高三数学圆锥曲线与方程章末复习题7

2.4.2 抛物线的几何性质
课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为______________．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离 为p
2
，焦点到顶点的距离为________． 2．抛物线的焦点弦
设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．
(1)以AB 为直径的圆与准线________．
(2)AB ＝__________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)AB ＝x 1＋x 2＋______.
(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.
一、填空题
1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线标准方程是______________________．
2．抛物线y 2＝2px (p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点和准线之间的距离是________．
3．若过抛物线x 2＝－2py (p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为6，则其焦点坐标是__________．
4．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22
＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
5．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积为________．
6．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为______．
7.设O 为坐标原点，F 为抛物线2
4y x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为______________．
8．已知点Q(4,0)，P 为y 2＝x ＋1上任意一点，则PQ 的最小值为________． 二、解答题
9．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
10.已知抛物线y2＝2px (p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两
部分．求证：1
m＋1
n为定值．
能力提升
11．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.
12．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若AF＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
1．研究抛物线的性质要结合定义，理解参数p 的几何意义，注意抛物线的开口方向． 2．解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦，焦半径公式的应用．解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便． 3．与抛物线有关的最值问题
具备定义背景的最值问题，可以转化为几何问题；一般方法是建立目标函数，求函数的最值．
2．4.2 抛物线的几何性质
知识梳理
1．(1)x ≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴
(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p
2
2．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p
2
4
－p 2
作业设计
1．y 2＝±3
6
x
解析 易求得A ，B 的坐标为⎝⎛⎭⎫32
，±12或⎝⎛⎭⎫－32，±1
2，又由题意可设抛物线标准方程为
y 2＝±2px (p >0)，将A ，B 的坐标代入即可求得． 2．2
解析 由抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，故4＋p
2
＝
5，p ＝2，此抛物线焦点和准线之间的距离为p ＝2.
3.⎝
⎛⎭⎫0，－32 解析 易知弦的两端点的坐标分别为⎝
⎛⎫－p ，－p 2，⎝⎛⎭⎫p ，－p
2，则有2p ＝6，p ＝3.故焦点坐标为⎝
⎛⎭⎫0，－32. 4．4
解析 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，即p
2
＝2，得p ＝4.
5．2
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 21＝4x 1，y 2
2＝4x 2.
∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
＝1. ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)，B (4,4)．
∴AB ＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为2
2
，
∴S △ABF ＝12×2
2
×42＝2.
6.255
解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点
坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1
＝25
5.
7．(1,2)或(1，－2)
解析设A （x 0,y 0）,F(1,0),OA →
＝(x 0，y 0)， AF →
＝(1－x 0，－y 0)， OA →∙AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4. ∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 2
0－4x 0＋4＝0， 即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)． ∴x 0＝1，y 0＝±2. 8.192
解析 设点P (x ，y )．∵y 2＝x ＋1，∴x ≥－1. ∴PQ ＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋x ＋1
＝x 2－7x ＋17＝⎝⎛⎭⎫x －722＋194
. ∴当x ＝72时，PQ min ＝19
2
.
9．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1
m
y ，
其准线方程为y ＝－1
4m
.
由题意知－14m ＝－2或－1
4m ＝4，
解得m ＝18或m ＝－1
16
.
所以所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .
10．证明 若AB ⊥x 轴，直线AB 的方程为x ＝p
2
，
则A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p
2，－p ，∴m ＝n ＝p ， ∴1m ＋1n ＝2p
， 若AB 不与x 轴垂直，设直线AB 的方程为
y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p
2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则m ＝AF ＝x 1＋p 2，n ＝BF ＝x 2＋p
2
.
将AB 方程代入抛物线方程，得
k 2x 2－(k 2
p ＋2p )x ＋k 2p 24
＝0.
∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 2
4，
∴1m ＋1
n ＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋
p 2
4
＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝2p
. 故1m ＋1
n 为定值． 11.8
解析 如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．
设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴PF ＝x 0＋2＝8.
12．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.
(1)由抛物线的定义可知，AF ＝x 1＋p
2
，
从而x 1＝4－1＝3.
代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为
(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．
与抛物线方程联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)
y 2＝4x ，
消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，
则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4
k
2.
由抛物线的定义可知，
AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4
k
2>4.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时AB ＝4，
所以，AB ≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。