公共弦的方程，两圆相交的弦 长。
相切
相离
求两圆外离的条件，两圆内含的结论 。
求圆的切线方程，两圆外切的条件。
04
直线与圆的综合应用复习
利用直线与圆的方程解决实际问题的方法与技巧
01
02
03
建立数学模型
根据实际问题，建立相应 的直线或圆方程，通过解 方程得到答案。
参数方程与普通方程的转换
可以通过消去参数 $t$ 将参数方程转换为普通方程，或者通过代入参数 $t$ 的值将普通方程转 换为参数方程
02
圆的方程复习
圆的基本概念与性质
01
圆的基本定义
平面上所有与给定点（圆心）距离等于给定正数 （半径）的点的集合。
02
圆的基本性质
圆是中心对称图形，具有旋转不变性；圆是轴对 称图形，具有对称性。
方程组求解
当直线与圆有交点时，可 以通过解方程组得到交点 坐标。
参数方程法
对于一些特殊情况，可以 通过参数方程来表示直线 或圆，从而简化计算。
直线与圆在几何、代数、三角函数等领域的综合应用举例
几何应用
利用直线与圆的方程解决 几何问题，如求两圆相交 的公共弦等。
代数应用
利用直线与圆的方程解决 代数问题，如求直线与圆 相切的条件等。
02 相切
直线与圆只有一个交点。
03 相离
直线与圆没有交点。
圆的参数方程与极坐标方程
圆的参数方程
$(x = a + rcostheta, y = b + rsintheta)$，其中(a,b)为圆心，r为 半径，$theta$为参数。
圆的极坐标方程
高三数学第七章 直线和圆的方程复习
第七章 直线和圆的方程复习一、直线的方程：１．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条一与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小的正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．（１）倾斜角的X 围：001800<≤α，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．（２）特殊位置：当︒=0α时，直线l 与x 轴平行；当︒=90α时，直线l 与x 轴垂直．２．直线的斜率．（１）斜率的概念：（见课本P34）当倾斜角不是︒90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：αtg k =．说明：当︒=90α时，直线l 没有斜率（但是有倾斜角）；当︒≠90α时，直线l 有斜率， 且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于︒90的直线对于x 轴的倾斜程度的量．（２）斜率公式：1212x x y y k --=，其中 ),(,),(2211y x y x 是直线l 上两点的坐标．例1：已知两点(1,5),(3,2)A B ---，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l的斜率．解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α．∵tan 2AB k α==.43)1(3)5(2=-----2tan 31tan 4αα∴=-，即 213tan 8tan 30,tan tan 33αααα+-=⇒==-或 ∵3tan 204α=>，0290α∴︒<<︒，045α︒<<︒，∴13tan α=．因此，直线l 的斜率是31． 说明：由2α的正切值确定α的X 围及由α的X 围，求α的正切值是本例解法中易忽略的地方．３．直线方程的五种形式：（１）点斜式：()11x x k y y -=-；（２）斜截式：b kx y +=； （３）两点式：121121x x x x y y y y --=--； （４）截距式：1=+by a x ； （５）一般式：0(,Ax By C A B ++=不同时为0)．例２．过点(2,1)P 作直线l 分别交,x y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程．答案：（240x y +-=）４．两条直线的位置关系：（１）平行（不重合）的条件：212121,//b b k k l l ≠=⇔且；21//l l ⇔212121C C B B A A ≠=． （２）两条直线垂直的条件：12121-=⋅⇔⊥k k l l ；21l l ⊥02121=+⇔B B A A ．（３）直线1l 到直线2l 的角公式为：21121k k k k tg +-=θ． （４）直线1l 与直线2l 夹角的公式：21121k k k k tg +-=θ．)900(︒≤<︒θ （５）方程：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ称作过21l l 与交点的直线系方程．（６）点到直线的距离公式：2200B A CBy Ax d +++=．例1：直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，求a 的值。
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（当k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）③已知斜率的切线方程：设（b 待定），利用圆心到L 距离为r ，确定b kx y +=b 。
5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）6、圆系①同心圆系：，（a 、b 为常数，r 为参数）222)()(r b y a x =-+-或：（D 、E 为常数，F 为参数）022=++++F EY DX y x ②圆心在x 轴：222)(r y a x =+-③圆心在y 轴：222)(rb y x =-+④过原点的圆系方程2222)()(b a b y a x +=-+-⑤过两圆和0:111221=++++F Y E X D y x C 的交点的圆系方程为0:222222=++++F Y E X D y x C （不含C 2），其中0(2222211122=+++++++++F Y E X D y x F Y E X D y x 入入为参数若C 1与C 2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．两条切线的斜率分别是最大、最小值．1，得433±=k ．的最大值为433+，最小值为433-．，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．，得52±-=m ．5+，最小值为52--．，点在圆)0,2P )4()3(22=-+-y x按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于，B ，C 三点坐标之间的关系．)'y ，连结AH ，CH ，AB ，BC 是切线BC OC ⊥，OA ，OC OA =，是菱形．⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y 4=，)0≠即是所求轨迹方程．中，若设),(y x Q ，则,2(a x M +，)0,5(B．，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设。
【高中数学】复习直线和圆的方程
【高中数学】复习直线和圆的方程一. 教学内容：直线和圆的方程二. 重点、难点：（一）点（二）重点知识反刍梳理（直线方程）1. 直线的倾斜角与斜率的概念（1）直线的倾斜角与斜率的关系：①任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
（3）平面上直线与二元一次方程是一一对应的。
2. 两条直线的位置关系：注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。
（2）判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断；若两直线的斜率有一不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。
（3）点到直线的距离公式3. 简单的线性规划（1）在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域。
（2）简单的线性规划讨论在二元一次不等式等线性约束条件下，求线性目标函数ax ＋by的最大值或最小值问题。
一些实际问题可以借助这种加以解决。
4. 圆的方程（1）曲线和方程的关系（2）圆的方程的形式确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有三种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。
半径。
（3）直线与圆的位置关系的判定方法（4）两圆的位置关系的判定方法设AC边上的高为BH的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？分析：∵O、P、Q、R四点共线，P点横坐标为a是已知的，另条件等式是线段的二次齐次，故可转化为横坐标间的二次齐次，又R点在圆周上，故设R点坐标（xR，yR）为参数，以下只需列出三个等式消参。
详解：例3.分析：已知l的斜率k即可。
由光学知识知道入射角等于反射角。
于是求k的途径之一是只需l与已知圆关于x轴的对称圆相切；途径之二是利用入射光线l与反射光线在x 轴的反射点处关于x轴的法线方向对称。
解：方法一：方法二：因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线l'所在直线的方程是：这条直线应与已知圆相切，故圆心C到它的距离等于1以下同解法一。
小结：（1）方法一是非构造性解法，方法二是构造性解法，显然解法一简捷明快，但需作深入分析才能找到入射光线与对称圆相切的关系。
高考数学复习《直线和圆的方程》知识点
直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
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o
(θ 为参数)；
(t 为参数)．
将下列参数方程化为普通方程． x＝ 3k 2， 1＋k (1) 2 6 k y＝ 2 1 ＋ k
(k 为参数)；
y 解 (1)两式相除，得 k＝ ， 2x y 3· 2x 将其代入，得 x＝ y ， 1＋2x2 化简得所求的普通方程数)．
1－t2 2t 2 2 2 2 (3)由 ＋ ＝ 1 ，得 x ＋ 4 y ＝1， 1＋t2 2 1＋t 1－t2 又 x＝ ≠－1，得所求的普通方程是 2 1＋t x2＋4y2＝1 (x≠－1)．
x2 2 【例】求经过点(1,1)，倾斜角为 135° 的直线截椭圆 4 ＋y ＝1 所 得的弦长． x＝1－ 解：由条件可知直线的参数方程是 y＝1＋
1－
2 2 t， 2 2t
(t 为参数)，
代入椭圆方程可得
2 2 t 2 2 2 ＋ 1 ＋ t ＝1， 4 2
x2 2 【例】求经过点(1,1)，倾斜角为 135° 的直线截椭圆 4 ＋y ＝1 所 得的弦长． 52 即2t ＋3 2t＋1＝0.设方程的两实根分别为 t1、t2，则由二次方程 6 2 t1＋t2＝－ 5 ， 的根与系数的关系可得 t1t2＝2， 5 长是|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝
极坐标、参数方程（二）
将下列参数方程化为普通方程． x＝ 3k 2， 1＋k (1) 2 6 k y＝ 2 1＋k
x＝1－sin 2θ， (2) y＝sin θ＋cos θ
2 1 － t x＝ ， 1＋t2 (3) y＝ t 2 1＋t
(k 为参数)；
x＝1－sin 2θ， (2) y＝sin θ＋cos θ
(θ 为参数)；
(2)由(sin θ＋cos θ) ＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，
2
得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y ＝2－x，x∈[0,2]．
2
2 1 － t x＝ 2， 1＋ t 3) y＝ t 2 1 ＋ t
2
则直线截椭圆的弦
6 2 2 2 － 5 －4×5＝
4 2 5 .
已知实数 x, y 满足 x 2 ( y 1) 2 4
2
1）求 4 x y 的最大值
2）求 x 1( y 4) 的最小值（11 6 2 ）
（2014）在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立 极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 0, .
2
Ⅰ）求 C 的参数方程； Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l : y 3x 2 垂直， 根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定 D 的坐标.
x 2 t x2 y 2 1 ，直线 l ： （2014）已知曲线 C ： （ t 为参数）. 4 9 y 2 2t