8.6 空间直线及其方程
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空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
解上列方程，得t1． 将t1代入直线的参数方程，得所求交 点的坐标为
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
86空间直线及其方程
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
2020/1/21
11/22
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
两直线的夹角公式
2020/1/21
8/22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 : s2 {0,0,1},
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s
n1
n2
{4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量。
2020/1/21
6/22
21/22
而 代入上式 , 得
由点向式得所求直线方程
2020/1/21
22/22
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
2020/1/21
空间直线的方程和性质
空间直线的方程和性质直线是空间几何中最基本的图形之一，它具有许多重要的性质和特征。
本文将介绍空间直线的方程和一些主要性质，以便更好地理解和应用直线的概念。
一、空间直线的方程在三维空间中，直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示。
1. 参数方程：设直线上一点为P(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a(m, n, p)。
则直线的参数方程为：x = x0 + mty = y0 + ntz = z0 + pt其中t为参数，表示直线上的任意一点。
2. 对称方程：设直线过一点P(x0, y0, z0)且平行于向量a(m, n, p)。
则直线的对称方程为：(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / p这个方程表示直线上的所有点满足这个比值关系。
3. 一般方程：直线的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为不全为零的实数。
通过对这个方程的系数进行标准化处理，可以得到一个方便使用的一般方程。
二、空间直线的性质空间直线具有以下几个重要的性质：1. 直线的方向：直线的方向由其方向向量确定。
对于参数方程和对称方程，直线的方向向量就是其参数的系数。
对于一般方程，直线的方向向量可以通过系数A、B、C来确定。
2. 直线的倾斜类型：直线可以是水平的、竖直的或斜的。
根据直线的方向向量，我们可以判断直线的倾斜类型。
若方向向量的两个分量为0，第三个分量不为0，则直线是竖直的；若第三个分量为0，前两个分量不全为0，则直线是水平的；若前两个分量都不为0，直线是斜的。
3. 直线的截距：对于一般方程Ax + By + Cz + D = 0，直线在三个坐标轴上的截距分别为：x轴截距：x = -D / Ay轴截距：y = -D / Bz轴截距：z = -D / C4. 直线的倾斜角和垂直角：直线的倾斜角是指直线与坐标轴正向之间的夹角。
可以通过方向向量求得各个坐标轴的倾斜角。
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一种基本的几何对象，它在空间中具有重要的几何性质和应用价值。
本文将介绍空间直线的标准方程，帮助读者更好地理解和运用空间直线的相关知识。
首先，我们来回顾一下平面直线的标准方程。
在平面直角坐标系中，平面直线的标准方程通常表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
这个方程描述了平面上所有满足这个关系的点的集合，即直线。
接下来，我们来看看空间直线的标准方程是如何表示的。
在三维直角坐标系中，空间直线的标准方程通常表示为：\[\frac{x x_0}{l} = \frac{y y_0}{m} = \frac{z z_0}{n}\]其中(x0, y0, z0)为直线上一点的坐标，l、m、n为直线的方向向量的分量。
这个标准方程的含义是非常直观的。
它表示了空间中所有满足这个关系的点的集合，即直线。
其中(x0, y0, z0)确定了直线上的一个特定点，而l、m、n确定了直线的方向。
这样，我们就可以通过这个标准方程来描述空间中的直线。
在实际应用中，我们有时候也会遇到其他形式的直线方程，比如参数方程、对称方程等。
这些方程都可以描述空间中的直线，但标准方程通常是最直观、最方便的形式，因为它直接给出了直线的一个特定点和方向。
在使用空间直线的标准方程时，我们需要注意一些细节问题。
首先，我们需要确定直线上的一个特定点和直线的方向向量，这样才能写出标准方程。
其次，我们需要注意方向向量不能为零向量，否则标准方程将无法表示直线。
最后，我们需要注意标准方程中的分式不能同时为零，否则标准方程将无法表示直线。
总之，空间直线的标准方程是描述空间中直线的重要工具，它直观、方便，能够准确地描述直线的位置和方向。
在学习和应用空间解析几何的过程中，掌握空间直线的标准方程是非常重要的。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
D8.6 空间直线及其方程
高等数学
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2 直线与直线的关系
直线 L : x x1 y y1 z z1 , 1
m1 n1 p1 x x y y z z 2 2 2 直线 L : , 2 m2 n2 p2 (1) L1 L2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 m1 n1 p1 (2) L1 // L2 s1 // s2 m2 n2 p2 m1 n1 p1 (3) L1 , L2 重合 且有一个公共点. m 2 n2 p2 s1 s2 夹角公式:cos s1 s2
思考：怎么求直线外一点到直线的距离？
高等数学
目录
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结束
小结：
1 空间直线方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0
对称式
x x0 mt 参数式 y y0 nt z z pt 0
(2) L // s n Am Bn Cp 0 L ） （特例：
x 2 y 4z 7 0 例6 求过点 2,0, 3 且与直线 3x 5 y 2 z 1 0 垂直的平面方程. i j k 解: s 1 2 4 16 i 14 j 11k n 3 5 2
s n1 1,1,1 , s n 2 2, 1,3 , i j k s n1 n 2 1 1 1 4i j 3k , 2 1 3
x 1 y z2 所以直线 的对称式方程为： 1 3 4
高等数学
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2 直线与直线的关系
直线 L : x x1 y y1 z z1 , 1
m1 n1 p1 x x y y z z 2 2 2 直线 L : , 2 m2 n2 p2 (1) L1 L2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 m1 n1 p1 (2) L1 // L2 s1 // s2 m2 n2 p2 m1 n1 p1 (3) L1 , L2 重合 且有一个公共点. m 2 n2 p2 s1 s2 夹角公式:cos s1 s2
思考：怎么求直线外一点到直线的距离？
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结束
小结：
1 空间直线方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y C2 z D2 0
对称式
x x0 mt 参数式 y y0 nt z z pt 0
(2) L // s n Am Bn Cp 0 L ） （特例：
x 2 y 4z 7 0 例6 求过点 2,0, 3 且与直线 3x 5 y 2 z 1 0 垂直的平面方程. i j k 解: s 1 2 4 16 i 14 j 11k n 3 5 2
s n1 1,1,1 , s n 2 2, 1,3 , i j k s n1 n 2 1 1 1 4i j 3k , 2 1 3
x 1 y z2 所以直线 的对称式方程为： 1 3 4
高等数学
空间直线及其方程
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 :
s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例 3 求过点(3, 2, 5)且与两平面x 4z 3 和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
最新kejian86空间直线及其方程(课件)
kejian86空间直线及其方程(课 件)
xx0yy0zz0 mn p
以图形与方程的两个条件 检验知(2)即为所求直线的方 程.
(2)叫直线的对称式方程 注 意因方向向s量 和点M0 x 对于直线来说并不一是的,唯 所以直线的对称式方也程非 唯一的.
(2)
z
l M •
s
•M 0
o
y
因为与直线共线非的零任向意量都可作的为 方向向,而 量共线向 量 分量成比 . 例
2 x 1 y 1 z 4 , (Ⅱ) 8 23
方程(Ⅱ)不是 l的对称式方程,所以向量 8,2,3,
也不是l的一个方向向量 . 点(1,1,也 4)不l是 上一定. 点
事 实 8 ,2 ,3 / 4 / 上 ,2 ,3
xx0yy0zz0 mn p
直线的一组方向数
s(m,n,
p)是直线的方. 向向量
所以l的对称式方程为
x2 y9 5 5
z
.
1 7 5
l的参数方程为
x
y z
2 t， 5 97
5 5t.
t，
5.两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2(5)
一个优越.性
x
(3)
s
M
•
0
y
参数方程中参 t的数几何意义
在直角坐 s 标 ,c 直 系 o 线 中 ,c 的 so 方 ,c s 向o 向 ， s量单常位取向为量
xx0yy0zz0 mn p
以图形与方程的两个条件 检验知(2)即为所求直线的方 程.
(2)叫直线的对称式方程 注 意因方向向s量 和点M0 x 对于直线来说并不一是的,唯 所以直线的对称式方也程非 唯一的.
(2)
z
l M •
s
•M 0
o
y
因为与直线共线非的零任向意量都可作的为 方向向,而 量共线向 量 分量成比 . 例
2 x 1 y 1 z 4 , (Ⅱ) 8 23
方程(Ⅱ)不是 l的对称式方程,所以向量 8,2,3,
也不是l的一个方向向量 . 点(1,1,也 4)不l是 上一定. 点
事 实 8 ,2 ,3 / 4 / 上 ,2 ,3
xx0yy0zz0 mn p
直线的一组方向数
s(m,n,
p)是直线的方. 向向量
所以l的对称式方程为
x2 y9 5 5
z
.
1 7 5
l的参数方程为
x
y z
2 t， 5 97
5 5t.
t，
5.两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2(5)
一个优越.性
x
(3)
s
M
•
0
y
参数方程中参 t的数几何意义
在直角坐 s 标 ,c 直 系 o 线 中 ,c 的 so 方 ,c s 向o 向 ， s量单常位取向为量
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因所求直线与两平面的法向量都垂直. 所求直线与两平面的法向量都垂直 取 s = n1 × n2 = ( 3,−2,1) × ( 2,1,−1) = (1,5,7 ) 3 8 x− y− s 7= 7=z 对称式方程 Π2 1 5 7
L
2011.2.6 北京工商大学 8-6-13
7 7
s
Π1
n2
n1
得交点 N ( ,
3 ⇒ t= 7
.M
•
N
x − 2 y −1 z − 5 直线方程为 = = 2 −1 4
2 13 3 12 6 24 MN = ( − 2, − 1,− − 3) = ( − , ,− ) 7 7 7 7 7 7
2011.2.6
北京工商大学
8-6-17
空间直线及其方程
二、两直线的夹角
(1) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ⇐⇒ m 2 n2 p2
例 直线 L1 : 直线 L2 :
s1 = (1,−4, 0), s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
点(1,2,3)
2011.2.6 北京工商大学 8-6-21
空间直线及其方程
2011.2.6
北京工商大学
8-6-19
空间直线及其方程
x = 1 x +1 y + 2 z −1 = = 例 1.与直线 y = −1 + t 及 与 1 2 1 z = 2 + t
都平行且过原点的平面方程为 都平行且过原点的平面方程为( x − y + z = 0). 平面方程 提示 平面过原点 法向量 n = ( 0,1,1) × (1,2,1) = (1,−1,1) 由点法式方程即可得. 由点法式方程即可得
北京工商大学
8-6-4
空间直线及其方程
注意
y − y0 z − z 0 = p 直线的方程可表示为 n x − x = 0 0
直线的方向数m,n,p 可以等于 当m=0时, 可以等于0,当 直线的方向数 时
y − y0 = 0 当m=n=0 时,直线的方程可表示为 x − x = 0 直线的方程可表示为 0
空间直线及其方程
注意
y +1 z + 3 x= = 5 7 两个对称式方程 怎么不一样 3 8 x− y− z 7= 7= 1 5 7
实际上直线的对称式方程不唯一. 答 实际上直线的对称式方程不唯一 (当定点取得不同时对称式方程不同 (当定点取得不同时对称式方程不同). 当定点取得不同时对称式方程不同).
得 x = 1, y = 2, z = 2.
2011.2.6 北京工商大学
•
2( 2 + t ) + ( 3 + t ) + (4 + 2t ) − 6 = 0⇒ t = −1 再代入
8-6-15
空间直线及其方程
x +1 y −1 z = = 例 求过点 M ( 2,1,3)且与直线 3 2 −1 垂直相交的直线方程 的直线方程. 垂直相交的直线方程
L
Π1
空间直线的一般式方程 空间直线的一般式方程 注
x
O
y
(1) A1、B1、C1与A2、B2、C 2不成比例 ;
(2) 直线 的一般方程形式不是唯一的 直线L的一般方程形式不是唯一的 的一般方程形式不是唯一的.
2011.2.6
北京工商大学
8-6-2
空间直线及其方程
2.对称式 对称式——点向式方程 对称式 点向式方程 定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 已知直线 称此向量为该直线的 方向向量. 方向向量. 设一直线过 M 0 ( x0 , y0 , z0 )， 其方向向量为的 s = ( m , n, p ), 求此直线方程。 求此直线方程。
先作一过点M且与已知直线垂直的平面 解 先作一过点 且与已知直线垂直的平面 Π
( 3( x − 2) + 2 y − 1) − 1( z − 3) = 0
再求已知直线与该平面的交点N, 再求已知直线与该平面的交点
.M
•
N
x = 3t − 1 x +1 y −1 z 令 = t ⇒ y = 2t + 1 = = 3 2 −1 z = −t
2011.2.6 北京工商大学 8-6-12
空间直线及其方程
3 x − 2 y + z + 1 = 0 化为对称式方程. 将 2 x + y − z − 2 = 0 化为对称式方程
法二 先求直线上一定点 以z = 0代入 , 代入 先求直线上一定点:
3 8 z 3 x − 2 y + 0+ 1 = 0 ⇒ x = ,y= 7 7 z 2 x + y − 0− 2 = 0 3 8 于是得直线上的一定点 , ,0 ,
2011.2.6
北京工商大学
8-6-14
空间直线及其方程
x−2 y−3 z−4 例 求直线 = = 与平面 1 1 2
2 x + y + z = 6 的交点 的交点.
x−2 y−3 z−4 解令 = = =t 1 1 2 x = 2 + t 代入平面方程, y = 3 + t 代入平面方程 得 z = 4 + 2t
2011.2.6
北京工商大学
8-6-20
空间直线及其方程
x = −t + 2 2.过点(1,2,−1)且与直线 y = 3t − 4 垂直的 z = t −1 平面方程是 ( x − 3 y − z + 4 = 0 ).
•
− 提示 n = (−1,3,1)
x −1 y − 2 z − 3 3. 过直线 L1 : = = 且平行于 1 0 −1 x + 2 y −1 z ). 直线 L2 : = = 的平面方程为( 2 1 1 x − 3y + z + 2 = 0 提示 n = s1 × s2 = (1,0,−1) × ( 2,1,1) = (1,−3,1)
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
由直线的对称式得
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
M 1 M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
直线方程的几种形式可以互相转换. 直线方程的几种形式可以互相转换
2011.2.6 北京工商大学 8-6-7
又如
0
=
0
=
可写成一般方程
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1 x =1 y=1
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1 x
O
1 y
8-6-10
空间直线及其方程
直线的一般方程如何化为对称式方程 (1) 用代数的消元法化为比例式; 用代数的消元法化为比例式 消元法化为比例式 (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量 在直线上找一定点 再求出方向向量, 再求出方向向量 即写出对称式方程. 即写出对称式方程
2 2 2 2
（锐角） 锐角）
^L ) = cos( L ,
1 2
m1 + n1 + p1 ⋅ m2 + n2 + p2
2
2
两直线的夹角公式
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空间直线及其方程
两直线垂直 两直线的位置关系 (两直线垂直、平行的条件 两直线垂直、平行的条件) L1 : s1 = ( m1 , n1 , p1 ), L2 : s2 = ( m2 , n2 , p2 )
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空间直线及其方程
直线过点 M ( 2,1,3) x = 3t − 1 将 y = 2t + 1 代入 3( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 3) = 0 z = −t
2 13 3 ,− ) 7 7 7 取所求直线的方向向量为 MN
s = (m, n, p)
•
求直线与平面的交点时常用此。 求直线与平面的交点时常用此。
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8-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 设一直线过两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )， 则此直线的方程为: 则此直线的方程为 x − x1 = y − y1 = z − z1 (4) 直线的两点式方程 直线的两点式方程
定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角. 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角 方向向量的夹角称为两直线的夹角 直线 L1 : 直线 L2 :
x − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 = = m2 n2 p2
m1m2 + n1n2 + p1 p2
§8.6 空间直线及其方程
空间直线的各种方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
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8-6-1
空间直线及其方程
一、空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式 空间直线可看成两平面的交线. 定义 空间直线可看成两平面的交线 z A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 1 L (1) Π 2 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Π 2
(重要 重要) 重要
L
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7 7
s
Π1
n2
n1
得交点 N ( ,
3 ⇒ t= 7
.M
•
N
x − 2 y −1 z − 5 直线方程为 = = 2 −1 4
2 13 3 12 6 24 MN = ( − 2, − 1,− − 3) = ( − , ,− ) 7 7 7 7 7 7
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8-6-17
空间直线及其方程
二、两直线的夹角
(1) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ⇐⇒ m 2 n2 p2
例 直线 L1 : 直线 L2 :
s1 = (1,−4, 0), s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
点(1,2,3)
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空间直线及其方程
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8-6-19
空间直线及其方程
x = 1 x +1 y + 2 z −1 = = 例 1.与直线 y = −1 + t 及 与 1 2 1 z = 2 + t
都平行且过原点的平面方程为 都平行且过原点的平面方程为( x − y + z = 0). 平面方程 提示 平面过原点 法向量 n = ( 0,1,1) × (1,2,1) = (1,−1,1) 由点法式方程即可得. 由点法式方程即可得
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8-6-4
空间直线及其方程
注意
y − y0 z − z 0 = p 直线的方程可表示为 n x − x = 0 0
直线的方向数m,n,p 可以等于 当m=0时, 可以等于0,当 直线的方向数 时
y − y0 = 0 当m=n=0 时,直线的方程可表示为 x − x = 0 直线的方程可表示为 0
空间直线及其方程
注意
y +1 z + 3 x= = 5 7 两个对称式方程 怎么不一样 3 8 x− y− z 7= 7= 1 5 7
实际上直线的对称式方程不唯一. 答 实际上直线的对称式方程不唯一 (当定点取得不同时对称式方程不同 (当定点取得不同时对称式方程不同). 当定点取得不同时对称式方程不同).
得 x = 1, y = 2, z = 2.
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•
2( 2 + t ) + ( 3 + t ) + (4 + 2t ) − 6 = 0⇒ t = −1 再代入
8-6-15
空间直线及其方程
x +1 y −1 z = = 例 求过点 M ( 2,1,3)且与直线 3 2 −1 垂直相交的直线方程 的直线方程. 垂直相交的直线方程
L
Π1
空间直线的一般式方程 空间直线的一般式方程 注
x
O
y
(1) A1、B1、C1与A2、B2、C 2不成比例 ;
(2) 直线 的一般方程形式不是唯一的 直线L的一般方程形式不是唯一的 的一般方程形式不是唯一的.
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8-6-2
空间直线及其方程
2.对称式 对称式——点向式方程 对称式 点向式方程 定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 已知直线 称此向量为该直线的 方向向量. 方向向量. 设一直线过 M 0 ( x0 , y0 , z0 )， 其方向向量为的 s = ( m , n, p ), 求此直线方程。 求此直线方程。
先作一过点M且与已知直线垂直的平面 解 先作一过点 且与已知直线垂直的平面 Π
( 3( x − 2) + 2 y − 1) − 1( z − 3) = 0
再求已知直线与该平面的交点N, 再求已知直线与该平面的交点
.M
•
N
x = 3t − 1 x +1 y −1 z 令 = t ⇒ y = 2t + 1 = = 3 2 −1 z = −t
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空间直线及其方程
3 x − 2 y + z + 1 = 0 化为对称式方程. 将 2 x + y − z − 2 = 0 化为对称式方程
法二 先求直线上一定点 以z = 0代入 , 代入 先求直线上一定点:
3 8 z 3 x − 2 y + 0+ 1 = 0 ⇒ x = ,y= 7 7 z 2 x + y − 0− 2 = 0 3 8 于是得直线上的一定点 , ,0 ,
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8-6-14
空间直线及其方程
x−2 y−3 z−4 例 求直线 = = 与平面 1 1 2
2 x + y + z = 6 的交点 的交点.
x−2 y−3 z−4 解令 = = =t 1 1 2 x = 2 + t 代入平面方程, y = 3 + t 代入平面方程 得 z = 4 + 2t
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8-6-20
空间直线及其方程
x = −t + 2 2.过点(1,2,−1)且与直线 y = 3t − 4 垂直的 z = t −1 平面方程是 ( x − 3 y − z + 4 = 0 ).
•
− 提示 n = (−1,3,1)
x −1 y − 2 z − 3 3. 过直线 L1 : = = 且平行于 1 0 −1 x + 2 y −1 z ). 直线 L2 : = = 的平面方程为( 2 1 1 x − 3y + z + 2 = 0 提示 n = s1 × s2 = (1,0,−1) × ( 2,1,1) = (1,−3,1)
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
由直线的对称式得
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
M 1 M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
直线方程的几种形式可以互相转换. 直线方程的几种形式可以互相转换
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又如
0
=
0
=
可写成一般方程
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1 x =1 y=1
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1 x
O
1 y
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空间直线及其方程
直线的一般方程如何化为对称式方程 (1) 用代数的消元法化为比例式; 用代数的消元法化为比例式 消元法化为比例式 (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量 在直线上找一定点 再求出方向向量, 再求出方向向量 即写出对称式方程. 即写出对称式方程
2 2 2 2
（锐角） 锐角）
^L ) = cos( L ,
1 2
m1 + n1 + p1 ⋅ m2 + n2 + p2
2
2
两直线的夹角公式
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空间直线及其方程
两直线垂直 两直线的位置关系 (两直线垂直、平行的条件 两直线垂直、平行的条件) L1 : s1 = ( m1 , n1 , p1 ), L2 : s2 = ( m2 , n2 , p2 )
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空间直线及其方程
直线过点 M ( 2,1,3) x = 3t − 1 将 y = 2t + 1 代入 3( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 3) = 0 z = −t
2 13 3 ,− ) 7 7 7 取所求直线的方向向量为 MN
s = (m, n, p)
•
求直线与平面的交点时常用此。 求直线与平面的交点时常用此。
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空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 设一直线过两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )， 则此直线的方程为: 则此直线的方程为 x − x1 = y − y1 = z − z1 (4) 直线的两点式方程 直线的两点式方程
定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角. 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角 方向向量的夹角称为两直线的夹角 直线 L1 : 直线 L2 :
x − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 = = m2 n2 p2
m1m2 + n1n2 + p1 p2
§8.6 空间直线及其方程
空间直线的各种方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 小结 思考题 作业
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空间直线及其方程
一、空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式 空间直线可看成两平面的交线. 定义 空间直线可看成两平面的交线 z A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 1 L (1) Π 2 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 Π 2
(重要 重要) 重要